2020年天津卷数学高考试题(含答案)
2020
年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：
·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A
B P A P B =+．
·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式2
4πS R =，其中R 表示球的半径．
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则(
)U
A B =∩
A ．{3,3}-
B ．{0,2}
C ．{1,1}-
D ．{3,2,1,1,3}---
2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数2
41
x
y x =
+的图象大致为
A B
C D
4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),
,
[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间
[5.43,5.47)内的个数为
A ．10
B ．18
C ．20
D ．36
5．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π
6．设0.7
0.8
0.71
3,()
,log 0.83
a b c -===，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b
-=>>，过抛物线2
4y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的
一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为
A ．22144x y -=
B ．22
14y x -= C ．2
214
x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3
f x x =+．给出下列结论：
①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2
f 是()f x 的最大值；
③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π
3
个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
9．已知函数3,0,(),0.
x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2
()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是
A ．1(,)(22,)2
-∞-+∞
B ．1(,)(0,22)2
-∞-
C ．(,0)
(0,22)-∞
D ．(,0)
(22,)-∞+∞
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．i 是虚数单位，复数8i
2i
-=+_________． 11．在52
2()x x
+
的展开式中，2
x 的系数是_________．
12．已知直线80x +=和圆222
(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为
_________．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
12和1
3
．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则
11822a b a b
+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3
,
2
AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ
的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．
三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）
在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求π
sin(2)4
A +
的值． 17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E
分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．
（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；
（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；
（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原
点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）
已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：(
)2
*
21n n n S S S n ++<∈N
；
（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2
11
32,,,.n n
n n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪
⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．
20．（本小题满分16分）
已知函数3
()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，
（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9
()()()g x f x f x x
'=-+
的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-．
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学参考解答
一．选择题：每小题5分，满分45分．
1．C
2．A
3．A
4．B
5．C
6．D
7．D
8．B
9．D
二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．
10．32i - 11．10
12．5
13．
16；23
14．4 15．
16；132
三．解答题 16．满分14分．
（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222
cos 22
a b c C ab +-==．又
因为(0,π)C ∈，所以π
4
C =．
（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π
,22,134
C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2
313cos 1sin 13A A =-=，
进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313
A A A A A ===-=． 所以，πππ12252172
sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226
A A A +=+=⨯+⨯=．
17．满分15分．
依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，
(1,1,3)M ．
（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以
11C M B D ⊥．
（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设
(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,
20.
y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．
因此有|||cos ,6|
A CA C CA ⋅〈
〉=
=
n n n ，于是sin ,
CA 〈〉=n ． 所以，二面角1B B E D --的正弦值为
6
． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =
-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是
cos ,3||||
AB AB AB ⋅=
=
-n n n ． 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3
． 18．满分15分．
（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222
a b c =+，可得
2
18a =．所以，椭圆的方程为22
1189
x y +
=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP
的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,
1,189
y kx x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩消去y ，可得
()2
2
21120k x kx +-=，解得0x =，或21221k
x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
．
因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为22
63,2121k
k k -⎛⎫
⎪++⎝⎭
．由3OC OF =，
得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为223
0216121
k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得1
2
k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为1
32
y x =-，或3y x =-．
19．满分15分．
（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可
得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2
440q q -+=，
解得2q =，从而{}n b 的通项公式为1
2n n b -=．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()222
1
1(1)24
n S n n +=++，从而2
211
(1)(2)02
n n n S S S n n ++-=-
++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111
2
32(32)222(2)2n n n n n n
n n a b n c a a n n n n
-+-+--=
==-
++；当n 为偶数时，111
2
n n n n a n c b -+-=
=． 对任意的正整数n ，有22222111222121
2121k k n
n
n
k k k c k k n --==⎛⎫=-=
- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和
2231
1
21135
21
44444n
n
k k
n
k k k n c ==--==++++
∑∑
． ① 由①得223111132321
44444
n k n
n k n n c +=--=++
+
+∑． ② 由①②得22111211312
221121
441444
444414
n n k n n n k n n c ++=⎛⎫
- ⎪--⎝⎭=++
+-=---∑，从而得21565994n
k n
k n c =+=-⨯∑． 因此，2212111
4654
21949n n
n
n
k k k n
k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．
所以，数列{}n c 的前2n 项和为
4654
21949
n n n n +--+⨯． 20．满分16分．
（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故2
6
()3f x x x
'=+
．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）解：依题意，3
2
3()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++
∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x
'=-+-，整理可得32
3(1)(1)
()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．
当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：
所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．
（Ⅱ）证明：由3
()ln f x x k x =+，得2
()3k f x x x
'=+
． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令
1
2
(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--
()2233
1121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3
3221211
2
12
12
212332ln x x x
x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭
()332
213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--
⎪⎝⎭
． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，2
2121()110h x x x x ⎛⎫
'=+-=-> ⎪⎝⎭
，由此可得()h x 在
[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即1
2ln 0t
t t -->．
因为21x ≥，323
331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，
所以，(
)
3
32
32
2113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t
t
⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
233
6ln 31t t t t
-=++-． ②
由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即3
2
3
36ln 1t t t t
-++>， 故2
3
3
36ln 10t t t t
-++
->． ③ 由①②③可得()()()()()()()
12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的
12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-．
2020年天津卷数学高考试题及答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式2 4πS R =，其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则( )U A B =∩ A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}--- 2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数2 41 x y x = +的图象大致为 A B C D
4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35), , [5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47)内的个数为 A ．10 B ．18 C ．20 D ．36 5．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π 6．设0.7 0.8 0.71 3,() ,log 0.83 a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线2 4y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的 一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 A ．22144x y -= B ．22 14y x -= C ．2 214 x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3 f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；
2020年天津市高考数学试卷-含详细解析
2020年天津市高考数学试卷 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1.设全集U={?3,?2,?1,0，1，2，3}，集合A={?1,0，1，2}，B={?3,0，2，3}， 则A∩(?U B)=() A. {?3,3} B. {0,2} C. {?1,1} D. {?3,?2,?1,1，3} 2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数y=4x 的图象大致为() x2+1 A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[ 5.31,5.33)， [5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在 被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为() A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π
6. 设a =30.7，b =(1 3)?0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a 0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b) 的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A. x 24 ? y 24 =1 B. x 2? y 24 =1 C. x 24 ?y 2=1 D. x 2?y 2=1 8. 已知函数f(x)=sin(x +π 3).给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π 2 )是f(x)的最大值； ③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π 3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0, ?x,x <0. 若函数g(x)=f(x)?|kx 2?2x|(k ∈R)恰有4个零点， 则k 的取值范围是( ) A. (?∞,?1 2)∪(2√2,+∞) B. (?∞,?1 2)∪(0,2√2) C. (?∞,0)∪(0,2√2) D. (?∞,0)∪(2√2,+∞) 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8?i 2+i =______． 11. 在(x +2 x 2)5的展开式中，x 2的系数是______． 12. 已知直线x ?√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6， 则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和1 3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ______． 14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则1 2a +1 2b +8 a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中， ∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ?????? =λBC ????? ， AD ?????? ?AB ????? =?3 2，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ??????? |=1，则DM ??????? ?DN ?????? 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分） 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；
2020年天津卷数学高考试题(含答案)
2020年天津卷数学高考试题(含答案) 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。在答卷前，考生需填写姓名、考生号、考场号和座位号，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生需将答案涂写在答题卡上，不得在试卷上作答。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： 如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)。 如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)。
球的表面积公式S=4πR，其中R表示球的半径。 1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,0,1,2}，B={-3,0,2,3}，则A∩B={0,2}。 2.设a∈R，则“a>1”是“a>a的充分不必要条件”。 3.函数y=4x/(2x+1)的图象大致为下图中的CD线段。 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组： [5.31,5.33),[5.33,5.35),[5.35,5.37),[5.37,5.39),[5.39,5.41),[5.41,5.4 3),[5.43,5.45),[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为20个。 5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为36π。 6.设a=3，b=0.7^(1/3)，c=log0.7(0.8)，则a>b>c。 7.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在 x=2处有极值，则a<0. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a3=7，则S10=55.
2020年天津市高考数学试卷(附答案详解)
2020年天津市高考数学试卷 1.(2020·天津市市辖区·月考试卷)设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0， 1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=() A. {−3,3} B. {0,2} C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1，3} 2.(2020·安徽省蚌埠市·单元测试)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.(2020·全国·月考试卷)函数y=4x 的图象大致为() x2+1 A. B. C. D. 4.(2021·安徽省·单元测试)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所 得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为() A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.(2021·江苏省无锡市·单元测试)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该 球的表面积为()
A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π 6. (2021·河北省唐山市·模拟题)设a =30.7，b =(1 3)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的 大小关系为( ) A. a 0,b >0)，过抛 物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A. x 24−y 2 4 =1 B. x 2−y 2 4 =1 C. x 2 4−y 2=1 D. x 2−y 2=1 8. (2021·湖南省·单元测试)已知函数f(x)=sin(x +π 3).给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π 2 )是f(x)的最大值； ③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π 3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. (2021·安徽省·历年真题)已知函数f(x)={x 3,x ≥0, −x,x <0. 若函数g(x)=f(x)−|kx 2− 2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−1 2)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−1 2)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞) 10. (2021·山东省·其他类型)i 是虚数单位，复数8−i 2+i = ． 11. (2021·广东省广州市·期中考试)在(x +2 x 2)5的展开式中，x 2的系数是______． 12. (2021·云南省·其他类型)已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于 A ， B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. (2021·江苏省·单元测试)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和1 3.假定两球是否 落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 14. (2021·浙江省金华市·同步练习)已知a >0，b >0，且ab =1，则1 2a +1 2b +8 a+b 的最 小值为______．
2020年天津卷数学高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学 本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1 至3页，第II卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓爼、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规左位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： -如果事件A与事件B互斥，那么P(4U3) = P(A) + P(3) • -如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B). •球的表而积公式S = 4叔,其中R表示球的半径. 一. 选择题：在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U = {—3,—2,70,1,2,3},集合A = {_l,0,l,2},B = {_3,0,2,3},则 A. {—3,3} B・{0,2}C・{-1,1} D. {-3,-2,-1丄3} 2.设«eR,贝iJ'Z> 1"是=2 >d "的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3・函数)，一4V的图象大致为 f +1
4 •从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位:mm ）,将所得数据分为9组：[5.31,5.33）,[5.33,5.35）,…, [5.45,5.47）,[5.47,5.49b 并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47）内的个数为 5. 若棱长为2的正方体的顶点都在同一球而上，则该球的表而积为 A. 12兀 B ・24JT C ・36兀 D ・144兀 6. 设d = 3°7e = （bv = logo7 0& 则 d,b,c 的大小关系为 A. a
2020年天津市高考数学试卷含答案
2020年天津市高考数学试卷 一、选择题 1. 设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2}，B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=() A.{−3,3} B.{0,2} C.{−1,1} D.{−3,−2,−1,1,3} 2. 设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 函数y=4x x2+1 的图象大致为( ) A. B. C. D. 4. 从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[ 5.31，5.33)，[5.33，5.35)，⋯，[5.45，5,47)，[5.47，5,49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为( ) A.10 B.18 C.20 D.36 5. 若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 6. 设a=30.7，b=(1 3 ) −0.8 ，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为() A.a
2020年高考数学真题试题(天津卷)(Word版+答案+解析)
2020年高考数学真题试卷（天津卷） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共9题；共45分） 1.设全集U={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1,2},B={−3,0,2,3}，则A∩(∁U B)=（） A. {−3,3} B. {0,2} C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1,3} 2.设a∈R，则“ a>1”是“ a2>a”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数y=4x 的图象大致为（） x2+1 A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组： [5.31,5.33),[5.33,5.35),⋯,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（） A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（） A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π
6.设 a =30.7, b =(1 3)−0.8, c =log 0.70.8 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ） A. a 0,b >0) ，过抛物线 y 2=4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为l ．若C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A. x 24 − y 24 =1 B. x 2− y 24 =1 C. x 2 4−y 2=1 D. x 2−y 2=1 8.已知函数 f(x)=sin(x +π 3) ．给出下列结论： ① f(x) 的最小正周期为 2π ；② f(π 2) 是 f(x) 的最大值；③把函数 y =sinx 的图象上所有点向左平移 π 3 个单位长度，可得到函数 y =f(x) 的图象．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.已知函数 f(x)={x 3,x ⩾0, −x,x <0. 若函数 g(x)=f(x)−|kx 2−2x| (k ∈R) 恰有4个零点，则k 的取值 范围是（ ） A. (−∞,−1 2)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−1 2)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分，（共6题；共30分） 10.i 是虚数单位，复数 8−i 2+i = ________． 11.在 (x +2 x 2)5 的展开式中， x 2 的系数是________． 12.已知直线 x −√3y +8=0 和圆 x 2+y 2=r 2(r >0) 相交于 A,B 两点．若 |AB|=6 ，则 r 的值为________． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________． 14.已知 a >0, b >0 ，且 ab =1 ，则 12a +12b +8 a+b 的最小值为________． 15.如图，在四边形 ABCD 中， ∠B =60°, AB =3 ， BC =6 ，且 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32 ，则实数 λ 的值为________，若 M,N 是线段 BC 上的动点，且 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1 ，则 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________．
2020年天津高考数学试题及答案
2020年天津高考数学试题及答案 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式2 4πS R =，其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则( )U A B =∩ A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}--- 2．设a ∈R ，则“1a >”是“2 a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数2 41 x y x = +的图象大致为 A B
C D 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35), , [5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47)内的个数为 A ．10 B ．18 C ．20 D ．36 5．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π 6．设0.7 0.8 0.71 3,() ,log 0.83 a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线2 4y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的
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