概率论与数理统计讲义稿
第一章随机事件与概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机试验与样本空间
概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：
（1）在相同条件下试验是可重复的；
（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；
（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。
必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间Ω。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。
经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。
例 1.1.1 1E ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。
2E ：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，
观察出现的点数。样本空间为：{1,2,3,4,5,6}Ω=。
3E : 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到
Ω={（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) }
读者可以将其推广到掷n 个硬币，样本空间里有多少样本点呢？
4E ：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目
标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间为
{1,2,3,,,}n Ω=L L ，
其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为},2,1,0{Λ=Ω。
5E ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取]}5.2,0[,{∈=Ωωω就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取]}200,0[,{∈=Ωωω也许就足够了。
在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是
12{(,)()[0,2.5][0200]}ωωωΩ===∈?高度,重量，。 □
1.1.2 随机事件
随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母,,,,A B C D L 记之。 1.1.3 事件与集合的对应以及它们的运算
通常用希腊字母Ω表示样本空间, ω表示样本点。称“ω是Ω的成员”或者“ω属于Ω”，或者“ω是Ω的元素”，记为Ω∈ω.
如果ω不是试验的一个可能结果，那么ω不是Ω的元素，则记为Ω?ω. 一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用Ω?A 表示事件A 是Ω的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合12,,, ,, n A B A A A L 等都是Ω的子集，而不再每次申明。
1. 事件的包含—集合的包含
集合A B ?即“A 包含于B ”，意为A 中元素都在B 中，或说，如果A ∈ω，必有B ∈ω。对应于事件，表示A 的样本点都在B 中，即当A 的样本点出现于试验结果B 之中，即A 发生时，B 当然也就发生了，或说“A 的发生必导致B 的发生”。
图1.1 A B ?的文氏图
2. 事件的相等—集合的相等
称集合A 和B 相等，并记为A B =，是说“A B ?且B A ?”。对应于事件，称A 和B 相等，记为A B =，就是“如果A 发生，则B 必然发生，同样如果B 发生，则A 必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。
3. 事件的并（和）—并集
集合A 和B 的并集记为A B U ,它的元素或者属于A ，或者属于B （当然有的可
能同时属于A 和B ），即{}:A B A B ωωω=∈∈U 或。对应事件的并A B U 表示“A 或
B 至少有一个发生”。
图1.2 A B U 的文氏图
并的概念可以推广到n 个事件和可数个事件,12, ,, n A A A L 的并
121
n
i n i A A A A ==U U UL U 表示“ (1,2,,)i A i n =L 中至少有一个发生”；可数个事件
12, ,, ,n A A A L L 的并ΛY ΛY Y Y n i i A A A A 211=∞
=表示“ (1,2,,,)i A i n =L L 中至少有一个
发生”。
4. 事件的交（积）—交集
两个集合A 和B 的交集记为A B I ，它是由既属于A 又属于B 的元素构成的集合，即
对应于事件的交A B I 表示“A 和B 同时发生”。A B I 常简记作AB 。
图1.3 A B I 的文氏图
类似地，交得概念也可以推广到n 个事件的交,121n
i n i A A A A ==I I I L I 表示“n 个
事件 (1,2,,)i A i n =L 同时发生”，可数个事件的交121
i n i A A A A ∞
==I I I L I I L 表示“可
数个事件 (1,2,,,)i A i n =L L 同时发生”。
5. 逆事件（对立事件）—补集
Ω的子集A 的补集记为A ，它是由属于Ω但不属于A 的元素构成的集合，因为
仅牵涉到属于Ω（样本空间）的点，集合A 就是由那些不属于A 元素组成的。记为
图1.4 A 的文氏图
对应于事件，A 发生当且仅当A 不发生时发生，称作事件A 的逆事件。利用上述事件的并和交的运算符号，有
A A =ΩU 及 AA φ=
6. 事件的差—差集
集合A 与B 的差集A B -由A 中那些不属于B 的元素全体组成。对应地，事件的差A B -表示“A 发生而B 不发生”即A B AB -=。
图1.5 A B -的文氏图
7. 互斥（或不相容）—事件不交集
在集合论中,若AB φ=,则表明A ,B 没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若AB φ=，则表明A ，B 不同时发生，称A 与B 互斥（或不相容）。
图1.6 AB φ=的文氏图
8. 必然事件和不可能事件—样本空间和空集
有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出Ω是它自身的子集，从包含关系Ω?Ω的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此Ω?Ω。又假设存在集合φ，该集合不包含任何元素（空的集合），φ必定是每一个集合的子集，对任何子集A ，要从φ中找到一个元素不在A 中，显然是不可能的，因为φ没有元素，因此，A ?φ成立。
对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。 注意到以下等式总是成立的
上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。 与集合运算一样，事件的运算亦有如下的运算律： 1．交换律：A B B A =U U ，AB BA =；
2．结合律：()()A B C A B C =U U U U ，()()A B C A B C =I I I I ；
3．分配律：()()()A B C A B A C =I U I U I ，()()()A B C A B A C =U I U I U ；
4．对偶律：A B A B =U I ，A B A B =I U 。
上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对n 个事件
(1,2,,)i B i n =L 有分配律
()11n n i i i i A B A B ==??= ???I U U I ，()11
n n
i i i i A B A B ==??= ???U I I U 对偶律留给读者自行写出。
图1.7 n 个事件的关系图
对可列个事件(1,2,,,)i A i n =L L 的分配律也留给读者，此处给出有对偶律 及
为帮助读者熟悉事件的运算。以三个集合为例，A 、B 和C 的并集，如图1.8的文氏图是有用的。根据图1.8，请读者检验这些等式：
图1.8 三个事件的关系图
例 已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令,,A B C 分别表示其第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用,,A B C 及其运算表示下列事件：
（1）第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品）；（6）
没有抽到次品。
解 （1）.C （2）.ABC （3）.ABC ABC ABC U U
（4）.A B C U U （5）.AB AC BC U U （6）C B A C B A Y Y I I =. □
§1.2 概 率
1.2.1 频率与概率
定义1.2.1 称在相同条件下所做的n 次试验中事件A 发生的次数A n 为A 发生的频数，并称比值
A
n n
为事件A 发生的频率，记作 定义 1.2.2 在相同条件下所做的n 次试验中，当n →∞时，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数p 附近。称此常数p 为事件A 发生的概率，记作
1.2.2 概率的公理化定义
定义1.2.3 设试验E 的样本空间为Ω。对于Ω中每一个事件A 都赋予一个实数()P A ，它具有以下三条基本性质：
1. 0()1P A ≤≤；
2. ()1P Ω=；
3. 如果Λ,,,321A A A 是Ω中任意一列两两互斥的事件(,)i j A A i j φ=≠I 当，无论有限或无限，如果
表示事件“至少出现一个i A ”，则
或表示为
11
()i i i i P A P A ∞
∞==??
= ???∑U ， 则称实数()P A 为事件A 的概率。
利用概率的三条基本性质可以推导出概率的其他性质。 4. ()1()P A P A =-。
证 因A A =ΩU ，AA φ=，故由基本性质2及3有
1()()()()P P A A P A P A =Ω==+U ，
移项即得。
□
5. 不可能事件的概率为0，即()=0P φ。 证 因=φφφU UL ，由基本性质3有 再由性质1得()=0P φ。
□
注 空集φ的概率为0，它被称之为不可能事件。但要注意的是这并不是意味着一个概率为0的事件A 必须是“不可能”或者等于φ。将在后面举例说明。
6. 有限可加性：若事件12,,,n A A A L 两两互斥，则 证 因121=n
i n i A A A A φφ=U U UL U U U UL ，故
121()n i n i P A P A A A φφ=??
= ???
U U UL U U U UL ， 再由性质3和5即得。
□
注 本性质从概率的可数可加性导出了有限可加性。
7. 若A B ?，则()()()P B A P B P A -=-且
()()P A P B ≤。
证 由于A B ?，则()B A B A =-U ，且A 与()B A -互斥，故由性质6有
()()()P B P A P B A =+-即()()()P B A P B P A -=-。
再由性质1，
()0
P B A -≥，于是
()()
P A P B ≤。
□
8.（加法定理）如果1A 和2A 是任何事件，不必是互斥事件，则
证 显然
12112()A A A A A =U U I 和21212()()A A A A A =I U I
对于每一个等式来说右端的并集中的两个事件都是互斥事件。 根据性质3
第二个等式给出12212()()()P A A P A P A A =-I I ，把它代入第一个等式就得到了要证
明
的
结
论
。
□
可将性质8推广到n 个事件的情形：如果1A ,2A ,,n A L 是任何事件，不必是互斥事件，则
（1.2.3）
右边的这些加和包括了单个事件、两个事件、三个事件等的所有可能的交集。 证 遵循性质8的证明可以用归纳法证得，具体的细节省略，熟悉归纳法证明的
读
者
应
该
没
有
困
难
的
补
充
这
些
证
明
。
□
1.2.3 古典概型
下面讨论一类在概率论发展初期讨论的最多的试验——古典概型的概率计算。它适用于有限的离散概率空间的情形，并且每个样本点都以等可能出现。
定义1.2.4 设试验E 的样本空间有有限多个样本点，即12{,,,}n ωωωΩ=L ，且每个样本点出现的可能性相同。称此试验为古典概型。
因为样本点是两两互斥的，根据概率的基本性质2和3，在古典概型中，一方
面有
1{}()1n i i P P ω=??
=Ω= ???
U ， 另一方面，所有)(i P ω都相等，所以
11
{}()()n
n i i i i i P P nP ωωω==??
== ???∑U ， 可见每一个样本点i ω出现的概率为
所以，若事件A 由A n 个样本点构成，则其发生的概率
这是古典概型计算事件概率的基本公式。
§1.3 独 立 性
1.3.1 事件的独立性
1.两个事件的独立性
从字面意义上说，若事件A 与事件B 的发生互不影响，称A 与B 相互独立应是恰当的。那么概率论中该如何定义事件的独立性呢？
定义1.3.1 称两个事件A 和B 互相独立（或者统计意义下的独立），如果 作为特殊情形，若,A B 中有一个是必然事件或不可能事件，则（1.3.1）式显然成立。这表明，任意事件都与Ω（或φ）相互独立。
定理1.3.2 设事件A 与事件B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 亦相互独立。
证 以下证明A 与B 相互独立，
此即A 和B 的独立性。关于事件A 和B 独立，只要交换A 和B 角色即可。类似可证关于
事
件
A
和B 的独立性。
□
初学者往往容易将事件A 与B 独立和事件,A B 互斥相混淆，常误以为独立就是互斥。或许是独立与互斥这两个汉语词汇的词义相近造成这样的误解。其实当,A B 都具有正概率时，由定义1.3.1，若,A B 独立，则()0P AB ≠，从而,A B 相容而不是互斥；而当,A B 互斥时则因()0P AB =，但()()0P A P B ?≠，所以,A B 不独立。
2.多个事件的独立性
先考虑3个事件，称事件321,,A A A 两两独立，如果
121213132323
()()(),
()()(),()()().P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A =???
=???=??
（1.3.2）
进一步称321,,A A A 互相独立，如果成立，并且 也成立。显然互相独立要强于两两独立。
,,A B C 满足()()()()P ABC P A P B P C =，,,A B C 中可能有两个事件不相互独立。请
看下面的例子：
例 1.3.3 假设投掷两枚均匀的硬币，设A 是事件“第一次出现正面”，设B 是事件“第二次出现正面”，设C 是事件“两个硬币匹配”（两个正面或两个反面）。易知事件A 和事件B 是独立事件，而事件A 和C 也是独立事件，同样B 和C 是独立事件（为什么？）。所以事件A ，B 和C 是两两独立，但是观测
1
()4
P A B C =
I I ，然而 从而事件A ，B 和C 是不独立的，尽管他们是两两独立。 □
另一种情况，仅有，也不能保证成立，见下例。
例1.3.4 掷一颗骰子，观察其点数。令{1,2,3,4}A =，{4,5,6}B =，{3,4,5}C =，
则有
2()3P A =
，1()().2
P B P C == 于是 而
1
()()().6
P AB P A P B =
≠ □
n 个事件。
定义1.3.3 称事件12,,,k A A A L 两两相互独立的，如果 对任何j i ≠成立.
若n 个事件12,,,n A A A L 满足以下21n n --个等式 则称n 个事件12,,,n A A A L 相互独立。
由此定义看出，在规定n 个事件12,,,n A A A L 的相互独立性时应能保证其中的任意k 个事件(1)k n <<亦相互独立。惟有如此才是合理的。因此也可把上述定义重述为：称一列事件12,,,,n A A A L L 是相互独立的，如果其中任意有限多个事件相互独立。
对于n
1.3.2 伯努利概型
像掷硬币试验那样只有两个可能结果A 与A 的试验称之为伯努利（Bernoulli ）试验。又如，射手向某目标射击，只考虑两个结果：击中与未击中；掷一颗骰子考察结果是出现6点还是未出现6点；从一批产品中任意取出一件产品，看其是合格品还是不合格品；买彩票中奖或不中奖；这些都是伯努利试验。为方便计，有时将A 称作“成功”，而将A 称作“失败”。
与掷硬币试验一样，人们可在相同条件下将伯努利试验重复进行n 次。显然，
n 次试验的结果应是相互独立的，且每次试验中事件A 发生的概率都一样。称这样
的试验为独立重复试验。
定义 1.3.4 称独立重复进行的n 次伯努利试验为n 重伯努利试验。称独立重复进行的可数次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列。
例 1.3.6
解 这是一个3重伯努利试验。由题设可知每次取到红球的概率为0.6，若以
i A 表示第i 次“取到红球”的事件，则试验的样本空间为
由独立性，容易算出每个样本点出现的概率。例如33216.0)(=A A A P ，而
4.06.0)(2321?=A A A P 。
由于事件B =“恰有2个红球”=123123123{, , }A A A A A A A A A ，其中样本点是两两互斥的，所以
§1.4 条件概率
1.4.1 条件概率
定义1.4.1 设,A B 为两个事件，若()0P B >，则定义“事件B 发生条件下事件
A 发生的条件概率”为
定义1.4.1适用于任何随机试验（而非只适用于古典概型）的条件概率定义，它同时提供了用无条件概率计算条件概率的方法。因为条件概率也是概率，因此它也应具有类似无条件概率的三条基本性质：
1. 0(|)1P A B ≤≤；
2. (|)1P B Ω=；
3. 对两两互斥的事件列12,,,,n A A A L L ，有
注 条件概率既然是概率，它也应有概率的其他性质，如加法定理：如果1A 和2A 是
任何事件，不必是互斥事件，则
读者可以把无条件概率的其他性质推广到条件概率。
可以把条件概率进一步推广到多个事件的情形，如果,1,2,3,,,i A i n =L 是n 个事件，给定121,,,n A A A -L 出现，那么n A 的条件概率由下面的公式给出：
1.4.2 乘法公式
利用定义1.4.1立即可得下面的概率乘法定理。 定理1.4.2 设,A B 为两个事件，则当()0P B >时， 称上面的公式为乘法公式。
有一个重要的特殊情形，当A 与B 相互独立时，事件B 的发生不会改变A 发生的概率，即(|)()P A B P A =时，这时乘法公式变为
反之，当()0P B >时，若,A B (|)().P A B P A =于是得到下面的定理。 定理1.4.3 设()0P B >，则事件,A B 相互独立的充要条件是 下面给出乘法定理的推广形式。
定理1.4.4 设有n 个事件12,,,n A A A L 满足121()0n P A A A ->L ，则有 证 注意到112121()()()0n P A P A A P A A A -≥≥≥>L L ，并1n -□ 1.4.2 全概率公式与贝叶斯公式
定义 1.4.4 假设n B B B B ,,,,321Λ是为某试验的样本空间Ω的一组互不相容的
事件，也就是满足(,,1,2,,)i j B B i j i j n φ=≠=L
，如果还满足1n
i i B ==ΩU ，则称事件组n B B B ,,,21Λ为Ω的一个分割。即任两个i B 不可能同时出现，而且其中一个必须出
现。
定理 1.4.5 设n B B B ,,,21Λ为Ω的一个分割，且有()0(
1,2,,)i P B i n >=L ，则对任意事件A 有
∑==n
i i i B P B A P A P 1
)()|()( （）
证 由定理假设，A 是任何事件，如果A 发生，那么它必然与{}i B 中一个同时发生（见图1.9）。即
因n B B B ,,,21Λ两两互斥，故n AB AB AB ,,,21Λ亦两两互斥， 再利用公式就得
∑==n
i i i B P B A P 1)()|(
□
全概率公式可以推广到可数的子集构成的分割的情形。即假设123,,,B B B L 是可
数多个互不相容事件，且满足(,,1,2,)i j B B i j i j φ=≠=L
，和Ω=∞
=Y 1i i B ，则如果有(0)(1,2,)i P B i >=L ，则对任意事件A 有
∑==1
)()|()(i i i B P B A P A P （）
下面来探讨另一个问题。如果观测到事件A 实际发生，要计算条件概率
)|(A B P j 。通过使用和，发现
公式称为贝叶斯(Bayes)公式，有许多的应用。
定理贝叶斯定理) 事件组n B B B ,,,21Λ为Ω的一个分割, 且有
()0(1,2,,)i P B i n >=L ，则对任意事件A 有
证 由条件概率公式()(|)()
j j P B A P B A P A =
I
通常称上述公式为贝叶斯公式或逆概公式。
第一章
一、选择题。
1、设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（ ）
（A ）()()P A B P A >U （B ）()()P A B P B >U （C ）()()P A B P A =U （D ）()()P A B P B =U
2、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}3A ={正、反面各出现一次}， 4A ={正面出现两次}，则事件有（ ）
（A ）123,,A A A 相互独立 （B ）234,,A A A 相互独立 （C ）123,,A A A 两两独立 （D ）234,,A A A 两两独立 3、对于任意二事件A 和B ，则（ ）
（A ）若AB ≠Φ，则,A B 一定独立 （B ）若AB ≠Φ，则,A B 有可能独立 （C ）若AB =Φ，则,A B 一定独立 （D ）若AB =Φ，则,A B 一定不独立 4、A ，B 是两随机事件，当A ，B 发生时事件C 发生，则以下正确的是（ ）
A ）、)()(C P A
B P ≥ B ）、)()()(AB P
C P AB C P -=- C ）、)()(C P B A P ≤?
D ）、)()(C P B A P ≥?
5、A ，B ，C 是三个随机事件，其中1)(),(),(0< )|()|()|(C B P C A P C B A P +=?，则以下正确的是（ ） A ）、)|()|()|(C B P C A P C B A P +=? B ）、)()()(AB P AC P AB AC P +=? C ）、)()()(B P A P B A P +=? D ）、)|()()|()()(B C P B P A C P A P C P += 6、A ，B ， C 是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ） A ）、)|(1)|(C A P C A P -= B ）、1)|()|(=+C A P C A P C ）、)|()|()|()|(C AB P C B P C A P C B A P -+=? D ）、)|()|()|()|()|(C B A P C B P BC A P C B P C A P += 7、A ，B 是两个随机事件，其中0)(,0)(≠≠B P A P ，则以下正确的是（ ） A ）、φ≠A B ，A ，B 一定独立 B ）、φ≠AB ，A ，B 不一定独立 C ）、φ=AB ，A ，B 一定独立 D ）、φ=AB ，A ，B 不一定独立 8、甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋 中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率 9、10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为 10、若A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) ()()()P AB P A P B ≤ (B) ()()()P AB P A P B ≥ (C) ()()()2 P A P B P AB +≤ (D) ()()()2 P A P B P AB +≥ 11、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 （ ） (A)23(1)p p - (B)26(1)p p - (C)223(1)p p - (D) 226(1)p p - 12、设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有（ ） (A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B = (D)()()()P AB P A P B ≠ 二、填空题 1、A ，B 是两随机事件，5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，则 ≤≤)(AB P 。 2、A ，B 是两随机事件，3.0)(=A P ，5.0)(=?B A P ，则=)(B A P 。 3、A ，B 是两随机事件，)()(B A P AB P =，p A P =)(，则=)(B P 。 4、一袋中有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中不放回地取3次，则“至少有两件次品的概率”为 。 5、从5双不同的鞋子中任取4只，则此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概 率为 。 6、设有n 个人，每个人都等可能的被分配到N 个房间中的任意一间去住N n ≤，求（1）、指定的n 个房间各有一个人住的概率为 。（2）、恰有n 个房间各有一个人住的概率为 。 7、从)1,0(中任取两个数x 和y ，则满足条件的3 1 8、随机地向半圆{(,)0x y y <<（其中0a >，是常数）内掷一点，则原点 和该点的连线与x 轴的夹角小于4 π 的概率为____________。 9、从长度为a 的线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为 。 10、试证对任意两个事件A 与B ，如果()0P A >，则有 () (|)1() P B P B A P A ≥- ） 11、 设P (A )＞0，P (B )＞0，证明(1)若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥．(2)若A 与B 互斥，则A 与B 不独立． 12、设两两相互独立的三事件A ，B ，C ，满足：ABC ＝?，P (A )＝P (B )＝P (C )＜2 1,并且16 9 )(= ??C B A P ，求事件A 的概率． 13、一袋中有5件产品，其中2件次品，3件正品，从中不放回地取2次，设A ={第一次取得正品}，B ={第二次取得正品}，则=)|(A B P 。 14、若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65 ”的概率为____________. 15、在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之1()2 P AB =差的绝对值小于1 2 的概 率为________. 16、设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19 ,A 发生B 不发生的概率与B 发 生A不发生的概率相等,则() P A=_____________. 17、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________. 18、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. 第二章一维随机变量及其分布 §2.1随机变量 随机试验有各种不同的可能结果，有些情况下，这些可能的结果都可以用数量表示。 【例】在含有3件次品的20件产品中，任意抽取2件观察出现的次品数。如果用 X表示出现的次品数，则X可能取的值有0、1、2，取不同的值代表不同事件的发生。 “0 X”表示事件“没有次品” = “1 X”表示事件“有一件次品” = “2 X”表示事件“有两件次品”。 = 有些试验结果并不直接表现为数量，但可以使其数量化。 【例】抛掷一枚硬币，观察出现正面还是反面。我们规定：变量X取值如下 “0 X”表示事件“出现反面” = “1 = X”表示事件“出现正面” 这样便把试验结果数量化了。 无论哪一种情形，都体现出这样的共同点：对随机试验的每一个可能结果， 有唯一一个实数与它对应。这种对应关系实际上定义了样板空间Ω上的函数，通常记作)(ωX X =，Ω∈ω。 定义 设随机试验的样板空间为}{ω=Ω，)(ωX X =是定义在样板空间Ω上的实单值函数，称)(ωX X =为一维随机变量，通常用大写字母,,,X Y Z L 等表示。 随机变量的取值随试验的结果而定，在试验前不能预知它取什么值，即随机变量的取值是随机的，具有偶然性；但随机变量取某一值或某一范围内值的概率是 确定的，具有必然性。如，例1中(P “有一件次品”268.0/}1{)22011713 ====C C C X P ；例2中P (“出现正面”)2/1}1{===X P 。这显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。 引入随机变量，可以将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，进一步有可能用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入的研究。 根据随机变量取值情况的不同，最常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。 §2.2离散型随机变量 定义 如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 例如，“掷骰子出现的点数”， “某班数学的及格人数”只能取有限个值，“命中目标前的射击次数”可取可列无穷多个值，它们都是离散型随机变量。 一、离散型随机变量的概率分布 对于离散型随机变量，除了要知道它可能取哪些值外，更重要的是要知道它取这些值的概率。 定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 1x ，2x ，…，k x ，… 一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥= * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、 A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X , 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计期末试卷+答案
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