(完整版)《概率论与数理统计》讲义

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、排列组合初步 （1）排列组合公式

)!

(!

n m m P n m -=

从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!

(!!

n m n m C n m -=

从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程

x

x x C C C 765107

11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1

例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？

(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？

例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？

例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法

A．120种B．140种 C．160种D．180种

(4)一些常见排列

①特殊排列

②相邻

③彼此隔开

④顺序一定和不可分辨

例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？

①3个舞蹈节目排在一起；

②3个舞蹈节目彼此隔开；

③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？

例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？

①重复排列和非重复排列（有序）

例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

②对立事件

例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？

例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？

例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

③ 顺序问题

例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）

2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。

例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

（1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示，例如n

ωωωΛ,,21（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母

A ，

B ，

C ，…表示事件，它们是Ω的子集。

如果某个ω是事件A 的组成部分，即这个ω在事件A 中出现，记为A ∈ω。如果在一次试验中所出现的ω有A ∈ω，则称在这次试验中事件A 发生。

如果ω不是事件A 的组成部分，就记为A ∈ω。在一次试验中，所出现的ω有

A ∈ω，则称此次试验A 没有发生。

Ω 为必然事件，?为不可能事件。

（2）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B

A?

如果同时有B

A?，A

B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A Y B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B

A，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：A I B，或者AB。A I B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：

Y

I∞

=

∞

=

=

1

1i

i

i

i A

A

B

A

B

A I

Y=，B

A

B

A Y

I=

例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间Ω。若A表示取到的两只球是白色的事件，B表示取到的两只球是红色的事件，试用A、B表示下列事件：

（1）两只球是颜色相同的事件C，

（2）两只球是颜色不同的事件D，

（3）两只球中至少有一只白球的事件E。

例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若A

i

表示第i次正面朝上，用

A i 表示下列事件：

（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C ， （2）至少有一次正面朝上的事件D ， （3）前两次正面朝上的事件E 。 3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件A 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件1A ，2A ，…有

∑∞=∞==???? ??11)(i i i i A P A P Y

常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型） 1° {}n ωωωΛ21,=Ω， 2° n

P P P n 1

)()()(21=

==ωωωΛ。 设任一事件A ，它是由m ωωωΛ21,组成的，则有

P(A)={})()()(21m ωωωY ΛY Y =)()()(21m P P P ωωω+++Λ

n

m =

基本事件总数所包含的基本事件数A =

例1．18：集合A 中有100个数，B 中有50个数，并且满足A 中元素与B 中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A 和B 中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b 的概率。

例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？ 例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是

A ．

14

1 B ．

13

1 C ．

12

1 D ．

11

1 例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） 例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） 例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）

注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

例1．24：从0，1，…，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：

A ＝“三个数字中不含0或者不含5”。

（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B ?A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B )=1- P(B)

例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A +B ). 例1．26：对于任意两个互不相容的事件A 与B ， 以下等式中只有一个不正确，它是：

(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P(A ∪B )-1 (C) P(A -B)= P(A )-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A -B)]=P(A) (E)p[B A -]=P(A) -P(A ∪B )

（3）条件概率和乘法公式

定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称

)

()

(A P AB P 为事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为=

)/(A B P )

()

(A P AB P 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B /A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()(A B P A P AB P =

更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有

21(A A P …)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。

例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？

①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（4）全概公式 设事件n B B B ,,,21Λ满足

1°n B B B ,,,21Λ两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i Λ=>，

2°Y n

i i

B A 1=?，

则有

)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ。

此公式即为全概率公式。

例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：

A ．0.5625

B ．0.5

C ．0.45

D ．0.375

E ． 0.225

例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？

（5）贝叶斯公式

设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足

1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i 1，2，…，n ，

2° Y n

i i

B A 1=?，0)(>A P ，

则

∑==

n

j j

j

i i i B A P B P B A P B P A B P 1

)

/()()

/()()/(，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。

)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i ，（1=i ，2，…，

n ），通常称为后验概率。如果我们把A 当作观察的“结果”，而1B ，2B ，…，n

B 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

例1．32：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C 表示被检验者的确患有肝癌的事件，A 表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知95.0)/(=C A P ，

98.0)/(=C A P ，004.0)(=C P 。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确

患有肝癌的概率)|(A C P 。

5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性

设事件A 、B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。

若事件A 、B 相互独立，且0)(>A P ，则有

)()()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

所以这与我们所理解的独立性是一致的。

若事件A 、B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立。（证明）

由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明）

同时，?与任何事件都互斥。

（2）多个事件的独立性

设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A 、B 、C 相互独立。 对于n 个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？

例1．33：已知)/()/(A B P A B P =，证明事件A 、B 相互独立。 例1．34：A ，B ，C 相互独立的充分条件：

（1）A ，B ，C 两两独立

（2）A 与BC 独立

例1．35：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标没有被射中的概率。

（3）伯努利试验

定义 我们作了n 次试验，且满足

◆ 每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； ◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；

◆ 每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，

k n k k

n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0Λ=。

例1．36：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 次球，每次放回，试求其中含a

个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。

例1．37：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求在第n 次成功之前恰失败m 次的概率。

第二节 练习题

1、事件的运算和概率的性质 例1．38：化简 (A+B)(A+B )(A +B)

例1．39：ABC=AB(C ∪B) 成立的充分条件为： (1)AB ?C (2)B ?C

例1．40：已知P(A)=x ，P(B)=2x ，P(C)=3x ，P(AB)=P(BC)，求x 的最大值。 例1．41：当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则下列结论正确的是 （A ） P （C ）=P （AB ）。

（B ） P （C ）=P （A Y B ）。

（C ） P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1 （D ） P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1。

[

]

2、古典概型

例1．42：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？

例1．43：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是0,1,2,…,9中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。

例1．44：袋中有6只红球、4只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分不大于6分的概率是

A ．

42

23

B ．

7

4 C ．

42

25 D ．

21

13 例1．45：10个盒子，每个装着标号为“1－6”的卡片。每个盒子任取一张，问10张中最大数是4的概率？

例1．46：将n 个人等可能地分到N （n ≤N ）间房间中去，试求下列事件的概率。

A ＝“某指定的n 间房中各有1人”；

B ＝“恰有n 间房中各有1人”

C ＝“某指定的房中恰有m （m ≤n ）人”

例1．47：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问全是白色的概率？

3、条件概率和乘法公式

例1．48：假设事件A 和B 满足P （B | A ）=1，则 （A ） A 是必然事件。 （B ）B A ?。

（C ）B A ?。

（D ）0)(=B A P 。

[

]

例1．49：设A ，B 为两个互斥事件，且P （A ）>0, P(B)>0，则结论正确的是

（A ） P （B | A ）>0。 （B ） P （A | B ）=P （A ）。 （C ） P （A | B ）=0。 （D ） P （AB ）=P （A ）P （B ）。

[

]

例1．50：某种动物由出生而活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率。

例1．51：某人忘记三位号码锁（每位均有0～9十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次算作一次试开，则他在第4次试开时才将锁打开的概率是

A ．

4

1

B ．

6

1 C ．

5

2 D ．

10

1 例1．52：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是0.4，求在这几个回合中：①甲机被击落的概率；②乙机被击落的概率。

例1．53：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效率A 为0.92，B 为0.93，在A 失灵条件下B 有效概率

为0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在B 失灵条件下，A 有效的概率。

4、全概和贝叶斯公式

例1．54：甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也有2支蓝色笔和3支黑色笔．现从甲文具盒中任取2支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取2支笔．求最后取出的2支笔都是黑色笔的概率。

例1．55：三个箱子中，第一箱装有4个黑球1个白球，每二箱装有3个黑球3个白球，第三箱装有3个黑球5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？

例1．56：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是

。

5、独立性和伯努利概型

例1．57：设P(A)>0,P(B)>0，证明 （1） 若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥； （2）

若A 与B 互斥，则A 与B 不独立。

例1．58：设两个随机事件A ，B 相互独立，已知仅有A 发生的概率为4

1

，仅有B 发生的概率为

4

1

，则P （A ）= ，P （B ）= 。

例1．59：若两事件A 和B 相互独立，且满足P(AB)=P(A B ), P(A)=0.4，求P(B).

例1．60：设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件；ABC =Ф，P （A ）=P （B ）=P （C ）<

21，且已知16

9

)(=C B A P Y Y ，则P （A ）= 。

例1．61：A 发生的概率是0.6，B 发生的概率是0.5，问A,B 同时发生的概率的范围？

例1．62：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门

这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%以上。

例1．63：由射手对飞机进行4次独立射击，每次射击命中的概率为0.3，一次命中时飞机被击落的概率为0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。

例1．64：将一骰子掷m+n次，已知至少有一次出6点，求首次出6点在第n次抛掷时出现的概率。

例1．65：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的

(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍

第二章 随机变量及其分布 第一节 基本概念

在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是

==)(ωX X ??

?，当反面出现

，当正面出现01

称X 为随机变量。又由于X 是随着试验结果（基本事件ω）不同而变化的，所以X 实际上是基本事件ω的函数，即X=X(ω)。同时事件A 包含了一定量的ω（例如古典概型中A 包含了ω1，ω2，…ωm ，共m 个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。

定义 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X 。

有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，

扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。

一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。

1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率

设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为

P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

ΛΛΛ

Λ,,,,,,,,|

)(2121k k k p p p x x x x X P X =。

显然分布律应满足下列条件： （1）0≥k p ，Λ,2,1=k ，

（2）∑∞

==1

1

k k

p

。

例2．1：投骰子，出现偶数的概率？

例2．2：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。

例2．3：若干个容器，每个标号1－3，取出某号容器的概率与该号码成反比，令X(ω)表示取出的号码，求X 的分布律。

（2）分布函数

对于非离散型随机变量，通常有0)(==x X P ，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X ，0)(0==x X P 。所以我们考虑用X 落在某个区间],(b a 内的概率表示。

定义 设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数

)()(x X P x F ≤=

称为随机变量X 的分布函数。

)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。也就是说，

分布函数完整地描述了随机变量X 随机取值的统计规律性。

分布函数)(x F 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

)(x F 的图形是阶梯图形，Λ,,21x x 是第一类间断点，随机变量X 在k x 处的

概率就是)(x F 在k x 处的跃度。

分布函数具有如下性质：

1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；

2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ； 3° 0)(lim )(==-∞-∞

→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞

→x F F x ；

4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的； 5° )0()()(--==x F x F x X P 。

例2．4：设离散随机变量X 的分布列为

2

14181812

,1,0,1，，，-P

X ，

求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤

1(≤≤X P 。

例2．5：设随机变量X 的分布函数为

???

??≤?+=0

01)(x x x

Ax

x F

其中A 是一个常数，求

（1） 常数A （2）P （1≤X ≤2）

（3）连续型随机变量的密度函数

定义 设)(x F 是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有

?∞

-=x

dx

x f x F )()(，

则称X 为连续型随机变量。)(x f 称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。)(x f 的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。

由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(x F 是连续函数。 所以，

)

()()()()()(1221212121x F x F x X x P x X x P x X x P x X x P -=<<=<≤=≤<=≤≤

密度函数具有下面4个性质： 1° 0)(≥x f 。 2°

?

+∞

∞

-=1

)(dx x f 。

1

)()(==+∞?+∞∞

-dx x f F 的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积

等于1。

如果一个函数)(x f 满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密度函数。

3° )(21x X x P ≤<＝)()(12x F x F -＝?2

1

)(x x dx x f 。

4° 若)(x f 在x 处连续，则有)()(x f x F ='。

dx x f dx x X x P )()(≈+≤<

它在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P ==)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

)(),(,独立性古典概型，五大公式，A P A E →→Ω→ω

)()()()(x X P x F x X X ≤=→≤→ωω

对于连续型随机变量X ，虽然有0)(==x X P ，但事件)(x X =并非是不可能事件?。

?+=

+≤<≤=h

x x

dx x f h x X x P x X P )()()(

令0→h ，则右端为零，而概率0)(≥=x X P ，故得0)(==x X P 。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

例2．6：随机变量X 的概率密度为f(x)，???<<=其他

,01

0,)(x x A x f ，求A 和

F(x)。

例2．7：随机变量X 的概率密度为

?????≤=-0

0 0 21)(232

x x e x x f x

φ

求X 的分布函数)(x F 和)42(≤<-X P ．

2、常见分布 ①0－1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。

②二项分布

在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为n ,,2,1,0Λ。

k n k k

n n q p k P k X P C -===)()(， 其中n k p p q ,,2,1,0,10,1Λ=<<-=，

则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为),(~p n B X 。

n k n k k n n n n n

p q p q p npq q k X P X

C C ,,,,,,|)(2221ΛΛ---= 容易验证，满足离散型分布率的条件。

当1=n 时，k k q p k X P -==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

例2．8：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率。

③泊松分布

设随机变量X 的分布律为

λλ-=

=e k k X P k

!

)(，0>λ，Λ2,1,0=k ，

则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λπX 或者P(λ)。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。

如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。

例2．9：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。

④超几何分布

),min(,2,1,0,)(n M l l k C C C k X P n

N

k

n M

N k M ==?==--Λ 随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布。

概率论与数理统计课程教学大纲

概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。

第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计

概率论与数理统计心得体会

概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <

我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?

概率论与数理统计教学大纲(48学时)

概率论与数理统计课程教学大纲（48学时） 撰写人：陈贤伟编写日期：2019 年8月 一、课程基本信息 1.课程名称：概率论与数理统计 2.课程代码： 3.学分/学时：3/48 4.开课学期：4 5.授课对象：本科生 6.课程类别：必修课 / 通识教育课 7.适用专业：软件技术 8.先修课程/后续课程：高等数学、线性代数/各专业课程 9.开课单位：公共基础课教学部 10.课程负责人： 11.审核人： 二、课程简介（包含课程性质、目的、任务和内容） 概率论与数理统计是描述“随机现象”并研究其数量规律的一门数学学科。通过本课程的教学，使学生掌握概率的定义和计算，能用随机变量概率分布及数字特征研究“随机现象”的规律，了解数理统计的基本理论与思想，并掌握常用的包括点估计、区间估计和假设检验等基本统计推断方法。该课程的系统学习，可以培养学生提高认识问题、研究问题与处理相关实际问题的能力，并为学习后继课程打下一定的基础。 本课程主要介绍随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。 体现在能基于随机数学及统计推断的基本理论和方法对实验现象和数据进行分析、解释，并能对工程领域内涉及到的复杂工程问题进行数学建模和分析，且通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。 三、教学内容、基本要求及学时分配 1．随机事件及其概率（8学时） 理解随机事件的概念；了解样本空间的概念；掌握事件之间的关系和运算。理解概率的定义；掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握概率的加法公式、乘法公式；了解全概率公式、贝叶斯公式；理解事件的独立性概念。掌握应用事件独立性进行简单概率计算。理解伯努利试验；掌握二项分布的应用和计算。 2.随机变量及其分布（6学时） 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质；掌握应用概率分布计算简单事件概率的方法，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布和应用，掌握求简单随机变量函数的概率分布的方法。 3．多维随机变量及其分布（7学时）

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社

概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点 数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -.

普林斯顿大学博弈论讲义10

Eco514—Game Theory Lecture10:Extensive Games with(Almost)Perfect Information Marciano Siniscalchi October19,1999 Introduction Beginning with this lecture,we focus our attention on dynamic games.The majority of games of economic interest feature some dynamic component,and most often payo?uncertainty as well. The analysis of extensive games is challenging in several ways.At the most basic level, describing the possible sequences of events(choices)which de?ne a particular game form is not problematic per se;yet,di?erent formal de?nitions have been proposed,each with its pros and cons. Representing the players’information as the play unfolds is nontrivial:to some extent, research on this topic may still be said to be in progress. The focus of this course will be on solution concepts;in this area,subtle and unexpected di?culties arise,even in simple games.The very representation of players’beliefs as the play unfolds is problematic,at least in games with three or more players.There has been a?erce debate on the“right”notion of rationality for extensive games,but no consensus seems to have emerged among theorists. We shall investigate these issues in due course.Today we begin by analyzing a particu-larly simple class of games,characterized by a natural multistage structure.I should point out that,perhaps partly due to its simplicity,this class encompasses the vast majority of extensive games of economic interest,especially if one allows for payo?uncertainty.We shall return to this point in the next lecture. Games with Perfect Information Following OR,we begin with the simplest possible extensive-form game.The basic idea is as follows:play proceeds in stages,and at each stage one(and only one)player chooses an 1

民法学知识点整理

第一章民法的概念和适用 一、名词解释： 1、民法：调整平等主体之间的财产关系和人身关系的法律规范的总和。 2、民法的渊源：是民事法律规范的表现形式。 二、简答题： ﹡民法调整对象： 民法是调整平等主体之间人身关系和财产关系的法律规范的总称。 1、平等主体：包括自然人、法人、非法人组织、国家。 2、人身关系：与人身不可分离，基于彼此人格和身份而形成的法律关系，包括人格关系和身份关系。 3、财产关系：民事主体之间基于财产而发生相互间的法律关系，包括财产支配关系和财产流转关系。 ﹡民法的性质： 1、民法是权利法：民法的重要内容是规定和保障民事主体的合法民事权利；民法的规范多为授权性规范；民法是实现人权的手段。 2、民法是公私混合法：民法原则上是私法，但并非全然是私法，因为民法总则中关于人格和身份等规定，是不以当事人的合意加以变更，为了保护弱者而规定的，属于强行法，即公法。但民法大部分规定仍属于可以以当事人合意加以变更的任意性规定，因此民法是公私混合法。 3、民法是市民法：市民是私法概念，具有自利性。民法是市民社会的基本法。 ﹡民法的渊源： 民法的渊源是民事法律规范的表现形式。 1、法律：全国人大及其常委会按照立法程序制定的行为规范，它是最典型的成文法。（包括民法典、其他有权机关的民事立法文件） 2、习惯：已经在社会中出现并经长期反复适用，为一般国民法律意识所接受的行为规范。 3、判例：公开的、具有先例拘束性、被普遍化的，由较高级别法院制定或认可的法院判决。 4、学理：经法院采用的法学家就民法问题的观点。 事理之性质：是案件中作为确定当事人权利义务关系之依据的有关事实本身的规定。 同法族的外国法：古罗马法以及现代大陆法系诸国的民法，尤其是德国民法。 5、国际条约和国际惯例：我国缔结或参加的国际条约，国际条约没有规定而适用国际惯例。 民法的适用范围： 民法的适用范围指民法的效力。 1、对人的适用范围：自然人（公民、外国人、无国籍人）法人和合伙。 2、对空间的适用范围：我国领土、领空、领海以及我国驻外使馆和我国领域外航行的我国船舶。 3、对时间的适用范围：民法生效时间、失效时间和不溯及既往。 第二章民法基本原则 一、名词解释： 1、民法基本原则：是一种克服法律局限性的立法技术，其效力贯彻民法始终的根本规则。

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

概率论与数理统计知识点汇总(详细)

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

博弈论理论经典讲解

博弈论经典案例 冰晶淩（杂物区）2010-04-09 22:31:28 阅读258 评论0 字号：大中小订阅 引用 光光的博弈论经典案例 1994年诺贝尔经济学奖授给了三位博弈论专家：纳什，泽尔腾和海萨尼．而博弈论可以划分为合作博弈和非合作博弈．那三位博弈论专家的贡献主要是在非合作博弈方面，而且现在经济学家谈到博弈论，一般指的是非合作博弈，很少指合作博弈．合作博弈与非合作博弈之间的区别主要在于人们的行为相互作用时，当事人能否达成一个具有约束力的协议，如果有，就是合作博弈；反之，就是非合作博弈．非合作博弈强调的是个人理性，个人最优决策，其结果可能是有效率的，也可能是无效率的．而合作博弈强调的是团体理性．下面是我收集的张维迎教授的几个有关博弈论的经典 案例． ＜案例一：囚徒困境＞ 囚徒困境讲的是两个嫌疑犯作案后被警察抓住，分别关在不同的屋子里审讯．警察告诉他们：如果两人都坦白，各判刑8年；如果两个都抵赖，各判1年(或许因证据不足)；如果其中一人坦白一人抵赖，坦白的放出去，不坦白的判刑10年(这有点＇坦白从宽，抗拒从严＇的味道)．这里，每个囚徒都有两种战略：坦白或抵赖．表中每一格的两个数字代表对应战略组合下两个囚徒的支付（效用），其中第一个数字是第一个囚徒的支付，第二个数字为第二个囚徒的支付．战略形式又称标准形式，是博弈的两种表述形式之一，它特别方便于静态博弈分析． 在这个例子里，纳什均衡就是（坦白，坦白）：给定B坦白的情况下，Ａ的最优战略是坦白；同样，给定Ａ坦白的情况下，Ｂ的最优战略也是坦白．事实上，这里，（坦白，坦白）不仅是纳什均衡，而且是一个占优战略均衡．就是说，不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白．比如说，如果Ｂ不坦白，Ａ坦白的话被放出来，不坦白的话判１年，所以坦白比不坦白好；如果Ｂ坦白，Ａ坦白的话判８年，不坦白的话判１０年，所以，坦白还是比不坦白好。 这样，坦白就是Ａ占优战略；同样，坦白也是Ｂ的占优战略．结果是，每个人都选择坦白，各判刑８年． ＜案例二：智猪博弈＞ 这个例子讲的是，猪圈里有两头猪，一大一小．猪圈的一头有一个猪食槽，另一头安装一个按钮，控制着猪食的供应。按一下按钮会有１０个单位的猪食进槽，但谁按按钮需要付２个单位的成本．若大猪先到，大猪吃到９个单位，小猪只能吃１个单位；若同时到，大猪吃７个单位，小猪吃３个单位；若小猪先到，大猪吃６个单位，小猪吃４个单位。表中第一格表示两猪同时按按钮，因而同时走到猪食槽，大猪吃７个，小猪吃３个，扣除２个单位的 成本，支付水平分别为５和１．其他情形可以类推． 在这个例子中，什么是纳什均衡？首先我们注意到，无论大猪选择＂按＂还是＂等待＂，小猪的最优选择均是＂等待＂．比如说给定大猪按，小猪也按时得到１个单位，等待则得到４个单位；给定大猪等待，小猪按得到－１单位，等待则得０单位，所以，＂等待＂是小猪的占优战略．给定小猪总是选择＂等待＂，大猪的最优选择只能是＂按＂．所以，纳什均衡就是：大猪按，小猪等待，各得４个单位．多劳者不多得！ ＜案例三：性别战＞

概率论与数理统计课程教学大纲#

《概率论与数理统计》课程教案大纲 <2002年制定 2004年修订） 课程编号： 英文名：Probability Theory and Mathematical Statistics 课程类别：学科基础课 前置课：高等数学 后置课：计量经济学、抽样调查、实验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论 学分：5学分 课时：85课时 修读对象：统计学专业学生 主讲教师：杨益民等 选定教材：盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001年<第三版） 课程概述： 本课程是统计学专业的学科基础课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。因为其具有很强的应用性，特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙，也是经济类各专业研究生招生测试的重要专业基础课。本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对实验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数统计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。 教案目的： 通过本课程的学习，要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式，常见的各种随机变量<如0－1分布、二项分布、泊松

民商法专业课讲义word版

民法部分 第一编民法总论 第一章民法概述 第一节民法的概念 重点提示：1.民法的调整对象（其中有一个法条辨析比较重要）、民法的概念 2.民法与有关概念的关系（重点） 二、民法的调整对象 （一）关于民法调整对象的争论 3我国关于民法调整对象的争论 1986年颁布的《中华人民共和国民法通则》第2条规定：“中华人民共和国民法调整平等主体的公民之间、法人之间、公民和法人之间的财产关系和人身关系。” 4本书认识 应该说我国《民法通则》第2条关于我国民法调整对象的规定是比较科学的。当然，它仍然存在以下问题：（1）该条使用“公民”一词有欠妥当，因为依我国《民法通则》的规定，在中华人民共和国领域内的外国人、无国籍人所进行的民事活动，也是我国民法调整的范围。因而，应将“公民”改为“自然人”。（2）该条列举的平等主体仅指自然人与法人，且该法认为国家非法人，即该条似将国家排除在民事主体之外，这与该法的规定不符合。实际上，在界定民法的调整对象时试图列举平等主体并非是一种科学的方法。 （二）我国民法调整对象的质的规定性 我国民法调整的是平等主体之间的社会关系，主体的平等性是我国民法调整对象的质的规定性。 主体的平等性包含相互联系的两个方面；一是关系双方人格独立，互不隶属，不存在人身依附关系，即一方在人格上不从属于另一方；二是双方意志自治，行动自主，任何一方都不能命令他方服从自己，选择和协调成为建立相互关系的基础。人格独立是意志自治的前提或基础，意志自治则是人格独立的具体体现。 （三）我国民法调整对象的量的规定性 我国民法调整的是平等主体之间的社会关系，然并非所有平等主体之间的社会关系均由民法调整，我国民法只调整平等主体之间的财产关系与人身关系，即民事关系。 1平等主体之间的财产关系 财产关系是当事人以财产为内容而发生的社会关系。财产，是指对人具有经济价值的一切事物。 财产支配关系指直接占有、使用、收益、处分财产而发生的社会关系；财产流转关系指因转移财产而发生的社会关系。有形财产关系是指以物或货币等实物形态存在着的物质财富为内容而发生的社会关系；无形财产关系主要使指以著作、发明等智力成果形态存在着的

概率论与数理统计教学大纲

《概率论与数理统计》教学大纲 编写人：刘雅妹审核：全焕 一、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质，它是为培养我国现代建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。 二、教学基本要求 本课程按要求不同，分深入理解、牢固掌握、熟练应用，其中概念、理论用“理解”、“了解”表述其要求的强弱，方法运算用“会”或“了解”一词表述。 〈一〉、随机事件与概率 ⒈理解随机实验，样本空间和随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。 ⒉理解概率的定义，掌握概率的基本性质，能计算古典概型和几何概型的概率，能用概率的基本性质计算随机事件的概率。 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式。

⒋理解全概率公式和贝叶斯公式，能计算较复杂随机事件的概率。 ⒌理解事件的独立性概念，能应用事件的独立性进行概率计算。 6.理解随机实验的独立性概念，掌握n重贝努里实验中有关随机事件的概率计算。 〈二〉、一维随机变量及其概率分布 ⒈理解一维随机变量及其概率分布的概念. 2.理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率. 3.理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。 5.会求简单的随机变量的函数的分布。 〈三〉、二维随机变量及其分布 ⒈了解二维（多维）随机变量的概念。 ⒉了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。 3．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。 4．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算。

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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

博弈论知识点总结完整版

博弈论 （一）：基本知识 1.1定义:博弈论，又称对策论，是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论，是研究竞争的逻辑和规律的数学分支。即，博弈论是研究决策主体在给定信息结构下如何决策以最大化自己的效用，以及不同决策主体之间的均衡。 1.2基本要素：参与人、各参与人的策略集、各参与人的收益函数，是博弈最重要的基本要素。 1.3博弈的分类：博弈论根据其所采用的假设不同而分为合作博弈理论和非合作博弈理论。两者的区别在于参与人在博弈过程中是否能够达成一个具有约束力的协议（binding agreement）。倘若不能，则称非合作博弈（Non-cooperative game）。 合作博弈强调的是集体主义，团体理性，是效率、公平、公正；而非合作博弈则主要研究人们在利益相互影响的局势中如何选择策略使得自己的收益最大，强调个人理性、个人最优决策，其结果有时有效率，有时则不然。目前经济学家谈到博弈论主要指的是非合作博弈，也就是各方在给定的约束条件下如何追求各自利益的最大化，最后达到力量均衡。 博弈的划分可以从参与人行动的次序和参与人对其他参与人的特征、战略空间和支付的知识、信息，是否了解两个角度进行。把两个角度结合就得到了4种博弈： a、完全信息静态博弈，纳什均衡，Nash(1950) b、完全信息动态博弈，子博弈精炼纳什均衡，泽尔腾（1965） c、不完全信息静态博弈，贝叶斯纳什均衡，海萨尼（1967-1968） d、不完全信息动态博弈，精炼贝叶斯纳什均衡，泽尔腾（1975）Kreps, Wilson(1982) Fudenberg, Tirole(1991) 1.4课程主要内容：完全信息静态博弈完全信息动态博弈不完全信息静态博弈机制设计合作博弈 1.5博弈模型的两种表示形式：策略式表述(Strategic form), 扩展式表述（Extensive form） 1.6占优均衡： a、占优策略：在博弈中如果不管其他参与人选择什么策略，一个参与人的某个策略给他带来的支付值始终高于其他策略，或至少不劣于其他策略，则称该策略为该参与人的严格占优策略或占优策略。 对于所有的s-i，si*称为参与人 i的严格占优战略，如果满足： ui(si*,s-i)>ui(si',s-i) ?s-i, ?si' ?si* b、占优均衡：一个博弈的某个策略组合中，如果对应的所有策略都是各参与人的占优策略，则称该策略组合为该博弈的一个占优均衡。 1.7重复剔除严劣策略均衡： a、“严劣”和“弱劣”的含义： 设s i’和s i’’是参与人i可选择的两个策略，若对其他参与人的任意策略组合s-i, 均成立 u i(s i’, s-i) < u i(s i’’, s-i), 则说策略s i’严劣于策略s i’’。 上面式子中，若将“<”改为“≤”，则说策略s i’弱劣于策略s i’’。 b、定义：重复剔除严格策略就是 各参与人在其各自策略集中， 不断剔除严劣策略…如果最终 各参与人仅剩下一个策略，则 该策略组合就被称为重复剔除 严劣策略均衡。 （二）：纳什均衡（Nash Equilibrium） 2.1纳什均衡定义：对于一个策略式表述的博弈G={N,S i, u i,i∈N}，称策略组合s*=(s1, …s i, …, s n)是一个纳什均衡，如果对于每一个i ∈N, s i*是给定其他参与人选择s-i*={s1*, … ,s i-1*, s i+1*, … ,s n*} 情况下参与人i 的最优策略（经济理性策略），即：u i(s i*, s-i*)

司法考试民法学讲义：遗嘱.doc

司法考试民法学讲义：遗嘱。法律教育网为考生整理了司法考试名师讲义，希望能够给考生带来一些帮助。祝大家学习愉快！ 一、遗嘱的概念和特征 1、概念 遗嘱是遗嘱人生前依法律规定处分其个人财产及与此相关事务，并于其死口时发生效力的单方民事法律行为。 △遗嘱不等于遗嘱继承，因为公民既可以依法将个人财产指定由法定继承人中的一?人或者数人继承，也可以立遗嘱将个人财产赠给国家、集体或者法定继承人以外的人（《继承法》第16条）而立遗嘱将个人财产赠给国家、集体或者法定继承人以外的人属于遗赠，并非遗嘱继承。 2、特征 （1）遗嘱是单方民事法律行为。 （2）遗瞩须由遗嘱人生前亲自独立实施。代书遗嘱中的代书行为并非代理，只是事务行为。 （3）遗嘱在遗嘱人死后才发生法律效力。即死因行为。 （4）有效遗嘱应当符合一定形式。即必须采取法律规定的五种形式。 二、遗嘱的形式 1、公证遗嘱。 （1）公证遗嘱是指由遗嘱人亲自巾请，经国家公证机关办理的遗嘱。 （2）公证遗嘱的证明力最强、证据效力最高。 （3）自书、代书、录音、口头遗嘱，不得撤销、变更公证遗嘱。 2、自书遗嘱。 自书遗嘱是指遗嘱人亲笔书写的遗嘱。自书遗嘱由遗嘱人亲笔书写，亲自签名, 并注明年、月、口。

3、代书遗嘱。 代书遗嘱是指由遗嘱人曰述，请他人代为书写的遗嘱。为保证代书遗嘱的真实性，应当有两个以上的见证人在场见证，由其中一人代书，注明年、月、日，并由代书人、其他见证人和遗嘱人签名。代书遗嘱虽然可以由其他人代为书写，但要求遗嘱人签名。 4、录音遗嘱。 录音遗嘱是指遗嘱人口述，以录音形式制作的遗嘱。录音遗嘱应当有两个以上见证人在场见证。 5、口头遗嘱。 口头遗嘱是指遗嘱人用口述方式表示对遗产进行处分的遗嘱方式。 （1）由于口头遗嘱容易被篡改和伪造，因此法律要求只有在遗嘱人在危急情况下才可以立口头遗嘱。口头遗嘱要有两个以上见证人在场见证。 （2）危急情况解除后，遗嘱人能够用书面或者录音形式立遗瞩的，所立口头遗嘱无效。 （3）这里的“危急情况”一般是指遗嘱人生命垂危或者其他紧急情况（如重大军事行动、意外事故等） △ 1代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱都须有两个以上的见证人在场见证。 △2法律要求见证人必须能客观公正地证明遗嘱的真实性。因此下列人员不能作为遗嘱见证人： （1）无行为能力人、限制行为能力人； （2）继承人、受遗赠人； （3）与继承人、受遗赠人有利害关系的人。包括继承人、受遗赠人的父母、子女、配偶等近亲属，以及继承人、受遗赠人的债权人、债务人、共同经营的合伙人等。 三、遗嘱的效力 1、成立合法有效遗嘱，必须具备以下条件: （1）遗嘱人立遗嘱时有遗嘱能力。

对概率论与数理统计教学的几点感受

对概率论与数理统计教学的几点感受 概率论与数理统计是一门重要的基础课，学生在学习的过程中感觉这门课比较难学，本文结合自己的教学经历，总结出教学中的几点感受，以更好地教好学生学好这门课程。 标签：概率论与数理统计;教学;感受 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律性的一门科学，是数学的一个分支，它已经渗透到计算机科学、生物、医学、工业工程、金融以及自然科学与高新技术等各领域。因此，概率统计的地位非常重要，从而概率论与数理统计的教学就显得非常重要。下面就几年来对这门课程的实际教学，谈几点感受。 一、上好緒论课 绪论课是本门课的第一次课，因此这节课讲得好与坏对后面的学习起着至关重要的作用。教师可先介绍概率论与数理统计的发展过程，让学生感受和了解知识的原始背景，激发学习兴趣。接下来可介绍概率论与数理统计的应用，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学、社会科学、军事科学等诸多领域中都起着不可或缺的作用。直观地说，卫星上天、导弹巡航、飞机制造、宇宙飞船遨游太空等都有概率论与数理统计的一份功劳;及时准确的天气预报、海洋探险、考古研究等更离不开概率论与数理统计;电子技术发展、人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。进而让学员感受到学好这门课的重要性。最后可介绍概率论与数理统计的学习内容与学习方法。 二、改变教学方式，加强师生在教学中的互动 传统的教学方式是知识传授型的，这种教学方式以教师的系统讲解为主，它虽能使学生在单位时间内迅速系统地掌握较多的数学基础知识和技能，但整个过程由教师直接控制着，学生实际上处于一种被动接受教师所提供知识的地位。因此，在教学中，我们应根据不同的内容和时间选择不同的教学方法，采取多法并用的教学模式。教师可在深入理解教材和了解学生的基础上，用“启发”形式写出自学提纲，以课外作业的形式布置下去。在上课时，尤其是第二节课，或是请学生们讨论本节的知识要点，或是请学生讲解本节的内容，最后由教师进行有针对性地指导，全面进行教与学的评价。这种方法的主导思想是突出教学过程中师生的互动，提高学生的自学能力，从而变以前被动接受为积极主动参与整个教学过程，培养学生分析、辩论、理论联系实际、与他人合作等综合能力。 三、及时归纳总结 概率论与数理统计这门课程涉及的内容较多，学生在学习的过程中往往不能从全局把握这门课程的脉络与结构，头脑中往往只是些零散的知识点。我认为每学完一节，教师要把本节的知识点加以总结，并且把本节内容与前面内容及后面

概率论与数理统计答案完整版

概率论与数理统计答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

习题答案 第1章 三、解答题 1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的 (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确. 2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = ，P (B ) = ，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少 (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤， 又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以 (1) 当)()(B A P B P = 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==. (2) 1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=+=. 3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )． 解：因为)()(B A P AB P =， 即)()()(1)(1)() (AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ， 所以 .1)(1)(p A P B P -=-= 4．已知P (A ) = ，P (A – B ) = ，试求)(AB P ． 解：因为P (A – B ) = ，所以P (A )– P(AB ) = , P(AB ) = P (A )– , 又因为P (A ) = ，所以P(AB ) =– =，6.0)(1)(=-=AB P AB P . 5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少 解：显然总取法有410C n =种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：1 5 C k =24C 212)(C +25C 其中：2 122 41 5)(C C C 为恰有1双配对的方法数