清华大学数学实验报告6
实验六非线性方程求解
实验目的
1. 掌握用matlab软件求解非线性方程和方程组的基本用法, 并对结果做初步分析.
2. 练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解.
实验内容
题目3
（1）小张夫妇以按揭方式贷款买了1 套价值20 万元的房子，首付了5 万元，每月还款1000 元，15 年还清。问贷款利率是多少？
（2）某人欲贷款50 万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500 元，15 年还清；第二家银行开出的条件是每年还450000 元，20 年还清。从利率方面看，哪家银行较优惠（简单地假设年利率=月利率×12）？
建立模型：设房价为b，首付款为b0，银行按照月利率(复利)来计算，月利率为r，月付款(月末支付)为a，共需要支付的月数为n。根据经济学中资金的时间价值概念，可以得到：房价在n个月之后的实际价值为：b(1+r)n
按揭购房期间交的所有款项在第n个月末的实际价值为：
b0(1+r)n+a(1+r)n−1+(1+r)n−2+⋯+1=b0(1+r)n+a×
(1+r)n−1
由于在第n个月末还清了贷款，因此上述两个时间价值相等，则得到下面的关系式，即为解答此问题的方程：
b(1+r)n=b0(1+r)n+a×
(1+r)n−1
即：
(b−b0)(1+r)n−a×(1+r)n−1
=0
(1)代入已知条件：b=200000，b0=50000，a=1000，n=180，利用MATLAB解此非线性方程，经过简单的估测之后，给定初始值为r0=0.001，得到结果为：
r=0.0020812，即贷款月利率为0.20812%。
（2）
I.第一家银行相应的已知条件为：b=500000，b0=0，a=4500，n=180，利用MATLAB计算，经过简单的估测之后，给定初始值为r0=0.005，得到结果为：
r=0.0058508，即这家银行的贷款月利率为0.58508%。
II.第二家银行由于按照年利率计算，因此方程中相应参数的意义有所改变，故已知条件为：b=500000，b0=0，a=45000，n=20，利用MATLAB计算，经过简单的估测之后，给定初始值也为r0=0.06，得到结果为。
r=0.063949，即这家银行的贷款年利率为6.3949%，则月利率为0.53291%
实验结果：以月利息为比较条件，第二家银行比较优惠。
结果分析：
(1)本题第二问里，将第二家银行的年利率近似看作是月利率的12倍，会造成一定的误差，若将计算结果0.53291%代入方程，可以得出每月需交付3697元，这样一年需要交付44364元，比题目中的45000元略小一些，说明计算得到的月利率偏小，但不至于影响最终的判断。
问题6：给定4种物质对应的参数ai, bi, ci和交互作用矩阵Q如下:
a1=18.607, a2=15.841, a3=20.443, a4=19.293;
b1=2643.31, b2=2755.64, b3=4628.96, b4=4117.07;
c1=239.73, c2=219.16, c3=252.64, c4=227.44;
Q=[ 1.0 0.192 2.169 1.611
0.316 1.0 0.477 0.524
0.377 0.360 1.0 0.296
0.524 0.282 2.065 1.0]
在压强p=760mmHg下，为了形成均相共沸混合物，温度和组分分别是多少？请尽量找出所有的可能解。
解: 设该混合物由n个可能的组分组成，组分i所占的比例为xi(i=1, … , n)，则∑
_(i=1)^n▒〖x(i)〗=1, xi>=0 -------(1)
xi((b(i))/(T+c(i))+ln(∑_(j=1)^n▒〖x(j)〗q(ij))+∑_(j=1)^n▒(x(j)q(ij))/(∑_(k=1)^n▒〖x(k)q(jk)〗) -1-aij+lnP)=0, i=1, … , n.-------(2)
qij表示组分i与组分j的交互作用参数，qij构成交互作用矩阵Q
程序:
function f =azeofun(XT,n,P,a,b,c,Q)
x(n)=1;
for i=1:n-1
x(i)=XT(i);
x(n)=x(n)-x(i);
end
T=XT(n);
p=log(P);
for i=1:n
d(i)=x*Q(i,1:n)';
dd(i)=x(i)/d(i);
end
for i=1:n
f(i)=x(i)*(b(i)/(T+c(i))+log(x*Q(i,1:n)')+dd*Q(1:n,i)-a(i)-1+p);
end
n=4;
P=760;
a=[18.607, 15.841, 20.443, 19.293]';
b=[2643.31, 2755.64, 4628.96, 4117.07];
c=[239.73, 219.16, 252.64, 227.44];
Q=[1.0 0.192 2.169 1.611
0.316 1.0 0.477 0.524
0.377 0.360 1.0 0.296
0.524 0.282 2.065 1.0];
XT0=[0.25,0.25,0.25,50];
[XT,Y]=fsolve(@azeofun,XT0,[],n,P,a,b,c,Q)
结果:XT=[0.0000 0.5858 0.4142 71.9657]
Y= 1.0e-006 *[-0.0009 -0.0422 0.4428 -0.4701]
分析:在上面计算中，对初值XT0的取法是:4种物质各占1/4,温度为50。C。
初值解
XT0 x1 x2 x3 x4 T
[0.25,0.25,0.25,50] 0.0000 0.5858 0.4142 0.0000 71.9657
[0.7,0.9,0.5,100] 0.0000 1.1425 0.0182 -0.1607 87.2356
[0,1,0,72] 0.0000 0.7803 0.0000 0.2197 76.9613
[0,0,1,72] -0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 82.5567
[0,0,0,90] -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 97.7712
[1,0,0,30] 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 -18.9700
………………………………
分析:
(i) 第一、三行解分别代表了组分二、三与组分二、四形成的均相共沸物，其组成与温度均符合要求；
(ii)第四、五、六行解中均只有一种组分，违背了均相共沸物是由两种或两种以上物质组成的液体混合物的定义，故这些解均不符合要求；
(iii)第二行第四种组分为负数，不符合要求。
即符合要求的均相共沸物的组成与温度分别是
(i)第一种组分占0，第二种组分占0.5858，第三种组分占0.4142，最后一种组分占0，温度为71.9657℃；
(ii)第一种组分占0，第二种组分占0.7803，第三种组分占0，最后一种组分占0.2197，温度为76、
问题8：假设商品在t时刻的市场价格为p(t)，需求函数为D(p(t))=c-dp(t);(c,d>0)，而生产方的期望价格为q(t)，供应函数S(q(t))，当功效平衡是S(q(t))=D(p(t))。
若期望截个与市场价格不符，商品市场部均衡，生产方t+1时期的期望价格将会调整方式为q(t+1)-q(t)=r[p(t)-q(t)];(0 模型建立： q的递推关系式如下： q(t+1)=q(t)+r[p(t)-q(t)] =q(t)+r*[c-arctan(uq(t))/d-q(t)] =(1-r)q(t)+r*c/d-r* arctan(uq(t))/d 模型求解： 建立chaos.m的源文件： function chaos(iter_fun,x0,r,n) kr=0; for rr=r(1):r(3):r(2) kr=kr+1; y(kr,1)=feval(iter_fun,x0,rr); for i=2:n(2) y(kr,i)=feval(iter_fun,y(kr,i-1),rr); end end plot([r(1):r(3):r(2)],y(:,n(1)+1:n(2)),'k.'); 建立iter01.m的源文件： function y=iter01(x,c) u=4.8,d=0.25,r=0.3; y=(1-r)*x+r*c/d-r*atan(u*x)/d; 主程序： chaos(@iter01,0.5,[0.2,1.6,0.01],[100,200]) 得到的结果如下： 改变chaos.m中的坐标，我们可得到相应分叉点为：1.086 0.953 0.907 0.897 (b2-b1)/(b3-b2)=2.8913 (b2-b2)/(b4-b3)=4.6000 由此得出，当n越大时比值越接近于Feigenbaum常数：4.6692，因此满足此规律。模型检验： 建立iter02.m的源文件： function y=iter02(c) u=4.8;d=0.25;r=0.3; q(1)=0.5; for n=1:1:50 q(n+1)=(1-r)*q(n)-r*atan(u*q(n))/d+r*c/d; end N=1:1:51; plot(N,q); 主程序如下： >> figure;iter02(1.1); >> figure;iter02(1); >> figure;iter02(0.93); >> figure;iter02(0.9); >> figure;iter02(0.7); 得到的结果依次如下： C=1.1，模型收敛于一点 当c=1：模型在两点之间震荡。 当c=0.93：模型在4点之间震荡。 当c=0.9：模型在8点之间震荡，呈现初始混沌状态。 当c=0.7：模型处于混沌状态。 从上述实验结果得出混沌现象的出现与分叉点十分符合，分叉点是极限趋势是符合Feigenbaum常数揭示的规律。 数学建模实验报告 姓名： 学院： 专业班级： 学号： 数学建模实验报告（一） ——用最小二乘法进行数据拟合 一．实验目的： 1.学会用最小二乘法进行数据拟合。 2.熟悉掌握matlab软件的文件操作和命令环境。 3.掌握数据可视化的基本操作步骤。 4.通过matlab绘制二维图形以及三维图形。 二．实验任务： 来自课本64页习题： 用最小二乘法求一形如y=a+b x2的多项式，使之与下列数据拟合： 三．实验过程： 1.实验方法：用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：先根据所给出数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类；然后按照最小二乘法原则求最小二乘解来确定系数。即要求出二次多项式: y=a+b x2的系数。 2．程序： x=[19 25 31 38 44] y=[19.0 32.3 49.0 73.3 97.8] ab=y/[ones(size(x));x.^2]; a=ab(1),b=ab(2) xx=19:44; plot(xx,a+b*xx.^2,x,y,'.') 3.上机调试 得到结果如下： x = 19 25 31 38 44 y=19.0000 32.3000 49.0000 73.3000 97.8000 a = 0.9726 b = 0.0500 图形： 四．心得体会 通过本次的数学模型的建立与处理，我们学习并掌握了用最小二乘法进行数据拟合，及多项式数据拟合的方法，进一步学会了使用matlab软件，加深了我们的数学知识，提高了我们解决实际问题的能力，为以后深入学习数学建模打下了坚实的基础。 数学建模实验报告（二） ——用Newton法求方程的解 一．实验目的 1.掌握Newton法求方程的解的原理和方法。 2.利用Matlab进行编程求近似解。 二．实验任务 来自课本109页习题4-2： 用Newton法求f(x)=x-cosx=0的近似解 三．实验过程 1.实验原理： 把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 2.程序设计： function y=nd(x) 实验六非线性方程求解 实验目的 1. 掌握用matlab软件求解非线性方程和方程组的基本用法, 并对结果做初步分析. 2. 练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解. 实验内容 题目3 （1）小张夫妇以按揭方式贷款买了1 套价值20 万元的房子，首付了5 万元，每月还款1000 元，15 年还清。问贷款利率是多少？ （2）某人欲贷款50 万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500 元，15 年还清；第二家银行开出的条件是每年还450000 元，20 年还清。从利率方面看，哪家银行较优惠（简单地假设年利率=月利率×12）？ 建立模型：设房价为b，首付款为b0，银行按照月利率(复利)来计算，月利率为r，月付款(月末支付)为a，共需要支付的月数为n。根据经济学中资金的时间价值概念，可以得到：房价在n个月之后的实际价值为：b(1+r)n 按揭购房期间交的所有款项在第n个月末的实际价值为： b0(1+r)n+a(1+r)n−1+(1+r)n−2+⋯+1=b0(1+r)n+a× (1+r)n−1 由于在第n个月末还清了贷款，因此上述两个时间价值相等，则得到下面的关系式，即为解答此问题的方程： b(1+r)n=b0(1+r)n+a× (1+r)n−1 即： (b−b0)(1+r)n−a×(1+r)n−1 =0 (1)代入已知条件：b=200000，b0=50000，a=1000，n=180，利用MATLAB解此非线性方程，经过简单的估测之后，给定初始值为r0=0.001，得到结果为： r=0.0020812，即贷款月利率为0.20812%。 （2） 数学实验报告9约束优化 一、实验目的 1.掌握数据的参数估计、假设检验的基本原理、算法，及用MATLAB实现的方法； 2. 练习用这些方法解决实际问题。 二、实验内容 题目1 【问题描述】 据说某地汽油的价格是115美分/gal，为了验证这种说法，一位司机开车随机选择了一些加油站，得到某年1月和2月的数据如下： 1月 2月 (1)分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性； (2)分别给出1月和2月汽油价格的置信区间( )； (3)分别给出1月和2月汽油价格差的置信区间( )。 【分析与解】 检验数据是否服从正态分布，在Matlab中编程如下： format compact clear; clc; x1 = [119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118]; x2 = [118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125]; h1 = jbtest(x1) h2 = jbtest(x2) h11 = lillietest(x1) h12 = lillietest(x2) 运行以上代码，得到如下结果： h1 = h2 = h11 = h12 = 结果说明数据服从正态分布，所以可以使用正态分布的相关性质进行假设检验。 为验证上述说法，在Matlab中编程如下： clc mean1 = mean(x1) mean2 = mean(x2) [mm1 ss1 mmm1 sss1] = normfit(x1,0.05) [mm2 ss2 mmm2 sss2] = normfit(x2,0.05) 线性代数实验报告 2014年1月 一．实验目的 通过以下六道线性代数练习题，熟悉Matlab的基本应用与编程技巧，学会运用Matlab的一些主要功能。命令，通过建立数学模型解决理论或实际问题。提高学习数学的积极性，提高对数学的应用意识并能够用所学的数学知识结合计算机技术去认识和解决实际问题，从而使数学学习更有创造性。进而更加深刻的理解线性代数中的基本概念和基本计算方法，在对行列式，矩阵的秩，矩阵的特征值等典型问题理解更加透彻，运用更加得心应手，真正做到理论与实践相结合。 二．实验过程 1.实验题目 已知矩阵A={{4，-2，2}{-3，0，5}{1，5，3}}，B={1，3，4}{-2，0，-3}{2，-1，1}}，在MATLAB命令窗口中建立A，B矩阵并对其进行以下操作： (1)计算矩阵A的行列式。 (2)分别计算下列各式：2A-B，A*B和A.*B，AB^-1，A^-1B，A^2,A^T 实验过程： (1)按要求输入A,B矩阵，用det(A)求A的行列式。 (2)A*B计算矩阵A与B相乘所得的矩阵而A.*B用于计算矩阵A与B矩 阵对应元素分别相乘，二者是有区别的。在MATLAB中用A’标示A 的转置，用A\B计算在矩阵B可逆的情况下AB^-1而A.\B表示A可逆的情况下A^-1B，乘方表示与实数相同。 实验结果： 2.实验题目 在MATLAB中分别利用矩阵的初等变换及函数rank,函数inv求下列矩阵的秩： (1)A={{1,-6,3,2}{3,-5,4,0}{-1,-11,2,4}}求Rank(A) (2)B={{3,5,0,1}{1,2,0,0}{1,0,2,0}{1,2,0,2}},求B^-1 实验过程： 数学建模的实验报告 数学建模实验报告示例如下: 实验名称:社交网络分析中的协同过滤 实验目的:研究社交网络中的协同过滤算法,并比较其性能和效率。 实验设计: 1. 数据收集:从Facebook的公开数据集中获取了20个城市居民的用户数据,包括他们的个人资料、社交关系和浏览记录等。每个用户被标记为一个或多个好友、关注者或喜欢某个特定话题的人。共收集了7000个用户数据点。 2. 数据预处理:对数据进行清洗和特征提取。清洗数据是为了删除无用的信息,提取特征则是为了将数据转化为计算机能够理解的形式。 3. 模型选择和训练:选择协同过滤算法,并使用数据集训练模型,包括K-近邻算法、Apriori算法、朴素贝叶斯算法和聚类算法等。 4. 模型评估:使用测试集对不同算法的性能进行评估。计算模型的准确性、召回率、精确度、F1值等指标,并比较不同算法之间的性能。 5. 应用测试:使用测试集尝试在实际应用中应用模型。将模型应用于新的数据集,评估模型的性能和效率,并进行模型的优化和改进。 实验结果: 1. 结果概述:经过预处理和特征提取后,共产生了7000个用户 数据点,其中5566个用户被标记为好友、关注者或喜欢某个特定话题的人。共1897个用户数据点被保留,用于评估模型的性能。 2. 模型评估指标: 准确性:模型预测的准确率。 召回率:模型从测试集中返回的真实用户中,能够被预测为好友或关注者的比例。 精确度:模型预测的精确度。 F1值:在测试集中,模型预测正确的用户数量与实际用户数量之比。 实验结果显示,K-近邻算法的性能最好,召回率为74.06%。Apriori算法的性能次之,准确性为72.32%。朴素贝叶斯算法的性能最次,召回率为69.71%。聚类算法的精确度最低,为68.91%。 3. 应用测试结果: 在实际应用中,将模型应用于新的数据集,评估模型的性能和效率。实验结果显示,K-近邻算法的应用性能最好,召回率为89.46%。Apriori算法的应用性能次之,召回率为78.21%。朴素贝叶斯算法的应用性能最次,召回率为76.86%。聚类算法的应用性能最低,召回率为74.08%。 结论: 该实验研究了社交网络中的协同过滤算法,比较了不同的算法在性能和效率方面的表现。实验结果显示,K-近邻算法在协同过滤算法中表现最好,召回率为74.06%。Apriori算法的性能次之,准确性为 非线性方程的解法 实验1.算法设计与比较 问题提出：非线性方程组的求解方法很多，基本的思想是线性化。不同的方法效果如何，要靠计算的实践来分析、比较。 实验内容：考虑算法 (1)牛顿法 (2)拟牛顿法 分别编写它们的matlab程序。 实验要求： (1)用上述方法，分别计算两个例子。在达到精度相同的前提下，比较迭代次数、浮点运算次数和CPU时间等。 1.1程序清单 为使用flops统计浮点运算次数，使用MATLAB5.3版本 %f1.m原函数f1 function y=f(x) y(1)=12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7; y(2)=x(1)^2+10*x(2)-x(3)-8; y(3)=x(2)^3+10*x(3)-8; end %ff1.m原函数f1的雅克比矩阵 function y=ff(x) y(1,:)=[12,-2*x(2),-4]; y(2,:)=[2*x(1),10,-1]; y(3,:)=[0,3*x(2)^2,10]; end %f1.m原函数f2 function y=f2(x) y(1)=3*x(1)-cos(x(2)*x(3)) -1/2; y(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06; y(3)=exp(-x(1)*x(2))+20*x(3)+1/3*(10*pi-3); end %ff2.m原函数f2的雅克比矩阵 function y=ff2(x) y(1,:)=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3))]; y(2,:)=[2*x(1),-2*81*(x(2)+0.1),cos(x(3))]; y(3,:)=[-x(2)*exp(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(-x(1)*x(2)),20]; end %牛顿法(以第一个方程组为例) clear; x0=[0,0,0]'; n=10; tol=1e-6; x(:,1)=x0; i=1;u=[1,1,1]'; tic; while (norm(u)>tol*norm(x(:,i))&(i 数学建模实验报告 -流水问题 一．问题描述 三个横截面积为常数A，高分别为H1，H2，H3的水池都盛满了水，都由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为v〔i〕=sqrt〔2*g*h〔i〕〕，求水流空所需的时间。二．前提假设 1.假设在一段极微小的时间间隔dt，三个浴缸的高度变化速率 以及三个排水口的排水速率是一个不变化的定值。 2.排水速率仅与水池高度有关。 3.排水口的高度为水池最低处，即不会出现因水位低于排水口 而无法排完水的现象。 三．问题分析 将此问题抽象成数学问题：求初值分别为H1，H2，H3的函数h1，h2，h3随时间变化的函数，以及他们变为0所需的时间〔设水池1，2，3的流出速度为v1，v2，v3〕。根据任何一个水池水量在一个时间微元的减少量等于流出量减去流入量可以得到如下关系： B A。 浴缸1(/2 水池2：2*2*1* -∆=∆-∆。两边取极限后得-dh2*A= ds2*B- h A s B h A dh1*A 。注意到|dh1*A|= |ds1*B|,除以dt 可得(-dh2/dt)*A= (v2-v1)*B ，化简并带入v1的函数表达式可得 (2/)*dh dt A B -=，再代入h1的表达式 (/2B A -可以得到如下的常微分方程 (2/)*(/2))*dh dt A B A B -=。这是一个非线性常微分方程，难以得到解析解〔并非不可求，可用待定系数法等求解，但是在此处求出解析解并不是建模的重点，因为即使h2存在解析解，h3也不一定存在，而对于求出排水时间图，求出近似解更为重要〕，在这里我们采用计算方法中的一些数值计算方法求出几组h2和t2，v2的近似解。 浴缸 3：3*3*2*h A S B h A -∆=∆-∆，由此递推公式可得如下微分 方程：(3/)/dh dt B -=，可以用Euler 法求出近似 解。 四． 问题求解 对于h1，书上已给出解法，即用一个微分方程求解，在 此不做累述。在代码中，我们用一个数组arrayt 记录时间，一 个数组h1记录水位高度，然后对应画图。 本局部Matlab 代码如下： A=2; B=1; H=10; g=10; h=H; temp=0; t=0; tf=0 微分方程数值解实验报告 微分方程数值解实验报告 一、引言 微分方程是数学中一类重要的方程，广泛应用于各个科学领域。在实际问题中，往往难以得到微分方程的解析解，因此需要借助数值方法来求解。本实验旨在 通过数值解法，探索微分方程的数值解及其应用。 二、数值解法介绍 常用的微分方程数值解法有欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。在本实验中，我们将采用改进欧拉法进行数值解的求取。 改进欧拉法是一种一阶的显式迭代法，其基本思想是将微分方程的导数用差商 来近似表示，并通过迭代逼近真实解。具体迭代公式如下： \[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2} \cdot f(x_n, y_n))\] 其中，\(y_n\)表示第n步的近似解，\(h\)表示步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程 的导数。 三、实验步骤 1. 确定微分方程及初始条件 在本实验中，我们选择经典的一阶常微分方程：\[y' = -2xy\]并给定初始条件 \(y(0) = 1\)。 2. 设置步长和迭代次数 为了得到较为准确的数值解，我们需要合理选择步长和迭代次数。在本实验中，我们将步长设置为0.1，迭代次数为10。 3. 迭代计算数值解 根据改进欧拉法的迭代公式，我们可以通过编写计算程序来求解微分方程的数 值解。具体计算过程如下： - 初始化：设定初始条件\(y_0 = 1\)，并给定步长\(h = 0.1\)。 - 迭代计算：使用改进欧拉法的迭代公式，通过循环计算得到\(y_1, y_2, ..., y_{10}\)。 - 输出结果：将计算得到的数值解输出，并进行可视化展示。 四、实验结果与分析 通过以上步骤，我们得到了微分方程的数值解\(y_1, y_2, ..., y_{10}\)。将这些数 值解进行可视化展示，可以更直观地观察到解的变化趋势。 根据实验结果，我们可以发现随着迭代次数的增加，数值解逐渐逼近了真实解。同时，我们还可以观察到解的曲线形状，进一步分析微分方程的特性和行为。五、实验总结 通过本次实验，我们深入了解了微分方程数值解的求取过程，并通过改进欧拉 法进行了实际求解。实验结果表明，数值解能够较好地逼近真实解，为实际问 题的求解提供了有效的数值方法。 然而，需要注意的是，数值解仍然是近似解，其精度受到步长和迭代次数的影响。因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求，合理选择步长和迭 代次数，以获得更精确的数值解。 六、参考文献 [1] Burden, R., & Faires, J. (2010). 数值分析（第8版）. 北京: 高等教育出版社。 [2] Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2010). 数值方法（第6版）. 北京: 清华大学出 版社。 概率论实验报告 概率论实验报告 引言： 概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件的规律性和不确定性。通过实 验的方式，我们可以验证概率论中的理论，并且更好地理解概率的概念和应用。本实验旨在通过一系列实验来探索概率的基本原理，并通过实验结果来验证概 率论的一些重要结论。 实验一：硬币投掷实验 我们首先进行了硬币投掷实验。我们将一枚硬币投掷了100次，并记录了正面 朝上的次数。根据概率论的理论，硬币的正反面出现的概率应该是相等的，即 为0.5。我们通过实验发现，正面朝上的次数约为50次，与理论值非常接近。 这说明在大量的投掷中，硬币的正反面出现的概率是非常接近的。 实验二：扑克牌抽取实验 接下来，我们进行了扑克牌抽取实验。我们从一副完整的扑克牌中抽取了10张牌，并记录了其中红桃牌的数量。根据概率论的理论，一副扑克牌中红桃牌的 概率应该是1/4，即25%。我们通过实验发现，在10次抽取中，红桃牌的数量 平均为2.5张，非常接近理论值。这进一步验证了概率论中的概率计算方法的 准确性。 实验三：骰子掷出特定数字的实验 我们接着进行了骰子掷出特定数字的实验。我们将一个六面骰子掷了100次， 并记录了掷出数字6的次数。根据概率论的理论，每个数字出现的概率应该是 1/6，即16.67%。我们通过实验发现，在100次掷骰子中，掷出数字6的次数 约为16次，非常接近理论值。这进一步验证了概率论中的概率计算方法的准确性。 实验四：生日悖论实验 最后，我们进行了生日悖论实验。根据生日悖论的理论，当有23个人时，至少有两人生日相同的概率超过50%。我们随机选择了23个人，并记录了他们的生日。通过实验发现，其中有两人生日相同，实验结果与理论相符。这个实验引发了我们对概率的深入思考，概率的计算并不总是直观的，有时候会出现令人意想不到的结果。 结论： 通过以上一系列实验，我们验证了概率论中的一些重要结论。实验结果与理论值非常接近，证明了概率论的准确性和可靠性。概率论在现实生活中有着广泛的应用，例如在统计学、金融学、物理学等领域。通过实验的方式，我们更好地理解了概率的概念和应用，并且对概率的计算方法有了更深入的了解。 总结： 通过本次实验，我们深入探索了概率论的基本原理，并通过实验结果验证了其中的一些重要结论。概率论在现实生活中有着广泛的应用，对于我们理解和解决不确定性问题非常重要。通过实验的方式，我们更加直观地感受到了概率的概念和应用，对概率论的学习也更加深入和实际。希望通过这次实验，我们对概率论有了更深入的认识，并能够将其应用于实际问题的解决中。 坐标变换实验报告 坐标变换实验报告 引言： 在物理学和工程学中，坐标变换是一种常见的操作，用于将一个坐标系中的点 转换到另一个坐标系中。坐标变换在计算机图形学、机器人学以及航天航空等 领域中广泛应用。本实验旨在通过实际操作，深入理解坐标变换的原理和应用。 一、实验目的 本实验的目的是通过实际操作，掌握坐标变换的基本原理和方法，能够在二维 和三维空间中进行坐标变换，并应用于实际问题中。 二、实验原理 1. 二维坐标变换 在二维空间中，坐标变换可以通过平移、旋转和缩放等操作实现。平移操作将 点沿着给定的平移向量移动，旋转操作将点绕着给定的旋转中心旋转一定角度，缩放操作将点按照给定的比例进行缩放。 2. 三维坐标变换 在三维空间中，坐标变换除了平移、旋转和缩放外，还可以包括投影和镜像等 操作。投影操作将三维点映射到二维平面上，镜像操作将点关于给定平面进行 对称。 三、实验步骤 1. 二维坐标变换实验 首先，我们选择一个二维平面上的点P(x,y)，然后进行平移、旋转和缩放操作。通过实际操作，我们可以观察到点P在坐标变换后的位置变化。 2. 三维坐标变换实验 接下来，我们将实验扩展到三维空间。选择一个三维空间中的点P(x,y,z)，进行平移、旋转、缩放、投影和镜像等操作。通过实际操作，我们可以观察到点P 在坐标变换后的位置和形状变化。 四、实验结果与分析 通过实验，我们可以得到坐标变换后点的新坐标。通过对比变换前后的坐标，我们可以分析坐标变换对点的位置和形状的影响。 在二维坐标变换实验中，我们可以观察到平移操作将点在平面上移动，旋转操作将点绕着某个中心旋转，缩放操作将点按照比例进行缩放。这些操作可以用于计算机图形学中的图形变换。 在三维坐标变换实验中，我们可以观察到平移操作将点在空间中移动，旋转操作将点绕着某个中心旋转，缩放操作将点按照比例进行缩放。投影操作将三维点映射到二维平面上，镜像操作将点关于给定平面进行对称。这些操作在机器人学和航天航空等领域中具有重要的应用价值。 五、实验总结 通过本实验，我们深入理解了坐标变换的原理和应用。坐标变换是一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。掌握坐标变换的基本原理和方法，对于解决实际问题具有重要意义。 六、参考文献 [1] 《计算机图形学与多媒体技术》, 刘寅, 清华大学出版社, 2018. [2] 《机器人学导论》, 王宇, 机械工业出版社, 2019. 注：本实验报告仅供参考，不得作为实验报告的抄袭内容。 数学试验汇报 试验序号: 8 日期: 6/5 域面积。试分析[程序甲]和[程序乙]不一样之处。试问: 哪一个程序是对？为何？4．分析附录中[程序丙]和[程序丁]设计本意。请问她们为何都是错误？ 5．设计一个三维投点蒙特卡罗法计算π。并比较运行结果与二维投点蒙特卡罗法运行结果, 哪个更正确些。 提醒: 投点落在单位正方体内切球体内部。 试验过程统计（含基础步骤、关键程序清单及异常情况统计等）: 1．经过试验, 填写完成表格2~6数据 试验1: 投掷均匀骰子, 验证各点数出现概率是否为1/6 表2 试验次数/n 10000 10000 10000 10000 10000 10000 国徽朝上频率0.4968 0.5078 0.4936 0.4999 0.5007 0.5004 国徽朝下频率0.5031 0.4978 0.4991 0.4943 0.5017 0.5019 试验2: 投掷均匀骰子, 验证各点数出现概率是否为1/6 表3 试验次数n 10000 10000 10000 10000 10000 出现一点频率0.1715 0.1675 0.1704 0.166 0.1683 出现二点频率0.1661 0.1628 0.1617 0.1648 0.1673 出现三点频率0.1629 0.1656 0.1685 0.1676 0.1748 出现四点频率0.1723 0.1629 0.1638 0.166 0.1616 出现五点频率0.161 0.17 0.1676 0.1658 0.1634 出现六点频率0.1662 0.1712 0.168 0.1698 0.1646 试验3: 利用蒙特卡罗（monte carlo）投点法计算π。 表4 试验次数n 100000 100000 100000 100000 100000 100000 所得π近似值 3.1384 3.1452 3.1382 3.1385 3.1422 3.1321 高等数学数学实验报告 实验一 一、实验题目 观察数列极限 二、实验目的和意义 通过作图观察数列极限：n趋向于无穷时，（1+1/n）^n 三、计算公式 四、程序设计 data = Table[(1 + 1/i)^i, {i, 30}]; ListPlot[data, PlotRange -> {2, 3}, PlotStyle -> PointSize[0.018]] 五、程序运行结果 六、结果的讨论和分析 通过图像观察出数列趋向于重要极限e 实验二 一、实验题目 一元函数图形及其性态 二、实验目的和意义 制作函数y=sincx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响 三、计算公式 请写出在程序中所需要的计算公式。比如定积分的数值计算中，如用梯形法计算的，请描述梯形法的公式。 四、程序设计 Animate[Plot[Sin[c x], {x, 0, 10}, PlotRange -> {-1, 1}], {c, -1, 4, 1/3}] 五、程序运行结果 0.5 1.0 0.5 1.0 1.0 0.5 六、结果的讨论和分析 通过图像观察出常数c 影响y=sincx 的周期和频率，函数周期为2Pi/c,频率为c/2Pi. 实验三 一、实验题目 泰勒公式与函数逼近 二、实验目的和意义 对y=cosx 分别在[-Pi,Pi],[-2Pi,2Pi]上进行n 阶泰勒展开 三、计算公式 请写出在程序中所需要的计算公式。比如定积分的数值计算中，如用梯形法计算的，请描述梯形法的公式。 四、程序设计 （1）t = Table[Normal[Series[Cos[x], {x, 0, i}]], {i, 0, 12, 2}]; PrependTo[t, Cos[x]]; Plot[Evaluate[t], {x, -Pi, Pi}] （2）For[i = 0, i <= 10, a = Normal[Series[Cos[x], {x, 0, i}]]; Plot[{a, Cos[x]}, {x, -Pi, Pi}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 1], RGBColor[1, 0, 0]}]; i = i + 2] (3)For[ =6, ≤16, =Normal[Series[Cos[ ],{ ,0, ,Cos[ ]},{ ,−2Pi,2Pi}, PlotStyle→{RGBC olor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}]; = +2] (4)tt[x0_]:=Normal[Series[Cos[ ],{ ,x0,6}]];gs0=tt[0];gs3=tt[3];gs6=tt[6];Plot[{Cos [ ],gs0,gs3,gs6},{ ,−3Pi,3Pi},PlotRange→{−2,2},PlotStyle→{RGBColor[0,0,1],RGB Color[1,0,1],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0]}] (5) f[x_]:=Sin[x 2]; a=0;b=0.5Pi;m2=N[f''[0.0000635627]];dalta=10^(-4);n0=90; t[n_]:=(b-a)/n×((f[a]+f[b])/2+Sum[f[a+i×(b-a)/n],{i,1,n-1}]); Do[Print[n," ",N[t[n]]]; If[(b-a)^3/(12n^2)×m2 实验六 多元函数微分法及其应用 6.1 实验目的 掌握利用Mathematica 软件计算偏导数、全微分、空间曲线的切线与法平面、 曲面的切平面与法线、二元函数的等值线、多元函数极值的方法； 通过实验进一步熟悉多元函数微分法及其应用的有关内容。 6.2 实验内容 一、 偏导数 实验题1 求.tan ln y x z =的偏导数。 [实验]输入： 即有： .2csc 2, 2csc 22 y y x x y z y y x x z -=∂∂=∂∂ 实验题2 验证函数nx e y t kn sin 2-=满足方程：22x y k t y ∂∂=∂∂。 [实验]输入： y @x _,t_D :=ã-k n 2t Sin @n x D ; D @y @x ,t D ,t D -k D @y @x ,t D ,x,x D 得结果：0 即有：22x y k t y ∂∂=∂∂。 二、 全微分 实验题3 计算函数yz x u =的全微分。 [实验]输入： u @x _,y_,z_D :=x y z ;Dt @u @x ,y,z D 得结果： @D 即有：.ln ln 1xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ++=- 三、 多元复合函数的求导 实验题4 ..23,,ln 2y z x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===和求而设 [实验]输入： 得结果： 即有： .)23(2)23ln(2)23(3)23ln(22 2 322 2 2y y x x y x y x y z y y x x y x y x x z ----=∂∂-+-=∂∂ 四、 空间曲线的切线与法平面 实验题5 画出曲线 ..2sin 4,cos 1, sin ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ =-=-=t z t y t t x 在点)22,1,12(-π 处的切线及 法平面。 [实验]输入： 得结果：91,1, !!2 = 再输入： 高等数学数学实验报告 实验人员：院（系） _土木工程学院___学号____05109225_姓名___唐涛____ 实验地点：计算机中心机房 实验一 一、实验题目 作图，观察极限。 二、实验目的和意义 极限是高等数学中最基本的概念之一，初学者往往理解不够准确。利用图像，数形结合，可以便于初学者直观的认识极限。加深对极限的了解。 三、计算公式 四、程序设计 五、程序运行结果 3 2.75 2.5 2.25 2 1.75 1.5 1.25 1.52 2.53 3.54 六、结果的讨论和分析 由图中可以看到极限无限靠近某个值。观察比较方便，利于初学者的学习。 实验二 一、实验题目 制作函数y=sincx的图形动画，观察c对函数图形的影响。 二、实验目的和意义 本实验的目的是让同学熟悉数学软件Mathematica所具有的良好的作图功能，并通过函数图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关性态，建立数形结合的思想。 三、计算公式 y=sincx 四、程序设计 五、程序运行结果 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.75 -0.5-0.250.25 0.50.751-3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.75 -0.5-0.250.25 0.50.751-3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.75 -0.5-0.250.25 0.50.751-3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.75 -0.5-0.250.25 0.50.751-3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.75 -0.5-0.250.25 0.50.751 六、结果的讨论和分析 由实验结果我们可以清楚地认识到参数c 对函数图形的影响。诸如改变了函数的周期. 数值分析实验报告-清华大学--线性代数方程组的数值解法(总15页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 线性代数方程组的数值解法 实验1. 主元的选取与算法的稳定性 问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 n n n R b R A b Ax ∈∈=⨯,, 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。 实验要求： （1）取矩阵⎥⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。取 n=10计算矩阵的条件数。让程序自动选取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。 程序清单 n=input('矩阵A 的阶数:n='); A=6*diag(ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+8*diag(ones(1,n-1),-1); b=A*ones(n,1); p=input('计算条件数使用p-范数,p='); cond_A=cond(A,p) [m,n]=size(A); 数学实验报告非线性方程求解 一、实验目的 1.掌握用 MATLAB 软件求解非线性方程和方程组的基本用法， 并对结果作初步分析； 2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。 二、实验内容 题目1 【问题描述】 (Q1)小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？ (Q2)某人欲贷款50 万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15 年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000 元，20 年还清。从利率方面看，哪家银行较优惠（简单假设：年利率=月利率×12）？ 【分析与解】 假设初始贷款金额为x0，贷款利率为p，每月还款金额为x，第i个月还完当月贷款后所欠银行的金额为x i，(i=1,2,3,......,n)。由题意可知： x1=x0(1+p)−x x2=x0(1+p)2−x(1+p)−x x3=x0(1+p)3−x(1+p)2−x(1+p)−x …… x n=x0(1+p)n−x(1+p)n−1−⋯−x(1+p)−x =x0(1+p)n−x (1+p)n−1 p =0 因而有： x0(1+p)n=x (1+p)n−1 p (1) 则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。 (Q1) 根据公式(1)，可以得到以下方程： 150p(1+p)180−(1+p)180+1=0 设 f(p)=150p(1+p)180−(1+p)180+1，通过计算机程序绘制f(p)的图像以判断解p的大致区间，在Matlab中编程如下： for i = 1:25 t = 0.0001*i; p(i) = t; f(i) = 150*t*(1+t).^180-(1+t).^180+1; end; plot(p,f),hold on,grid on; 运行以上代码得到如下图像： 数值分析实验报告 一、 实验3.1 题目： 考虑线性程组b Ax =，n n R A ⨯∈，n R b ∈，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数程组的Gauss 消去过程。 （1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6816816816 A ，⎥⎥ ⎥ ⎥⎥ ⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157 b ，则程有解()T x 1,,1,1*⋯=。取10 =n 计算矩阵的条件数。分别用顺序Gauss 消元、列主元Gauss 消元和完全选主元Gauss 消元法求解，结果如？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。 1. 算法介绍 首先，分析各种算法消去过程的计算公式， 顺序高斯消去法： 第k 步消去中，设增广矩阵B 中的元素() 0k kk a ≠（若等于零则可以判定系数 矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对k 行以下各行计算() () ,1,2,,k ik ik k kk a l i k k n a ==++， 分别用ik l -乘以增广矩阵B 的第k 行并加到第1,2, ,k k n ++行， 则可将增广矩阵B 中第k 列中() k kk a 以下的元素消为零；重复此法，从第1步进行到第n-1步，则可以得到最终的增广矩阵，即()()(),n n n B A b ⎡⎤=⎣ ⎦； 列主元高斯消去法： 第k 步消去中，在增广矩阵B 中的子阵()()()()k k kk kn k k nk nn a a a a ⎡⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ 中，选取() k k i k a 使得()(k) max k k i k ik k i n a a ≤≤=，当k i k ≠时，对B 中第k 行与第k i 行交换，然后按照和顺序消去 法相同的步骤进行。重复此法，从第1步进行第n-1步，就可以得到最终的增广矩阵，即( ) ()()111,n n n B A b ⎡⎤=⎣ ⎦； 完全主元高斯消去法： 第k 步消去中，在增广矩阵B 中对应的子阵()()()()k k kk kn k k nk nn a a a a ⎡⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦ 中，选取()k k k i j a 使得()(k) max k k k i j ij k i n k j n a a ≤≤≤≤=，若k i k ≠或k j k ≠，则对B 中第k 行与第k i 行、第k 列与第k j 列 交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行即可。重复此法，从第1步进行到数学建模的实验报告
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