2020年高考数学试题(天津卷)及参考答案

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题目）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！

第I 卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：

如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．

一、选择题目：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则(

)U

A

B =（ ）

A. {3,3}-

B. {0,2}

C. {1,1}-

D. {3,2,1,1,3}---

2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.函数241

x

y x =

+的图象大致为（ ） A

B.

C. D.

4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：

[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零

件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）

A. 10

B. 18

C. 20

D. 36

5.若棱长为 ） A. 12π

B. 24π

C. 36π

D. 144π

6.设0.8

0.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭

，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A. a b c <<

B. b a c <<

C. b c a <<

D. c a b <<

7.设双曲线C 的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一

条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）

A. 22144

x y -=

B. 2

214

y x -=

C. 2214

x y -=

D. 221x y -=

8.已知函数()sin 3f x x π⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫

⎪⎝⎭

是()f x 的最大值；

③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3

π

个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．

其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③

C. ②③

D. ①②③

9.已知函数3,0,(),0.

x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x

k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围

是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫

-∞-+∞ ⎪⎝⎭

B. 1,(0,22)2⎛⎫

-∞- ⎪⎝⎭

C. (,0)

(0,22)-∞ D. (,0)

(22,)-∞+∞

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．

二、填空题目：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10.i 是虚数单位，复数

82i

i

-=+_________． 11.在5

22x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中，2x 的系数是_________．

12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．

13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1

2和13

．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

14.已知0,

0a b >>，且1ab =，则

11822a b a b

+++的最小值为_________． 15.如图，在四边形ABCD 中，60,

3B AB ︒∠==，6BC =，且3

,

2

AD BC AD AB λ=⋅=-，则实

数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭

的值．

17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E

分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,

AD CE M ==为棱11A B 的中点．

（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；

（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；

（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．

18.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原

点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．

19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：(

)2

*

21n n n S S S n ++<∈N

；

（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2

11

32,,,.n n

n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪

⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．

20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，

（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（ii ）求函数9

()()()g x f x f x x

'

=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k

-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有

()()()()

121212

2f x f x f x f x x x ''+->-．

的

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题目）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！

第I 卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：

如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．

一、选择题目：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则(

)U

A

B =（ ）

A. {3,3}-

B. {0,2}

C. {1,1}-

D. {3,2,1,1,3}---

【答案】C 【解析】 【分析】

首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：

{}U

2,1,1B =--，则(

){}U

1,1A

B =-.

故选：C.

【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】 【分析】

首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3.函数2

41

x

y x =

+的图象大致为（ ） A

B.

C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()2

41

x

f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，4

2011

y =

=>+，选项B 错误. 故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：

[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零

件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）

A. 10

B. 18

C. 20

D. 36

【答案】B 【解析】 【分析】

根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=， 则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=.

故选：B.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.

5.若棱长为 ） A. 12π B. 24π

C. 36π

D. 144π

【答案】C 【解析】 【分析】

求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即

3

R =

=，

所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.

故选：C.

【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

6.设0.8

0.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭

，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A. a b c <<

B. b a c <<

C. b c a <<

D. c a b <<

【答案】D 【解析】 【分析】

利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，

0.8

0.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭

，

0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，

所以1c a b <<<. 故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：

（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；

（3）借助于中间值，例如：0或1等.

7.设双曲线C 的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一

条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）

A. 22144

x y -=

B. 2

214

y x -=

C. 2214

x y -=

D. 221x y -=

【答案】D 【解析】 【分析】

由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1y

x b

+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±

，可得b b a -=-，1b

b a

-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1y

x b

+=，即直线的斜率为b -，

又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1b

b a -⨯=-，因为0,0a b >>，解得

1,1a b ==．

故选：D ．

【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，

属于基础题．

8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫

⎪⎝⎭

是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3

π

个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．

其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③

【答案】B 【解析】 【分析】

对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3

f x x π

=+

，所以周期22T π

πω

=

=，故①正确；

51()sin()sin 122362

f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π

个单位长度，得到sin()3

y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.

【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.

9.已知函数3,0,(),0.

x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2

()()2()g x f x kx x

k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围

是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫

-∞-+∞ ⎪⎝⎭

B. 1,(0,22)2⎛⎫

-∞- ⎪⎝⎭

C. (,0)(0,22)-∞

D. (,0)

(22,)-∞+∞

【答案】D 【解析】 【分析】

由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()

()||

f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.

【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()

|2|||

f x kx x -=

恰有3个实根

即可， 令()h x =

()||f x x ，即|2|y kx =-与()

()||

f x h x x =的图象有3个不同交点.

因为2,0

()()1,0

x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()

()||

f x h x x =

有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()

()||

f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y

x 相切时，联立方程得220x kx -+=，

令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.

故选：D.

【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．

二、填空题目：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10.i 是虚数单位，复数82i

i

-=+_________． 【答案】32i - 【解析】 【分析】

将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】

()()()()8281510322225

i i i i

i i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.

【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.

11.在5

22x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10

【解析】 【分析】

写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．

【详解】因为5

22x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5r

r r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．

所以2x 的系数为1

5210C ⨯=．

故答案为：10．

【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．

12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】

根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公

式||AB =，即可求得r ．

【详解】因为圆心()0,0

到直线80x -+=

的距离4d =

=，

由||AB =

可得6==5r ．

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．

13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1

2和13

．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

【答案】 (1). 16

(2). 23

【解析】 【分析】

根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11

,23

， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子概率为

111236

⨯=， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233

-⨯-=

， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23

. 故答案为：

16；23

. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 14.已知0,0a b >>，且1ab =，则

11822a b a b

+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为

8

2a b a b

+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】

0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,1188

2222ab ab a b a b a b a b

∴

++=++

++

842a b a b +=

+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 的

结合1ab =,

解得22a b =-=+

，或22a b =+=-. 故答案为：4

【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题. 15.如图，在四边形ABCD 中，60,

3B AB ︒∠==，6BC =，且3

,

2

AD BC AD AB λ=⋅=-，则实

数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．

【答案】 (1). 16 (2). 132

【解析】 【分析】

可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为

x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的

函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】

AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，

cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅

1363922λλ⎛⎫

=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭

，

解得1

6

λ=

， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，

的

()66,0BC C =∴，,

∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为32A ⎛

⎝,

∵又∵1

6AD BC =,则52D ⎛ ⎝，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），

5,2DM x ⎛=- ⎝，3,2DN x ⎛=- ⎝

，

()2

22

532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值13

2

. 故答案为：

16；

13

2

. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫

+

⎪⎝

⎭

的值．

【答案】（Ⅰ）4

C

π

；（Ⅱ）sin A =

；（Ⅲ）sin 24A π⎛⎫+=

⎪⎝

⎭. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；

（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】（Ⅰ）在ABC 中，由5,a b c ===

222

cos 2a b c C ab +-===

， 又因为(0,)C π∈，所以4

C

π

；

（Ⅱ）在ABC 中，由4

C

π

，a c ==

及正弦定理，可得

sin sin a C

A c

=

=

=

（Ⅲ）由a c <知角A

为锐角，由sin A =

cos A =

=， 进而2125

sin 22sin cos ,cos 22cos 11313

A A A A A ==

=-=，

所以125sin(2)sin 2cos

cos2sin

4

4

4

1313A A A π

π

π

+

=+=

+

=. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学

运算能力，是一道容易题.

17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E

分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,

AD CE M ==为棱11A B 的中点．

（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；

（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；

（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ

（Ⅲ

.

【解析】 【分析】

以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥；

（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.

【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、

()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .

（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--， 从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥； （Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，

()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．

设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，

则100

n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，

不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．

2cos ,2C CA n A C n

A n ⋅<>=

=

=⋅⨯， 230

sin ,1cos ,6CA

n CA n ∴<>=-<>=

． 所以，二面角1B B E D -- （Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．

由（Ⅱ）知()1,1,2n

=-为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,22AB n AB n AB

n

⋅<>=

=

=⋅．

所以，直线AB 与平面1DB E . 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

18.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原

点．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．

【答案】（Ⅰ）22

1

189

x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；

（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.

【详解】（Ⅰ）椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，

∴3b =，

由

OA OF =，得3c b ==，

的

又由222a b c =+，得2228313a =+=，

所以，椭圆的方程为22

1189

x y +=；

（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3

y kx ，即3y kx =-，

223

1189

y kx x y =-⎧⎪⎨+

=⎪⎩，消去y ，可得()

2221120k x kx +-=，解得0x =或2

1221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得2

2212632121

3k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫

- ⎪++⎝⎭

，

因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，

所以点P 的坐标为22

63,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭

， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，

所以，直线CP 的斜率为222

3

03

216261121

CP

k k k k k k --+=-+-+=，

又因为CP AB ⊥，所以2

3

1261

k k k ⋅

=--+， 整理得22310k k -+=，解得1

2

k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为1

32

y x =

-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.

19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：(

)2

*

21n n n S S S n ++<∈N

；

（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2

11

32,,,.n n

n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪

⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．

【答案】（Ⅰ）n a n =，1

2

n n

b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949

n n n n +--+⨯.

【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；

(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算

21

1

n

k k c

-=∑和

21

n

k

k c

=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.

【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，

又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2， 从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)

2

n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4

n n S S n n n n +=

+++，()()222

1

1124n S n n +=++， 从而2

211

(1)(2)02

n n n S S S n n ++-=-++<， 所以2

21n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n

奇数时，()1112

32(32)222(2)2n n n n n n

n n a b n c a a n n n n

-+-+--=

==-++，

为

2020年天津市高考数学试卷-解析版

2020年天津市高考数学试卷 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1.设全集U={?3,?2,?1,0，1，2，3}，集合A={?1,0，1，2}，B={?3,0，2，3}， 则A∩(?U B)=() A. {?3,3} B. {0,2} C. {?1,1} D. {?3,?2,?1,1，3} 2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数y=4x 的图象大致为() x2+1 A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[ 5.31,5.33)， [5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在 被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为() A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π )?0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为() 6.设a=30.7，b=(1 3 A. a

7. 设双曲线C 的方程为 x 2a 2 ? y 2b 2 =1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b) 的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A. x 24?y 2 4 =1 B. x 2?y 2 4 =1 C. x 2 4?y 2=1 D. x 2?y 2=1 8. 已知函数f(x)=sin(x +π 3).给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π 2)是f(x)的最大值； ③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π 3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0, ?x,x <0. 若函数g(x)=f(x)?|kx 2?2x|(k ∈R)恰有4个零点， 则k 的取值范围是( ) A. (?∞,?1 2)∪(2√2,+∞) B. (?∞,?1 2)∪(0,2√2) C. (?∞,0)∪(0,2√2) D. (?∞,0)∪(2√2,+∞) 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8?i 2+i =______． 11. 在(x +2 x 2)5的展开式中，x 2的系数是______． 12. 已知直线x ?√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6， 则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和1 3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ______． 14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则1 2a +1 2b +8 a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中， ∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ?????? =λBC ????? ，AD ?????? ?AB ????? =?3 2 ，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ??????? |=1，则DM ??????? ?DN ?????? 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分） 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值； (Ⅲ)求sin(2A +π 4)的值．

2020年天津卷数学高考试题及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式2 4πS R =，其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则( )U A B =∩ A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}--- 2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数2 41 x y x = +的图象大致为 A B C D

4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35), , [5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47)内的个数为 A ．10 B ．18 C ．20 D ．36 5．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π 6．设0.7 0.8 0.71 3,() ,log 0.83 a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线2 4y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的 一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 A ．22144x y -= B ．22 14y x -= C ．2 214 x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3 f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；

2020年天津市高考数学试卷-含详细解析

2020年天津市高考数学试卷 副标题 题号一二三总分 得分 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1.设全集U={?3,?2,?1,0，1，2，3}，集合A={?1,0，1，2}，B={?3,0，2，3}， 则A∩(?U B)=() A. {?3,3} B. {0,2} C. {?1,1} D. {?3,?2,?1,1，3} 2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数y=4x 的图象大致为() x2+1 A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[ 5.31,5.33)， [5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在 被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为() A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π

6. 设a =30.7，b =(1 3)?0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a 0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b) 的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A. x 24 ? y 24 =1 B. x 2? y 24 =1 C. x 24 ?y 2=1 D. x 2?y 2=1 8. 已知函数f(x)=sin(x +π 3).给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π 2 )是f(x)的最大值； ③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π 3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0, ?x,x <0. 若函数g(x)=f(x)?|kx 2?2x|(k ∈R)恰有4个零点， 则k 的取值范围是( ) A. (?∞,?1 2)∪(2√2,+∞) B. (?∞,?1 2)∪(0,2√2) C. (?∞,0)∪(0,2√2) D. (?∞,0)∪(2√2,+∞) 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8?i 2+i =______． 11. 在(x +2 x 2)5的展开式中，x 2的系数是______． 12. 已知直线x ?√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6， 则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和1 3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ______． 14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则1 2a +1 2b +8 a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中， ∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ?????? =λBC ????? ， AD ?????? ?AB ????? =?3 2，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ??????? |=1，则DM ??????? ?DN ?????? 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分） 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；

2020年天津卷数学高考试题(含答案)

2020年天津卷数学高考试题(含答案) 2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。在答卷前，考生需填写姓名、考生号、考场号和座位号，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生需将答案涂写在答题卡上，不得在试卷上作答。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： 如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)。 如果事件A与事件B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)。

球的表面积公式S=4πR，其中R表示球的半径。 1.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,0,1,2}，B={-3,0,2,3}，则A∩B={0,2}。 2.设a∈R，则“a>1”是“a>a的充分不必要条件”。 3.函数y=4x/(2x+1)的图象大致为下图中的CD线段。 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组： [5.31,5.33),[5.33,5.35),[5.35,5.37),[5.37,5.39),[5.39,5.41),[5.41,5.4 3),[5.43,5.45),[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为20个。 5.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为36π。 6.设a=3，b=0.7^(1/3)，c=log0.7(0.8)，则a>b>c。 7.已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在 x=2处有极值，则a<0. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，a3=7，则S10=55.

2020年天津高考数学试题及答案

2020年天津高考数学试题及答案 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式： ·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式2 4πS R =，其中R 表示球的半径． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则( )U A B =∩ A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}--- 2．设a ∈R ，则“1a >”是“2 a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数2 41 x y x = +的图象大致为 A B

C D 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35), , [5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47)内的个数为 A ．10 B ．18 C ．20 D ．36 5．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π 6．设0.7 0.8 0.71 3,() ,log 0.83 a b c -===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线2 4y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的

2020年高考真题——数学(天津卷) 含答案

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页． 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I 卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题,每小题5分,共45分． 参考公式: ·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式2 4S R π=，其中R 表示球的半径． 一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2}, {3,0,2,3}A B =-=-，则 ()U A B =∩( ） A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}---

2．设a ∈R ，则“1a >”是“2 a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．函数2 41 x y x = +的图象大致为( ） A ． B ． C ． D ． 4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ）,将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频 率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个 数为（ ） A ．10 B ．18 C ．20 D ．36 5．若棱长为3为（ )

2020年天津市高考数学试卷(有详细解析)

2020年天津市高考数学试卷 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}， 则A∩(∁U B)=() A. {−3,3} B. {0,2} C. {−1,1} D. {−3,−2,−1,1，3} 2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数y=4x 的图象大致为() x2+1 A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[ 5.31,5.33)， [5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在 被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为() A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A. 12π B. 24π C. 36π D. 144π 6. 设a =30.7，b =(1 3)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a 0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A. x 24−y 2 4 =1 B. x 2−y 2 4 =1 C. x 2 4−y 2=1 D. x 2−y 2=1 8. 已知函数f(x)=sin(x +π 3).给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π 2)是f(x)的最大值； ③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π 3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0, −x,x <0. 若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点， 则k 的取值范围是( ) A. (−∞,−1 2)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−1 2)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2) D. (−∞,0)∪(2√2,+∞) 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i 2+i =______． 11. 在(x +2 x 2)5的展开式中，x 2的系数是______． 12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6， 则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为1 2和1 3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______． 14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则1 2a +1 2b +8 a+b 的最小值为______．

2020年高考真题(天津卷)数学试题

2020年高考真题（天津卷）数学试题.设全集，集合，则（） A. {－3,3} B. {0,2} C. {－1,1} D. {－3,－2,－1,1,3} 【答案解析】C 【分析】 首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：，则. 故选：C. 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 设，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案解析】A 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 函数的图象大致为（）

A B. C. D. 【答案解析】A 【分析】 由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（） A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 【答案解析】B 【分析】 根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，

2020年天津市高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2020年天津市高考数学试卷 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2}A =-，{3,0,2,3}B =-，则()(U A B = ) A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}--- 2．（5分）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（5分）函数241 x y x = +的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ． 4．（5分）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)， ⋯，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43,5.47)内的个数为( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．36 5．（5分）若棱长为3( ) A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π

6．（5分）设0.73a =，0.81 ()3 b -=，0.7log 0.8 c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c a b << 7．（5分）设双曲线C 的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( ) A ．22 144 x y -= B ．22 14y x -= C ．2 214x y -= D ．221x y -= 8．（5分）已知函数()sin()3 f x x π =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()2 f π 是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3 π 个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 9．（5分）已知函数3,0, (),0x x f x x x ⎧=⎨-<⋅ ⎩若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =--∈恰有4个零点，则k 的取值范围 是( ) A ．1 (,) (22,)2 -∞-+∞ B ．1 (,) (0,22)2 -∞- C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0) (22,)-∞+∞ 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．（5分）i 是虚数单位，复数82i i -=+ ． 11．（5分）在5 22()x x + 的展开式中，2x 的系数是 ． 12．（5分）已知直线80x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点．若||6AB =，则r 的值为 ． 13．（5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ． 14．（5分）已知0a >，0b >，且1ab =，则 118 22a b a b ++ +的最小值为 ． 15．（5分）如图，在四边形ABCD 中，60B ∠=︒，3AB =，6BC =，且AD BC λ=，3 2 AD AB =-，则实 数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN 的最小值为 ．