专升本高等数学二笔记公式大全

第一章极限和连续第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义

等形式的描述不作要

求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了

解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法

则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小

量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行

无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函

数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判

断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明

一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利

用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学

第一节导数与微分

[复习考试要求]

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与

连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及

复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段

函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导

数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和

可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用

[复习考试要求]

1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、

“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单

调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明

简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极

值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单

的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

[复习考试要求]

1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握

不定积分的性质。

2.熟练掌握不定积分的基本公式。

3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元

法（仅限三角代换与简单的根式代换）。

4.熟练掌握不定积分的分部积分法。

5.掌握简单有理函数不定积分的计算。

第二节定积分及其应用

[复习考试要求]

1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可

积的条件

2.掌握定积分的基本性质

3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上

限积分求导数的方法。

4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。

5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算

方法。

7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面

积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的

体积。

第四章多元函数微分学

[复习考试要求]

1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。

了解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续的概念。

3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌

握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数

的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的

求法。

4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。

5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。

6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单

的实际问题。

第五章概率论初步

[复习考试要求]

1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基

本事件、样本空间、随机事件的概念。

2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、

互不相容关系及对立关系。

3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的

意义，掌握其运算规律。

4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本

性质及事件概率的计算。

5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及

事件的独立性。

6.了解随机变量的概念及其分布函数。

7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握

概率分布的计算方法。

8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准

差。

第一章极限和连续

第一节极限

[复习考试要求]

1.了解极限的概念（对极限定义

等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数

在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法

则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小

量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行

无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

[主要知识内容]

（一）数列的极限

1.数列

定义按一定顺序排列的无穷多个数

称为无穷数列，简称数列，记作{x

n

}，数列中每

一个数称为数列的项，第n项x

n

为数列的一般项

或通项，例如

（1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列）

（2）（等比数列）

（3）（递增数列）

（4）1，0，1，0，…，…（震荡数列）

都是数列。它们的一般项分别为

（2n-1）,。

对于每一个正整数n，都有一个x

n

与之对应，所

以说数列{x

n

}可看作自变量n的函数x

n

=f（n），

它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取

1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数

列。

在几何上，数列{x

n

}可看作数轴上的一个动点，

它依次取数轴上的点x

1,

x

2

,x

3

, (x)

n,…

。

2.数列的极限

定义对于数列{x

n

}，如果当n→∞时，x

n

无限地趋

于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，

数列{x

n

}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记

作

比如：

无限的趋向0

，无限的趋向1

否则，对于数列{x

n

}，如果当n→∞时，x

n

不是无

限地趋于一个确定的常数，称数列{x

n

}没有极限，

如果数列没有极限，就称数列是发散的。

比如：1，3，5，…，（2n-1），…

1，0，1，0，…

数列极限的几何意义：将常数A及数列的项

依次用数轴上的点表示，若数列{x

n

}

以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x

n

可

以无限靠近点A，即点x

n

与点A之间的距离|x

n

-A|

趋于0。

比如：

无限的趋向0

无限的趋向1

（二）数列极限的性质与运算法则

1.数列极限的性质

定理1.1（惟一性）若数列{x

n

}收敛，则其极限值

必定惟一。

定理1.2（有界性）若数列{x

n

}收敛，则它必定有

界。

注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界

数列不一定收敛。比如：

1，0，1，0，…有界：0，1

2.数列极限的存在准则

定理1.3（两面夹准则）若数列{x

n

},{y

n

},{z

n

}满

足以下条件：

（1），

（2），则

定理1.4若数列{x

n

}单调有界，则它必有极限。

3.数列极限的四则运算定理。

定理1.5

（1）

（2）

（3）当时，

（三）函数极限的概念

1.当x→x

时函数f（x）的极限

（1）当x→x

时f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x

时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当

x→x

时，函数f（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→x

时）

例y=f（x）=2x+1

x→1,f（x）→?

x<1x→1

x>1x→1

（2）左极限

当x→x

时f（x）的左极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x

的左边无

限地趋于x

时，函数f（x）无限地趋于一个常数

A，则称当x→x

时，函数f（x）的左极限是A，

记作

或f（x

-0）=A

（3）右极限

当x→x

时，f（x）的右极限

定义对于函数y=f（x），如果当x从x

的右边无

限地趋于x

时，函数f（x）无限地趋于一个常数

A，则称当x→x

时，函数f（x）的右极限是A，

记作

或f（x

+0）=A

例子：分段函数

，求，

解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限

地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的

左极限是1，即有

当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地

趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右

极限是-1，即有

显然，函数的左极限右极限与

函数的极限之间有以下关系：

定理1.6当x→x

时，函数f（x）的极限等于A

的必要充分条件是

反之，如果左、右极限都等于A，则必有

。

x→1时f(x)→?

x≠1

x→1f(x)→2

对于函数，当x→1时，f（x）

的左极限是2，右极限也是2。

2.当x→∞时，函数f（x）的极限

（1）当x→∞时，函数f（x）的极限

y=f(x)x→∞f(x)→?

y=f(x)=1+

x→∞f(x)=1+→1

定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）

无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f

（x）的极限是A，记作

或f（x）→A（当x→∞时）

（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）

无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数

f（x）的极限是A，记作

这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极

限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义

中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是

正整数，而为任意实数。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？

解：f（x）=2+e-x=2+，

x→+∞，f（x）=2+→2

所以

（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限

定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）

无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x）

的极限是A，记作

x→-∞f(x)→？

则f(x)=2+(x＜0)

x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函数，当x→-∞时，f

（x）→？

解：当x→-∞时，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）

极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限

是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函

数f（x）有相同的极限A。

例如函数，当x→-∞时，f（x）无限

地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋

于同一个常数1，因此称当x→∞时的

极限是1，记作

其几何意义如图3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx来讲，因为有

即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+

∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相

同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限

不存在。

x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是对函数y=arctanx 来讲，因为有

即虽然当x →-∞时，f （x ）的极限存在，当x →+∞时，f （x ）的极限也存在，但这两个极限不相

同，我们只能说，当x →∞时，y=arctanx 的极限

不存在。

（四）函数极限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极

限值必定惟一。

定理1.8（两面夹定理）设函数在点

的某个邻域内（

可除外）满足条件： （1）

，（2

）

则有。 注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。 下面我们给出函数极限的四则运算定理

定理1.9如果则 （1

）

（2

）

（3）当

时，

时，

上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论： （1）

（2）

（3）

用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。 另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。

（五）无穷小量和无穷大量 1.无穷小量（简称无穷小） 定义对于函数，如果自变量x 在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化

过程中，为无穷小量，一般记作

常用希腊字母，…来表示无穷小量。 定理1.10函数以A 为极限的必要充分条件

是：

可表示为A 与一个无穷小量之和。

注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。 （2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。 （3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。 例如：

振荡型发散

（4）越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x 越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。

（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。

2.无穷大量（简称无穷大）

定义；如果当自变量（或∞）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，

为无穷大量。记作

。

注意：无穷大（∞）不是一个数值，“∞”是一个记号，绝不能写成或。 3.无穷小量与无穷大量的关系

无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。

定理1.11在同一变化过程中，如果

为无穷

大量，则为无穷小量；反之，如果

为

无穷小量，且

，则

为无穷大量。

当

无穷大

无穷小

当为无穷小

无穷大 4.无穷小量的基本性质 性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无

穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷

小量。

性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 5.无穷小量的比较 定义设

是同一变化过程中的无穷小量，即

。 （1）如果则称是比

较高阶的无穷

小量，记作；

（2）如果则称

与

为同阶的无穷小量；

（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；

（4）如果

则称是比较低价的无穷

小量。当

等价无穷小量代换定理： 如果当时

，

均为无穷

小量，又有且

存在，则

。

均为无穷小

又有

这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。 常用的等价无穷小量代换有：

当时， sinx ～x;tan ～x;arctanx ～x;arcsinx ～

x;

（六）两个重要极限 1.重要极限Ⅰ

重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式

令

这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。

其结构式为：

2.重要极限Ⅱ

重要极限Ⅱ是指下面的公式：

其中e 是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为

e=2.718281828495045…… 其结构式为：

重要极限Ⅰ是属于

型的未定型式，重要极限Ⅱ

是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。

（七）求极限的方法：

1.利用极限的四则运算法则求极限；

2.利用两个重要极限求极限；

3.利用无穷小量的性质求极限；

4.利用函数的连续性求极限；

5.利用洛必达法则求未定式的极限；

6.利用等价无穷小代换定理求极限。 基本极限公式

（2）

（3）

（4）

例1.无穷小量的有关概念 （1）[9601]下列变量在给定变化过程中为无穷小量的是

A.

B.

C. D. [答]C

A.

发散

D. （2）[0202]当时，与x 比较是 A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量

C.非等价的同阶无穷小量

D.低阶的无穷小量 [答]B 解:当

,

与x 是

极限的运算： [0611]

解：

[答案]-1 例 2.

型因式分解约分求极限

（1）[0208] [答]

解

:

（2）[0621]计算

[答]

解:

例 3.

型有理化约分求极限

（1）[0316]计算 [答]

解:

（2）[9516] [答]

解

:

例4.当时求

型的极限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要极限Ⅰ求极限

（1）[9603]下列极限中，成立的是

A. B. C. D.

[答]B

（2）[0006] [答]

解

:

例6.用重要极限Ⅱ求极限

（1）[0416]计算 [答]

[解析]解一：令

解二：

[0306]

[0601]

（2）[0118]计算

[答]

解: 例7.用函数的连续性求极限 [0407] [答]0

解:

，

例8.用等价无穷小代换定理求极限 [0317] [答]0

解:当

例9.求分段函数在分段点处的极限 （1）[0307]设

则在的左极限

[答]1 [解析]

（2）[0406]设

,

则

[答]1

[解析]

例10.求极限的反问题 （1）已知则常数

[解析]解法一：

，即

，得

.

解法二：令

，

得，解得. 解法三：（洛必达法则）

即

，得

. （2）若求a,b 的值.

[解析]型未定式. 当时，

. 令

于是

，

得.

即，

所以.

[0402]

[0017]，则k=_____.（答:ln2）

[解

析]

前面我们讲的内容：

极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。

第二节函数的连续性

[复习考试要求]

1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 [主要知识内容]

（一）函数连续的概念 1.函数在点x 0处连续

定义1设函数y=f （x ）在点x 0义，如果当自变量的改变量△x （初值为x 0）于0时，相应的函数的改变量△y 也趋近于0，

则称函数y=f （x x 0处连续。 函数y=f （x ）在点x 0连续也可作如下定义： 定义2设函数y=f （x ）在点x 0义，如果当x →x 时，函数y=f （x ）的极限值存在，且等于x 0处的函数值f （x 0），即 定义3设函数y=f （x ），如果，称函数f （x ）在点x 0处左连续；如果，则称函数f （x ）在点x 0处右连续。由上述定义可知如果函数y=f （x ）在点x 处连续，则f （x x 0处左连续也右连续。 2.函数在区间[a ，b]上连续

定义如果函数f （x ）在闭区间[a ，b]x

处都连续，则称f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，并称f （x ）为[a b]上的连续函数。

这里，f （x ）在左端点a 连续，是指满足关系：

，在右端点b 连续，是指满足关系：

，即f （x ）在左端点a 处是右连续，

在右端点b 处是左连续。

可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续。 3.函数的间断点

定义如果函数f （x ）在点x 0处不连续则称点x 0为f （x ）一个间断点。

由函数在某点连续的定义可知，若f （x ）在点x 处有下列三种情况之一：

（1）在点x 0处，f （x ）没有定义； （2）在点x 0处，f （x ）的极限不存在； （3）虽然在点x 处f （x ）有定义，且存

在，但

，则点x 0是f （x ）一个间断点。

，则f （x ）在

A.x=0,x=1处都间断

B.x=0,x=1处都连续

C.x=0处间断，x=1处连续

D.x=0处连续，x=1处间断 解：x=0处，f （）=0

∵f （0-0）≠f （0+0） x=0为f （x ）的间断点 x=1处，f （1）=1

f （1-0）=f （1+0）=f （1）

∴f （x ）在x=1处连续 ［答案］C

[9703]设，在x=0则k 等于

A.0

B.

C.

D.2 分析：f （0）=k

［答案］B

例3[0209]设在x=0处连续，a=

解：f （0）=e 0=1

∵f （0）=f （0-0）=f （0+0） ∴a=1 ［答案］1

（二）函数在一点处连续的性质

由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。 定理1.12（四则运算）设函数f （x ），g （x x 0处均连续，则

（1）f （x ）±g （x ）在x 0处连续 （2）f （x ）·g （x ）在x 0处连续

（3）若g x 0）≠0，则在x 0处连续。

定理1.13u=g （x ）在x=x 0处连续，y=f （u ）在u 0=g （x 0）处连续，则复合函数y=f[g （x ）]在x=x 0处连续。 在求复合函数的极限时，如果u=g （x ），在x 0处

极限存在，又y=f （u ）在对应的处连

续，则极限符号可以与函数符号交换。即

定理1.14y=f （x ）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f -1（y ）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。 （三）闭区间上连续函数的性质 在闭区间[a ，b]上连续的函数f （x ），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1.15f （x ）在闭区

间[a ，b]上连续，则f （x ）必在[a ，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，则在这个区间上一定存

在最大值和最小值。 定理1.17f （x ）在闭区间

[a ，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M 和

m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数C ，在[a ，b]上至少存在一个ξ，使得

推论（零点定理）如果函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，且f （a ）与f （b ）异号，则在[a ，b]内至少存在一个点ξ，使得 f （ξ）=0

（四）初等函数的连续性

由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数。又由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。 定理1.18初等函数在其定义的区间内连续。 利用初等函数连续性的结论可知：如果f （x ）是初等函数，且x 0是定义区间内的点，则 f （x ）在0处连续

也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 ［0407］

[0611]

例1.证明三次代数方程x 3-5x+1=0在区间（0,1）内至少有一个实根. 证：设f （x ）=x 3-5x+1 f （x ）在［0，1］上连续 f （0）=1 f （1）=-3

由零点定理可知，至少存在一点ξ∈（0，1） 使得f （ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0

即方程在（0，1）内至少有一个实根。 本章小结

函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。

这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右。现将本章的主要内容总结归纳如下： 一、概念部分

重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。

极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。 函数在一点连续性的三个基本要素： （1）f （x ）在点x 0有定义。 （2）

存在。

（3）。

常用的是f （x 0-0）=f （x 0+0）=f （x 0）。 二、运算部分

重点：求极限，函数的点连续性的判定。 1.求函数极限的常用方法主要有：

（1）利用极限的四则运算法则求极限；

对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。

（2）利用两个重要极限求极限；

（3）利用无穷小量的性质求极限； （4）利用函数的连续性求极限； 若f （x ）在x 0处连续，则。 （5）利用等价无穷小代换定理求极限；

（6）会求分段函数在分段点处的极限；

（7）利用洛必达法则求未定式的极限。 2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。

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第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ⎩⎨ ⎧∈∈=2 1) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数

2021年成考专升本高等数学二重点及解析精简版

高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右） I 、函数、极限 一、 基本初等函数（又称简朴函数）： （1）常值函数：y = c （2）幕函数：y = （3）指数函数：y = / （“〉0,且d H 1） （4） 对数函数：y = \og a x （u ） 0,且oHl ） （5） 三角函数：y = sin x > y = cosx> y = tanx » y = cot x （6） 反三角 函数：y = arcsin x, y = arccosx> y = arctan x» y = arc cot x 二、 复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。 例如：|y = lncosx 是由y = ln“ , u = cosx 这两个个简朴函数复合而成. 例如：|y = arctan e'x 是由y = arctan u > u = e 和y = 3x 这三个简朴函数复合而成. 该某些是背而求导核心！ 三、 极限计算 1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代 入到函数表 达式中，函数值即是极限值，即lim/（x ） = /（x 0）. XT 心 注意：（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC = C o （2）该办法使用前提是当x->x 0时候，而xts 时则不能用此办法。 例lim 4 = 4, lim-3 = -3, Iimlg2 = lg2, lim/r = /r, ------ A —»-X A —>-l .TfX J 〜 丸 •1弋 2.未定式极限运算法 （1）对于+未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是 极限值。 x 2 +3x-l ~x+i 02+3>0-l _ o+i- 丽^1曲空41k 空—1 ------- 22 X-l 2-1 （非特殊角三角函数值不用讣算出来） ini

高等数学各章重要公式及知识点归总

第一章 函数 类1. y=x 1 ，x ≠0 →y=□ 1 ，□≠0 （-∞，0）∪（0，+∞） 类2.y=2n x ，x ≥0 →y=2n □，□≥0 [0,+∞） 反函数（一一对应） 1. 函数的定义域对应着反函数的值域 函数的值域对应着反函数的定义域 2. 若f （x ）过（a ，b ），f -1（x ）过（b ，a ） 3. f （x ）和f -1（x ）的图像关于y=x 对称 4. Sinx sin[arcsinx]=x → arcsinx arcsin[sinx]=x

Eg.f[f -1(3)]=3 基本初等函数 幂函数：y=x u ，u 取任意的实数 共同点（1，1） 偶函数：图像关于y 轴对称 y=x 2 指数函数（变化最快）：y=a x ，a ＞0且a ≠1 2 共同点（0，1） 对数函数：y=log a x ，a ＞0且a ≠1 y=a x →log a y=x →y=log a x 1.a ＞1 （若a=e ≈ 2.71 →y=log e x=lnx ） 2.0＜a ＜1 共同点（1，0） y=e x 反函数是 y=log e x=lnx 反

sinx ： ππ cosx ： [2k π-π,2k π] k ∈z ，增函数 [2k π,2k π+π] k ∈z ，减函数 tanx: 单调增区间：z k k π2 π k π2π- ∈++），（

cotx: →1.奇函数：sinx，tanx，cotx原点对称 偶函数：cosx y=x对称 2.有界函数：sinx，cosx 有界是根据值域定的 3.周期函数：sinx，cosx→T=2π tanx，cotx→T=π tanx·cotx=1 sin0=0 Sin2x=2sinxcosx Cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x

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高等数学公式 求导公式表： ()0C '= （C 为常数） ； 1()x x ααα-'=（α为实数）； ()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠； ()x x e e '=； 1(log )(0,1) ln x a a a x a '=>≠； 1(ln )x x '=； (sin )cos x x '=； (cos )sin x x '=-； 12(tan )sec 2cos x x x '== ； (sec )sec tan x x x '=?； 12(cot )csc 2sin x x x '=-=- ； (csc )csc cot x x x '=-?； (arcsin )x '； (arccos )x '； 1(arctan )21x x '= +； 1(arccot )2 1x x '=- +. 基本积分表： d k x kx C =+? （k 为常数）.特别地，当0k =时， 0d x C =?. 11d 1 x x x C α αα+=++? (1)α≠- 1 d ln ||x x C x =+? d ln x x a a x C a =+? (0,1)a a >≠. d x x e x e C =+? . sin d cos x x x C =-+?. cos d sin x x x C =+?. 2 2 d sec d tan cos x x x x C x ==+??. 22d csc d cot sin x x x x C x ==-+?? . sec tan d sec x x x x C =+? . csc cot d csc x x x x C =-+? .

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第一章极限和连续第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要 求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了 解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法 则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小 量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行 无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。 会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函 数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判 断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明 一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利 用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与 连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及 复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段 函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导 数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和 可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、 “∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单 调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明 简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极 值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单 的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握 不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元 法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5.掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可 积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上 限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算 方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面 积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的 体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。 了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌 握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数 的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的 求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单 的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基 本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、 互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的 意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本 性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及 事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握 概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准 差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要求）。 会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数 在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法 则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小 量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行 无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。 会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n }，数列中每 一个数称为数列的项，第n项x n 为数列的一般项 或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n-1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3）（递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n，都有一个x n 与之对应，所 以说数列{x n }可看作自变量n的函数x n =f（n）， 它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取 1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数 列。 在几何上，数列{x n }可看作数轴上的一个动点， 它依次取数轴上的点x 1, x 2 ,x 3 , (x) n,… 。 2.数列的极限 定义对于数列{x n }，如果当n→∞时，x n 无限地趋 于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时， 数列{x n }以常数A为极限，或称数列收敛于A，记 作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n }，如果当n→∞时，x n 不是无 限地趋于一个确定的常数，称数列{x n }没有极限， 如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A及数列的项 依次用数轴上的点表示，若数列{x n } 以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x n 可 以无限靠近点A，即点x n 与点A之间的距离|x n -A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n }收敛，则其极限值 必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n }收敛，则它必定有 界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界 数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满 足以下条件： （1）， （2），则 定理1.4若数列{x n }单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x→x 时函数f（x）的极限 （1）当x→x 时f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x 时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当 x→x 时，函数f（x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→x 时） 例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1 x>1x→1 （2）左极限 当x→x 时f（x）的左极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x 的左边无 限地趋于x 时，函数f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当x→x 时，函数f（x）的左极限是A， 记作 或f（x -0）=A （3）右极限 当x→x 时，f（x）的右极限 定义对于函数y=f（x），如果当x从x 的右边无 限地趋于x 时，函数f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当x→x 时，函数f（x）的右极限是A， 记作 或f（x +0）=A 例子：分段函数 ，求， 解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限 地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的 左极限是1，即有 当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地 趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右 极限是-1，即有 显然，函数的左极限右极限与 函数的极限之间有以下关系： 定理1.6当x→x 时，函数f（x）的极限等于A 的必要充分条件是 反之，如果左、右极限都等于A，则必有 。 x→1时f(x)→? x≠1 x→1f(x)→2 对于函数，当x→1时，f（x） 的左极限是2，右极限也是2。 2.当x→∞时，函数f（x）的极限 （1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1 定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f （x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→∞时） （2）当x→+∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数 f（x）的极限是A，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极 限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义 中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是 正整数，而为任意实数。 y=f(x)x→+∞f(x)x→？ x→+∞，f(x)=2+→2 例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+， x→+∞，f（x）=2+→2 所以 （3）当x→-∞时，函数f（x）的极限 定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x） 无限地趋于一个常数A，则称当x→-∞时，f（x） 的极限是A，记作 x→-∞f(x)→？ 则f(x)=2+(x＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2 例：函数，当x→-∞时，f （x）→？ 解：当x→-∞时，-x→+∞ →2，即有 由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x） 极限的定义，不难看出：x→∞时f（x）的极限 是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函 数f（x）有相同的极限A。 例如函数，当x→-∞时，f（x）无限 地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地趋 于同一个常数1，因此称当x→∞时的 极限是1，记作 其几何意义如图3所示。 f(x)=1+ y=arctanx 不存在。 但是对函数y=arctanx来讲，因为有 即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+ ∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相 同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限 不存在。 x)=1+

《高等数学(二)(专升本)》精华考点6页纸

精华考点 6 页纸 高等数学（二） 专科起点升本科

第一章 极限与连续 考点 1 函数极限四则运算法则 如果有 lim f (x ) = A ，lim g (x ) = B ，则 x →x 0 x →x 0 （1） lim ［f (x ) ± g (x )］= lim f (x ) ± lim g (x )= A ± B . x →x 0 x →x 0 x →x 0 （2） lim ［ f ( x ) g ( x )］= lim f ( x ) lim g ( x ) = A B . x → x 0 x → x 0 x → x 0 f (x ) lim f (x ) A x →x 0 （3） lim = = （B ≠0). g (x ) lim g (x ) x →x 0 B x →x 0 ⎧a m ⎪ ，m = n ， m m -1 b P (x ) a m x + a m -1x +⋯+ a ⎪ n （4） lim = lim 0 = ⎪∞ ，m ＞n ， x →∞ Q (x ) x →∞ b n x n +b n -1x n -1 +⋯+b 0 ⎪ 0，m ＜n . ⎪ ⎪⎩ 考点 2 无穷小的等价代换定理 设 α (x )，α(x )，β (x )，β (x ) 是自变量 x 在同一变化过程中的无穷小量，且满足 α (x )～α (x ) ，β (x )～β (x )，f (x ), g (x ) 在这一条件下有意义，若 lim α (x ) f (x ) 存在， β (x ) g （x ） 则 lim α ((x )) f (x ) = lim α (x ) f (x ) . β x g （x ）β (x ) g （x ） 常用的等价无穷小： 当 x → 0 时， x ～sin x ～ln (1 + x )～arcsin x ～arctan x ～e x -1～tan x ， 1 - cos x ～ 1 2 x 2 , (1 + x )α -1～αx （α 为实常数，α ≠ 0 ）. 考点 3 两个重要极限 lim sin x =1 ⎛ 1 ⎫x ； lim 1 + ⎪ = e . x x x →0 x →∞ ⎝ ⎭ 第二章 一元函数微分学 考点 1 导数的定义 函数 y = f (x ) 在点 x 0 处的导数可表示为： f '(x 0 ) = lim f (x ) - f (x 0 ) . x →x 0 x - x 0 考点 2 函数在一点可导的充要条件 函数 y = f x 在点 x 0 处可导的充要条件是 f x 在点 x 0 处的左、右导数都存在且相等 ，即

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专升本高等数学公式大全 函数的导数公式： 1.常数函数的导数为0：(k)'=0； 2. 幂函数的导数公式：(x^n)' = nx^(n-1)； 3. 指数函数的导数公式：(a^x)' = a^x * ln(a)； 4. 对数函数的导数公式：(loga^x)' = 1/(x * ln(a))； 5.三角函数的导数公式： - (sinx)' = cosx； - (cosx)' = -sinx； - (tanx)' = sec^2(x)； - (cotx)' = -csc^2(x)； - (secx)' = secx * tanx； - (cscx)' = -cscx * cotx； 极限公式： 1. 常数的极限是它本身：lim (c) = c； 2.极限的线性性质： - lim (f(x) ± g(x)) = lim (f(x)) ± lim (g(x))； - lim (k * f(x)) = k * lim (f(x))； 3.极限的乘法法则：

- lim (f(x) * g(x)) = lim (f(x)) * lim (g(x))； 4.极限的除法法则： - lim (f(x) / g(x)) = lim (f(x)) / lim (g(x))； 5.无穷的极限： - lim (x -> ±∞) (1/x) = 0； - lim (x -> ±∞) (a^x) = 0 (a > 1)； - lim (x -> ±∞) (ln(x)) = ±∞； - lim (x -> ±∞) (e^x) = ±∞； 一元函数的微分公式： 1.常数函数的微分为0：d(c)=0； 2. 幂函数的微分公式：d(x^n) = nx^(n-1)dx； 3. 指数函数的微分公式：d(a^x) = a^xdx * ln(a)； 4. 对数函数的微分公式：d(loga^x) = (1/x)dx / ln(a)； 5.三角函数的微分公式： - d(sinx) = cosxdx； - d(cosx) = -sinxdx； - d(tanx) = sec^2(x)dx； - d(cotx) = -csc^2(x)dx； - d(secx) = secxtanxdx；

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专升本高等数学公式大全 以下是一些高等数学常用的公式： 1. 导数与微分公式： - 基本导数公式：(常数函数)' = 0，(x^n)' = nx^(n-1)，(e^x)' = e^x，(a^x)' = a^xlna，(ln x)' = 1/x，(sin x)' = cos x，(cos x)' = -sin x，(tan x)' = sec^2 x，(cot x)' = -csc^2 x，(sec x)' = sec x tan x，(csc x)' = -csc x cot x - 乘积法则：(uv)' = u'v + uv' - 商法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2 - 链式法则：如果y = f(u)和u = g(x)，则dy/dx = dy/du * du/dx 2. 微分中值定理： - 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个 c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) - 柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x) ≠ 0，则存在一个c∈(a, b)，使得[f'(c)/g'(c)] = [f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)] 3. 积分公式： - 基本积分公式：∫k dx = kx + C，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)，∫(1/x) dx = ln|x| + C，∫e^x dx = e^x + C，∫a^x dx = (a^x)/lna + C，∫sin x dx = -cos x + C，∫cos x dx = sin x + C，∫t an x dx = - ln|cos x| + C，∫cot x dx = ln|sin x| + C，∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C，∫csc x dx = ln|csc x - cot x| + C - 线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)] dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx - 分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du 4. 泰勒公式： - 一阶泰勒公式：f(x)≈f(a) + f'(a)(x - a) - 麦克劳林公式：f(x)≈f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + ... + f^n(a)(x - a)^n/n! 以上仅是一些高等数学中的基本公式，实际应用中还有更多公式与定理。在具体求解问题时， 需要根据具体情况选择合适的公式与定理进行推导与计算。

专升本高数公式大全

专升本高数公式大全 1.二次函数的图像方程： f(x)=a(x-h)²+k 2.平面直角坐标方程： Ax+By+C=0 3.二次曲线方程： Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 4.圆的标准方程： (x-a)²+(y-b)²=r² 5.椭圆的标准方程： (x-a)²/b²+(y-b)²/a²=1 6.双曲线的标准方程： (x-a)²/b²-(y-b)²/a²=1 7.抛物线的标准方程： (x-a)²=4p(y-b) 8.三角函数的正余弦和差公式： (1) sin(A ± B)= sinAcosB ± cosAsinB (2) cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB (3) tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)

9.三角函数的倍角公式： (1) sin2A = 2sinAcosA (2) cos2A = cos²A - sin²A (3) tan2A = (2tanA) / (1 - tan²A) 10.三角函数的半角公式： (1) sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2] (2) c os(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2] (3) tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)] 注：±的选取根据A的象限确定。 11.三角方程的化简公式： (1) sin²x + cos²x = 1 (2) 1 + tan²x = sec²x (3) 1 + cot²x = csc²x 12.导数的基本公式： (1) (cf(x))' = cf'(x) (2)(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x) (3)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (4)(f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]² (5)(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)

专升本高等数学常用公式

1.偶函数关于y 轴对称。f(-x)=f(x).奇函数关于原点对称。f(-x)=-f(x) 2.等价无穷小：sinx~x tanx~x arctanx~x arcsinx~x 1-cosx~~ 2 2x ln(1+x)~x 1-x e ~x 1-x a ~xlna ax x a →-+1)1( 3.若 ) ()(0 ~lim 0 x f x f x x =称f(x)在点 x 处连续。 4.若 ) 0()0(00+≠-x f x f 时， x 为)(x f 的跳跃间断点。 ) ()(0 lim 0 x f A x f x x ≠=→或f(x)在 点 0x 处无定义，则点 x 为可去间断点。 5.零点定理：f(a)f(b)＜0，则f(ζ)=0 6. 000)()()(lim x x x f x f x f x x --='→ h x f h x f x f x x ) ()()(000lim -+='→ 7.求导公式： x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -=' x x x cot csc )(csc -=' x x x tan sec )(sec =' x x a a a •='ln )( x x e e =')( a x x a ln 1 )(log =' 2 11)(arcsin x x -= ' 2 11)(arccos x x -- =' 211)(arctan x x += ' 211)cot (x x arc +- =' x x f x x f x f x ∆'-∆+'=''→) ()(lim )(0 8.N 阶导数公式: 1!)1()(+-=⇒=n n n a a x n x x y n n n x n y x y )1()!1()1()1ln(1+--=⇒+=- 9.罗尔定理：闭连、开导、两头平 即f(a)=f(b). 10.拉格朗日中值定理： ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ 11.柯西中值定理： )() ()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''= -- 12.泰勒公式： 1 0100300200000)()!1()()(!)()(!3)()(!2)())(()()(++-+=⇒+-++-'''+-''+-'+=n n n n n n x x n f x R x R x x n x f x x x f x x x f x x x f x f x f ξ 13.旋转体体积：以x 轴旋转：dx x f V b a 2)]([⎰=π 。 以y 轴旋转： dy x V d c 2)]([ϕπ⎰= 14.常用三角函数公式：x x 22sec tan 1=+ x x 2 2csc cot 1=+ x x x 2tan 1tan 22tan -=

专升本高数二用得到的初等数学公式备查

专升本高数二用得到的初等数学公式备查 一. 三角公式 1. 倍角公式与半角公式 x x x c o s s i n 22s i n =; x x x x x 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2 cos 2cos 12 x x =+, 或2cos 12cos 2x x += 2 sin 2cos 12 x x =-, 或2cos 12sin 2x x -= 2. 三角函数定义与恒等式 sin α=对边/斜边; cos α=邻边/斜边; tan α=对边/邻边; cot α=邻边/对边 1c o s s i n 2 2 =+x x ; x x 2 2 sec 1tan =+; x x 2 2 csc 1cot =+ x x x cos sin tan = ; 1cos cot tan sin x x x x ==; x x cos 1sec =; x x sin 1csc = 3. 特殊角的三角与反三角函数值, 三角函数在四个象限中的符号 a r c t a n () /2,a r c t a n () ππ+∞=-∞=-

3. 诱导公式 s i n ()c o s 2 π αα-= ; cos()sin 2παα-=; t a n () c o t 2 π αα-=; s i n ()s i n παα-=; cos()cos παα-=-; tan()tan παα-=- ααs i n )s i n (-=- ; ααc o s )c o s (=-; ααtan )tan(-=- 二．代数公式 1．2 ) 1(321+= +⋅⋅⋅⋅+++n n n (等差数列求和公式) 2．2 1 111n n a a a a a --+++⋅⋅⋅+=- (等比数列求和公式，1a <) 或 )1)(1(121++⋅⋅⋅++-=---a a a a a n n n 3．2 2 2 2)(b ab a b a +±=± (和差的平方公式) 3223333)(b ab b a a b a ±+±=± (和差的立方公式) ))((22b a b a b a -+=- (平方差公式) ))((2233b ab a b a b a +±=± (立方和、立方差公式) 4．指数运算: c b c b a a a +=⋅; / b c b c a a a -=; bc c b a a =)(; ()c c c a b a b ⋅=⋅; (/)/c c c a b a b =; 10=a ; 11/a a -= 5． 对数运算: c b bc a a a log log )(log +=; log log log a a a b b c c =-; b b a a log 1 log -= log log c a a b c b =; log b a b a =; 特别 ln b b e = log 10a =; log 1a a =; 特别 ln 1e =; 6. 基本不等式： x a a x a <⇔-<< (其中0a >) , x y x y x y x y +≤+-≥- 2 2 2a b ab +≥, 也可写成当,0a b >时成立a b +≥

专升本高等数学公式全集

专升本高等数学公式（全） 常数项级数： 是发散的 调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1 312112 )1(3211111 2 +++++= ++++--= ++++- 级数审敛法： 散。 存在，则收敛；否则发、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：、比值审敛法： 时，不确定时，级数发散 时，级数收敛 ，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞ →+∞→∞ →+++=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=><=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和 如果交错级数满足—莱布尼兹定理： —的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛： ∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛 １时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛； 发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11 1 )1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n

幂级数： 01 0)3(lim )3(111 1111 221032=+∞=+∞=== ≠==><+++++≥-<++++++++∞ →R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。 ，其中时不定 时发散时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全 ，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散 时，收敛于 ρρρ ρρ 函数展开成幂级数： +++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f ! )0(!2)0()0()0()(00 lim )(,)()!1()()(! )()(!2)())(()()(2010)1(00)(2 0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数： ) ()! 12()1(!5!3sin ) 11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n x x x x x x x n n m m m x m m m x x n n n m 可降阶的高阶微分方程 类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n du u y f x f x dx -=⇒=⇒令多次积分求 类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dp p y f x p dx =⇒ =⇒令一阶微分方程 类型三：''(,')y f y y =

专升本高等数学(二)必考公式、必考题型与模拟试卷

吴忧学数学 高等数学(二)必考公式1.预备知识 (2)利用等价无穷小极限;如 0tan lim x x x → =（C）．A．1-；B.0；C.1；D.2. (3)利用重要极限极限;如 1 lim(1) 3 x x x →∞ -=（D）．A．3e；B.3 e-；C. 1 3 e；D. 1 3 e-. (4)利用罗必达法则;如 3 lim sin x x x x → = - (A)A．6；B.-6；C.0；D.1． (5)分段函数的极限

(6)分段函数的连续性; 如果函数1 , 02()ln(1),03x e x f x x k x x ⎧+≤⎪⎪=⎨+⎪+>⎪⎩处处连续，则k =(C).A ．67；B .67-；C .76；D .76-． 2.导数及应用 (1)利用导数定义求导;如果(3)6f '=，则0(3)(3)lim 2x f x f x →--=（B ）. (2)(3)(4)(5)(6)A.y =(7求)(8)再如函数32()9153f x x x x =-++(B). A ．在1x =处取得极小值10，在5x =处取得极大值22-； B .在1x =处取得极大值10，在5x =处取得极小值22-； C .在1x =处取得极大值22-，在5x =处取得极小值10； D .在1x =处取得极小值22-，在5x =处取得极大值10． (9)凹凸区间,拐点;如求曲线323 10510x x y + +=的凹凸区间与拐点.

解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=',x y 2010+='',令0=''y ,得2 1- =x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x 21,(--∞时，0<''y ,当∈x ),2 1(+∞-时，0>''y , 曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞拐点为)6 65,21(-. x 4.定积分及应用 (1)积分上限函数;如设()sin x a F x tdt =⎰，则()F x '=（B ）． A.sin t ；B.sin x ；C.cos t ；D.cos x . (2)定积分的几何意义; (3)N-L 公式;如积分121dx x --=⎰(B).A.ln 2；B.ln 2-；C.ln 3；D.ln3-.