当前位置：文档视界 › 概率论与数理统计讲义曹显兵()

概率论与数理统计讲义曹显兵()

概率论

曹显兵

第一讲随机事件与概率

考试要求

1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.

2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.

3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型

1．试验，样本空间与事件.

2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则

基本事件总数

中有利事件数

A A P =)(

3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，

则

、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=

)(A P

【例1】一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试

求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率.

（1）一次取3个；

（2）一次取1 个, 取后不放回；（3）一次取1个, 取后放回.

【例2 】从（0，1）中随机地取两个数，试求下列概率：（1）两数之和小于1.2；（2）两数之和小于1且其积小于

. 一、事件的关系与概率的性质

1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有：（1） A 与B 互斥（互不相容） ? Φ=AB

（2） A 与B 互逆（对立事件） ? Φ=AB ,Ω=B A （3） A 与B 相互独立? P （AB ）=P （A ）P （B ）.

? P （B|A ）=P （B ）（P （A ）>0）.

?(|)(|)1P B A P B A += （0

?P （B|A ） =P （B|A ）（ 0 < P （A ） < 1 ）

注: 若（0

0）

? 1)|()|(=+B A P B A P （0

（4） A, B, C 两两独立 ? P （AB ）=P （A ）P （B ）;

P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.

（5） A, B, C 相互独立 ? P （AB ）=P （A ）P （B ）;

P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）;

P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.

2. 重要公式

（1） )(1)(A P A P -=

（2） )()()(AB P A P B A P -=-

（3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=

)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++= （4）若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===n

i i n

i i A P A P 1

)()( .

（5）若A 21,A , …, A n 相互独立, 则

)(1)(1

i n

i i A P A P ∏==-= )](1[11

i n

i A P ∏=--=.

∏===n

i i n i i A P A P 1

)()( .

（6）条件概率公式: )

()()|(A P AB P A B P = （P （A ）>0）

【例3】已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C, 且P （ C ）＝3

1, 试求P （B ）. 【例4】设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）

＝P （C ）<2

,且已知9

()16

P A B C =

, 则P （A ）＝ . 【例5】设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0

（A ）P （A B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （B ）P （A B|C ）＝P （A B ）. （C ）P （A B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （D ）P （A B|C ）＝P （A B ）. 【例6】设事件A, B, C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18

=, P （ABC ）＝

, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 . 【例7】设事件A, B 满足 P （B| A ）＝1则【】

（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|A ）=0.

（C ） A B ?. （D ） A B ?.

【例8】设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0

（A ） B A +与C . （B ） AC 与C

（C ） B A -与C （D ） AB 与C 【例9】设A ，B 为任意两个事件，试证

P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤ 4

三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1．乘法公式：

|()|()|()()().

|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P

2．全概率公式：

()(|)(),,,.i i i j i i i P B P B A P A A A i j A ∞

∞

====Φ≠=Ω∑

3．Bayes 公式：

(|)()

(|),,,.(|)()

j j j i j i i i

i P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞

∞

===

=Φ≠=Ω∑　A

4．二项概率公式:

()(1),0,1,2,

,.k k

n k n n P k C P P k n -=-=　,

【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,

试求另一件也为次品的概率.

【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.

试求下列事件的概率. （1）第三次取得次品; （2）第三次才取得次品;

（3）已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4）不超过三次取到次品;

【例12】甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种

情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率. （1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次.

【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名

表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份.

(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;

(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二讲随机变量及其分布

考试要求

1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（()()F x P X x =≤）的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.

2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.

3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.

4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布的概率密度为

,0,()0,0.x e x f x x λλ-?>=?≤?

5. 会求随机变量函数的分布.

一、分布函数

1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量.

2．分布函数：∞+-∞=＜＜),≤

()(x x X P x F F （x ）为分布函数 ?（1） 0≤F （x ） ≤1

（2） F （x ）单调不减

（3）右连续F （x+0）=F （x ）（4） 1)(,0)(=+∞=-∞F F

3．离散型随机变量与连续型随机变量（1）离散型随机变量

∑∞

=====1

i 1

≥,,,2,1,)(i i i i p p n i p x X P

分布函数为阶梯跳跃函数.

（2）连续型随机变量 ?

∞

-=x

t t f x F d )(

)( f （x ）为概率密度 ? （1） f （x ）≥0, （2） ?+∞

∞

- f （x ）1d =x ?=≤≤=<

a x f

b X a P b X a P )()()( 4．几点注意

【例1 】设随机变量X 的分布函数为

0,1,57

(),11,16161, 1.x F x x x x <-???=+-≤

则2(1)P X == .

【例2 】设随机变量X 的密度函数为 f （x ）, 且 f （－x ） = f （x ）, 记

()X F x 和()X F x -分别是X 和X -的分布函数, 则对任意实数x 有【】

（A ）()()X X F x F x -=. （B ）()()X X F x F x -=-.

（C ）()1()X X F x F x -=-.

（D ）()2()1X X F x F x -=-.

【例3 】设随机变量X 服从参数为0λ>的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X,

2 } 的分布函数

【例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立

每个元件正常工作时间服从参数为 0λ>的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.

【例5】设随机变量X 的概率密度为 ??

?<-=.,

1|||,|1)(其他x x x f 试求（1） X 的分布函数)(x F ; （2）概率)4

2(<<-X P . 二、常见的一维分布

（1） 0-1分布：1,0,)1()(1 =-==-k p p k X P k k .

（2）二项分布n k p p C k X P p n B k n k k n ,,1,0,)1()(:),( =-==- . （3） Poisson 分布)(λP ： ,2,1,0,0＞,e !

)(==

=-k k k X P k

λλλ.

（4）均匀分布?????-=.,

＜＜1

)(:),(其他０，

，　b x a a b x f b a U

（5）正态分布N （μ，σ2）： 0,,e

π21)(2

22)(+∞<<∞->=

μσσ

σμ x x f

（6）指数分布?

??=-. ,0 ＞0,

,e )(:)(其他x x f E x λλλ ＞0λ.

（7）几何分布.2110,)1()(:)(1 ,,k ,＜p＜p p k X P p G k =-==-

（8）超几何分布H （N,M,n ）: },min{,,1,0,)(M n k C C C k X P n

k n M N k M ===--　. 【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p （0

（C ） 22)1(3p p -. （D ） 22)1(6p p -. 【例7】设X ～Ｎ（μ, σ2）, 则 P （ X ≤1＋μ）【】（A ）随μ的增大而增大 . （B ）随μ的增大而减小. （C ）随σ的增大而不变 . （D ）随σ的增大而减小. 【例8】设X ～Ｎ（μ, σ2）, ()F x 为其分布函数，0μ<，则对于任意实数a ，

有【】

（A ） ()() 1.F a F a -+> （B ） ()() 1.F a F a -+= （C ） ()() 1.F a F a -+< （D ） 1

()().2

F a F a μμ-++=

【例9】甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任

取一球交换放入另一袋中，试求交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.

三、随机变量函数的分布： 1. 离散的情形

2. 连续的情形

3. 一般的情形

【例10】设随机变量X 的概率密度为

????

?????<≤<<-=.,

0,20,4

1,01,21

)(其他x x x f X 令),(,2y x F X Y =为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.

（Ⅰ）求Y 的概率密度)(y f Y ; （Ⅱ） )4,2

1(-F .

第三讲多维随机变量及其分布

考试要求

1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.

2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.

3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .

4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.

一、各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布

（1）一般二维随机变量 F （x, y ）=P{ X ≤ x, Y ≤ y }, x ∈ （?∞, +∞）, y ∈ （?∞, +∞）的性质

F （x, y ）为联合分布函数 ? 1） 0 ≤F （x, y ）≤1 , ?x ∈ （?∞, +∞）,, y ∈ （?∞, +∞）;

2） F （?∞, y ）= F （x, ?∞）=0, F （+∞,+∞）

=1;

3） F （x, y ）关于x, y 均为单调不减函数； 4） F （x, y ）关于x, y 均分别右连续.

（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布

联合概率分布律 P{X = x i , Y = y j } = p i j , i, j =1, 2 ,??? , p i j 0,

1=∑∑i

i p

边缘分布律 p i = P{X = x i }=∑j

j i p , i =1, 2 ,??? ,

= P{ Y = y j }=∑i

j i p , j =1, 2 ,??? ,

条件分布律 P{X = x i |Y = y j } =

j i p p ?, P{ Y = y j | X = x i } =

i j i p p .

二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度

f （x, y ）为联合概率密度 ? 1? f （x, y ）≥0,

2? 1=??∞+∞-∞

+∞- ),(dxdy y x f .

设（ X, Y ）~ f （x, y ）则分布函数: ?

∞-∞

-=x y

dxdy y x f y x F ),(),(;

边缘概率密度: ?∞

+∞-= ),()(dy y x f x f X , ?∞

+∞-= ),()(dx y x f x f Y . 条件概率密度: )(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =

, )

()

,()|(|x f y x f x y f X X Y =.

??=∈D

dxdy y x f D Y X P ),(}),{(

,(),(y

x y x F y x f ???=2

2. 随机变量的独立性和相关性

X 和Y 相互独立 ? F （x, y ）= F X （x ）F Y （y ）;

? p i j = p i

（离散型）

? f （x, y ）= f X （x ）f Y （y ）（连续型）

【注】 1 X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 f （X ）与g （Y ）也独

立.

2 若X 1, ????, X m , Y 1, ????, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数

f （X 1, ????, X m ）与

g （Y 1, ????, Y n ）也独立. 3 常数与任何随机变量独立. 3. 常见的二维分布

（1）二维均匀分布（X, Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为

???

??∈=.,

.),(,)

(),(其他01

D y x D S y x f （2）二维正态分布（X, Y ）~ N （μ1 , μ2, σ12 ,σ22, ）, ?∞ <μ1, μ2 <

+∞, σ1>0, σ2 > 0, | | <1. 联合概率密度为

21121

σπσ?-=

),(y x ???

????

?-+------222

2121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e

性质:

（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22 ）（ b ） X 与Y 相互独立 ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关. （ c ） C 1X+C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12 σ12 + C 22σ22 +2C 1C 2

σ1 σ2 ）.

（ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122

111ρσμσσρμ--+y N 【例1 】设A ，B 为事件，且P （A ）＝4

, P （B|A ）＝2

1, P （A|B ）＝12

令 X ＝??

?否则发生若,0,1A , Y ＝???否则

发生

若,0B ,1

（1）试求（X, Y ）的联合分布律；（2）计算Cov （ X, Y ）；

（3）计算 22(2,43)Cov X Y +.

【例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.

【 3

13221P X

记{}{}Y X V Y X U ,m in ,,m ax ==.

（I ）求（U, V ）的概率分布;

（II ）求（U, V ）的协方差Cov （U, V ）. 【详解】（I ）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且

{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P

)1,1(===Y X P 9

)1()1(=

===Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P

,1()1,2(==+===Y X P Y X P )2()1()1()2(==+===Y P X P Y P X P 9

, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P

)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 9

, 故（U, V

（II ） 9122941209411)(??+??++??=UV E 9

16=

, 而 9149

529

41)(=

?+?=U E , 9

10912981)(=?+?=V E . 故 81

910914916)()()(),(=?-=

-=V E U E UV E V U Cov . 【例4】设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求

（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;

（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y X P .

二、二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性

（1）若X~B （m, p ）, Y~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p ）. （2）若X~P （λ1）, Y~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）. （3）若X~N （211,μσ）, Y~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （221212,μμσσ++）. 一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n, 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为

(

,),n n

i i i i i i N C C C

μσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.

2. 两个随机变量函数的分布.

【例5】设X 与Y 相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠= {min(,)0}__________.P X Y ≠=

【例6】设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:

1,01,

()X x f x <=??0,其他.

求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.

【例7】设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为 2,01,01,

(,)0,

x y x y f x y --<<<

（I ）求{}Y X P 2>；

（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z . 【详解】（I ）{}Y X P 2>??>=

x dxdy y x f 2),(??--=1

221

)2(y

dx y x dy 24

. （II ）方法一：先求Z 的分布函数: ??≤+=

≤+=z

y x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(

当z<0时, 0)(=z F Z ;

当10<≤z 时, ??=1

),()(D Z dxdy y x f z F ??---=y

z z dx y x dy 00)2(

323

1z z -=；

当21<≤z 时, ??-=2

),(1)(D Z dxdy y x f z F ??-----=1

11)2(1y z z dx y x dy

3)2(3

11z --=；当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度

)(z f Z =)(z F Z '??

??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z

方法二： ?∞

+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，

?<-<<<---=-.,0,

10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ??

?+<<<<-=.,

1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ; 当01z <<时, ?-=z

Z dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ?--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度

)(z f Z ??

??<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z

【例8】设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数 f （x ）, Y 的分布律为

()i i P Y a p ==,　i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.

第四讲数字特征与极限定理

考试要求

1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.

2．会根据随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数学期望)(X Eg ；会根据随机变量X

和Y 的联合概率分布求其函数),(Y X g 的数学期望),(Y X Eg .

3．了解切比雪夫不等式. 4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）

5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率

一、数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式）

离散型 {}i i p x X P ==, ∑=i

i i p x X E )(

连续型 )(~x f X , x x xf X E d )()(?+∞

∞-=

方差：[]222)()())(()(X E X E X E X E X D -=-= 标准差：

)

(X D ,

2. 期望的性质：

1° )())((,)(X E X E E C C E == 2° )()()(2121Y E C X E C Y C X C E +=+ 3° )()()(Y E X E XY E ，Y X =则独立与若 4° [])()(≤)(222Y E X E XY E

3. 方差的性质：

1° 0))((,0))((,0)(===X D D X E D C D

2° )()()(Y D X D Y X D Y X +=±相互独立，则与 3° )()(2121X D C C X C D =+

4° 一般有 ),Cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±

)

()(2)()(Y D X D Y D X D ρ±+=

5°2()()C D X E X <-, )(X E C ≠

【例1】设试验成功的概率为4

3, 失败的概率为4

1, 独立重复试验直到成功两次为

止. 试求试验次数的数学期望.

【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止.

试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.

【例3】设随机变量X 的概率密度为?????≤≤=.,

0,2cos 21

)(其他πx x x f 对X 独立地重复观察

4次, 用Y 表示观察值大于3

π的次数, 求2Y 的数学期望.

【例4】设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客

在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望.

二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 )(X g Y =

离散型：{}i i P X x p == ， ∑=i

x g Y E )()(

连续型：~()X f x x x f x g Y E d )()()(?

+∞

∞

2、二维的情形 ),(Y X g Z =

离散型{}ij i i p y Y x X P Y X ===,~),(, ∑∑=

y x g Z E ),()(

连续型),(~),(y x f Y X , y x y x f y x g Z E d d ),(),()(??+∞

∞-+∞∞-=

【例5】设X 与Y 独立且均服从N （0，1），求Z ＝22Y X + 的数学期望与方差. 【例6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从N （0，2

）, 试求Z ＝｜X －Y ｜的

数学期望与方差. 三、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：

协方差 []))()((()Cov(Y E Y X E X E X,Y --=

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计公式整理超全免费版

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

同济大学_概率论与数理统计期中试卷

同济大学 09 学年第一学期专业级《概率统计》期中试卷考试形式：（闭卷）一、填空题（共 30 分，每空2分）： 1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为，三个事件都发生可表示为，都不发生可表示为 . 2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则() =B A P . 3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为，至少取3次才能取到黑球的概率为 . 4．设随机变量X 的分布函数()??? ?? ??≥<≤<≤--<=31318 .0114 .010x x x x x F ，则X 的分布列为 . 5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从分布，其数学期望为，方差为 . 6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4 12= >k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()?? ?>-<≤≤-=2 ,20 2225.0x x x x f ，则X 服从分布，设随机变量 12+=X Y ，则=EY . 二、选择题（共10 分，每小题 2 分） 1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有（）（A ）()0>A B P （B ）() ()A P B A P = （C ）() 0=B A P （D ）()()()B P A P AB P =

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝。！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

第二章 1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。 X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636 P X == =′； X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618 P X ===′； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612 P X ===′； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则 {}41 5669P X == =′； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则 {}5566636P X == =′； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则 {}617666 P X == =′；类似地，可以算得 {}5586636P X == =′，{}419669P X ===′，{}31 106612P X ===′， {}21116618P X ===′，{}11 126636 P X ===′。因此，X 的分布律为 [()](),,,{}[()](),,,|| ,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667 234111236 i i i i P X i i i i i i ì------??===??==í ?-----?==????--= =L L L 2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。由题可知，一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1，因此可求得X 的分布律为 1 23421777 k X P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为 {}.007P X == ，{}...10307021P X ==?，{}....20303070063P X ==创=， {} (303030307) 00189P X ==创?，{} (403030303) 00081P X ==创?。即X 的分布律为

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业第1题您的答案:B 题目分数：0.５此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题您的答案:A 题目分数:０.５此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。第６题您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。第８题您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。第10题您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。第12题您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案

习题一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？（1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球）解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。（2）观察三粒不同种子的发芽情况。解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。（3）从五人中任选两名参加某项活动。解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。（5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2．事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？解：设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准一、课程概述（一）课程定位《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。（二）先修后续课程《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。二.课程设计思路本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。三、课程目标《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。（一）能力目标力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。（二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。（三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。四、课程内容根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。表4-1 课程内容和学时分配

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？（3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计同济大学第1章

1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？ 1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-. 1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率. 1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率. 1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率. 1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率. 1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -. 1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计学习报告学院学号：姓名：

概率论与数理统计学习报告通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的

随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

同济大学版概率论与数理统计——修改版答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则（1） A ? B ? （4） A ? B = ，（2） AB ? ，（5） A B = ，（3） A B ? 。，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

第三章 1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果： 1 0 i i X i i ?=??，第次取到次品（=1,2,3,4,5)，第次取到合格品则有 12345X X X X X X =++++ 易知，X i 有相同的分布律： 14 1099 5 1001{1}10 i C P P P X ?=== ， 19{0}110 10 i X P ==- = 则911 ()0110 10 10 i X E =? +?= ，于是 5 123451 1()()()50.510 i i E X E X X X X X E X ==++++= = ?=∑ 。注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。 2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)1 3 4X B ，那么3人中生日在第一季度的平均人数为().130754 E X n p ==?=。 3．略。 4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22 D X E X E X =-，可求得()()[()]2 2 2 E X D X E X λλ=+=+。由数学期望的性质，有 [()()][]()()2 222 1232 32 32 22 E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+ 则可得到关于λ的方程 2 221λλ-+= 亦即 2 210λλ-+=

概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1 )S (=P

概率论与数理统计讲义 曹显兵()

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计公式整理超全免费版

同济大学_概率论与数理统计期中试卷

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》在线作业

概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案

(完整版)概率论与数理统计课程标准

概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计习题答案

概率论与数理统计同济大学第1章

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计复习题--带答案

同济大学版概率论与数理统计——修改版答案

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初

概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387

概率论与数理统计讲义曹显兵()