04183 概率论与数理统计(经管类)讲义 (6)
第七章参数估计【字体：大中小】【打印】内容介绍
本章主要内容是参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计等.
内容讲解
引 言：
本章将讨论统计推断，所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时，用样本来对它进行估计，就是参数估计. 至于参数，目前没有准确的定义，只有一些具体的参数，本书指出三类参数：
①分布中含有的未知参数θ；
②θ的函数；
③分布的各种特证数。
§ 7.1 点估计
1.点估计定义：设x
1,x
2
, (x)
n
是总体X的一个样本，θ是它的未知参数，用一个关于x
1
,x
2
, (x)
n
的统计量的
取值作为θ的估计值，称为θ的点估计.
2.点估计的两种常用方法
（1）替换原理和矩法估计
① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.
② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如：
用样本均值估计总体均值E（X），即；
用样本二阶中心矩估计总体方差，即；
用事件A的频率估计事件A的概率等.
例题1. P146
【例7－1】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：
29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7
28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9
【答疑编号：12070101】
（2）概率函数p（x；θ）已知时未知参数的矩法估计
设总体具有已知的概率函数p（x；θ
1，…，θ
k
），（θ
1
，…，θ
k
）是未知参数或参数向量，x
1
,…,x
n
是样本，假定总体
的k阶原点矩μ
k 存在，则对所有的j（0 j 都存在。 （3）若假设θ 1，…，θ k 能够表示成μ 1 ，…，μ k 的函数θ j =θ j （μ 1 ，…，μ k ），则可给出诸θ j 的矩法估计。 例题2. P146 【例7－2】设总体为指数分布，其密度函数为 【答疑编号：12070102】 这说明矩估计可能是不惟一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。 例题3. P147 【例7－3】设x 1,…,x n 是来自服从区间（0，θ）上的均匀分布U（0，θ）的样本，θ>0为未知参数。求θ的矩估计。 【答疑编号：12070103】 矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，找到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。第三，未知参数的函数的估计。 小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。 （4）极大似然估计 设总体的概率函数为p（x,θ），，其中θ是一个未知参数或未知参数向量，是参数θ的取值范围，x 1,x 2 , (x) n 是该总 体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为， 则称为样本的似然函数. 如果存在统计量使得 ， 则称为θ的极大似然估计. 例题4. P147 【例7－4】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和一个白球。现随机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？ 【答疑编号：12070104】 解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B表示取出黑球。如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则a发生的概率为0.01。现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的。这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。 例题5. P147 【例7－5】设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格，X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从二点分布B（1，p），其中p是未知的不合格品率。 【答疑编号：12070105】 总结计算方法： ① 构造似然函数；② 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值. 例题6. P148 【例7－6】设一个试验有三种可能结束，其发生的概率分别为 p 1=θ2，p 2 =2θ（1-θ），p 3 =（1-θ）θ2。 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n 1,n 2 ,n 3 （n 1 +n 2 +n 3 =n），求似然函数。 【答疑编号：12070106】 例题7. P149 【例7－7】对正态总体N（μ，σ2），θ=（μ，σ2）是二维参数，设有样本x 1, (x) n ,求似然函数。 【答疑编号：12070107】 例题8. P149 【例7－8】（1）设总体X服从泊松分布p（λ），求λ的极大似然估计； 【答疑编号：12070108】 （2）设总体X服从指数分布E（λ），求λ的极大似然估计。 【答疑编号：12070109】 例题9. P150 【例7－9】设x 1,x 2,…x n 是总体的样本，已知总体的密度函数为 试分别求出θ的矩估计 和极大似然估计 . 【答疑编号：12070110】 例题10. P150 【例7－10】设x 1，…，x n 是来自均匀总体U（0，θ）的样本，试求θ的极大似然估计。 类似地，当总体X～U（a,b）时，参数a、b的极大似然估计为 【答疑编号：12070111】 极大似然估计的一个简单而有用的性质：若是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数g（θ）, 它的极大似然估计为， 这就是极大似然估计的不变性。 例题11 P151 【例7－11】设x 1,x 2,…x n 是来正态总体N（μ，σ2）的样本，求标准差σ和概率P{X≤3}的最大似然估计。 【答疑编号：12070112】 § 7. 2 点估计的评价标准 1.相合性 （1）定义：设为未知参数，是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何ε>0，有 ， 则称 为参数θ的相合估计. 解释：相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是，由于此性质需要有n→∞的极限过程，所以，相合性适合的大样本估计的评价。 例题1. P152 【例7－12】设x 1,x 2,…是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，则由大数定律及相合性定义知： 是μ的相合估计； 是σ2的相合估计； 也是σ2的相合估计。 证明：是μ的相合估计。 【答疑编号：12070201】 （2）相合性判定定理：设是θ的一个估计量，若 ， ， 则称为参数θ的相合估计. 例题2. P152 【例7－13】设x 1, …，x n 是来自均匀总体u（0,θ）的样本，证明θ的极大似然估计是相合估计。 【答疑编号：12070202】 为了使用定理判断，我们下面求它的数学期望和方差。 2.无偏性 对于小样本，无偏性是一个常用的评价标准。 （1）定义：设是θ的一个估计，θ的参数空间为 ，若对任意 ，有 ， 则称为θ的无偏估计；否则称为有偏估计. 解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差. 例题3. P153 【例7－14】对任一总体而方，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩a k 是总体k阶原点矩μk 的无偏估计。但对k阶中心矩则不一样，例如，二阶样本中心矩就不是部体方差σ2的无偏估计。 证明： ， 【答疑编号：12070203】 （2）几个有用的结论 ①是的无偏估计； ② ，即 是σ2的渐进无偏估计； ③s 2是σ2的无偏估计； ④ 若为θ的无偏估计，一般地，除g θ是θ的线性函数外，不是g θ的无偏估计. 所以，无偏性没有不变性。 3.有效性 （1）定义：设， 是θ的两个无偏估计，如果对任意的有 ， 且至少有一个使上式的不等号严格成立，则称 比 有效. （2）解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。 例题15. P154 【例7－15】设x 1,…,x n 是取自某总体的样本，记总体均值为μ，总体方差为σ2，则， 都是μ的无偏估计， 【答疑编号：12070204】 而，所以 比 有效。 § 7. 3 参数的区间估计 点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计。 1.置信区间的概念 （1）引例 【例7－17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N（μ，σ2），其中未知，σ2已知（σ＝45公斤·米），试对总体均值μ作区间估计. 分析：首先，通过抽样来估计μ，所以，从总体X抽取容量为n的样本x 1，x 2，…，x n ，可得样本均值，已知是μ的无偏估 计，且～ ，可以在的基础上对μ作区间估计. 【答疑编号：12070301】 其次，也是最重要的是，要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对μ作估计，要求估计函数应该：① 含有待估计参数μ，② 无论μ为何值，估计函数的分布已知，以便通过查该分布的计算表求所需数值. 再次，为了克服点估计的可信程度无法度量的不足，需要设定一个可信概率，记为1－α（0<α<1），称为置信度，依此概率进行估计. 解：从总体X抽取容量为n的样本x 1，x 2，…，x n ，可得样本均值～，从而得到合适的估计函数为 ～ ； 因为 是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性，又置信度为1－α（0<α<1），所以，查表求满足 或 的 ，即标准正态分布的上 分位点. 将不等式转化为 ，即为 ， 因此有 . 所得区间 即为所求的估计区间，由于区间长度随置信度1－α变化而变换，所以称之为置信区间. 小结：步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上分位点；③ 根据样本及相应的置信区间公式，求出置信区间. （2）置信区间的定义：设θ为总体的未知参数，，是由样本x 1，x 2 ，…，x n 给出的 两个统计量，若对于给定的概率1－α（0<α<1），有 ， 则随机区间[]称为参数θ的置信度为1－α的置信区间，称为置信下限，称为置信上限. （3）解释：参数θ落入区间[]的概率为1－α. （4）置信度与精度的关系 ① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高； ② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低. 2.单正态总体参数的置信区间 设总体X～N（μ，σ2），x 1，x 2 ，…，x n 为其样本. （1）σ已知时，μ的置信度为1－α的区间估计 由引例得此置信区间为 . 【例7－18】某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）： 14.6， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1. 若总体方差σ2=0.06，求总体均值μ的置信区间（σ=0.05，σ=0.01） 【答疑编号：12070302】 【例7－19】用天平称量某物体的质量9次，得平均值为，已知天平称量结果为正态分布，其标准差为0.1g。试求该物体质量的0.95置信区间。 【答疑编号：12070303】 解：此外1-α=0.95，α=0.05，查表知u0.025=1.96，于是该物体的体质量μ的0.95置信区间为 =15.4±0.0653， 从而该物体质量的0.95置信区间为[15.3347，15.4653]。 【例7－20】设总体为正态分布N（μ，1），为得到μ的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？ 【答疑编号：12070304】 （2）σ未知时，μ的置信度为1－α的区间估计 选择统计量～，得到μ的置信度为1－α的置信区间为 ， 其中，是σ2的无偏估计. 【例7－21】假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万千米）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 试求平均寿命的0.95置信区间。 【答疑编号：12070305】 3.μ未知，σ2的置信区间 根据样本方差s2的无偏估计及定理6－4（2）的结论，有估计函数 ～. 又根据给定的置信度1－α、分布密度函数的特点以及置信区间为等尾区间的要求，查分布表求出分布的两个分位点和，满足 ， 由此得σ2的置信度为1－α的置信区间为 . 【例7－22】某厂生产的零件质量服从正态分布N（μ，σ2），现从该有利于生产的零件中抽取9个，测得其质量为（单位：g） 45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总体标准差σ的0.95置信区间。 【答疑编号：12070306】 解：由数据可算得s2=0.0325，（n-1）s2=8×0.0325=0.26，这里α=0.05，查表知（8）=2.1797，（8）=17.5345，代入（7.3.1）可得σ2的0.95置信区间为 本章小结： 一、内容 二、试题选讲 1. 设总体X～N（1，σ2），x 1，x 2 ，…，x n 是来自该总体的样本，，则＝_____________. 【答疑编号：12070307】 答案：1 2.设总体X具有区间[0，θ]上的均匀分布（θ>0），x 1，x 2 ，…，x n 是来自该总体的样本，则的矩估计＝____________. 【答疑编号：12070308】 答案： 3.设总体X的概率密度为，x 1，x 2 ，…，x n 是总体X的一个样本，则未知的矩估计＝ _____________. 【答疑编号：12070309】 答案： 4.设总体X服从参数λ的泊松分布，其中λ为未知参数，X1，X2，…，X n为来自该总体的一个样本，则参数λ的矩估计量为_________________. 【答疑编号：12070310】 答案： 5.设总体X服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，为样本均值，则θ的矩估计＝（ ）. A.2 B. C./2 D.1/2 【答疑编号：12070311】 答案：B 6.设总体X～N（μ，σ2），x 1，x 2，x 3为来自总体X的样本，则当α＝______时，是未知参数μ的无偏估计. 【答疑编号：12070312】 答案：1/4 7.用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶维生素C的含量为随机变量X（单位：mg），设X～N（μ，σ2），其中μ，σ2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求μ的置信度95%的置信区间. （附：，） 【答疑编号：12070313】 答案： 8.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（μ, σ2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方 差s 2＝ ，试求：总体方差σ2的置信度为95%的置信区间. （附： ， ， ， ） 【答疑编号：12070314】 答案：＝[0.0428，1.8518] 前言【字体：大中小】【打印】 同学们好！欢迎你来到自考365网校。 1.本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。 2.本课程不同于此前所学的其他课程，它是以研究某一结果出现的可能性为目的，运用统计方法进行推断、预测和决策，以便指导人们的行为；其内容更贴近人们的思维方式，因而有广泛的应用。 3.本课程自从单独考试以来，题目难度略高于线性代数，但是，线性代数比较抽象，概率统计往往有比较清楚的实际背景，各有不同的“难”的方式，所以，总的看来，两门考试的难度基本相当，并且，与以前的考题相比，难度略有下降。 4.自从2005年以来，自考数学的试题难度都有一定程度的降低。对于能够坚持学习，注意方法，反复收看讲座的学员来说，取得理想的成绩并不困难。希望学员们坚定信心，克服困难，坚持到底，取得优异成绩。 全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布， 第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜 色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 04183概率论与数理统计（经管类） 一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ?,则必有( B )。 A ．X 与Y 不相互独立 B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C ．X 与Y 相互独立 D ．D(XY)=D(X)D(Y 2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回， 则第二次抽出的是次品的概率为 A 。 A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。 A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞F C ．1)(0≤≤x F D ．)(x F 连续 4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。 A ．n k k m q p C B ．k n k k n q p C - C ．k n pq - D ．k n k q p - 5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则 (23)D X Y ++= C A ．8 B ．16 C ．20 D ．24 6．设n X X X Λ21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中 心极限定理得()1n i i P X a a =?? ≥???? ∑为常数的近似值为 B 。 A ．1a n n μσ-??-Φ ??? B ．1-Φ C ．a n n μσ-?? Φ ??? D ．Φ 7．设二维随机变量 的联合分布函数为，其联合分布律为 则(0,1)F = C 。 A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 8．设k X X X ,,,21Λ是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量2 2221k X X X Λ++服从 （ D ）分布 A ．正态分布 B ．t 分布 C ．F 分布 D ．2 χ分布 9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。 A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X P C ．21)0(=≤-Y X P D ．21)1(=≤-Y X P 10．设总体X~N (2,σμ)，2 σ为未知，通过样本n x x x Λ21,检验00:μμ=H 时，需要 用统计量（ C ）。 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案
《概率论与数理统计》讲义#(精选.)
《概率论与数理统计》实验报告答案
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计(经管类)公式
概率论与数理统计必考大题解题索引
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案
概率论与数理统计基本知识
04183概率论与数理统计(经管类)
概率论与数理统计试题与答案
- 概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案
- 概率论与数理统计(经管类)考前划重点
- 自考概率论与数理统计(经管类)真题及答案详解
- (呕心整理)概率论与数理统计-经管类第四版课后题答案-吴赣昌著
- 全国自考概率论与数理统计经管类试题及答案解析.doc
- 2015年4月全国自考《概率论与数理统计(经管类)》试题及答案
- 概率论与数理统计(经管类)
- 自考复习资料概率论与数理统计(经管类)
- 《概率论与数理统计(经管类)考试重点
- 《概率论与数理统计(经管类)》考点
- 04183概率论与数理统计(经管类)(有答案)
- 概率论与数理统计(经管类)公式
- 最新10月全国自考《概率论与数理统计(经管类)》试题和答案
- (完整版)2018年10月自考04183概率论与数理统计(经管类)试题及答案含评分标准
- 《概率论与数理统计》(经管类)试题及答案
- 《概率论与数理统计(经管类)》考点
- 概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案 word档
- 概率论与数理统计复习资料
- 概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案
- 【浙江自考真题】2020年8月概率论与数理统计(经管类)04183试题