概率论与数理统计讲义

§2.3 连续型随机变量及概率密度

（一）连续型随机变量及其概率密度 定义 若随机变量X 的分布函数为

其中f(t)≥0。

就是说X 是连续型随机变量，并且非负函数f(x)是连续型随机变量X 的概率密度函数，简称概率密度。

由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质

（1） （2）

（

3）

（a≤b）

前面已曾经证明，由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值，所以它在任何一点上取值的概率为零，即

若X 是连续型随机变量则有P(X=x)=0,其中X 是任何一个实数。 ∴有

（4）f(x)≥0

证（1）在微积分中已知积分上限的函数对上限x 的导数

它说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数F(x)处处连续。 （2）

（3）∵P(a

因此，对连续型随机变量X 在区间上取值的概率的求法有两种：

（1）若F(x)已知，则P(a

例1 设

求（1）c （2）

解（1）

而时，p(x)=0,

（2）

例2.设连续函数变量X的分布函数为

求：

（1）X的概率密度f（x）;

（2）X落在区间（0.3，0.7）的概率。

解：（1）

（2）有两种解法：

或者

例2－1 若

解：

例2－2 若求x~f(x) 解：

例2－3，若

解：

例3.若

解：（1）x≤0时，f（x）=0，

（2）0＜x＜1时，

（3）1≤x时，

注2.分段函数要分段求导数，分段求积分。

例4.设某种型号电子元件的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度。

现有一大批此种元件，（设各元件工作相互独立），问：

（1）任取一只，其寿命大于1500小时的概率是多少？

（2）任取四只，四只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？

（3）任取四只，四只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？

解：（1）

（2）各元件工作相互独立，可看作4重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于1500小时，令Y 表示4个元件中寿命大于1500小时元件个数，则，所求概率为

（3）所求概率为

3.2 均匀分布与指数分布

以下介绍三种最常用的连续型概率分布，均匀分布、指数分布和正态分布，本小节先介绍前两种。

定义2.若随机变量X的概率密度为

则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，简记为X~U（a,b）

容易求得其分布函数为

均匀分布的概率密度f （x ）和分布函数F （x ）的图像分别见图2.3和图2.4

均匀分布的概率密度f （

x ）在[a,b]内取常数 ，即区间长度的倒数。

均匀分布的均匀性是指随机变量X 落在区间[a,b]内长度相等的子区间上的概率都是相等的。

均匀分布的概率计算中有一个概率公式。

设

，则

使用这个公式计算均匀分布的概率很方便，比如，设

，则

例5.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在1到3

分钟内的概率。

解：设X 表示乘客的侯车时间，则X~U （0,5），其概率密度为

所求概率为

定义3.若随机变量X 的概率密度为

其中λ＞0为常数，则称X 服从参数为λ的指数分布，简记为，其分布

函数为

f （x ）和F （x ）的图形分别见图2.5和图2.6

指数分布常被用作各种“寿命”的分布，如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服和系统接受服务的时间等都可以假定服从指数分布，因而指数分布有着广泛的应用。 例:若某设备的使用寿命X （小时）～E （0.001）求该设备使用寿命超过1000小时的概率。 解：∵λ＝0.001

∴

∴P（1000＜X ）＝P （1000＜X ＜+∞）

＝F （+∞）－F （1000）＝1－｛1－e -1

｝=e -1

=

（三）正态分布

定义4.若随机变量X 的概率密度为

其中μ

,σ2为常数，－∞＜μ＜+∞，σ＞0，则称X 服从参数为μ,σ2

的正

态分布，简记为X~N （

μ,σ2

） f （x ）的图形见图2.7

习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态随机变量，又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线。

设X~N （μ,σ2

），则X 的分布函数为

特别地，当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布N （0，1）。为区别起见，

标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为

，即

的图象见图2.8

显然，的图象关于y 轴对称，且在x=0处取得最大值。

通常我们称为标准正态分布函数，它有下列性质：

（1）

由定积分的几何意义及的对称性可得

（2）

由（1）知

（3）因为是X 服从标准正态即X~N （0，1）时的分布函数，所以有

当

上面公式中，不等式中是否有等号并不影响公式的正确性，原因是连续随机变量X 取一个数的概率为0，即P （X ＝K ）＝0所以下面的公式同样成立

其中标准正态分布函数

的可用教材中的附表

1求得，其中同样有

例1.若X~N （0，1）求 （1）P （X ＜2.12）

（2）P （X ＞－0.23）

（3）P （－0.2＜X≤2.12）

解：（1）P （X ＜2.12）＝P （－∞＜X ＜2.12） ＝Φ（2.12）－Φ（－∞）＝Φ（2.12）＝0.9830 （2）P （X ＞－0.23）＝P （－0.23＜X ＜+∞） ＝Φ（+∞）－Φ（－0.23）＝1－Φ（－0.23）

由性质Φ（－x ）＝1－Φ（x ）得Φ（－0.23）＝1－Φ（0.23） ∴P（X ＞－0.23）＝Φ（0.23）＝0.5910

（3）P （－0.2＜X≤2.12）＝Φ（2.12）－Φ（－0.2）

＝Φ（2.12）－｛1－Φ（0.2）｝＝Φ（2.12）+Φ（0.2）－1 ＝0.9830+0.5793－1＝0.5623

例2.X~N （0，1）时，证明

a>0时

解：

＝Φ（a ）－Φ（－a ）＝Φ（a ）－[1－Φ（a ）] ＝2Φ（a ）－1

例3.若X~N （0，1），则a 为何值时，

解：∵

由

∴

查标准正态分布函数值表（附表1）有

∴a=1.96

下面我们不加证明地介绍正态分布有下面结果

若X~N （μ,σ2

），则有 （1

）X 的分布函数F （x ）＝

（2）

公式：X~N （μ,σ2

）时

提供了X~N （μ,σ2

）时，计算概率

的方法。

例4.若X~N （3,4）求P （3＜X ＜5）

解：P（3＜X＜5）＝

＝Φ（1）－Φ（0）＝0.8413－0.5＝0.3413

例5.设X~N（1.5,4），求：

（1）P｛X＜3.5｝

（2）P｛1.5＜X＜3.5｝

（3）P｛≥3｝

解：μ＝1.5σ＝2，记F（x）为X的分布函数。

（1）P｛X＜3.5｝＝P（－∞

（2）P｛1.5＜X＜3.5｝=

=0.8413－0.5＝0.3413

（3）P｛≥3｝＝1－P｛<3｝＝1－P｛－3＜X＜3｝

=1-

＝1－Φ（0.75）+Φ（－2.25）

＝1－Φ（0.75）+1－Φ（2.25）

＝1－0.7734+1－0.9878＝0.2388

例6.设X~N（μ,σ2）求X落在区间［μ－kσ, μ+kσ］概率，其中k=1,2,3

解：P｛μ－kσ≤X≤μ+kσ｝＝

＝Φ（k）-Φ（－k）=2Φ（k）－1

∵Φ（1）＝0.8413，Φ（2）＝0.9772，Φ（3）＝0.99865

从此可以看出：尽管正态分布取值范围是（－∞，+∞），但它的值落在

［μ－3σ, μ+3σ］的概率为0.9973，几乎是肯定的，这个性质被称为正态分布的“3σ规则”。

为了方便今后的应用，对于标准正态随机变量，我们引入α分位的定义。

定义5.设X~N（0,1）若u a满足条件

P｛X＞u a｝＝α，0＜α＜1，

则称点u a为标准正态分布的上侧α分位数（见图2.12）

例7.用上侧分位数u a的定义求

（1）u0.005（2）u0.025（3）u0.01（4）u0.05

（5）u0.1

解：因为P（X＞uα）＝α

∴P（X＞uα）＝1－P（X＜uα）＝1－Φ（uα）＝α

∴Φ（uα）＝1－α

（1）Φ（u0.005）＝1－0.005＝0.995

Φ（2.58）＝0.995

u0.005=2.58

（2）∵Φ（u0.025）＝1-0.025=0.975

∵Φ（1.96）＝0.975

∴u0.025＝1.96

（3）∵Φ（u0.01）＝1－0.01＝0.99

∴Φ（2.33）＝0.99

∴u0.01＝2.33

（4）∵Φ（u0. 05）＝1－0.05＝0.95

∴Φ（1.64）＝0.95

∴u0.05＝1.64

（5）∵Φ（u0. 1）＝1－0.1＝0.9

∴Φ（1.29）＝0.9

∴u0.1＝1.29

正态分布是最常见的一种分布，在实际问题中，许多随机变量服从或近似服从正态分布，例如，一个地区的男性成年人的身高和体重，测量某个物理量所产生的随机误差；一批原棉纤维的长度，某地区的年降水量等，它们都服从正态分布，本书第五章的中心极限定理表明：一个变量如果大量独立，微小且均匀的随机因素的叠加而生成，那么它就近似服从正态分布，由此可见，在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中正态分布都占有十分重要的地位。

例8.某机床生产的零件长度X（mm）～N（20,0.022），工厂规定该零件长度在区间（19.96，20.04）内为合格品，求该机床产品的合格率。

解：

∵19.96＜X＜20.04表示产品合格

∴合格率为

P（19.96＜X＜20.04）＝Φ

例9.测量某零件长度时DE 误差X（mm）～N（2,9）

求（1）误差绝对值小于5的概率

（2）测量三次，误差的绝对值都小于5的概率

（3）测量三次，误差的绝对值至少有一次小于5的概率

解：（1）

其中P表示误差绝对值小于5的事件A的概率P（A）

（2）用X表示测量三次，事件A发生次数

∴X～B（3,P），P＝0.8314

∴P（X＝3）

（3）P（X≥1）＝1－P（X＜1）＝1－P（X＝0）

＝1－

第4节随机变量的函数的概率分布

4.1 离散型随机变量的函数的概率分布

在实际应用中，我们常常遇到这样的情况，所关心的随机变量不能直接测量得到，而它却是某个能直

接测量的随机变量的函数，例如，我们能测量圆轴截面的直径X ，而关心的却是其截面的面积，

这里随机变量Y 就是随机变量X 的函数。

设g （x ）是一给定的连续函数，称Y ＝g （X ）为随机变量X 的的一个函数，Y 也是一个随机变量，当X 取值x 时，Y 取值y ＝g （x ），本节，我们将讨论如何由已知的随机变量X 的概率分布去求函数Y ＝g （x ）的概率分布。

先讨论X 为离散型随机变量的情况。

设X 为离散型随机变量，其分布律为

由于X 的可能取值为x 1 x 2 … x k…，所以Y 的可能取值为g （x 1）, g （x 2）… g （x k ）…可见Y 只取有限多个值或可列无穷多个值，故Y 是一个离散型随机变量。 当g （x 1）, g

（x 2）…g（x n ）互不相等时，Y 的分布律为

当g （x 1）, g （x

2）…g（x k ）…，有相等的情况时，则应该把使g （x k ）相等

的那些x i 所对应的概率相加，作为Y 取值g （x k ）的概率，这样得到Y 的分布律。

例1.设随机变量X 的分布律为

求：

（1）Y ＝X 3

的分布律；

（2）Z ＝X 2

的分布律。

解：（1）Y 的可能取值为－1，0，1，8.由于

从而Y 的分布律为

（2）Z 的可能取值范围为0，1，4

则Z 的分布律为

例2.X ～B （3，0.4

）令，求P ｛Y ＝1｝

【答疑编号：10020405针对该题提问】

解：因为X ～B （3，0.4）所以X 可能取值为0.1.2.3

当X ＝0时，Y ＝0，X ＝1时，Y ＝1；X ＝2时，Y ＝1；X ＝3时，Y ＝0。

所以，Y ＝1为｛X ＝1｝与｛X ＝2｝

其实，由等式中，当Y ＝1时，可得X （3－X ）＝2

∴

∴P（Y ＝1）＝P （X ＝1）+P （X ＝2） ＝

4.2 连续型随机变量的函数的概率分布

设X 为连续型随机变量，其概率密度为f x （x ），要求Y ＝g （x ）的概率密度f y （y ），我们可以利用

如下定理的结论。

定理1.设X 为连续型随机变量，其概率密度为f x （x ），设g （x ）是一严格单调的可导函数，其值域为（α，β），且g'（x ）≠0，记x=h （y ）为y ＝g （x ）的反函数，由Y

＝g （x ）的概率密度f Y （

y ）为：

特别地，当α＝－∞β＝+∞时，

例3.设连续型随机变量X 的概率密度为f x （x ），令Y ＝ax+b 其中a,b 为常数,a≠0。

解：y=g （x ）=ax+b,α＝－∞β＝+∞由y=ax+b 得x=,

，由定理1得

例4. X ～N （μ,σ2

），求：

（1）的概率密度。

（2）Y ＝aX+b 的概率密度。

解：∵X～N （μ,σ2

）∴X～f x （x ）

（1）

（2）Y＝ax+b时，由y＝ax+b得反函数x=h（y）

例4.说明两个重要结论；当X～N（μ,σ2）时，～N（0,1）且随机变量称为X的

标准化，另外，正态随机变量的线性变换Y＝aX+b仍是正态随机变量，即aX+b～N（aμ+b,a2σ2），这两个结论必须记住！

例5.设X～U（），令Y=tanx，求Y的概率密度f Y（y）。

解：y=g（x）=tanx,值域为（－∞，+∞），反函数x=h（x）=arctany,记X的概率密度为f x（x）,

当

这一概率分布称为柯西（Cauchy）分布。

例6.随机变量X的概率密度为

求Y＝2X+8的概率密度。

解：记Y的分布函数为F y（y），则Y的分布函数

其中F x（x）为X的分布函数，故

例6中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法”。 例6也可用定理一的公式求解

∵Y＝2x+8由y=2x+8得反函数

因为x 的取值范围为0

当y≤8或y≥16时，

例7.若X ～N （30，4）求Y ＝2x 的分布。 解：由公式X ～N （μ,σ2

）

∴Y～N （60,16）。

本章考核内容小结

（一）知道随机变量的概念，会用分布函数求概率

（1）若X 是离散型随机变量，则 P （a

X 是连续型随机变量，则 P （a

P （a≤x≤b）=F （b ）- F （a ） P （a≤x＜b ）=F （b ）- F （a ） P （a

（二）知道离散型随机变量的分布律

会求简单离散型随机变量的分布律和分布函数，且若

则

（三）掌握三种常用的离散型随机变量的分布律

（1）X～（0,1）

（2）X～B（n,p ）P（x=k）=

（3）X～P（λ）P（x=k）=

并且知道泊松分布是二项分布当n很大，p很小的近似值，且λ=np

（四）知道连续型随机变量的概率密度概念和性质，概率密度和分布函数的关系及由概率密度求概率的公式。

（1）概率密度f（x）的性质

①f（x）≥0②

（2）分布函数和概率密度的关系

（3）分布函数的性质

①F（x）连续，可导

②F（－∞）＝0，F（+∞）＝1

③F（x）是不减函数。

（4）概率计算公式：

①P（a

②P（a

（五）掌握连续型随机变量的三种分布

（1）X～U（a,b）

X～f（x）=

X～F（x）=

（2）X～E（λ）

①X～f（x）=

②X～F （x ）=

（3）X ～N （0,1）

①X～

②X～

性质：Φ（-x ）=1-Φ（x ） P （a

a ）

（4）X ～N （μ,σ2

）

①X～

②P（a

（六）会用公式法求随机变量X 的函数Y ＝g （x ）的分布函数

（1）离散型 若

且g （x 1）,g （x 2）, …g（x n ）不相同时，有

（2）连续型

若X ～f X （x ）,y=g （x ）单调，有反函数x=h （y ）且y 的取值范围为（α,β），则随机变量X 的函数Y=g （x ）的概率密度为

当α=－∞β=+∞时，则有

简单情形，若Y ＝ax+b

则有

Y ～f Y （y ）=

在简单情形下会用公式法求Y ＝ax+b 的概率密度。 （3）重要结论

（i ）若X ～N （μ,σ2

），则有Y ＝ax+b 时

Y ～N （a μ+b,a 2σ2

） （ii ）若X ～N （μ,σ2

），则有Y ＝

叫X 的标准化随机变量。

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

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第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计 学习报告 学院 学号： 姓名：

概率论与数理统计学习报告 通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。 先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。 概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。 概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的

随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。 至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。 概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。 在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19