概率论与数理统计复习题讲义
概率统计练习题
一、填空题
1、已知P(A)=P(B)=P(C)=25.0，P(AC)=0，P(AB)=P(BC)=15.0，则A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为 0.45 。
2、设A 、B 为二事件，P(A)=0.8,P(B)=0.7，P(A ∣B )=0.6，则P(A ∪B)= 0.88 。
3、设X 、Y 相互独立，X ~)3,0(U ,Y 的概率密度为????
?>=-其它,00
,41)(41x e x f x ，则
(253)E X Y -+= -14 ，(234)D X Y -+= 147 。
4、设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为
0.875 .
5、已知()3E X =，()D X =2，由切比雪夫不等式估计概率(34)P X -≥≤
0.125 。
6、设(100,0.2)X
B ，则概率(P 20-X )4≤≈ 0.68 ()84.0)1(=Φ。
7.设X 的分布函数
?????≥-<=1
,1
11,
0)(2
x x x x F ，则=)(X E 2
8.已知随机变量X ~
),(2
σμN ，且)1()5(,5.0)2(-Φ=≥=≥X P X P ，则=μ2，=2σ9 。
9. 已知()0.6P A =，()0.8P B =，则()P AB 的最大值为0.6，最小值为0.4 。
10、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有
)(b kX E +=
,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
11、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5，
则Z ～ N(-2, 25) 。
12、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)?
()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。
13、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 14、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。
15、设（X ，Y ）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b 使
{}1=+-=b aX Y P ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ-1 。
16、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51，则密码能被译
出的概率是 2/3。
17、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6，那么恰好中靶3次的概率是
5
3384.06.0??C ＝0.123863 。
18、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，…，Xn 是来自总体X 的简单随机样本，则
∑=n
i i
X
1
2~)(2
n x 。
19、设随机变量X 与Y 相互独立，且5.05
.011P
X
-，5.05.01
1P Y -，则P(X =Y)=_ 0.5_。
20、设随机变量X 服从以n, p 为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。
21、设
n
X X X ,,,21 是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则
∑=-n
i i
X X
1
2
)(服从的分
布为)1(2-n x 。
22、设A,B 为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB )=__0.6 __。 23、设随机变量X ～N (2，2
σ)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。
24、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为
)2(21y f X -。
25、称统计量θθ为参数?
的 无偏 估计量，如果)(θ
E =θ。
26、设(X, Y)的联合概率分布列为
若X 、Y 相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。 27、若
n
X X X N X ,,,),,(~2121 σμ是来自总体X 的样本，2
,S X 分别为样本均值和样
本方差，则S n
X )(μ-~ t (n-1) 。
28、
θθθ是常数21?,?的两个无偏估计量，若)?()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ 有效 。
29、已知P (A)=0.8，P (A －B)=0.5，且A 与B 独立，则P (B) ＝ 3/8 。 30、设总体X ～N(1，9)，
n
X X X , , ,21 是来自总体X 的简单随机样本，2
,S X 分别为
样本均值与样本方差，则∑=-n i i X X 12
~)(912(8)χ；；∑=-n i i X 12~)1(9129χ（）。
31、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的
概率为 4/7 。
32、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这类错误称为 二 错误。
33、设
)(~),1,0(~2
n x Y N X ，且X ，Y 相互独立，则~
n Y X
t (n)
34．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，
∑==10
110
1
i i
x
x ，则)(x D = __4/10___.·
35．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则
∑=5
1
2i i
x
服从自由度为__5____
的2χ分布．
36．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α（10<<α），则犯第一类错误的概率是 α. 二、选择题
1、设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。
Ａ. )(1)(B P A P -= B.)()()(B P A P AB P = Ｃ. 1)(=?B A P Ｄ.
1)(=AB P 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。
A. 2242
B. 241
2C C C. 24!2P D. !4!
2
3、设随机变量)(~x f X ，满足)()(x f x f -=，)(x F 是x 的分布函数，则对任意实数a 有（B ）
A.
?-=-a
dx
x f a F 0
)(1)( B.
?-=
-a dx x f a F 0)(21
)( C. )()(a F a F =-
D. 1)(2)(-=-a F a F
4、设A ，B 为随机事件，0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（ A ）。
A. )()(A P B A P =?
B. B A ?
C. )()(B P A P =
D. )()(A P AB P =
5、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。
A. 343）（
B. 41432?）（
C. 43412?）（
D. 224
41C ）（ 6、设
12
, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。
A.121122X X μ=
+ B. 121233X X μ=+ C.121344X X μ=+ D.
1223
55X X μ=+ 7、设
)
,,,(21n X X X 为总体
)2,1(2
N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确 的是（ D ）。
A. )(~/21
n t n X -； B. )1,(~)1(4112n F X n
i i ∑=-； C.
)
1,0(~/21N n
X -； D.
)(~)1(4121
2n X n
i i χ∑=-；
8、已知A 、B 、C 为三个随机事件，则A 、B 、C 不都发生的事件为（A ）。 A. C B A
B. ABC
C. A+B+C
D. ABC
9、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。
A. ∞<<-∞+=x x x F ,11)(2
B.
????
?≥+<=0
100)(x x x
x x F
C. ∞<<-∞=-x e x F x
,)( D.
∞<<∞-+=
x arctgx x F ,21
43)(π
10、),(Y X 是二维随机向量，与0),(=Y X Cov 不等价的是（ D ） A. )()()(Y E X E XY E = B. )()()(Y D X D Y X D +=+ C. )()()(Y D X D Y X D +=- D. X 和Y 相互独立
11、设总体
)2,(~2
μN X ，其中μ未知，n X X X ,,,21 为来自总体的样本，样本均值为X ，样本方差为2
s ， 则下列各式中不是统计量的是（ C ）。
A. X 2
B. 2
2
σ
s
C.
σμ
-X
D.
2
2
)1(σs n -
12、设总体X 的数学期望EX ＝μ，方差DX ＝σ2，X1，X2，X3，X4是来自总体X 的简单
随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ D ）
123312312341234
1111111A.
B. 663333334111111
C.
D. 55554444X X X X X X X X X X X X X X X ++++++--+++ 13、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。
A. 1H 真时拒绝1H 称为犯第二类错误。
B. 1H 不真时接受1H 称为犯第一类错误。
C. 设α
=}|{00真拒绝H H P ，
β
=}|{00不真接受H H P ，则α变大时β变小。
D.
α、β的意义同（C ），当样本容量一定时，α变大时则β变小。
14、若)()()(Y E X E XY E =，则（D ）。 A. X 和Y 相互独立
B. X 与Y 不相关
C. )()()(Y D X D XY D =
D.
)()()(Y D X D Y X D +=+
15、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。
A. p1 B. p1＝p2 C. p1>p2 D. p1与p2的关系无法确定 16、设随机变量X 的密度函数为f (x)，则Y = 7 — 5X 的密度函数为（ B ） 1717A. () B. ()55551717C. () D. () 5555y y f f y y f f --- --++--- 17、设21,A A 两个随机事件相互独立，当21,A A 同时发生时，必有A 发生，则（ A ）。 A. )()(21A P A A P ≤ B. )()(21A P A A P ≥ C. )()(21A P A A P = D. )()()(21A P A P A P = 18．设~(),X t n 则2 X 服从 ( B )分布 (A) 2 ()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -. 19．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( B ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y = 20.设12,, ,n X X X 为来自正态总体2 (,)N μσ的一个样本，2 21 1,(())1n i i X S X X n ==--∑ 分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( C ) (A)2 ~(, );X N n σμ(B)22();E S σ=(C)22();1 n E S n σ= - (D)222(1)/~(1).n S n σχ-- 21．设12,x x 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ） 122433x x + （B ）121244x x + （C ）123144x x - （D ）122355 x x + 22.下列说法正确的是（C ） （A ）如果备择假设是正确的，但做出的决策是拒绝备择假设，则犯了弃真错误 （B ）如果备择假设是错误的，但做出的决策是接收备择假设，则犯了采伪错误 （C ）如果零假设是正确的，但做出的决策是接受备择假设，则犯了弃真错误 （D ）如果零假设是错误的，但做出的决策是接收备择假设，则犯了采伪错误 23．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H 0 ：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（ B ） A ．不接受，也不拒绝H 0 B ．可能接受H 0，也可能拒绝H 0 C ．必拒绝H 0 D ．必接受H 0 三、计算题 1、 甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.0 2、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？ 2、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。 3、设随机向量（X ，Y ）联合密度为 f(x, y)= 2, 0 1 ; 0, . cx y x y ?≤≤≤??其它 （1）求C （2）求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )。 4、设二维随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为 f (x , y )=???<<-. ,0; 0 ,其它y x e y （1） 求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )； （2） 判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由。 5.一复杂的系统，由200个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.20。为了整个系统起作用至少必需有180个部件工作。求整个系统工作的概率。 6、一个复杂的系统，由n 个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部 件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95. 7、设n X X X ,,,21 是总体X 的一个样本，n x x x ,,,21 为一相对应的样本观测值，总体X 的概率密度为 ?? ?<<=其它 ,0, 10 ,)(1- x x x f θθ 求参数θ的矩估计和极大似然估计. 其中θ(0<θ< 2 )是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. 9、设某工厂生产工件的直径服从正态分布，要求它们的均值3.0,9.72 ≤=σ u ，现检 验了一组由15只工件，计算得样本均值、修正样本方差分别5.0*,2.82 ==s x ，试在显著水平05.0=α下，对该厂生产的工件的均值和方差进行检验，看它们是否符合标准。 10、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N (4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为 4.28 4.40 4.42 4.35 4.37 问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）? 11、测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x =0.452(%),s =0.037(%).设测定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验. （1） H 0：μ=0.5(%)；H 1：μ＜0.5(%). （2）0 :H σ' =0.04(%)；1:H σ'＜0.04(%). 12、一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标 准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 四、证明题 1、若P (A |C ) ≤P (B |C ), P (A |C )≤P (B |C )，则P (A ) ≤ P (B ). 2、证明：若P （A ｜B ）=P(A ｜B )，则A ，B 相互独立. 3、设A ，B 为随机事件，且P （B ）>0,P(A|B)=1, 证明P(A ∪B)=P(A)。 4、设,,21X X 是来自总体N(μ,2 σ)的样本，证明2122 ()2X X Y σ -=服从2 χ分布。 5、设总体X ~N （0，σ2）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =() 2 15 2122112 10 22212X X X X X X ++++++ 服从F 分布，参数为（10,5） 6、.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本 112212312211311 ???;;;334422 X X X X X X μ μ μ=+=+=+ 试证123???,,μ μμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 7.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2， 2 ?σ =k 1 211 ()n i i i X X -+=-∑,证明1 .2(1) k n =-时2?σ 为σ2的无偏估计. * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期 实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????- 概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?= 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】概率论与数理统计习题集及答案
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