专升本高等数学(二)笔记大全

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数:

⎩⎨

⎧∈∈=2

1)

()(D x x g D x x f y

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1

(y)

y=f -1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),

则称f(x)在D 内单调增加( )；

若f(x 1)≥f(x 2),

则称f(x)在D 内单调减少( )；

若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )；

若f(x 1)＞f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数

4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数

1.常数函数： y=c ， (c 为常数)

2.幂函数： y=x n

, (n 为实数)

3.指数函数： y=a x

, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x

6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数

1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] , x ∈X

2.初等函数:

由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数

§1.2 极 限

一、 主要内容 ㈠极限的概念

1. 数列的极限:

A y n n =∞

→lim

称数列

{}n y 以常数A 为极限;

或称数列{}

n y 收敛于A.

定理: 若

{}

n y 的极限存在

⇒{}n

y 必定有界.

2.函数的极限： ⑴当

∞→x 时，)(x f 的极限：

A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭

⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当

0x x →时，)(x f 的极限：

A x f x x

=→)(lim 0

左极限：

A x f x x =-

→)(lim 0

右极限：

A x f x x =+

→)(lim 0

⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x

x ==⇔=+

-→→→)(lim )(lim )(lim 0

㈡无穷大量和无穷小量

1． 无穷大量：

+∞=)(lim x f 称在该变化过程中

)(x f 为无穷大量。

X 再某个变化过程是指：

,,,∞→+∞→-∞→x x x 00

,,x x x x x x →→→+-

2．

无穷小量：

0)(lim =x f

称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。

3．

无穷大量与无穷小量的关系：

定理：)0)((,)

(1

lim

0)(lim ≠+∞=⇔=x f x f x f

4． 无穷小量的比较：

0lim ,0lim ==βα

⑴若0lim =α

β

,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若c =α

β

lim

（c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若1lim =αβ

，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α； ⑷若∞=α

β

lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。 定理：若：；，2211

~~βαβα

则：

212

1

lim

lim ββαα=

㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：

设：n n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）

且：

a z y n n n n ==∞

→∞

→lim lim

则： a x n n =∞→lim

2．

函数极限存在的判定准则：

设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：

)()()(x h x f x g ≤≤

且：A x h x g x x x

x ==→→)(lim )(lim 0

则：A x f x

x =→)(lim 0

㈣极限的运算规则

若：

B x v A x u ==)(lim ,)(lim

则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[

②

B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[

③B

A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((l i m ≠x v

推论：①

)]()()(lim[21x u x u x u n ±±±

)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=

②

)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅ ③n

n

x u x u )]

([lim )](lim[=

㈤两个重要极限

1．1sin lim 0=→x

x

x 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e x

x

x =+∞→)11(lim e x x x =+→1

0)1(l i m §1.3 连续

一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性

1. 函数在

0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，

1o

0)]()([lim lim 000

=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x

2o )()(lim 00

x f x f x

x =→

左连续：

)()(lim 00

x f x f x x =-→

右连续：)()(lim 00

x f x f x x =+

→

2. 函数在

0x 处连续的必要条件：

定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在

3. 函数在

0x 处连续的充要条件：

定理：)()(lim )(lim )()(lim 000

x f x f x f x f x f x x x x x

x ==⇔=+

-→→→

4. 函数在[]

b a ,上连续：

)(x f 在[]b a ,上每一点都连续。

在端点a 和b 连续是指：

)()(lim a f x f a

x =+

→ 左端点右连续；

)()(l i m b f x f b x =-

→ 右端点左连续。

a

0 b x 5. 函数的间断点：

若

)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。

间断点有三种情况：

1o

)(x f

在

0x 处无定义；

2o )(lim 0x f x

x →不存在；

3o

)(x f

在

0x 处有定义，且)(lim 0

x f x

x →存在， 但)()(lim 00

x f x f x

x ≠→。

两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：

特点：)(lim 0

x f x x -→和

)(lim 0

x f x x +→都存在。

可去间断点：)(lim 0

x f x x →存在，但

)()(lim 00

x f x f x x ≠→，或

)(x f

在

0x 处无定义。

2o 第二类间断点：

特点：)(lim 0

x f x x -

→和)(lim 0

x f x x +

→至少有一个为∞，

或)(lim 0

x f x

x →振荡不存在。

无穷间断点：)(lim 0

x f x x -

→和)(lim 0

x f x x +→至少有一个为∞

㈡函数在0x 处连续的性质

1.

连续函数的四则运算：

设)()(lim 00

x f x f x x =→，)()(lim 00

x g x g x x =→

1o )()()]()([lim 000

x g x f x g x f x

x ±=±→

2o )()()]()([lim 000

x g x f x g x f x

x ⋅=⋅→

3o )

()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0

x g x x 2.

复合函数的连续性：

)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===

)]([)(lim ),

()(lim 0)

(000

x f u f x x x u x

x ϕϕϕϕ==→→

则：)]([)](lim [)]([lim 00

x f x f x f x x x

x ϕϕϕ==→→

3. 反函数的连续性：

)(),

(),(001x f y x f x x f y ===-

)()(l i m )()(l i m 01

100

y f

y f x f x f y y x x --→→=⇔=

㈢函数在],[b a 上连续的性质 1.最大值与最小值定理：

)(x f 在],[b a 上连续

在]

,[b a 上一定存在最大值与最小值。

x

2. 有界定理：

)(x f 在],[b a 上连续

⇒)

(x f 在

],[b a 上一定有界。

3.介值定理：

)(x f 在],[b a 上连续⇒在),(b a 内至少存在一点

ξ，使得：c f =)(ξ，

其中：M

c m ≤≤

y

x

12

x

推论：

)

(x

f

在

]

,

[b

a

上连续，且

)

(a

f

与

)

(b

f

异号

⇒在),(b a内至少存在一点ξ，使得：0

)

(=

ξ

f

。

4.初等函数的连续性：

初等函数在其定域区间内都是连续的。

第二章一元函数微分学

§2.1 导数与微分

一、主要内容

㈠导数的概念

1．导数：

)

(x

f

y=在0x的某个邻域内有定义，

x

x

f

x

x

f

x

y

x

x∆

-

∆

+

=

∆

∆

→

∆

→

∆

)

(

)

(

l i m

l i m0

)

(

)

(

lim

0x

x

x

f

x

f

x

x-

-

=

→

)

(

0x

x

x

x dx

dy

x

f

y

=

=

=

'

=

'

2．左导数：

)

(

)

(

lim

)

(

0x

x

x

f

x

f

x

f

x

x-

-

=

'

-

→

-

右导数：

00)

()(lim )(0

x x x f x f x f x x --='+

→+

定理：

)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在

其内可导，且极限存在；

则：

)(lim )(0

0x f x f x x '='-

→-

（或：

)(lim )(0

0x f x f x x '='+

→+）

3.函数可导的必要条件： 定理：

)(x f 在0x 处可导

⇒

)(x f 在0x 处连续

4. 函数可导的充要条件： 定理：

)(00

x f y x x '='

=存在)()(00x f x f +-'='⇒，

且存在。 5.导函数：

),(x f y '=' ),(b a x ∈

)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f '

6.导数的几何性质：

y ∆

)(0x f '

是曲线

)(x f y =上点 x ∆

()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0

㈡求导法则

1.基本求导公式：

2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（

2o

v u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（

3o 2v v u v u v u '

⋅-⋅'='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛

)0(≠v

3.复合函数的导数：

)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===

dx

du du dy dx dy ⋅=，或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：

})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；

)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。

4.高阶导数：)(),(),

()3(x f x f x f 或'''''

)4,3,2(,])([)()1()( ='=-n x f x f n n

函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：)(x f 在x 的某个邻域内有定义，

)()(x o x x A y ∆+∆⋅=∆

其中：

)(x A 与x

∆无关，

)(x o ∆是比x ∆较高

阶的无穷小量，即：0)

(l i m 0=∆∆→∆x

x o x 则称)(x f y =在x 处可微，记作：

x x A dy ∆=)(

dx x A dy )(= )0(→∆x

2.导数与微分的等价关系：

定理：

)(x f

在

x 处可微)(x f ⇒在x 处可导，

且：

)()(x A x f ='

3.微分形式不变性：

du u f dy )('=

不论u 是自变量，还是中间变量，函数的 微分

dy 都具有相同的形式。

§2.2 中值定理及导数的应用

一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理:

)(x f 满足条件:

.0)(,),().()(3;),(2],[10.0.

0.='⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫=ξξf b a b f a f b a b a 使得存在一点内至少在内可导在上连续；在

o

2.

a

b a f b f f b a b a b a --=

'⇒⎭⎬⎫)

()()(),(),(2],[10

ξξ，使得：

在一点内至少存在内可导；

在上连续，在

㈡罗必塔法则：（∞

∞

,0

0 型未定式）

定理：

)(x f 和)(x g 满足条件：

1

o ）

或）

或∞=∞=→→(0

)(lim (0)(lim x g x f a

x a

x ；

2o 在点a 的某个邻域内可导，且

0)(≠'x g ；

3o

）（或∞=''∞→,)

()(lim )(A x g x f a x 则：）（或∞=''=∞→∞→,)

()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x

☆注意：1o

法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。

2o

若不满足法则的条件，不能使用法则。

即不是

型或

∞∞型时，不可求导。

3o

应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。

4o

若

)(x f '和)(x g '还满足法则的条件，

可以继续使用法则，即：

）（或∞=''''=''=∞→∞→∞→A x g x f x g x f x g x f a x a x a x )

()(lim )()(lim )()(lim )()()( 5o

若函数是

∞-∞∞⋅,0型可采用代数变

形，化成

或∞

∞

型；若是

0,0,1∞

∞型可

采用对数或指数变形，化成

或∞

∞型。

㈢导数的应用

1． 切线方程和法线方程：

设：

),(),(00y x M x f y =

切线方程：

))((000x x x f y y -'=-

法线方程：

)0)((),()

(1

0000≠'-'-=-x f x x x f y y

2． 曲线的单调性： ⑴

),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ⇒

),(0)(b a x x f ∈≤'内单调减少在),()(b a x f ⇒

⑵),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ⇒

),(0)(b a x x f ∈<'内严格单调减少

在),(b a ⇒ 3.函数的极值： ⑴极值的定义：

设

)(x f 在),(b a 内有定义，0x 是),(b a 内的一点；

若对于0x 的某个邻域内的任意点

0x x ≠，都有：

)]()()[()(00x f x f x f x f ≤≥或

则称

)(0x f 是)(x f 的一个极大值（或极小值）

，

称0x 为)(x f 的极大值点（或极小值点）。

⑵极值存在的必要条件：

定理：

0)()(.2)()(.1000

00=⇒⎭

⎬⎫

'x f x f x f x f 存在。存在极值

x 称为

)

(x f 的驻点

⑶极值存在的充分条件： 定理一：

是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在0000000

00)()(.3)(0)(.2)(.1x x f x x f x f x f x x f ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

''=' 当

x

渐增通过

x 时，

)(x f 由（+）变（-）

；

则

)(0x f 为极大值；

当

x

渐增通过0x 时，)(x f 由（-）变（+）；则)(0x f 为极小值。

定理二：

是极值点。是极值；存在。；0000

00

)()(.20)(.1x x f x f x f ⇒⎭

⎬⎫

''='

若

0)(0<''x f ，则)(0x f 为极大值；

若

0)(0>''x f ，则)(0x f 为极小值。

☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。

4．曲线的凹向及拐点：

⑴若

()b a x x f ,,0)(∈>''；则)(x f 在),(b a 内是上凹的（或凹的）

，（∪）；

⑵若

()b a x x f ,,0)(∈<''；则)(x f 在),(b a 内是下凹的（或凸的），（∩）；

⑶

()的拐点。

为称时变号。过，)()(,)(.20)(.10000

00x f x f x x x f x f ⇒⎭⎬⎫

''=''

5。曲线的渐近线：

⑴水平渐近线：

的水平渐近线。

是或若)()(l i m )(l i m x f A y A x f A x f x x =⇒⎪⎭⎪⎬⎫==+∞→-∞

→

⑵铅直渐近线：

的铅直渐近线。

是或若)()(lim )(lim x f C x x f x f C x C

x =⇒⎪⎭⎪⎬⎫∞=∞=+-→→

第三章 一元函数积分学

§3.1 不定积分 一、主要内容

㈠重要的概念及性质： 1．原函数：设：D x x F x f ∈),(),(

若：

)()(x f x F ='

则称

)(x F 是)(x f 的一个原函数，

并称

C x F +)(是)(x f 的所有原函数,

其中C 是任意常数。

2．不定积分： 函数

)(x f 的所有原函数的全体，

称为函数)(x f 的不定积分；记作：

⎰

+=C

x F dx x f )()(

其中：

)(x f 称为被积函数；

dx x f )(称为被积表达式；

x

称为积分变量。

3. 不定积分的性质： ⑴

[])

()(x f dx x f ='

⎰

或：

[]dx

x f dx x f d

)()(=⎰

⑵

C x f dx x f +=

'⎰)()(

或：

C x f x df +=

⎰)()(

⑶

⎰+++dx x f x f

x f n )]()()([2

1

⎰⎰⎰+++=dx x f dx x f dx x f n )()()(21

—分项积分法 ⑷

⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 为非零常数)

4.基本积分公式： ㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）

⎰'dx

x x f )()]([ϕϕ⎰⇑

=)()]([x d x f ϕϕ凑微元

C t F dt t f x t +==⎰⇑

=)()()

(ϕ令

C x F x t +=⇑

=)]([)

(ϕϕ回代

常用的凑微元函数有：

1o )(1

)(1b ax d a

ax d a dx +== )0,(≠a b a 为常数， 2o

)()

1(11111

b ax d m a dx m dx x m m m

++=+=++

为常数）（m

3

o )(1)(b ae d a

e d dx e x x

x

+==

)1,0(),(ln 1≠>=a a a d a

dx a x

x

4o )(ln 1

x d dx x

= 5o )(sin cos )(cos sin x d xdx x d dx =-=

)(c o t c s c )(t a n s e c 2

2x d xdx x d xdx -==

6o

)(arccos )(arcsin 112

x d x d dx x

-==-

)o t ()(a r c t a n 11

2

x a r c d x d dx x

-==+ 2.第二换元法：

⎰⎰⇑

==)

()]([)()

(t d t f dx

x f t x ϕϕϕ令

⎰+='=C t F dx t f t )()]([)(ϕϕ

C

x F x t +=-=⇑

-)]([1)

(1

ϕϕ

反代

第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，

其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o

0,,>=t n t x n 为偶数时

(当被积函数中有n

x 时)

2o

20),cos (,sin π≤≤==t x a x t a x 或

(当被积函数中有2

2x a -时)

3o

)0(,0),cot (,tan 22ππ≤<<≤==t t t a x t a x 或

(当被积函数中有2

2x a +时)

4o

)0(,0),csc (,sec 22π

π≤<<≤==t t t a x t a x 或

(当被积函数中有2

2a

x -时)

㈢分部积分法： 1. 分部积分公式：

⇓

⇑

⎰⎰⎰⎰⋅'-⋅='⋅-⋅=v d x

u v u dx v u vdu

v u udv

2.分部积分法主要针对的类型： ⑴

⎰⎰xdx x P xdx x P cos )(,sin )(

⑵⎰

dx e x P x

)( ⑶

⎰xdx x P ln )(

⑷

⎰⎰xdx x P xdx x P arccos )(,arcsin )(

⎰⎰xdx arc x P xdx x P cot )(,arctan )(

⑸

⎰⎰bxdx

e

bxdx e

ax

ax

cos ,

sin

其中：n n n a x a x a x P +++=- 11

0)( （多项式） 3.选u 规律：

⑴在三角函数乘多项式中，令

u x P =)(，

其余记作dv;简称“三多选多”。 ⑵在指数函数乘多项式中，令

u x P =)(，

其余记作dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令

u x =ln ，

其余记作dv;简称“多对选对”。

⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数 为u ，其余记作dv;简称“多反选反”。

⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数 为u ，其余记作dv;简称“指三任选”。 ㈣简单有理函数积分： 1. 有理函数：

)

()

()(x Q x P x f =

其中

)()(x Q x P 和是多项式。

2. 简单有理函数： ⑴

2

1)

()(,

1)

()(x x P x f x

x P x f +=

+=

⑵

))(()

()(b x a x x P x f ++=

⑶

b a x x P x f ++=

2)()

()(

§3.2定积分 f(x)

一． 主要内容 （一）.重要概念与性质

1. 定积分的定义： O a x 1 x 2 x i-1 ξi x i x n-1 b x

[]i i i b

a

n

i i

i n x x x x f dx x f ,)()(11

0lim -=∞

→→∆∈∆=⎰

∑ξξ

定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于x 轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。 x 轴上方的面积取正号， y

x 轴下方的面积取负号。 + +

a 0 -

b x 2. 定积分存在定理：

[]b a x x f y ,)(∈=设：

若：f(x)满足下列条件之一:

[][];

,)(.2;

,)(.1点上有有限个第一类间断在连续，b a x f b a x x f

∈

[][]上可积。

在则：上单调有界在b a x f b a x f ,)(;,)(.3

若积分存在，则积分值与以下因素无关：[][][]

上任意选取。

可以在的选

取无关，即与点可以任意划分上的划分无关，即与在即与积分变量形式无关，i i i i b

a

b

a

x x b a b a dt t f dx x f ,13;

,,2;

)()(1-⎰

⎰=

ξξ

有关。与区间积分值仅与被积函数],[)(b a x f

3.

牛顿——莱布尼兹公式：

[])()()()(,)()(a F b F x F dx x f b a x f x F b

a b

a

-==⎰则：上的任意一个原函数：

在是连续函数若*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心

定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。 4. 原函数存在定理：

[][]

)

())(()(],[)()(,,

)()(,

,)(x f dt t f x b a x f x b a x dt t f x b a x x f x

a

x

a

='='∈=

∈⎰⎰

ϕϕϕ且：上的一个原函数，

在是则：连续，若

5. 定积分的性质：

上可积，则在设],[)(),(b a x g x f

⎰⎰

=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()(1

⎰⎰

-=a b

b

a

dx x f dx x f )()(2

[]0

)(4

)()()()(3=±=±⎰

⎰⎰⎰dx x f dx

x g dx x f dx x g x f a

a

b

a

b a

b a

)()()()(5

b c a dx x f dx x f x f b

c

c

a

b

a

<<+=⎰⎰⎰

a b dx b

a

-=⎰16

y

b x

dx

x g dx x f b x a x g x f b

a

b

a

⎰⎰≤≤≤≤)()()(),()(7则

[]上的最小值和最大值。

在分别为其中估值定理：

b a x f M m a b M dx x f a b m b

a

,)(,)

()()(8-≤≤-⎰

y

m

0 b

[][])

()()(,,,,)(9a b f dx x f b a b a x x f b

a -⋅=∈∈⎰ξξ使则：必存在一点连续若积分中值定理：

（二）定积分的计算： 1. 换元积分

)(],[)(t x b a x x f ϕ=∈，连续，设

[],,)(βαϕ∈'t t 连续，若

,

)(,)(,)(b a b a t t ==βϕαϕϕβα变到单调地从时，变到从且当 []dt t t f dx x f b a

)()()(ϕϕβ

α

'⋅=⎰⎰则：

2. 分部积分

⎰⎰

-⋅=b

a

b

a b

a

v d u

v u u d v 3. 广义积分

⎰

⎰

⎰

+∞

∞

-+∞∞

-+=0

)()()(dx x f dx x f dx x f

完整版)专升本高等数学知识点汇总

完整版)专升本高等数学知识点汇总 常用的高等数学知识点汇总如下： 一、常见函数的定义域总结如下： 1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。 2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0. 3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0. 4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0. 二、函数的性质 1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D： 1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。

2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行 于x轴的直线。 2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。它的定义域随着u的不 同而不同。图形过原点。 3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。图形过(0,1)点。 4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0， a≠1)。图形过(1,0)点。 5、三角函数： 1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。 2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。 3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。 4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。

专升本高等数学(二)笔记大全

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ⎩⎨ ⎧∈∈=2 1) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数

2021年成考专升本高等数学二重点及解析精简版

高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右） I 、函数、极限 一、 基本初等函数（又称简朴函数）： （1）常值函数：y = c （2）幕函数：y = （3）指数函数：y = / （“〉0,且d H 1） （4） 对数函数：y = \og a x （u ） 0,且oHl ） （5） 三角函数：y = sin x > y = cosx> y = tanx » y = cot x （6） 反三角 函数：y = arcsin x, y = arccosx> y = arctan x» y = arc cot x 二、 复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。 例如：|y = lncosx 是由y = ln“ , u = cosx 这两个个简朴函数复合而成. 例如：|y = arctan e'x 是由y = arctan u > u = e 和y = 3x 这三个简朴函数复合而成. 该某些是背而求导核心！ 三、 极限计算 1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代 入到函数表 达式中，函数值即是极限值，即lim/（x ） = /（x 0）. XT 心 注意：（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC = C o （2）该办法使用前提是当x->x 0时候，而xts 时则不能用此办法。 例lim 4 = 4, lim-3 = -3, Iimlg2 = lg2, lim/r = /r, ------ A —»-X A —>-l .TfX J 〜 丸 •1弋 2.未定式极限运算法 （1）对于+未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是 极限值。 x 2 +3x-l ~x+i 02+3>0-l _ o+i- 丽^1曲空41k 空—1 ------- 22 X-l 2-1 （非特殊角三角函数值不用讣算出来） ini

完整版专升本高等数学知识点汇总

完整版专升本高等数学知识点汇总 高等数学是专升本考试的重点科目之一，其课程内容包括微积分、数学分析、线性代数、概率论、数值计算等多方面的知识。以下就是完整版的专升本高等数学知识点汇总： 一、微积分 （一）函数的极限和连续性 1. 函数极限的定义和计算方法 2. 充分条件和必要条件等述和运用 3. 连续函数的概念和性质 4. 零点定理、介值定理、最大值最小值定理 5. 导数和微分 6. 黎曼和与积分 （二）微分方程 1. 基本概念和解的存在唯一性定理 2. 分离变量法、齐次方程、线性方程和二阶线性齐次方程 3. 变量分离法、常系数齐次线性微分方程和欧拉公式 （三）多元函数微积分 1. 偏导数、全微分、隐函数定理和函数极值 2. 二元函数定积分和变量替换法 3. 重积分、累次积分和极坐标下的重积分 （四）级数 1. 序列极限、级数部分和的极限和级数收敛的定义 2. 正项级数收敛判别法和比较判别法

3. 极限比值法、根值法、阿贝尔定理和绝对收敛 二、线性代数 （一）行列式 1. 行列式的定义、性质和元素和运算 2. 克拉默法则和余子式、代数余子式的定义 3. 行列式的计算和逆阵的求法 （二）矩阵 1. 矩阵的定义和性质 2. 矩阵的运算：加法、数乘、乘法 3. 矩阵的逆和伴随矩阵 4. 线性方程组的解法：高斯消元法、初等变换法、矩阵法 （三）向量空间 1. 向量空间的定义和性质 2. 线性无关、线性相关、秩和基础矩阵 3. 子空间、直和空间、坐标系 （四）特征值和特征向量 1. 特征值的定义、性质和计算 2. 特征向量的定义和寻找 3. 对角矩阵和相似变换 三、概率论 （一）随机事件和随机变量 1. 随机事件和概率的定义和性质 2. 条件概率和乘法公式 3. 随机变量的定义、分布函数和密度函数 （二）随机变量的分布 1. 常见离散型分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布

2020专升本高数二知识点总结 (2)

2019年专升本高数知识点+技巧 （一）概率论 1.事件发生的概率 事件的概率在2014，2019年出一道大题，2013，2014，2017年出选择，2016年出填空题。 ①对立事件 例如箱子里有5个球，三个白球两个黑球，抓到白球的概率是3/5，黑球的概率是2/5，这两个概率相加是1，抓到黑球我们也可以理解为抓到的不是白球的概率，那么就是一个事件发生的概率与一个事件不发生的概率加在一起就是1. ②独立事件 事件A 概率的发生对事件B 概率的发生没有影响，事件A 、B 相互独立，叫独立事件。例如，第一次掷骰子5点的概率，第二次5点的概率，两次掷骰子会得到5点的概率相互没有影响，各自独立。独立事件概率用两个事件的自己发生概率相乘计算)()(B P A P 。 独立事件一般和对立事件结合出题，例如设事件A ，B 相互独立，A ，B 发生的概率分别为0.6,0.9，A ，B 都不发生的概率，那么先看A 和B 分别不发生的概率是多少，A 发生的概率是0.6，A 不发生的概率就是1-0.6=0.4，B 发生的概率是0.9， B 不发生的概率就是1-0.9=0.1，那么A ，B 都不发生的概率就是A 不发生的概率0.4乘以B 不发生的概率0.1×0.4=0.04。 ③条件事件（非独立事件） 假设要第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率，3个白球2个黑球，那么第一次抓到白球还是3/5，那么第二次抓到黑球呢？因为已经抓走了一个球，那么此时箱子里的球就是一共有4个球，其中2个黑球，抓到黑球的概率就是2/4=1/2，求第这两件事同时发生的概率用乘法，所以第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率就是3/5×1/2=3/10. 应试指导：对立事件2016年出选择题，重点记住对立事件概率相加为1。独立事件2013，2014，2017年考查选择题，独立事件概率用两个事件各自发生概率相乘计算。条件事件2014年出大题，条件发生的概率乘以事件发生的概率就是条件事件发生的概率。综合来看，每年都会出一道概率题目（2015年没出），其中最常考查的是独立事件和对立事件结合出题，计算都是简单的计算，选择题还有选项可以参考，还是很容易拿分的，同学们一定要好好把握。 2. 离散型随机变量 T ：除了2014，2019年大题查考的是事件概率，2013，2015，2016，2017大题考查的内容都是随机变量。随机变量举例来解释，假设事件A 为一个选手射箭，其必能射中八环及以上，对他射箭进行统计，统计出他射中8环的概率为0.3，9环的概率为0.2,10环的概率为0.5.可以下列出表格表述此事件的概率分布，随机变量就是指射中的环数（8，9，10） ，虽然射中8环及以上是必然，但是具体射中8，9，10环是不确定的，所以叫做随机变量，用X 来表示，因为射中8环及以上是必然事件，那么概率P 加在一起就是1。

专升本高等数学二笔记公式大全

第一章极限和连续第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要 求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了 解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法 则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小 量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行 无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。 会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函 数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判 断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明 一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利 用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与 连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及 复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段 函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导 数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和 可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、 “∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单 调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明 简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极 值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单 的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握 不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元 法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可 积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上 限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算 方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面 积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的 体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。 了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌 握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数 的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的 求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单 的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基 本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、 互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的 意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本 性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及 事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握 概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准 差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要求）。 会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数 在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法 则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小 量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行 无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。 会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n }，数列中每 一个数称为数列的项，第n项x n 为数列的一般项 或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3）（递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n，都有一个x n 与之对应，所 以说数列{x n }可看作自变量n的函数x n =f（n）， 它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取 1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数 列。 在几何上，数列{x n }可看作数轴上的一个动点， 它依次取数轴上的点x 1, x 2 ,x 3 , (x) n,… 。 2.数列的极限 定义对于数列{x n }，如果当n→∞时，x n 无限地趋 于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时， 数列{x n }以常数A为极限，或称数列收敛于A，记 作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n }，如果当n→∞时，x n 不是无 限地趋于一个确定的常数，称数列{x n }没有极限， 如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A及数列的项 依次用数轴上的点表示，若数列{x n } 以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x n 可 以无限靠近点A，即点x n 与点A之间的距离|x n -A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n }收敛，则其极限值 必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n }收敛，则它必定有 界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界 数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满 足以下条件： （1）， （2），则 定理1.4若数列{x n }单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x→x 时函数f（x）的极限 （1）当x→x 时f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x 时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当 x→x 时，函数f（x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→x 时） 例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1 x>1x→1 （2）左极限 当x→x 时f（x）的左极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x 的左边无 限地趋于x 时，函数f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当x→x 时，函数f（x）的左极限是A， 记作 或f（x -0）=A （3）右极限 当x→x 时，f（x）的右极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x 的右边无 限地趋于x 时，函数f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当x→x 时，函数f（x）的右极限是A， 记作 或f（x +0）=A 例子：分段函数 ，求， 解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限 地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的 左极限是1，即有 当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地 趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右 极限是-1，即有 显然，函数的左极限右极限与 函数的极限之间有以下关系： 定理1.6当x→x 时，函数f（x）的极限等于A 的必要充分条件是 反之，如果左、右极限都等于A，则必有 。 x→1时f(x)→? x≠1 x→1f(x)→2 对于函数，当x→1时，f（x） 的左极限是2，右极限也是2。 2.当x→∞时，函数f（x）的极限 （1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1 定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f （x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→∞时） （2）当x→+∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数 f（x）的极限是A，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极 限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义 中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是 正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？ x→+∞，f(x)=2+→2 例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+， x→+∞，f（x）=2+→2 所以 （3）当x→-∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x） 的极限是A，记作 x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2 例：函数，当x→-∞时，f （x）→？ 解：当x→-∞时，-x→+∞ →2，即有 由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x） 极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限 是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函 数f（x）有相同的极限A。 例如函数，当x→-∞时，f（x）无限 地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋 于同一个常数1，因此称当x→∞时的 极限是1，记作 其几何意义如图3所示。 f(x)=1+ y=arctanx 不存在。 但是对函数y=arctanx来讲，因为有 即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+ ∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相 同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限 不存在。 x)=1+

高等数学二专升本教材讲解

高等数学二专升本教材讲解 高等数学二是专升本考试中的一门重要科目，为了帮助准备参加专 升本考试的考生更好地掌握该科目的知识，本文将对高等数学二的教 材进行详细讲解。 第一章：多元函数微分学 1.1 隐函数与多元函数的导数 在高等数学二的多元函数微分学中，我们首先学习了隐函数与多元 函数的导数。隐函数的求导是一项重要的技巧，我们需要通过求偏导 数的方法来确定隐函数的导数。在具体的计算过程中，我们需要运用 链式法则和隐函数定理等概念。 1.2 多元函数的微分和全微分 多元函数的微分和全微分是高等数学二中的核心内容。通过多元函 数的微分和全微分，我们可以更好地理解多元函数的变化规律和性质。在计算全微分时，我们需要运用到偏导数，以及导数在计算微分中的 应用。 1.3 复合函数的导数 复合函数的导数在高等数学二的多元函数微分学中也是一项重要的 内容。我们需要通过链式法则和复合函数的求导法则来计算复合函数 的导数。此外，还需掌握常见的复合函数导数计算方法，如指数函数、对数函数和三角函数等。

第二章：多元函数积分学 2.1 重积分 重积分是高等数学二中的重要概念，其主要应用于多元函数的积分。我们需要学习二重积分和三重积分的计算方法，并了解其几何意义。 此外，还需掌握重积分在求取平均值、质心和质量等方面的应用。 2.2 曲线、曲面积分 曲线积分和曲面积分是高等数学二中的重要知识点，对于多元函数 的积分具有重要的意义。我们需要学习曲线积分和曲面积分的计算方法，并了解其几何意义和物理应用。 2.3 用重积分计算物理量 在高等数学二的多元函数积分学中，我们还需要运用重积分来计算 物理量。通过建立积分与物理问题之间的联系，我们可以更好地理解 和运用重积分的概念和方法。 第三章：无穷级数 3.1 数项级数 数项级数是高等数学二中关键的内容，我们需要学习数项级数的收 敛性和敛散性判别方法。掌握级数的概念和应用，对于解决实际问题 具有重要的意义。 3.2 幂级数

专升本高等数学知识点总结

专升本高等数学知识点总结 高等数学作为专升本考试的一门重要科目，需要掌握的知识点相对较多。下面是对高等数学知识点的详细总结。 一、函数与极限 1.函数概念与性质：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等。 2.函数的常用性质：函数的画像、函数的基本性质、函数的运算、函数的反函数、函数的复合、函数的比较等。 3.极限的概念：极限的定义、左极限、右极限、无穷极限、函数极限等。 4.极限的性质：极限的唯一性、夹逼准则、极限的四则运算、函数极限法则等。 5.无穷小与无穷大：无穷小的定义和性质、无穷大的定义和性质。 二、导数与微分 1.导数的定义：函数在一点的导数、导数的几何意义、函数的可导性等。 2.导数的计算：基本函数的导数、基本运算法则、复合函数的导数、隐函数的导数等。 3.高阶导数：导数的高阶导数、高阶导数的计算等。 4.微分：微分的定义、微分的计算、微分形式不变性等。

5.高阶导数与高阶微分的关系：高阶导数与高阶微分的计算、高阶微 分的含义等。 三、积分与不定积分 1.定积分的概念与性质：积分的定义、黎曼和、定积分的计算、积分 中值定理等。 2.不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的计算、定积 分与不定积分之间的关系等。 3.基本积分公式：幂函数的积分、三角函数的积分、反函数的积分、 特殊函数的积分等。 4.定积分的应用：曲边梯形的面积、旋转体的体积、定积分的几何应 用等。 四、级数与幂级数 1.数列与级数：数列的概念与性质、收敛与发散、常见数列的性质等。 2.级数的概念与性质：级数的概念、部分和、级数的性质、级数收敛 性的判别法等。 3.幂级数的概念与性质：幂级数的收敛域、幂级数的性质、幂级数的 运算等。 4.泰勒展开与幂级数展开：泰勒展开的定义、泰勒级数、幂级数展开 的计算等。 五、多元函数与方程

专升本高等数学知识点汇总3篇

专升本高等数学知识点汇总 第一篇：极限与导数 一、极限 1.极限概念 极限是指函数值在某个自变量取值趋于某个值时的极限值。用数学符号表示为lim f(x)=A（x->a）。 2.极限的四则运算 对于极限值的四则运算涉及到有限值与无限值的关系，具体如下： ①有限值加减有限值：lim[f(x)+g(x)]=lim f(x)+lim g(x) （x->a） ②有限值乘法有限值：lim[f(x)*g(x)]=lim f(x)*lim g(x) （x->a） ③有限值除以有限值：lim[f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x) （x->a） ④无限值加减无限值：极限不存在。 3.极限的求解 求出极限的基本方法： ①查找零点 ②分母分子有理化 ③将式子化成等价无穷小形式 ④采用夹逼定理 二、导数 1.导数概念

导数是表示函数一点的切线在该点的斜率，用数学符号表示为f’(x)或df/dx。 2.导数的几何意义 导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，也就是曲线在该点处的瞬时变化率。 3.导数的求法 导数的求法可以使用以下几种方法： ①查公式 ②使用某个函数的导数性质推导出新函数导数的公式 ③使用导数的四则运算 ④使用导数的几何性质 以上是关于极限与导数的一些基本知识点，通过对这些知识点的学习，我们可以更好地理解数学的基础，从而更好地应用数学知识进行实际问题的解决。 第二篇：微积分中的函数与极限 一、函数的概念 函数是指一个变量和另一个变量之间的依赖关系，也就是根据一个变量的取值，可以求出另一个变量的值。 二、函数的分类 根据函数的定义域和值域的不同，函数分为以下几类： ①一次函数：y=kx+b（k,b∈R且k≠0），其中k为斜率，b为截距。 ②二次函数：y=ax²+bx+c (a,b,c∈R且a≠0)，其中a 为抛物线开口方向和大小的常数，b为对称轴与x轴交点的横坐标，c为抛物线与y轴交点的纵坐标。 ③指数函数：y=a的x次方 (a>0且且a≠1)，其中a为底数，x为指数。

高等数学二专升本教材内容

高等数学二专升本教材内容 高等数学二是专升本考试中的一门重要科目，它承接了高等数学一 的基础知识，并深入研究了微积分、线性代数和概率统计等内容。本 文将以教材内容为主线，为大家梳理高等数学二的重要知识点。 一、微积分 微积分是高等数学的一大核心内容，包括了导数和积分两个部分。 学习微积分的目的是为了深入理解函数的变化规律和计算曲线下面积。 导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数图像在该点的 切线斜率。在微积分中，常用的求导法则有导数的四则运算、链式法则、隐函数求导等。通过这些法则，我们可以快速求得各种函数的导数，从而揭示函数的变化规律。 积分是导数的逆运算，也可以理解为曲线下面积的计算。通过积分，我们可以求得函数在某一区间上的总变化量和曲线下的面积。常用的 积分法则包括不定积分的基本公式、换元积分法、分部积分法等。掌 握这些积分法则，有助于我们解决各种实际问题。 二、线性代数 线性代数是数学中的一个分支，研究了向量、矩阵和线性方程组等 内容。在高等数学二中，线性代数是一个承上启下的重要环节。 向量是线性代数的基础，它具有大小和方向两个性质。在向量的研 究中，我们学习了向量的加法、数乘和点乘等运算，以及向量的模、

方向角和投影等概念。这些知识对于理解曲线的切向量、力的分解等问题非常重要。 矩阵是线性代数的另一个核心概念，它是由数按照一定规律排列成的矩形阵列。在矩阵的学习中，我们了解了矩阵的基本运算、特征值与特征向量、矩阵的行列式等内容。矩阵的应用非常广泛，例如线性方程组的求解、平面的变换等都可以通过矩阵运算来实现。 线性方程组是线性代数的一个重要应用领域，它是由多个线性方程组成的方程组。在求解线性方程组时，我们研究了线性方程组的解的存在唯一性、行阶梯形和矩阵的秩等概念。通过学习线性方程组的解法，我们可以解决各种实际问题，例如网络平衡、电路分析等。 三、概率统计 概率统计是数学中的另一大分支，主要研究了随机事件的概率和统计数据的分析。在高等数学二中，我们主要学习了概率、随机变量和统计推断等内容。 概率是研究随机事件发生可能性的数学工具，我们通过概率的公理化定义，掌握了概率的基本性质和计算方法。在学习概率的过程中，我们将研究离散型和连续型随机变量的分布理论，以及多个随机变量的联合分布和条件分布等内容。 统计推断是利用样本数据推断总体特征的一种方法。在统计推断的学习中，我们研究了点估计和区间估计两个方面。点估计是利用样本数据估计总体参数的值，而区间估计是给出总体参数估计的范围。此

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： 1c bx ax y b kx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R 2x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 3x y = 根式的形式定义域：x ≥0 4x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时,恒有)()(21x f x f <,)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的; 当21x x <时,恒有)()(21x f x f >,)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的; 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 坐标原点对称即若D x ∈,则有D x ∈- 1 偶函数)(x f ——D x ∈∀,恒有)()(x f x f =-; 2 奇函数)(x f ——D x ∈∀,恒有)()(x f x f -=-; 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =,定义域是),(+∞-∞,图形是一条平行于x 轴的直线; 2、幂函数：u x y =, u 是常数;它的定义域随着u 的不同而不同;图形过原点; 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(, a 是常数且0>a ,1≠a .图形过0,1点; 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==, a 是常数且0>a ,1≠a ;图形过1,0点; 5、三角函数 1 正弦函数: x y sin = π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f ; 2 余弦函数: x y cos =. π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f ; 3 正切函数: x y tan =. π=T , },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f . 4 余切函数: x y cot =. π=T , },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 1 反正弦函数: x y sin arc =,]1,1[)(-=f D ,]2 ,2[)(ππ-=D f ; 2 反余弦函数: x y arccos =,]1,1[)(-=f D ,],0[)(π=D f ; 3 反正切函数: x y arctan =,),()(+∞-∞=f D ,)2 ,2()(ππ-=D f ; 4 反余切函数: x y arccot =,),()(+∞-∞=f D ,),0()(π=D f ; 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值;”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解; 2、传统求极限的方法 1利用极限的四则运算法则求极限; 2利用等价无穷小量代换求极限; 3利用两个重要极限求极限; 4利用罗比达法则就极限;

《高等数学(二)(专升本)》精华考点6页纸

精华考点 6 页纸 高等数学（二） 专科起点升本科

第一章 极限与连续 考点 1 函数极限四则运算法则 如果有 lim f (x ) = A ，lim g (x ) = B ，则 x →x 0 x →x 0 （1） lim ［f (x ) ± g (x )］= lim f (x ) ± lim g (x )= A ± B . x →x 0 x →x 0 x →x 0 （2） lim ［ f ( x ) g ( x )］= lim f ( x ) lim g ( x ) = A B . x → x 0 x → x 0 x → x 0 f (x ) lim f (x ) A x →x 0 （3） lim = = （B ≠0). g (x ) lim g (x ) x →x 0 B x →x 0 ⎧a m ⎪ ，m = n ， m m -1 b P (x ) a m x + a m -1x +⋯+ a ⎪ n （4） lim = lim 0 = ⎪∞ ，m ＞n ， x →∞ Q (x ) x →∞ b n x n +b n -1x n -1 +⋯+b 0 ⎪ 0，m ＜n . ⎪ ⎪⎩ 考点 2 无穷小的等价代换定理 设 α (x )，α(x )，β (x )，β (x ) 是自变量 x 在同一变化过程中的无穷小量，且满足 α (x )～α (x ) ，β (x )～β (x )，f (x ), g (x ) 在这一条件下有意义，若 lim α (x ) f (x ) 存在， β (x ) g （x ） 则 lim α ((x )) f (x ) = lim α (x ) f (x ) . β x g （x ）β (x ) g （x ） 常用的等价无穷小： 当 x → 0 时， x ～sin x ～ln (1 + x )～arcsin x ～arctan x ～e x -1～tan x ， 1 - cos x ～ 1 2 x 2 , (1 + x )α -1～αx （α 为实常数，α ≠ 0 ）. 考点 3 两个重要极限 lim sin x =1 ⎛ 1 ⎫x ； lim 1 + ⎪ = e . x x x →0 x →∞ ⎝ ⎭ 第二章 一元函数微分学 考点 1 导数的定义 函数 y = f (x ) 在点 x 0 处的导数可表示为： f '(x 0 ) = lim f (x ) - f (x 0 ) . x →x 0 x - x 0 考点 2 函数在一点可导的充要条件 函数 y = f x 在点 x 0 处可导的充要条件是 f x 在点 x 0 处的左、右导数都存在且相等 ，即

专升本高等数学(二)

成人高考（专升本）高等数学二 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

专升本高等数学二笔记公式大全

第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的 意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本 性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及 事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握 概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准 差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要求）。 会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数 在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法 则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小 量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行 无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。 会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n}，数列中每 一个数称为数列的项，第n项x n为数列的一般项 或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3）（递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n，都有一个x n与之对应，所 以说数列{x n}可看作自变量n的函数x n=f（n）， 它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取 1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数 列。 在几何上，数列{x n}可看作数轴上的一个动点， 它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...x n,…。 2.数列的极限 定义对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n无限地趋 于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时， 数列{x n}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记 作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n不是无 限地趋于一个确定的常数，称数列{x n}没有极限， 如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A及数列的项 依次用数轴上的点表示，若数列{x n} 以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x n可 以无限靠近点A，即点x n与点A之间的距离|x n-A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n}收敛，则其极限值 必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n}收敛，则它必定有 界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界 数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满 足以下条件： （1）， （2），则 定理1.4若数列{x n}单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x→x0时函数f（x）的极限 （1）当x→x0时f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0 时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当 x→x0时，函数f（x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→x0时） 例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1 x>1x→1 （2）左极限 当x→x0时f（x）的左极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无 限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A， 记作 或f（x0-0）=A （3）右极限 当x→x0时，f（x）的右极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无 限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A， 记作 或f（x0+0）=A 例子：分段函数 ，求， 解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限 地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的 左极限是1，即有 当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地 趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右 极限是-1，即有 显然，函数的左极限右极限与 函数的极限之间有以下关系： 定理1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于A 的必要充分条件是 反之，如果左、右极限都等于A，则必有 。 x→1时f(x)→? x≠1 x→1f(x)→2 对于函数，当x→1时，f（x） 的左极限是2，右极限也是2。 2.当x→∞时，函数f（x）的极限 （1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1 定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f （x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→∞时） （2）当x→+∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数 f（x）的极限是A，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极 限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义 中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是 正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？ x→+∞，f(x)=2+→2 例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+， x→+∞，f（x）=2+→2 所以 （3）当x→-∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x） 的极限是A，记作 x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2 例：函数，当x→-∞时，f （x）→？ 解：当x→-∞时，-x→+∞ →2，即有 由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x） 极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限 是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函 数f（x）有相同的极限A。 例如函数，当x→-∞时，f（x）无限 地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋 于同一个常数1，因此称当x→∞时的 极限是1，记作 其几何意义如图3所示。 f(x)=1+ y=arctanx 不存在。