2
，f(x)有两个零点，
当−2a+5<0时，即a>5
2
，f(x)有1个零点，
综合①②可得，a∈[5
2,11
4
]∪[2,9
4
]．
故选：A．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案．【解答】
解：
，
故答案为：．
11.【答案】160
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．根据二项展开式的通项公式求出展开式的通项公式，令x的指数为6，求出r的值，即可求得x6的系数．
【解答】
解：(2x3+1
x )6的展开式的通项公式为T r+1=C6r(2x3)6−r(1
x
)r=C6r26−r x18−4r，
令18−4r=6，解得r=3，
所以x6的系数是C6323=160．
故答案为：160．
12.【答案】√3
【解析】
【分析】本题考查直线与圆相切的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．设直线AB的方程为y=√3x+b，则点A(0,b)，利用直线AB与圆x2+(y−1)2=1相切求出b的值，求出|AC|，利用勾股定理可求得|AB|．
【解答】设直线AB的方程为y=√3x+b，则点A(0,b)，
由于直线AB与圆x2+(y−1)2=1相切，且圆心为C(0,1)，半径为1，
则|b−1|
2
=1，解得b=−1或b=3，所以|AC|=2，
因为|BC|=1，故|AB|=√|AC|2−|BC|2=√3．
故答案为：√3．
13.【答案】2√2
【解析】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的条件同时成立，属于中档题．
先利用基本不等式得到1
a +a
b 2+b ≥2
b +b ，再利用基本不等式得到2
b +b ≥2√2，最后求出两次利用基本不等式取等号时的a ，b 的值即可． 【解答】 解：
∵a >0，b >0， ∴1
a +
a b 2
+b ≥2√1a
⋅
a b 2+b =2
b
+b ≥2√2，
当且仅当1
a =a
b 2且b =2
b ， 即a =b =√2时取等号， ∴1
a +a
b 2+b 的最小值为2√2， 故答案为：2√2．
14.【答案】1
3，7
27
【解析】 【分析】
本题主要考查相互独立事件概率乘法公式，至少问题等基础知识，是中档题． 根据相互独立事件概率乘法公式求出一次活动中，甲获胜的概率，再利用直接法求出3次活动中，甲至少获胜2次的概率． 【解答】 解：
∵一次活动中，甲获胜的概率为5
6×(1−3
5)=1
3，
∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为(1
3)3+C 3
2
×(1
3)2×(1−1
3)=7
27． 故答案为：13，7
27．
15.【答案】1 11
20
【分析】
本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题． 设BE =x ，表示出BD =2x ，DE =√3x ，DC =1−2x ，利用数量积的定义与性质，分别表示出(2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2与(DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出． 【解答】
解：如图，设BE =x ，
∵△ABC 是边长为1等边三角形，DE ⊥AB ，
∴∠BDE =30°，BD =2x ，DE =√3x ，DC =1−2x ， ∵DF//AB ，
∴△DFC 是边长为1−2x 等边三角形，DE ⊥DF ，
∴(2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=4BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+4BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=4x 2+4x(1−2x)×cos0°+(1−2x)2=1， 则|2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，
∵(DE
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3x)2+(1−2x)×(1−x)=5x 2−3x +1
=5(x −3
10)2+11
20，x ∈(0,1
2)， ∴(DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为11
20． 故答案为：1，11
20．
16.【答案】解：(1)∵△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC =2：1：√2，
∴a ：b ：c =2：1：√2， ∵b =√2，
∴a =2b =2√2，c =√2b =2． (2)△ABC 中，由余弦定理可得cosC =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
=2×2
√2×√
2
=3
4．
(3)由(2)可得sinC =√1−cos 2C =√7
4
，
∴sin2C =2sinCcosC =
3√7
8，cos2C =2cos 2C −1=1
8，
sin(2C −π6
)=sin2Ccos π6
−cos2Csin π6
=
3√21−1
16
．
【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题． (1)由题意利用正弦定理，求得a 的值． (2)由题意利用余弦定理计算求得结果．
(3)先来用二倍角公式求得2C 的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2C −π
6
)的值．
17.【答案】(1)证明：以点A 为坐标原点，建
立空间直角坐标系如图所示， 则A 1(0,0,2)，E(2,1,0)，C 1(2,2,2)， 故A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 设平面A 1EC 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0
n ⃗ ⋅EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =0y +2z =0，
令z =1，则x =2，y =−2， 故n
⃗ =(2,−2,1)， 又F(1,2,0)，D 1(0,2,2)， 所以FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，
则n ⃗ ⋅FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，又D 1F ⊄平面A 1EC ， 故D 1F//平面A 1EC 1；
(2)解：由(1)可知，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2)，
则|cos |=|n ⃗⃗ ⋅AC
1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||AC
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2
3×2√
3
=√3
9
， 故直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值为√3
9
；
(3)解：由(1)可知，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 设平面AA 1C 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{c =0a +b =0，
令a =1，则b =−1，故m
⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，
所以|cos |=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |
=2
√2×2√
3
=√6
6
， 故二面角A −A 1C 1−E 的正弦值为√1−(√66)2=√306
．
【解析】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
(1)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面A 1EC 1的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明； (2)利用(1)中的结论，由向量的夹角公式求解，即可得到答案；
(3)利用待定系数法求出平面AA 1C 1的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．
18.【答案】解：(1)因为离心率e =2√5
5
，|BF|=√5，
所以{c a
=
2√55
a =√5
a 2=
b 2+
c 2，解得a =√5，c =2，b =1，
所以椭圆的方程为x 25
+y 2=1；
(2)设M(x 0,y 0)， 则切线MN 的方程为
x 0x 5+y 0y =1，
令x =0，得y N =1y 0
，
因为PN ⊥BF ， 所以k PN ·k BF =−1，
所以k PN ·(−1
2)=−1，解得k NP =2，
设P(x 1,0)，则k NP =1y 0
0−x 1
=2，即x 1=−1
2y 0，
因为MP//BF ， 所以k MP =k BF ， 所以
y 0
x 0+
12y 0
=−1
2，即−2y 0=x 0+12y
，
所以x 0=−2y 0−1
2y 0
，
又因为x 0
25
+y 02
=1， 所以
4y 0
25
+2
5+1
20y 0
2+y 02=1，
解得y 0=±√6
6
，
因为y N >0， 所以y 0>0， 所以y 0=√6
6，x 0=−
√6
3
−
√6
=−
5√6
6
， 所以
−
5√6
6
x 5
+
√66
y =1，即x −y +√6=0．
【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． (1)由离心率e =
2√55
，|BF|=√5，列方程组，解得a ，b ，c ，即可得出答案；
(2)设M(x 0,y 0)，则切线MN 的方程为x 0x 5
+y 0y =1，令x =0，得N 点的坐标，由PN ⊥BF ，
推出k NP =2，设P(x 1,0)，则x 1=−1
2y 0，由MP//BF ，得x 0=−2y 0−1
2y 0
，结合x 02
5
+y 02=1，解得y 0，x 0，即可得出答案．
19.【答案】证明：
(1)由数列{a n }是公差d 为2的等差数列，其前8项的和为64， 可得8a 1+1
2×8×7d =64，解得a 1=1， 所以a n =1+2(n −1)=2n −1(n ∈N ∗)；
由数列{b n }是公比q 大于0的等比数列，b 1=4，b 3−b 2=48， 可得4q 2−4q =48，解得q =4(−3舍去)， 所以b n =4n (n ∈N ∗)
(2)
(i)证明：因为a n =2n −1，b n =4n ， 所以c n =b 2n +1b n
=42n +1
4n ，
则C 2n −C 2n =(42n +14n )2−(44n +142n )=42n +2⋅4n +142n −44n −1
42n =2⋅4n ， 所以
c n+12−c 2n+2c n 2−c 2n
=
2⋅4n+12⋅4n =4，
又c 1
2
−c 2=(42+1
4)2−(44+1
42)=8， 所以数列{c n 2
−c 2n }是以8为首项，4为公比的等比数列；
(ii)证明：设p n =√a n a n+1c n
2−c
2n
=√(2n−1)(2n+1)
2⋅4n
=√
4n 2−12⋅4n
<√
4n 22⋅4n
=√2⋅
n 2n
，
考虑q n =n
2n ，则p n <√2q n ， 所以∑q k n k=1=12+222+...+n
2n ， 则12∑q k n k=1=122+223+⋅⋅⋅+n
2n+1， 两式相减可得，1
2∑q k n k=1=12+122+⋅⋅⋅+12n −n
2n+1=
12×(1−1
2
n )1−12
−n 2n+1=1−n+2
2n+1，
所以∑q k n k=1=2−
n+22n
<2，
则∑√a k a
k+1c k
2−c 2k
n k=1<√2∑q k n
k=1<2√2，
故∑√a k a
k+1c k
2−c 2k
n k=1<2√2．
【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式的证明，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于拔高题． (1)由等差数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到a n ；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到b n ；
(2)(i)利用已知数列的通项公式，表示出c n ，然后利用等比数列的定义证明即可；
(ii)设p n =√a n a n+1c n
2−c
2n
=√(2n−1)(2n+1)
2⋅4n
，然后利用放缩法得到p n <√2⋅n
2n ，再利用错位相减
法求解数列{n
2n }的和，即可判断以∑q k n k=1=2−
n+22n
<2，从而证明不等式．
20.【答案】(1)解：因为f′(x)=a −(x +1)e x ，
所以f′(0)=a −1，而f(0)=0，
所以在(0,f(0))处的切线方程为y =(a −1)x(a >0)； (2)令g(x)=f′(x)=a −(x +1)e x (a >0)
g′(x)=−(x+2)e x，
令g′(x)>0，得x<−2，
令g′(x)<0，得x>−2，
∴g(x)在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,+∞)上单调递减，
>0，
又g(−2)=a+1
e2
且当x<−2时，(x+1)e x<0，
又a>0，
∴a−(x+1)e x>0在(−∞,−2)上恒成立，即g(x)在(−∞,−2)上无零点，∵a>0，
∴ln(a+1)>0，
g[ln(a+1)]=a−[ln(a+1)+1](a+1)=−1−(a+1)ln(a+1)<0，∴g(x)在(−2,ln(a+1))上有一个零点，不妨记为x0，
∴当x0，当x>x0时，g(x)<0，
∴f(x)在(−∞,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，
∴x0为f(x)的极大值点，无极小值点，
得证．
(3)由(2)知，f(x)max=f(x0)，
即ax0−x0e x0≤a+b能成立，
又f′(x0)=0，即a−(x0+1)e x0=0，
∴a=(x0+1)e x0，
则(x0+1)e x0⋅x0−x0e x0≤(x0+1)e x0+b能成立，
即(x02−x0−1)e x0≤b能成立，
由(2)知x0>−2．
令ℎ(x)=(x2−x−1)e x(x>−2)，
ℎ′(x)=(x2−x−1)e x+(2x−1)e x=(x2+x−2)e x
令ℎ′(x)>0，解得，x>1，
令ℎ′(x)<0，解得，−2∴ℎ(x)在(−2,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴ℎ(x)min=ℎ(1)=−e，
∴b的取值范围为[−e,+∞).
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究极值与最值，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于拔高题．
(1)先求导函数，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式表示出切
线即可；
(2)令g(x)=f′(x)=a−(x+1)e x，利用讨论的思想，求出g(x)的范围，从而可得结论；
(3)由(2)知f(x)max=f(m)，此时a=(1+m)e m，(m>−1)，所以{f(x)−a}max= (m2−m−1)e m(m>−1)，构造ℎ(x)=(x2−x−1)e x(x>−1)，若存在a，使f(x)≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈(−1,+∞)，使得ℎ(x)≤b，即b≥ℎ(x)min，最后利用导数研究其最值，即可求出所求．
2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷(天津市 卷)(含详细解析) 2021年全国统一高考数学试卷（天津卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共9题；共45分）
1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则 (A∩A)∪A=（） A.{0} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4} D.{0,2,3,4} 2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不 充分也不必要条件 3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（） A。B。C。D. 4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评 分数据，将所得400个评分数据分为8组： [66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（） A。20 B。40 C。64 D。80 5.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小 关系为（） A.A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（） A.3A B.4A C.9A D.12A 7.若2A=5A=10，则A+A=（） A。-1 B.lg7 C。1 D.log7 108 8.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为 11:32A/3，则 9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为 11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（） 解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所 以f(x)的图象关于原点对称； 而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]； 又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称； 综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B. 分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.
2021年全国统一高考数学试卷(天津卷)
2021年全国统一高考数学试卷（天津卷） 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}1,0,1A =-，{}1,3,5B =，{}0,2,4C =，则()A B C = （A ）{}0 （B ）{}0,1,3,5 （C ）{}0,1,2,4 （D ）{}0,2,3,4 2.已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.函数2ln 2 x y x = +的图像大致为 （A ） （B ） （C ） （D ） 4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组： [)66,70，[)70,74， ，[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的 影视作品数量为
（A ）20 （B ）40 （C ）64 （D ）80 5.设3.0log 2=a ，4.0log 2 1=b ，3 .04 .0=c ，则a 、b 、c 的大小关系为 （A ）c b a << （B ）b a c << （C ）a c b << （D ）b c a << 6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为3 π 32，两个圆锥的高之比为3:1，则这两个圆锥的体积之和为 （A ）π3 （B ）π4 （C ）π9 （D ）π12 7.若1052==b a ，则 =+b a 11 （A ）1- （B ）7lg （C ）1 （D ）10log 7 8.已知双曲线12222=-b y a x ()0,0>>b a 的右焦点与抛物线px y 22 =（0>p ）的焦点重合，抛物线 的准线交双曲线于B A 、两点，交双曲线的渐近线与D C 、两点，若AB CD 2=,则双曲线的离 心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 9.设R a ∈,函数a x a x a x a x a x x f ≥<⎩ ⎨⎧+++--=,5)1(2),22cos()(2 2ππ,若)(x f 在区间）（+∞,0内恰好有6个零点，则a 的取值范围是 （A ）⎥⎦ ⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛41125492，， （B ）⎥ ⎦⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛41125247，， （C ）⎪⎭⎫⎢ ⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛ 3411492，， （D ）⎪⎭ ⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛3411247，，
2021年高考天津卷理数试题及答案
2021年高考天津卷理数试题及答案 2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： ・1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么・如果事件 A，B 相互独立， P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式V 柱体=Sh锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高．h 表示锥体的高． 第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合A?{1,2,3,4},B?{y|y?3x?2，x?A},则A?B= （A）{1} （B）{4} （C）{1,3} （D）{1,4} xy20,（2）设变量x，y满足约束条件?2x?3y?6?0,则目标函数z?2x?5y的最小值为 3x2y90.（A）?4 （B）6 （C）10 （D）17 （3）在△ABC中，若AB=13,BC=3，?C?120 ,则AC=
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则输出S的值为（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （5）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n?1+a2n<0”的 （A）充要条件（B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件 x2y2?=1（b>0）（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴4b2长为半径长 的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 x23y2x24y2x2y2x2y2?=1（B）?=1（C）?2=1（D）?=1 （A） 4b4124443（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则AF?BC的值为（A）51111（B）（C）（D）8848?x2?(4a?3)x?3a),x?0,（8）已知函数f（x）=?（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且 关于 loga(x1)1,x0x的方程│f（x）│=2?x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值 范围是（A）（0， 223123123] （B）[，] （C）[，]?{}（D）[，）?{} 334334334第II卷 注意事项： 1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2、本卷共12小题，共计110分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知a,b?R，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则 a的值为_______. b28（10）(x?)的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答) 1x（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3. （第11题图） （12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE 的长为__________.
2021年天津市高考数学试卷(学生版+解析版)
2021年天津市高考数学试卷 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4} 2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（） A．B． C．D． 4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（） A．20B．40C．64D．80 5．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（） A．3πB．4πC．9πD．12π 7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（） A．﹣1B．lg7C．1D．log710 8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（） A．B．C．2D．3 9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（） A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，] C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．（5分）i是虚数单位，复数＝． 11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是． 12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝． 13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为． 14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率
2021年高考天津市数学试题含答案解析
2021年高考天津市数学试题含答案解析 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 一、综合题（共1题） 1、已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有 ． 二、解答题（共4题） 1、已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
2、已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中 为原点． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 3、如图，在三棱柱中，平面，，点 分别在棱和棱上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 4、在中，角所对的边分别为．已知． （Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 三、填空题（共6题） 1、如图，在四边形中，，，且， 则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 2、已知，且，则的最小值为_________． 3、已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 4、已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 5、在的展开式中，的系数是_________． 6、是虚数单位，复数_________． 四、选择题（共9题）
2021年新高考天津数学高考真题文档版(含答案)
2021年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷·数学 第I 卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分 参考公式： •如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． •如果事件A 、B 相互独立，那么()() ()P AB P A P B =． •球的体积公式33 1V R π=，其中R 表示球的半径． •圆锥的体积公式13 V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆 锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C =（ ）
A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4} 2．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数2 ln || 2 x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74), ,[94,98]，并整理得 到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)8286， 内的影视作品数量是（ ）
A ．20 B ．40 C ．64 D ．80 5．设0.3212 log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b c a << D ．a c b << 6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323 π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之 和为（ ） A ．3π B ．4π C ．9π D ．12π 7．若2510a b ==，则11a b +=（ ） A ．1- B ．lg7 C ．1 D ．7log 10 8．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的
2021年高考数学天津(理科)试题及答案【解析版】
2021年天津市高考数学试卷〔理科〕 一、选择题 【2021天津〔理〕】集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，那么A∩B=〔〕A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4} 【答案】D 【解析】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，∵A={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，4}， 【2021天津〔理〕】设变量x，y满足约束条件，那么目的函数z=2x+5y 的最小值为〔〕 A．﹣4 B．6 C．10 D．17 【答案】B 【解析】解：作出不等式组表示的可行域， 如右图中三角形的区域， 作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线l0，可得经过点〔3，0〕时，z=2x+5y获得最小值6． 应选：B． 【2021天津〔理〕】在△ABC中，假设AB=，BC=3，∠C=120°，那么AC=〔〕A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：在△ABC中，假设AB=，BC=3，∠C=120°， AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC， 可得：13=9+AC2+3AC， 解得AC=1或AC=﹣4〔舍去〕． 【2021天津〔理〕】阅读如图的程序图，运行相应的程序，那么输出S的值为〔〕
A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4， 第二次判断不满足条件n＞3： 第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3， 第四次判断n＞3不满足条件， 第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4， 第六次判断满足条件n＞3， 故输出S=4， 【2021天津〔理〕】设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，那么“q＜0〞是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0〞的〔〕 A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】解：{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q， 假设“q＜0〞是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0〞不一定成立， 例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+〔﹣1〕=1＞0，+〔﹣ 〕=＞0； 而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0〞，前提是“q＜0〞， 那么“q＜0〞是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0〞的必要而不充分条件， 【2021天津〔理〕】双曲线﹣=1〔b＞0〕，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径 长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，那么双曲线的方程为〔〕
2021年天津高考理科数学真题及答案
绝密★启用前 2021年天津高考理科数学真题及答案 本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟。第一卷1至2页，第二卷3至5页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第一卷 考前须知： 1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每题5分，共40分。 参考公式： ·假如事件 A ，B 互斥，那么 ·假如事件 A ，B 互相独立，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． P (AB )=P (A ) P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh . ·球的体积公式3 43 V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积， 其中R 表示球的半径． h 表示棱柱的高． 一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，那么()A B C = 〔A 〕{2} 〔B 〕{1,2,4}〔C 〕{1,2,4,6}〔D 〕{|15}x x ∈-≤≤R 〔2〕设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3, x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪ ⎨≤⎪⎪≤⎩那么目的函数z x y =+的最大值为 〔A 〕 23 〔B 〕1〔C 〕3 2 〔D 〕3 〔3〕阅读右面的程序框图，运行相应的程序，假设输入N 的值为24，那么输出N 的值为
2021年天津高考数学试卷-(含答案)
2021年天津高考数学试卷 第Ⅰ卷 参考公式： ·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}--- 2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数241 x y x = +的图象大致为 A B C D 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：m m ），将所得数据分为9组： [5.31,5.33),[5.33,5.35),, [5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在
区间[5.43,5.47)内的个数为 A ．10 B ．18 C ．20 D ．36 5．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π 6．设0.70.80.71 3,(),log 0.83 a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 7．设双曲线C 的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为 l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 A ．22144x y - = B ．22 14y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π ()sin()3 f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π ()2 f 是()f x 的最大值；
2021高考文数真题试卷(天津卷)带答案解析
2021年高考文数真题试卷（天津卷） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（共8题；共16分） 1.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A ∪B ）∩C=（ ） A. {2} B. {1，2，4} C. {1，2，4，6} D. {1，2，3，4，6} 【答案】 B 【考点】并集及其运算，交集及其运算 【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}， ∴（A ∪B ）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}． 故选：B ． 【分析】由并集定义先求出A ∪B ，再由交集定义能求出（A ∪B ）∩C ． 2.设x ∈R ，则“2﹣x≥0”是“|x ﹣1|≤1”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，绝对值不等式的解法 【解析】【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2， 由|x ﹣1|≤1得﹣1≤x ﹣1≤1， 得0≤x≤2． 则“2﹣x≥0”是“|x ﹣1|≤1”的必要不充分条件， 故选：B 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） A. 4 5 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 【答案】 C 【考点】古典概型及其概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫， 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔， 基本事件总数n= C 52 =10， 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m= C 11C 41 =4，
2021年高考天津卷数学真题含答案解析
2021年高考天津卷数学真题含答案解析 一、选择题（共9题） 1、设集合，则（） A ． B ． C ． D ． 2、已知，则“ ” 是“ ” 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不允分也不必要条件 3、函数的图像大致为（） A ． B ． C ． D ．
4、从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（） A ． B ． C ． D ． 5、设，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ． B ． C ． D ． 6、两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（） A ． B ． C ． D ． 7、若，则（） A ． B ． C ． 1 D ． 8、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若．则双曲线的离心率为（） A ． B ． C ． 2 D ． 3
9、设，函数，若在区间内恰有 6 个零点，则a 的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（共6题） 1、甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方 获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ____________ ，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为______________ ． 2、在边长为 1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点 E ．且交AC 于点 F , 则的值为 ____________ ；的最小值为 ____________ ． 3、是虚数单位，复数_____________ ． 4、在的展开式中，的系数是 __________ ． 5、若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ____________ ． 6、若，则的最小值为 ____________ ． 三、解答题（共5题） 1、在，角所对的边分别为，已知，．（ I ）求a 的值； （ II ）求的值；
2021年天津市高考数学试卷（理科）
2021年天津市高考数学试卷（理科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁R B）=（） A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2} 2．（5.00分）设变量x，y知足约束条件，则目标函数z=3x+5y 的最大值为（） A．6 B．19 C．21 D．45 3．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5.00分）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（） A．充分而没必要要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5.00分）已知a=log2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减 7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右核心且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离别离为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5.00分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B．C．D．3 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5.00分）i是虚数单位，复数=． 10．（5.00分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为． 11．（5.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心别离为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为． 12．（5.00分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数） 与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为． 13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．14．（5.00分）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f （x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是． 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解承诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.
