04183 概率论与数理统计(经管类)讲义

第一章随机事件与概率

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本章概述

内容简介

本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。

考情分析

内容讲解

§1.1 随机事件

1.随机现象：

确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象：

随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例：

E 1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E 2：掷一枚骰子，观察出现的点数。

E 3：记录110报警台一天接到的报警次数。

E 4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E 5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。

E 6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。

随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。

样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。

3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。

必然事件：一定发生的事件，记作

不可能事件：永远不能发生的事件，记作

4.随机事件的关系和运算

由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。

（1）事件的包含和相等

包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作

，或。

2007年4月2007年7月2007年10月单项选择题2题4分3题6分2题4分填空题4题8分4题8分4题8分

计算题1题8分1题8分 合 计

7题20分

8题22分

6题12分

性质：

例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。

注：与集合包含的区别。

相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。

（2）和事件

概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。 解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。

性质：①，；②若；则。

推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和

举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则A∪B{1，2，5，6}

（3）积事件

概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。

解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。

性质：①，；② 若，则AB＝A。

推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和。

举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝{3, 4}

（4）差事件

概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.

性质：① A－；② 若

，则A－B＝

。

举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则A－B＝{1，2} （5）互不相容事件

概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则称事件A与事件B互不相容。

推广：n个事件A

1，A 2，…，A n 两两互不相容，即A i A j ＝，i≠j，i，j＝1，2，…n。 举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。 （6）对立事件：

概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做. 解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝?

举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于2”则A与B相互对立

性质：①；

②，；

③A－B＝＝A－AB；

注意：教材第5页的第三条性质有误。

④A与B相互对立A与B互不相容.

小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；

运算：和，积，差，对立.

（7）事件的运算性质

①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；

②（和、积）结合律 （A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；

③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）

④对偶律 ；.

例1 习题1.1，5（1）（2）

设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明：

【答疑编号：12010201】

证明：

【答疑编号：12010202】

证明：

例2.习题1.1，6

请用语言描述下列事件的对立事件：

（1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”；

【答疑编号：12010203】

答案：：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。

（2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。

【答疑编号：12010204】

答案：：“生产4个零件，没有1个是合格的”。

§1.2 概率1.频率与概率

（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A发生n

A 次，则称n

A

为事件A发生的频数；而比值n

A

/n称为事件A发生的

频率，记作f

n

（A）.

（2）f

n （A）的试验特性：随n的增大，f

n

（A）稳定地趋于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）.

（3）由频率的性质推出概率的性质

①推出①

②，推出②P（ф）＝0，P（?）＝1

③A，B互不相容，推出③P（A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可列多个.

2.古典概型

概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：

①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；

②每个基本事件发生的可能性相同。

计算公式：

例3.P9 例1－8。

抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”，B表示“3次均出现正面”，C表示“至少一次出现正面”，试求P （A），P（B），P（C）。

【答疑编号：12010301】

解法1 设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间?={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT}，样本点总数n=8，又因为

A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}，

C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}，

所以A，B，C中样本点数分别为

r A =3，r

B

=1，r

c

=7，

则

解法2 抛一枚硬币3次，基本事件总数n=23，事件A包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反面”，i＝1，2，

3，而且r

A

=3。

显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数r

B

=1

它包含的基本事件数r

C =n-r

B

=23-1=7，

故

例4.P10 例 1－12。

一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况： （1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；

【答疑编号：12010302】

（2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽取一件。

【答疑编号：12010303】

试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。

解：（1）

（2）

3.概率的定义与性质

（1）定义：设?是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为

P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件：

①P（A）≥0；

②P（?）＝1；

③设，，…，，…是一列互不相容的事件，则有

.

（2）性质

①，；

②对于任意事件A，B有；

③；

④.

例5.习题1.2 11

设P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（A－B）＝0.3，求

【答疑编号：12010304】

解：（1）P（A－B）＝P（A）－P（AB）

∴P（AB）＝P（A）－P（A－B）

＝0.7－0.3＝0.4

例6. 习题1.2 13

设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，P（AB）＝P（BC）＝，P（AC）＝0。求：

（1）A，B，C中至少有一个发生的概率；

【答疑编号：12010305】

（2）A，B，C全不发生的概率。

【答疑编号：12010306】

解：

（1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为

P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）

§1.3 条件概率

1.条件概率与乘法公式

条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）.

例7 P13例 1－17.

某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，试问： （1）该职工技术优秀的概率是多少？

【答疑编号：12010401】

（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？

【答疑编号：12010402】

解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：

（1）

（2）

计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则。

乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）；

当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）.

推广：

①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）

②设，则

例8 P15例 1－22.

盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。

【答疑编号：12010403】

（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率为

解：设A

i

2.全概率公式与贝叶斯公式

（1）划分：设事件，，…，满足如下两个条件：

①，，…，互不相容，且，i＝1，2，…，n；

②，即，，…，至少有一个发生，则称，，…，为样本空间?的一个划分。

当，，…，为样本空间?的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。

（2）全概公式：设随机试验的样本空间为?，，，…，为样本空间?的一个划分，B为任意一个事件，则.

证明：

注意：当0

式：

例9 P15例 1－24

盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，每次取一个，求第二次取球取到白球的概率。

【答疑编号：12010404】

解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，则

例10 P16 例1－25

在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废品率分别为5%，4%，3%，求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率。

【答疑编号：12010405】

解：设A

1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”，A

2

表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生

产”，A

3

表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”，B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”，则

由全概率公式得 ＝30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95%

（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为?，，，…，为样本空间?的一个划分，B为任意一个事件，且P （B）>0，则

，i＝1，2，…，n.

注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）；

②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义.

例题11 P17 例1－28

【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。

【答疑编号：12010406】

解：由贝叶斯公式，

例题12 P17 例1－29

【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？

【答疑编号：12010407】

解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则

P（A）=0.01，，P（B|A）=0.9，

由全概率公式得

=0.01×0.9+0.99×0.55=0.0585

再由贝叶斯公式得

§1.4 事件的独立性

1.事件的独立性

（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。

解释：事件A，B相互独立的含义是：尽管A，B同时发生，事件A发生的概率对事件B发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。

（2）性质：① 设P（A）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是。

证明：

② 若A与B相互独立，则A与，与B，与都相互独立。

证明：

只证，B相互独立

则只需证

=P（B）-P（AB）

=P（B）-P（A）P（B）

=P（B）[1-P（A）]

从而得证。

例题1.P19

【例1－30】两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。

【答疑编号：11010501】

解

设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”，则C=A∪B。

P（C）=P（A∪B）

=P（A）+P（B）-P（AB）

由题意，A，B相互独立

∴P（AB）=P（A）P（B）

=1-0.1×0.2=0.98

注：A，B相互独立时，概率加法公式可以简化为。

例题2.P19

【例1－31】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。

【答疑编号：11010502】

解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是相互独立的。所求概率为

P（AB）=P（A）P（B）=×=

点评：

有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。

不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。

注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。

（3）推广：① 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P（BC）＝P（B）P（C），

P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）

则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。

② 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足

P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P（BC）＝P（B）P（C），

则称A，B，C两两相互独立。

显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。

③ n个事件相互独立：设A

1，A

2

，…，A

n

为n个事件，若对于任意整数k

（1≤k≤n）和任意k个整数1≤i

1< i

2

< (i)

k

≤n满足

则称A

1，A

2

，…，A

n

相互独立，简称A

1

，A

2

，…，A

n

独立。

例题3.P21

【例1－34】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2，0.3，求敌机恰中一弹的概率。 【答疑编号：11010503】

解：设A

i

表示“第i门炮击中敌机”，i=1，2，3，B表示“敌机恰中一弹”。

其中，互不相容，且A

1，A

2

，A

3

相互独立，则

=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3

=0.398

2.n重贝努利试验

（1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）＝p（0

（2）计算：在n重贝努利试验中，设每次试验事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率Ｐ

n

（k）为

，k＝0，1，2，…，n。

事实上，A在指定的k次试验中发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率为

例题4.P22

【例1－36】一个车间有5台同类型的且独立工作的机器，假设在任一时刻t，每台机器出故障的概率为0.1，问在同一时刻 （1）没有机器出故障的概率是多少？

【答疑编号：11010504】

（2）至多有一台机器出故障的概率是多少？

【答疑编号：11010505】

解：在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独立的，故可看做5重贝努利试验，p=0.1，q=0.9。设A

表示“没有机

器出故障”，A

1表示“有一台机器出故障”，B表示“至多有一台机器出故障”，则B=A

∪A

1

。于是有：

（1）所求概率P（A

0）=P

5

（0）= =0.59049；

（2）所求概率P（B）= P（A 0）+ P（A1）==P5（0）+=P5（1）==0.91854。

例题5.P22

【例1－37】转炉炼钢，每一炉钢的合格率为0.7，现有若干台转炉同时冶炼。若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99%，问同时至少要有几台转炉炼钢？

【答疑编号：11010506】

解：设有n个转炉同时炼钢，各炉是否炼出合格钢是独立的，可看做n重贝努利试验，p=0.7，q=0.3，

{}={全不合格}

P{至少一炉合格}=1-P{全不合格}

=1-P

n

（0）

=1-q n =1-（0.3）n≥0.99

∴（0.3）n≤0.01

nlg0.3≤-2

n≥4

本章小结：

一、内容（见课本P23）

二、试题选讲

1.（401）设A与B互为对立事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列各式中错误的是（ ）

A.P（A）＝1－P（）

B.P（AB）＝P（A）P（B）

C.P（）＝1

D.P（A∪B）＝1

【答疑编号：11010507】

答案：B

2.（402）设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，则（ ）

A.P（AB）

B.P（A）

C.P（B）

D.1

【答疑编号：11010508】

答案：D

3.（701）从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的概率是（ ）

A.50/101

B.51/101

C.50/100

D.51/100

【答疑编号：11010509】

答案：A

4.（702）设事件A，B满足P（A）＝0.2，P（A）＝0.6， 则P（AB）＝（ ）

A.0.12

B.0.4

C.0.6

D.0.8

【答疑编号：11010510】

答案：B

5.（704）设每次试验成功的概率为p（0

A.1－（1－p）3

B.p（1－p）2

C.

D.p＋p 2＋p 3

【答疑编号：11010511】

答案：A

6.（411）设事件A， B相互独立，且P（A）=O.2， P（B）=0.4，则P（A∪B）＝____________。

【答疑编号：11010512】

答案：0.52

解析：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

7.（414）一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________。

【答疑编号：11010513】

答案：

解析：设A

1表示“甲厂生产”，A

2

表示“乙厂生产”

B：“次品”

8.（427）设P（A）＝0.4， P（B）＝0.5， 且P（）＝0.3， 求P（AB）。 【答疑编号：11010514】

答案：0.05

解析：

=0.05

9.（1014）20件产品中，有2件次品，不放回地从中连续取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为__________。

【答疑编号：11010515】

答案：

解析：{第二次取正品}={一次且二正}∪{一正且二正}

P{二正}=P{一次且二正}+P{一正且二正}

=

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同学们好！欢迎你来到自考365网校。

1.本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。

2.本课程不同于此前所学的其他课程，它是以研究某一结果出现的可能性为目的，运用统计方法进行推断、预测和决策，以便指导人们的行为；其内容更贴近人们的思维方式，因而有广泛的应用。

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4.自从2005年以来，自考数学的试题难度都有一定程度的降低。对于能够坚持学习，注意方法，反复收看讲座的学员来说，取得理想的成绩并不困难。希望学员们坚定信心，克服困难，坚持到底，取得优异成绩。

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第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

概率论与数理统计(经管类)公式

概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。

04183概率论与数理统计(经管类)

04183概率论与数理统计（经管类） 一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ?,则必有( B )。 A ．X 与Y 不相互独立 B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C ．X 与Y 相互独立 D ．D(XY)=D(X)D(Y 2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回， 则第二次抽出的是次品的概率为 A 。 A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。 A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞F C ．1)(0≤≤x F D ．)(x F 连续 4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。 A ．n k k m q p C B ．k n k k n q p C - C ．k n pq - D ．k n k q p - 5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则 (23)D X Y ++= C A ．8 B ．16 C ．20 D ．24 6．设n X X X Λ21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中 心极限定理得()1n i i P X a a =?? ≥???? ∑为常数的近似值为 B 。 A ．1a n n μσ-??-Φ ??? B ．1-Φ C ．a n n μσ-?? Φ ??? D ．Φ 7．设二维随机变量 的联合分布函数为，其联合分布律为 则(0,1)F = C 。 A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 8．设k X X X ,,,21Λ是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量2 2221k X X X Λ++服从 （ D ）分布 A ．正态分布 B ．t 分布 C ．F 分布 D ．2 χ分布 9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。 A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X P C ．21)0(=≤-Y X P D ．21)1(=≤-Y X P 10．设总体X~N (2,σμ)，2 σ为未知，通过样本n x x x Λ21,检验00:μμ=H 时，需要 用统计量（ C ）。

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名：

概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的

随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些

概率论与数理统计复习资料

自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统 §1.1 随机事件 1.随机现象： 确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象： 随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例： E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E3：记录110报警台一天接到的报警次数。 E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。 随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。 样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。 必然事件：一定发生的事件，记作 不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算 由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等 包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。 性质： 例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。 注：与集合包含的区别。 相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。 （2）和事件 概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。 解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。 性质：①，；②若；则。 推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和

自考复习资料概率论与数理统计(经管类)

概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ?，则AB 等于 A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 A ．81 B ． 14 C ． 38 D ．12 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A.41 B. 1 C. 21 4．已知离散型随机变量X 则下列概率计算结果正确的是 A ．P (X =3)=0.2 B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示： 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是 A ．a =0.2，b =0.6 B ．a =-0.1，b =0.9 C ．a =0.4，b =0.4 D ．a =0.6， b =0.2 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则P{XY=0}= A. 121 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2 σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验假 设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A.214σ B.2 13 σ C.212 σ D.2 σ 11．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (B A )=3 2 ，若事件A ，B 相互独立，则P (A ) A ． 91 B ． 6 1 C ．3 1 D ．21 12．对于事件A ，B ，下列命题正确的是 A ．如果A ，B 互不相容，则B ,A 也互不相容

概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1 )S (=P

概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=

10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）

04183概率论与数理统计(经管类)答案

概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ?，则AB 等于 B A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 C A ．81 B ． 14 C ． 38 D ．12 ？ 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A A.41 B.3 1 C. 21 4．已知离散型随机变量X ! 则下列概率计算结果正确的是D A ．P (X =3)= B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示：C 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是A ．a =，b = B ．a =，b = C ．a =，b = D ．a =， b = 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为D

则P{XY=0}= B A. 12 1 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= B A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为D | A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验假 设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 C A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A A.214σ B.2 13 σ C.212 σ D.2 σ 。

概率论与数理统计教程(茆诗松)

2004年7月第1版 2008年4月第10次印刷 第一章 随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域 定义1.1.1 设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) Ω∈?； (2)若A ∈?，则对立事件A ∈?； (3)若A n ∈?,n =1,2,…，则可列并 A n ∞n =1∈?. 则称?为一个事件域，又称为σ代数. 在概率论中，又称(Ω,?)为可测空间. 1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义 定义1.2.1设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈?，定义在?上的一个实值函数P (A )满足： (1)非负性公理 若A ∈?，则P A ≥0； (2)正则性公理 P Ω =1； (3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有 P A i ∞i =1 = P A i ∞ i =1 则称P (A )为事件A 的概率，称三元素(Ω,?,P )为概率空间. 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X (ω)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论与数理统计学习知识资料要点

知识要点 一 概念： 1 随机事件：用,,A B C 等表示 互不相容： AB =Φ 互逆： AB =Φ且A B ?=Ω ，此时，B A = 互逆 ?互不相容 ，反之不行 相互独立： ()()P A B P A =或()()()P AB P A P B = 2 随机事件的运算律： (1) 交换律 ：,A B B A AB BA ?=?= (2) 结合律 ：()(),()()A B C A B C AB C A BC ??=??= (3) 分配律 ： (),()()()A B C AB AC A BC A B A C ?=??=?? (4 ) De Morgen 律（对偶律） B A B A =? B A AB ?= 推广： 11 n n i i i i A A ===U I 1 1 n n i i i i A A ===I U 3 随机事件的概率：()P A 有界性 0()1P A ≤≤ 若A B ? 则()()P A P B ≤ 条件概率 () ()() P AB P A B P B = 4 随机变量： 用大写,,X Y Z 表示 . 若X 与Y 相互独立的充分必要条件是)()(),(y F x F y x F Y X = 若X 与Y 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = 若X 与Y 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是(,)()()X Y p x y p x p y =

若X 与Y 不相关，则cov(,)0X Y = 或 (,)0R X Y = 独立?不相关 反之不成立 但当X 与Y 服从正态分布时 ，则相互独立 ?不相关 相关系数：1),(≤Y X R 且当且仅当bX a Y +=时1),(=Y X R ，并且 ???<->=0,10 ,1),(b b Y X R 二 两种概率模型 古典概型 ：()M P A N = :M A 所包含的基本事件的个数 ；:N 总的基本事件的个数 伯努利概型 ： n 次独立试验序列中事件A 恰好发生m 次的概率 ()m m n m n n P m C p q -= n 次独立试验序列中事件A 发生的次数为1m 到2m 之间的概率 2 1 12()()m n m m P m m m P m =≤≤= ∑ n 次独立试验序列中事件A 至少发生r 次的概率 1 ()()1()n r n n m r m P m r P m P m -==≥==-∑∑ 特别的 ，至少发生一次的概率 (1)1(1)n P m p ≥=-- 三 概率的计算公式： 加法公式：()()()()P A B P A P B P AB ?=+- 若B A ,互不相容 ,则)()()(B P A P B A P +=+ 推论：)()(A P A P -=1 推广： )()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 若B A ,，C 互不相容，则()()()()P A B C P A P B P C ++=++ 乘法公式：)()()(A B P A P AB P =或()()P B P A B = 若,A B 相互独立 ，()()()P AB P A P B = 推广：)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛΛΛΛΛ 若它们相互独立，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =L L L L

概率论与数理统计学习感想

学习概率论感想一点 因为辅修的缘故，在上学期的时候我选修了数科开设的概率论课程，那个时候觉得课程难度好大，也许由于数科同学们的基础相较于我要好，老师基本都不告诉每个要点出现的前因后果，就直接讲问题的处理方法，并且课本上差不多全都是公式的证明，实际运用的部分很少，所以上学期课程结束之后非但没有让我了解概率论是什么在我们生活中有什么作用，反而让我觉得概率论是一门高深学术的学科。这学期上了概率论与数理统计课程之后，概率论的思想体系终于被理清楚了，我才知道原来每个部分之间的关联是怎样的，每个分布的导出是怎样的可以怎样运用，明白了概率论的思想不是枯燥的证明，它在实际生活中的运用也是很广泛的，与我们的生活密切相关。 让我印象深刻的是每个分布在实际生活中的运用，并且当我在生活中遇到一些问题就会自然而然的联想到老师上课讲的知识点。有一次我和同学一起去银行办理业务，我们一行三个人，在排队拿号的时候，本着礼让的原则，我拿到了我们三个人当中最靠后的号码，我们坐在那里等的时候，我同学说：“我前面还有4个人，你前面还有6个人。不过没事，我们办完了会等你的。”这个时候我想到了指数分布，我说：“虽然我是最后拿到号码的，不过我不一定是最后一个办完的哦，说不一定我还需要等你们呢。”本来想到同学的号码在我前面，他们办完业务之后还需要等我，我心里觉得很过意不去，这样想了之后，心中的忧虑就少了一点，反正我不一定是最后一个嘛。那次办理业务，我是第二个办理完成的。当然，这也只是可能发生的情况之一，也有可能我就是最后一个才办完业务的，不过了解了指数分布之后，在等待的时候，一个人的心态就会有所改变，毕竟在日常生活中，等待总会被理解成为一种浪费时间的行为，在需要排队的时候，拿到较为靠后的号码，很多人都会觉得自己会等待很久，从而厌烦等待严重影响心情，在我了解指数分布之后，我就不会再满怀抱怨的态度进行等待了。 此外，本学期适逢毕业季，学长学姐们有的选择继续留校提升自己，有的选择步入社会，在职业生涯中提升自己，然而如今找工作是个十分有难度的事情，很多人因为没有找到合适的工作觉得很泄气。不过我认为没有找到工作的学长学姐们不要太难过，从概率学的角度讲，只要我们坚持不懈的找工作，就会把成功的概率不断的提高。当我们同时面对多家公司的时候，将每家公司面试不合格的概率相乘就是去每家面试都不合格的概率，用1减去这个值就是至少有一家成功的概率，我们假设有5家公司，每家公司的通过率均为30%，至少通过一家面试的概率就是83%！这是一个看着就让人信心倍增的数字，所以学长学姐们在没有找到工作之前不要灰心丧气，“失败是成功之母”，总有一家适合你的工作在等着你的到来，同样的道理来勉励自己认真复习，从每道习题中汲取经验，就会增加做对题的概率。 现在正是期末备考的非常时期，同学们都在积极备考，虽然大家都全力以赴，但是总有那么一些题目在自己的复习范围之外，对于在考试中遇到的不确定的题，很多同学都会采用瞎猜的方法进行选择。对于我自身而言，我很不擅长理解性的记忆近代史这样的文科性质科目，很多的知识点在我脑子里面就是一团乱麻，做选择题的时候我都只能是根据模糊的印象进行判断，这种考试效率极其低下，既花了时间背书，可是却没有背书成功，基本上属于把时间花在了没用的地方上。这学期我又有一门毛概这种需要记忆的科目，我就想要是我不花时间看选择题的部分，就只是背诵论述题的考点，我考试及格的概率有多少。按照以往试题的格式，论述题的分值在40分左右，选择题每道题2分，共30道选择题，如果我把看选择题的时间全部都花在背论述题上，假定我的论述题部分能够拿到30分，要想卷面分数及格，我就需要在选择题部分拿到30分，那么我就需要在30道选择题中选对15道以上。每道题答对的概率为P=0.25，将这看做是一个30重的贝努力试验。设随机变量x 为答对的题数， 则~(;30,0.25)x b k ，其分布为：3030P{x=k}=C (0.25)(0.75)k k k -，1,2,......,30k =，若要

概率论与数理统计教程习题

习题10（切比雪夫不等式） 一．填空题 1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2 )(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得 ≤≥-)3(σμX P . 2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得 ≥<<)2715(X P . 3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ， 5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P . 4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =，则=<∑=∞ →)( lim 1 n X P n i i n . 二．选择题 1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。 ① )(b X a P <<； ② ))((b X E X a P <-<； ③ )(a X a P <<-； ④ ))((a b X E X P -≥-. 2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥ -)1 (λ λX P （ ）. ① λ； ② 2 λ ③ 4 λ； ④ λ 1 .

三．解答题 1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ， 2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。 2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ， 8)(=i X D ),,2,1(n i Λ=.记∑==n i i X n X 1 1，由切比雪夫不等式估计概率)4(<-μX p . 3. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，0)(=i X E ，2 )(σ=i X D ， )(4i X E 存在，且一致有界),,,2,1(ΛΛn i =.对任意实数0>ε，证明 1)1(lim 1 22 =<-∑=∞→εσn i i n X n P .