概率论大题
某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．
求详细的解题过程~~谢谢各位了。。。
1）从一班选：选出的第一位是女生的概率为0.5*(10/50)=0.1
从二班选：选出的第一位是女生的概率为0.5*(18/30)=0.3
所以先选出的是女生的概率为0.1+0.3=0.4
2）从一班选：在已知先选出的是女生的条件下，此时女生剩下9人，全班人数剩下49人。接着选出的是女生的概率为(1/2)*(9/49)=9/98.
从二班选：在已知先选出的是女生的条件下，此时女生剩下17人，全班人数剩下29人。接着选出的是女生的概率为(1/2)*(17/29)=17/58
所求概率为9/98+17/58=547/1421（约为0.38）
1、设随机变量X的概率密度为f（x）=2x/π2，0＜x＜π；f（x）=0，其他。求Y=sinX的概率密度
F(y)=P(Y＜y)=P(sinX＜y)
当y＜0时，P(sinX＜y) =0
当0 ≤y≤1时，
P(sinX＜y)=P(0＜X≤arcsiny)+P(π-arcsiny≤X＜π)=（arcsiny）2/π2+[2πarcsiny -（arcsiny）2]/π2
=2arcsiny / π
当y＞1时，P(sinX＜y)=1
当0 ≤y≤1时，f(y)=（2 / π）×[1/√ (1-x2）]
其他 f(y) = 0
1、某厂生产的一类产品中%90是正品，其余为废品.用某种方法进行质量检查时，误认正品为 废品的概率为2.0，而误认废品为正品的概率为3.0。求检验结果为正品的一种产品确实是正品的概率. P(A)=0.75
P(B|A)=0.72/0.75=24/25=0.96
1. 设一批混合麦种中，一、二、三等品分别占80%、15%、5%，三个等级的发芽率依次
为0.98、0.95、0.8 求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？ 解
：
设
}
{能发芽=B ，
1,2,3i }{==等品取的是第i A i ,易见的
一
个
是Ω321,,A A A
,05.0)(15.0)(,8.0)(321===A P A P A P ，
,8.0)|(95.0)|(,98.0)|(321===A B P A B P A B P ， 由全概率公式，得9665.0)|()()(3
1
==
∑=i i
i
A B P A P B P
由贝叶斯公式，得1474.09665
1425
)
|()()
|()()(3
1
222≈=
=
∑=i i
i
A B P A P A B P A P B A P 2. 设连续型随机变量X 的概率密度为：???
????<≤<<=其他
,01,1
0,)(e x x
A
x Ax x f 求：(1)常数A ；(2) X 的分布函数()F x ；(3) ?
??
???<≤521X P .
解：(1)
12
3)(1
1
==+
=
?
?
?
+∞
∞
-A dx x A Axdx dx x f e
，故A =32
(2)()()F x P X x =≤。当0 当10<≤x 时, 203132 )()(x t d t dt t f x F x x = ==? ?∞- 当e x <≤1时, x dt t tdt dt t f x F x x ln 3 2 313232)()(110+=+==? ??∞- 当e x ≥时,()1F x =. (3) ? ?? ???<≤521X P =)21()5(F F -=1211 3. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出的一只蛋糕的价格 是一个随机变量，它取1元，1.2元.1.5元各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5，若售出300只蛋糕，利用中心极限定理求出售价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率. 解：设 {}() 300,2,116.0)(,2.0)(,2.01,0 1.2i ,1 =====? ??=i X D X E X P X i i i i 则， 其他元只蛋糕售价为 卖出的第 由中心极限定理??? ? ??? ???????->-=??????>∑∑==)(300)(30060)(300)(3006030013001i i i i i i i i X D X E X D X E X P X P ≈?? ? ????-Φ-16.03002.030601=5.0)0(1=Φ- 4、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，求X e Y 21--=的概率密. 解：???>=∴-其他 ,00 ,2)(),2(~2x e x f E X x X ， 对x e y 21--=，当0>x 时，有10< 当10< ?? ? ??--=?????? -- ≤=≤-=-)1ln(21)1ln(211)(2y F y X P y e P y F X X Y ∴ 1)1l n (21)1l n (21)()(=' ?? ? ??--??? ??--== y y f dy y dF y f x Y Y ? ? ?<<=∴ 其他,01 0,1)(y y f Y 5、将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求： （1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P > 解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，3. 且 {}81213,03=??? ??===Y X P ，{}8321211,12 13=?? ? ????? ??===C Y X P ， {}8321211,222 3 =??? ????? ??===C Y X P ，{}81213,33 =?? ? ??===Y X P . 于是，（1）（X ，Y ）的联合分布为 Y X 1 3 0 0 8 1 1 8 3 2 8 3 0 3 8 1 {}{}8 1 3,0====>Y X P X Y P . 1\ 设总体X 的概率分布为 X 0 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2θ θ21- 其中)2/10(<<θθ是未知参数，利用总体X 的如下样本值：3,2,0,3,1,3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. （1） 22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=?+?-+?+?-=-令X EX =,可得θ的 矩估计量为1 ?(3),4 X θ =-根据给定的样本观察值计算232031361=+++++=）（x ，因此θ的矩估计值41?=θ； （2）对于给定的样本值似然函数为)1()21(2)(3 5 θθθθ--=L )1ln()21ln(3ln 52ln )(ln θθθθ-+-++=L 令 0) 1)(21(5 2218112165)(ln 2=--+-=----=θθθθθθθθθθd L d 可得θ的极大似然估计值 ??? ? ??>+-=不合题意2118311118 3111?θ 2. 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分。问在显著性水平05.0=α下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？给出检验过程。 要检验假设70:,70:10≠=μμH H ， )1(~/--= n t n S X t μ ，故拒绝域为)35(2 αt t ≥. 05.0=α，36=n ，0301.2)35(025.0=t ，5.66=x ，15=S ， 由于4.136 /15705.66=-= t ,所以0301.2)35(2 =<αt t ， 故接受0H ，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分. .三、（10分）假设4.0)(=A P ，7.0)(=B A P 。 （1）若A 与B 互不相容，试求)(B P ；（2）若A 与B 相互独立，试求)(B P 。 解：（1）3.004.07.0)()()()(=+-=+-=AB P A P B A P B P （2）)()()()()(B P A P A P B A P B P +-= ， 5.06 .03 .0)(1)()()(==--= A P A P B A P B P 四．（10分)已知一批产品90%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为次品的概率 为0.02，而一个次品被误认为合格品的概率为0.05。 求：（1）检查一个产品被认为合格品的概率； （2）被认为合格品的产品确实合格的概率。 解：设A 为产品合格事件，则A A ,是产品的一个划分。 又设B 为产品检查合格事件， 则9.0)(=A P ，98.0)|(=A B P ，05.0)|(=A B P 。 （1） 由全概率公式，一个产品被认为合格的概率 )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += 887.005.01.098.09.0=?+?=。 （2）由贝叶斯定理，“合格品”确实合格的概率 )(/)|()()|(B P A B P A P B A P =994.0887.0/98.09.0=?= 五、（10分） 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为： ? ? ?<<<=.其他0,, 10 , ,),(x x y A y x f （1）求常数A ；（2）求EY EX ,及协方差),cov(Y X ；（3）说明X 与Y 的相关性. 解：（10分）（1）由 (,)1f x y dxdy +∞+∞ -∞ -∞ =?? ，得A ＝1 ……2分 （2）1 ()0x x D E XY xydxdy dx xydy -===???? 2 ()3 D E X xdxdy == ?? ()0D E Y ydxdy = =?? cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝ （3）0XY ρ= X 与Y 不相关 六(10分)设(Y X ,)服从区域{:D ≤≤（x,y ）:a x b ，}c y d ≤≤上的均匀分布，求： （1）(Y X ,)的联合概率密度；（2）Y X ,边际概率密度)(x f X ，)(y f Y . （3）讨论Y X ,的独立性。 解：（1）),(Y X 的联合密度函数 ??? ?? ∈--=,,0),(,))((1),(其他D y x c d a b y x f （2）?∞ +∞ -??? ??≤≤-==,,0,,1 ),()(其他b x a a b dy y x f x f X ?∞+∞ -?? ? ??≤≤-==,,0,,1 ),()(其他d y c c d dx y x f y f Y 3) ()()()y f x f y x f y x =, ∴ x 与y 独立 七、设随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ? ??≤+≥≤≤=其它,01 ,0,10,6),(y x y x x y x f （1）求边缘概率密度)(y f Y ；（2）求Y X Z +=的概率密度。 解：（1）10,)1(36),()(10 2<<-=== ? ? +∞ ∞ --y y xdx dx y x f y f y Y （2）当0≤z 和1≥z 时，0)(=z f Z ； 当10< 3 ),()()()(z d y x f z Y X P z Z P z F z y x Z ??≤+== ≤+=≤=σ 即时，10< 八．(10分)设总体X 的概率密度为???≤>=-0,00 )(x x e x f x λλ(0>λ为未知的参数)，而 n x x ,,1 为总体X 的一个样本。试求未知参数λ的矩估计量和极大似然估计量。 解：(1)?+∞ -== 1)(λ λλdx e x X E x 令λ1=X ? X 1=∧λ （2）似然函数为： ∑== =-=-∏n i i i x n n i x e e L 1 1 )(λ λλλλ ∑=-=n i i x n L 1 ln )(ln λ λλ 0)(ln 1=-=∑=n i i x n d L d λλλ ? X 1=∧λ 九．(5分)已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测定了9炉铁水,其 平均含碳量为4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍 为4.55 (05.0=a )？95.0)64.1(=Φ, 975.0)96.1(=Φ. 解：检验假设：.;55.4:0100μμμμ≠===H H 此检验问题为正态总体期望的双边检验问题,由于已知22108.0=σ, ))(1,0(~/00 为真时H N n X U σμ-= . 已知05.0=α,由975.02/1)(2/=-=Φa u α,查表得96.12/=αu ,于是其拒绝域为： ),96.1()96.1,(+∞--∞= D . 由样本均值484.4=x 及9=n ,108.0=σ,易算得U 的观测值为 833.19 /108.055.4484.4/00 0=-= -= n x U σμ. 因96.1833.12/0=<=αu U ,故没有理由拒绝0H ,即认为现在生产的铁水平均含碳仍为4.55. 十．(5分)一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一 个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车次数，求EX 。 （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）。 解： ?? ?=， i i X i 站没有人下车在第站有人下车在第,0 ， ,1 .10,,1 =i ? 101X X X ++= ? 2020)109 (1)1(,)109()0(-====i i X P X P 10,,1 =i ? 20)10 9 (1)(-=i X E 10,,1 =i ?)(101EX X E EX +==101EX EX ++ ])10 9 (1[1020-= 实用汇总报告 学习概率论心得思想到 在大二刚开学我接触到了概率论与数理统计这门课程，虽然在高中时已经接触到了许多跟概率相关的东西，比如随机事件、古典概型以及一系列的计算方法但是在接触到更加高深的层次后还是有许多不一样的感受。 在课程开始之初老师就告诉我们这门课不是很难，关键还在于上课认真听讲。通过老师的简单介绍，我了解到概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科，其理论与方法的应用非常广泛，几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产、国民经济以及我们的日常生活。对于作为信息管理与信息系统专业的我，其日后的帮助也是很大的，尤其是对于日后电脑方面的操作有着至关重要的辅助作用。 在这门课程中我们首先研究的是随机事件及一维随机变量二维随机变量的分布和特点。而在第二部分的数理统计中，它是以概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出种种估计和判断。整本书就是重点围绕这两个部分来讲述的。初学时，就算觉得理解了老师的讲课内容，但是一联系实际也会很难以应用上，简化不出有关所学知识的模型。在期末复习中，自己重新对于整个书本的流程安排还有每个章节的重点重新复习一遍，才觉得有了点头绪。 在长达一个学期的学习中，我增长了不少课程知识，同时也获得了好多关于这门课程的心得思想到。整个学期下来这门课程给我最深刻的思想到就是这门课程很抽象，很难以理解，但是这门课程给我带来了一种新的思维方式。前几章的知识好多都是高中讲过的，接触下来觉得挺简单，但是后面从第五章的大数定理及中心极限定理就开始是新的内容了。我觉得学习概率论与数理统计最重要的就是要学习书本中渗透的一种全新的思维方式。统计与概率的思维方式，和逻辑推理不一样，它是不确定的，也就是随机的思想。这也是一我思维能力最主要的体现，整个学习过程中要紧紧围绕这个思维方式进行。这些都为后面的数理统计还有参数估计、检验假设打下了基础。其次，在所有数学学科中，概率论是一门具有广泛应用的数学分支，是一门真正是把实际问题转换成数学问题的学科。在最后一章中，假设检验就是一个很好的例子。由前面所讲的伯努利大数定律知，小概率事件在N次重复试验中出现的概率很小，因此我们认为在一次试验中，小概率事件一般不会发生，如果发生了就该怀疑这件事件的真实性。正是根据这个思想去解决实际中的检验问题，总之概率与数理统计就是一门将现实中的问题建立模型然后应用理论知识解决掉的学科，具有很强的实际应用性。 在整个学期学习过程中，老师生动的讲解让我一直对这门课程保持着浓厚的兴趣，课上总是会讲解一些实际中的问题，比如抽奖先后中奖概率都一样，扔硬币为什么正反面的概率都是二分之一……一些问题还会让我们更理性的对待实际中的一些问题，比如赌博赢的概率很小，彩票中奖概率也是微乎其微，所以不能迷恋那些，不能期望用投机取巧来赚取钱财。总之，概率论与数理统计给予我的帮助是很大的。不仅拓展了我的数学思维，而且还帮助我把课堂上的知识与生活中的例子联系了起来。当然，这些与老师的辛勤劳动是分不开的，在此，十分感谢马金凤老师对我们一学期以来的谆谆教诲。 1 / 1 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 概率论与数理统计试题 11级计算机大队二区队 一、选择题： 1、假设事件A与事件B互为对立，则事件AB( )。 (A) 是不可能事件(B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答案：A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 2、某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（）。 A、1 6 B、 1 12 C、 1 60 D、 1 72 答案：A。以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于是，这个人打开收音机的时间必在（0，60），记“等待时间短于分 钟”为事件A。则有S=（0，60），A=（50，60）所以P(A)=A S = 10 60 = 1 6 。 3、设连续型随机变量（X,Y）的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，问P｛X≤Y}=（）。 A、0 B、1 2 C、 1 4 D、1 答案：B。利用对称性，因为X,Y独立同分布，所以有P｛X≤Y｝=P｛Y≤X｝, 而P｛X≤Y｝+ P｛Y≤X｝=1，所以P｛X≤Y｝=1 2 4、设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F(x,y)，分布律如下： 则F （2，3）=（）。 A 、0 B 、14 C 、716 D 、916 答案：D 。 F （2，3）=P ｛X ≤2,Y ≤3｝ =P ｛X=1,Y=1｝+P ｛X=1,Y=2｝+ P ｛X=1,Y=3｝+ P ｛X=2,Y=1｝+ P ｛X=2.Y=2｝ + P ｛X=2,Y=3｝ =14+0+0+116+1 4+0 =9 16 5、下列命题中错误的是( )。 (A)若X p (λ)，则()()λ==X D X E ； (B)若X 服从参数为λ的指数分布，则()()λ 1 ==X D X E ； (C)若X b (θ,1)，则()()()θθθ-==1,X D X E ； (D)若X 服从区间[b a ,]上的均匀分布，则() 3 222 b ab a X E ++=. 答案：B 。 ()()2,λλ==X D X E 6、设()Y X ,服从二维正态分布，则下列条件中不是Y X ,相互独立的充分必要条 件是( )。 (A) Y X ,不相关 (B) ()()()Y E X E XY E = (C) ()0,cov =Y X (D) ()()0==Y E XY E 概率统计复习题 概率统计练习题 一、选择题 1.设AB,C 是三个随机事件，则事件“ A,B,C 不多于一个 发 生”的对立事件是（B ） A . A,B,C 至少有一个发生 B . ^B, C 至少有两 个发生 C. A,B,C 都发生 D . A,B,C 不都发 生 2?如果（C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件。（其 中S 为样本空间） A ? AB=f B . AUB=S c.篇二 S I D . P(A B) 0 3 .设A,B 为两个随机事件，则P(A B) ( D ) A ? P(A) P(B) B . P(A) P(B) P(AB) C. D . 1 C. P(A) P(AB) D . P(A) P(B) P(AB) 4.掷一枚质地均匀的骰子, 现4点的概率为（D ） 则在出现偶数点的条件下出 5 ?设 X ?N(1.5,4),贝V P{ 2 X 4}=( A .0.8543 B . 0.1457 C. 0.3541 3 ) 第3页 0. 2543 6.设 X ?N(l,4),则 P{0 第一章 1.设P （A ）=3 1，P （A ∪B ）=2 1，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=3 1，P （A ∪B ）=2 1，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ?）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. A 与B 相互独立 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18 第二章 1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413） 设随机变量X~N （2，22），则P{X ≤0}=（P{(X-2)/2≤-1} =Φ（-1）=1-Φ（1）=0.1587 2.设连续型随机变量X 的分布函数为???≤>-=-,0, 0;0,1)(3x x e x F x 《概率论》期末考试试题（A卷答案） 考试时间：120分钟（2005年07月） 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下： 求甲、乙两人生产废品的数学期望，比较甲、乙两人谁的技术高？（） A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75％。从产品中任取一件为一级品的概率是多少？（） A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在（） A （0，1） B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（） A. A为必然事件，B为不可能事件 B. A为必然事件，B不是不可能事件 C. A不必为必然事件，B为不可能事件 D. A不一定是必然事件，B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件，则= A P （） (B ) A. P（A）+ P（B） B. P（A）－P（B）+ P（AB） C. P（A）+ P（B）－P（AB） D. P（AB）－P（A）－P（B） 6.若已知φ A ，且已知P（A）＝0，则（） B = A.A与B独立 B. A与B不独立 C.不一定 D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独立 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（ ） A.np B.p （1－p ） C.n （1－p ） D.np （1－p ） 8.设),(~2σμN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（ ） A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（ ） A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题（3*8=24分） 1. 设A 、B 是两个独立随机事件，则（ ） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（ ） 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 概率论总结及心得体会 2008211208班 08211106号 史永涛 班内序号：01 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 概率统计重修复习题型 填空题： 1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔， 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为，其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ，()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立，则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。 《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10) ) |()()|()() |()()|(C A P C P C A P C P C A P C P A C P += 1、（会面问题）两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一个人 20 分钟，过时就可离去，试求这两个人能会面的概率。 解：以 x , y 分别表示两个人到达时刻，则会面的充要条件为 2、从区间（0,1） 内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。 解：从区间 (0,1 )内任取两个数为 x 与 y ，则 0 25)(C S N =1 213)(C C A N =! 10!10!10! 30)(= =10 1010201030C C C S N 203 50 )(!9!9!9! 27! 3)(= = S N A P ) (3)(10 10 1020727S N C C C B P ? = 5、（摸球问题）设合中有3个白球，2 个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A 表示“取到一红一白” 一般地，设合中有N 个球，其中有M 个白球，现从中任抽n 个球，则这n 个球中恰有k 个白球的概率是 6、（分球问题）将3个球随机的放入3个盒子中去， 问：（1）每盒恰有一球的概 率是多少？（2）空一盒的概率是多少？ 解：设 A:每盒恰有一球,B:空一盒 一般地，把 n 个球随机地分配到 m 个盒子中去( n <=m )， 则每盒 至多有一球的概率是： 7、（分组问题） 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组 一般地，把n 个球随机地分成 m 组( n > m ),要求第 i 组恰有n i 个球( i = 1,…m )，共有分法： 8、（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率. 9、 《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()(Y （n 可 以取∞） 2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞） 概率论期末复习题 选择题 1.以A表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则焱为（1）） A 甲种产品滞销，乙种产品畅销 B 甲、乙产品均畅销 C 甲种产品滞销1）甲种产品滞销或乙种产品畅销 2.设4与6为网事件，且则下列式子正确的是（A ） A P（AUfi） = P（A） B P（AB） = P（A） c P（B） = P（A） D P（S-A）= P（fi）-P（A） 3.事件与事件B互斥，0＜尸（A）＜1，则下列结论中一定成立的是（B ） A A\J B = S B AUB = S c A = B l）AB = 0 4.设事件A与事件B互斥，P（A）＞0, P（B）＞0,则下列结论屮一定成立的是（C ） A A、S为对立事件 B 2与g互斥 c A与B不独立i） A与B相互独立 5.对于任意事件A与5，存在（B ） A 若Afi关0,则A与B必独立 B 若A5关0，则必与B有可能独立 C 若AB = 0，则A与B必独立 D 若九8 = 0，则A与B必不独立 6.将两枚硬币独立地各掷一次，引入事件，、-｛笫一枚fli现正诎|，A2-｛笫二枚出现正面｝，A3H 出 现--正而■?反而｝，A4H均出现正而I，则事件（C ） A 相互独立 B 4，A3，A4相互独立 C A，A2，A3两两独立 D A, A3 M4两两独立 7.设三个事件欠、fi、C两W独立，则A、fi、C相互独立的充要条件是（A ） A A与SC独立 B Afi与AUC独立 c Afi与AC独立l） AU 5与 欠U C独立 B.关于独立性，下列说法错误的是（1）） A若4，A2,…，相且独立，则其十的任意多个事件A、，…，' （々＜"）仍然相互独立B 若12，，? ?，相互独立，则其中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立 C 若A，5, C相互独立，则A u 5与c相互独立 D 若A与6独立，B与C独立，A与C独立，则A，fl，C相互独立 数理统计练习 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为 81 80，则此射手的命中率32。 3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)] ([)(X E X D 1/3 。 4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。 5、一次试验的成 功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。 6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(2 22121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(2 11σμN 。 7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (X )=3 4。 8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。 9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。 10、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)?()?(2 1θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。 2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=9 5，则P {Y ≥ 1}=27 19。 3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。 4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5、设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α=0.6 。 6、利用正态分布的结论，有 ? ∞ +∞ ---=+-dx e x x x 2 )2(22 )44(21 π 1 。 第2章条件概率与独立性 一、大纲要求 <1）理解条件概率的定义. <2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. <3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算. <4）了解独立重复实验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 为2这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理设12,, ,n A A A 为任意n 个事件<2n ≥），且121()0n P A A A ->，则有 12112131212 1()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --= 3．全概率公式 定理设12,,B B 为一列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1 i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一事件A ，有1 ()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑. 4.贝叶斯公式 定理设12,,B B 为一系列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一具有正概率的事件A ，有 1()(|) (|)()(|)k k k j j j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性 定义若两事件A B 、满足，则称A B 、<或B A 、）相互独立，简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、； 、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤成 立： ()()()i j i j P A A P A P A =<共2n C 个） ()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A =<共3n C 个） 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =<共n n C 个） 则称12,,n A A A 相互独立. 定理设n 个事件12,, n A A A 相互独立，那么，把其中任意m <1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立. 6. 重复独立实验，而且这些重复实验具备：<1）每次实验条件都相同，因此各次实验中同一个事件的出现概率相同；<2）各次实验结果相互独立；满足这两学习概率论总结报告(个人总结)
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