概率论复习题
页P
30
15、设母体X 具有正态分N(0,1)，从此母体中取一容量为6的子样
(X X X X X X 654321,,,，，)又设Y=）（X X X 3212
+++）（X X X 6542
++。试决定常数C ，使得随机变量CY 服从x 2分布。
解：C=3
1
31Y=31
[）（X X X 3
212+++）（X X X 6542++] =??? ??++33212X X X +??
? ??++36542
X X X
X
X X ++3
2
1
,～N(0,3
2
) 3
3
2
1
X
X X +
+∴
～N(0,1)
X X X ++654,,～N(0,
3
2
) 3
6
54
X X X ++∴～N(0,1)
=∴Y 3
1
??? ??++33212
X X X +??
? ??++36542
X X X ～
)2(2
X
页P 3018、
设X X X X X m n n n ++,...,,...,121是分布为N(0,σ
2
)的正态母体容量为n+m
的子样，试求下列统讲量的概率分布：(1)∑∑++===
m
n n i i
n
i i
X
X Y n
m 1
211 (2)∑∑++===
m n n i i
n
i i X X Y n m 12
1
2
2
（1）解：∑n
i x 1
～N(0,σn 2
)，
σ
2
1
n n
i
x
∑～N(0,1)，∑++=m
n n i i
x
1
2
2σ
～)(2
m x
由T 分布定义：
T=
m
n m
n n i i n
i x x
∑
∑++=1
2
2
2
1
/
σ
σ
=
∑∑++=m n n i i
n
i x
x
n
m 1
2
1～t 分布自由度为m 。
（2）解：
∑∑++===
m
n n i i
n
i i X X Y
n m 12
12
2
∑
∑==n
i n
i
x x
i 1
2
2
1
2
)(σ
σ
，σ
x
i
～N(0,1)，∑??
? ??=∴n i x i 1
2
σ～)(2n x
同理，∑??
? ??∑++=++==m
n n i m
n n i i x x i 1
221
2σσ σ
x i ～N(0,1)，∑??
? ??++=∴m
n n i x i 1
2
σ～)(2m x
由F 分布定义，可知：
∑∑++===
m
n n i i
n
i i X X Y
n m 12
1
2
2
=
m
i n
i m
n n i n x x ∑??
? ??∑??
? ??++=1
2
1
2
σσ～F(n,m)
页P
76
体X 具有在区间[a,b]上的均匀分布，其分布密度为
f(x)=b x ≤≤ 其中a,b 是未知参数，试用矩法求a 与b 的估计量。 解：E(X)=
2
b
a +,D(X)=()12
2
b a +
所以，由矩法估计有==∑n i x n x 112
b
a + （1）
()
==∑-n
x x S
i
n 1
2
2
1
()12
2
b a + (2)
由（1）知道，a+b=2x 由(2)知道，b-a=2S 3 由（1）+（2） 得2b=2x +2S 3 所以，b=x +S 3,a=x -S 3
页P
76
4、设母体X 的分布密度为
.
0>θ
（1）求的最大似然估计θ。 （2）用矩法求的估计量?。 解：（1）
L ()∏∏=-===n
i i n
i i n x x X X 1
1
1
1,),...(θθθθ
取对数lnL=ln(∏=-n
i i x 11θθ)=ln[??
? ??∏=-n i i x 11
θθ]=nln ()???
?
??-+∏=n i i x 1ln 1θθ
0ln ln 1令???
? ??+=∏=n i i x n
d L d θθ 所以，∏=-=n
i i
x n 1^
ln θ
解（2）用矩法求?
因为 E(x)=1
11
1
1
1
+=
+=
=+-??θθθθ
θθθθ
θx
x x dx dx x
由矩法估计有：1
)(+=
=θθx E x
θθ=+)1(x ，x x -1(x ^
页P
77
8、设母体X 的分布密度为θ的最大似然估计。
解：L=()
()e
e
n
i i i
x x n
i ∑==--
=--
∏1
1
θθ
LnL=-()∑=-n i i x 1
θ=θn n
i i x +-∑=1
n d L
d =θ
ln . 由上述结果，不能求出θ的估计值，由分析密度函数结构，参数为数据里最小的)...min(1^
x x n =θ。
页P
77
12、设母体X 服从正态分布N(1,μ),(X 1,X 2)是从母体中抽取的一个子样。
试验证下面三个估计量。
（1）X X 2
1^
13
1
3
2+
=
μ 解：E(^
1μ)=E(
X X 21313
2+
)=X X 213132+=μμμ=+3
1
32(无偏) D （^
1μ）=D(X X 2131
3
2+
)=959194)()(22
123132=+=+??
? ???
?
? ??X X D D (2)
^
2μ=
X
X 2
1434
1
+
解：E(^
2μ)=E(X X 214
34
1+)=)(43)(4121X X E E +=μμμ=+4
341(无偏)
D(^
2μ
)=D(X X 2
14
3
4
1+)=)()(2
2
1
2
4341X
X D D ??
? ??
??? ??+=8
5
169161=+ （3）X
X 2
1^
32
12
1+
=
μ
解：E(^
3μ)=E(X X 212
12
1+
)=)(21)(2121X X E E +=μμμ=+2
121(无偏)
D(^
3μ)=D(
X X 212
12
1+)=2
1
4141)(
)(2
2
1
22121=+=+??
? ?????
??X X D D (无偏) 由以上结果，可知^
3μ的方差最小。
P 79 23题 ：从正态母体中抽取一个容量为n 的子样，算得子样标准差S*的数值。
设（1）n=10,S*=5.1; (2)n=46,S*=14。 试求母体标准差σ的置信概率为0.99的置信区间。 解：2
2
22
(1)*~(1)n s x x n σ
-=
-
对α可以由查表2
x
分布表找到2/2a x 使
22221/2/22221/2/22
2
21/2
/2
2
222
22
/21/2
22222/21/2
{}{}/2{}1(1)*(1)*(1)*(1)*(1)*[,]p x x p x x p x x x n s x
x n s n s x x n s n s x x αααααααααααασσσ-----<=>=<<=--<
--<<--的置信区间
将（1）n=10,S*=5.1带入得 （3.150，11.616）
将(2)n=46,S*=14带入得 （10.979，19.047）
P 79 22题：对于方差σ2为已知的正态母体，问需抽取容量n 为多大的子样，才使母体平均数μ的置信概率
为1-α的置信区间的长度不大于L
解：
/2/2/2/22
/21[222()
x u x u M u L
u L
n u L
αααααμασσ--+=≤≤∴≥的的置信区间为
长度为
P 78 20题：为估计制造一批钢索所能承受的平均张力，从其中取样做10次试验。由试验值算得平均张力为
6720 kg/cm 2,标准差s*为220 kg/cm 2。设张力服从正态分布，试求钢索所能承受平均张力的置信概率为95%的置信区间
解：
/2/2/2/2
/2/2
/2
/2/2/2
/2/2
/2/2~9
0.05{}10.95[T T T t T t T t t x t t t x t x t x t x t x t x t x t ααααααααααααααααμμμ=
=≤=-≤≤-≤≤-≤-≤?
--≤-≤-+-≤≤+-+分布自由度为对由查分布图可知使p 即置信度区间估计为
代数得(6562.618,6877.382)
页P
111
例1、检验一颗骰子的六个面是否匀称(取%5=α)现在掷120次，结果如下：
点数 1， 2， 3， 4， 5， 6 频数 21， 28， 19， 24， 16， 12
解：用上法检验，计算
6
11206
11206
11206
11206
11206
11206112012611201661120246112019611202861120212
2
2
2
2
2
2
?
+?
+?
+?
+?
+?
=
?
?? ??÷-??? ???-??? ???-??? ???-??? ???-??? ??
?-x
=8.1 查附表3得，
07.11)5(205.0=x 。易见)5(2
05.02x x ?，所以接受H 0，即可以认为骰子六个面是均匀的，
页P
116
1、从己知标准差2.5=σ的正态母体中，抽取容量为n=16的子样，由它算得子样平均数
56.27=x 。试在显著水平0.05下，检验假设H 0：26=μ。
解：⑴
H
： 26=μ
(2) 统计量： n
x /26
σμ-=，在
H
成立时，μ～N （0，1）分布
(3)
05.0=α μα2
=1.96
(4) 计算2.1/2.526756.2=-=
n
μ，96.12.1?=μ H 0接受∴
页P
111
3、某批矿砂的5个样品中的镍含量经测定为(%)x 3.25 , 3.27 , 3.24, 3.26, 3.24 测定值服
从正态分布。问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的（平均）镍含量为3.25。 解：⑴
H
： μ=3.25
（2）n
x T s /
25
.3*
-=
当
H
成立时，T ～t 分布，自由度为4。
(3) 01.0=α 005.02
1=α
41.6.42
=t α
()
∑--=n x x s
i
n n 1
2
*
1
1166.0*
=s
252.3=x
（4）n x T s /25.3*
-==38.05
/1166.025
.3252.3=- 因为0.038<4.6041,所以，接受H 0。
页P
118
16、某电工器材厂生产一种保险丝。测量其熔化时间，依通常情况方差为400。今从某天产品中抽
取容量为25的子样，测量其熔化时间并计算得24.62=x ,s *2
=404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显差异（%1=α）？假定熔化时间是正态母体。 解：（1）
H
： 4002
=σ
（2）找统计量
()σ
2
2
*
12
s x
n -=
～
)1(2
-n x 当H
成立时。
(3)01.0=α
56.4522
=x
α
(4)()29.24400
77
.40424400
*
1252
=?=
-=s x
因为
56.4529.242
2
2
=?=x x
α 所以，接受H 0。
120
P
页26、有一正四面体，将此四面体分别涂为红、黄、蓝、白四色。现在任意地抛掷它直到白色面与
地面相接触为止。记录其抛掷的次数，作为一盘试验。作200盘这样的试验，结果如下：
抛掷次数 1， 2， 3， 4，5≥ 频 数 56， 48， 32， 28，36 问该四面体是否均匀（05.0=α）? 解：（1）
H
： 是均匀的。
（2）
()∑
-=5
1
2
2
p
p n m x i
n
i i
(3)
49.92
=x α
73.222
=x
因为
x x 2
2
α>
，所以否定H 0
P169 3题 抽查某地区三所小学五年级男生的身高，得数据如下：
答：2133.75S = 22103.1S = 2
3 5.27S =
3
2
1
6852.72
E i
Q S
=
=∑ 355415.2A Q = /(31)
~/(183)
A E Q F F Q -=
-分布.第一自由度为2，第二自由度15
0.05α= ()2,15 3.6
8F = 312.59F = (2,15)F F > ∴
有显著差异 P169 4题 一实验室有一批伏特计。现在取4只，每只伏特计用来测量电压为100伏的恒定电动势各5次，问这几只伏特计之间有无显著差异（α=5%）
答：210S = 220.1S = 23 4.1S = 2
40S =
4
21
521E i
Q S
=
=∑
0.95A Q =
0.05α= F(3,16)=3.24
/(41)
0.24
/(204)
A E Q F Q -=
=-
(3,16
)F F < 无显著差异
P222 2题 在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100mL 的水中溶解的硝酸钠的重量，
获得观察结果如下：
从经验和理论知i
y 与i x 之间
有下述关系式
i i i Y x αβε=++，i=1.2 (9)
其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布N （0，2
σ）。试用最小二乘法估计参数,αβ，且用矩法估计2
σ 答：y x αβ=+
2
1
1
2
2
1
1
()()()
n n
i
i
i i
n
n
i i x x y y x y nx y
x x x nx
β---=
=
--∑∑∑∑
y x αβ=-
2
1
2
1
?0.87
n
i i
n
i
x y nx y
x
nx
β
-==-∑∑
?67.53α
= 67.530.87y x ∴=+回归方程 P223 5题 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（mg/L ）与消光系数读数的结果如下：
已知它们之间的关系式
i i i Y x αβε=++，i=1,2,….n 其中2~(0,)i N εσ且各i ε相互独立，试求,αβ的最小二乘估计，并在显著
水平0.05下检验β是否为38
y x αβ=+
2
1
1
2
21
1
()()()
n n
i
i
i i
n
n
i i
x x y y x y nx y
x x x
nx
β---=
=
--∑∑∑∑
y x αβ=-
2
1
2
1
?36.95
n
i i
n
i
x y nx y
x
nx
β
-==-∑∑
?11.3α
=- 所以方程y=-11.3+36.95x
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌 机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 ++）。 （AB AC BC 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这 三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为 （）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为 （AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)=（）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机 被击中的概率为（）； A-)=（）10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这三 台机器中最多有一台发生故障的概率为（）。 A)=（）; 12.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(B A)=（） 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B=（ S ） 15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 ++） （ABC ABC ABC
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率论与数理统计-学习指导与练习册习题答案
一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()(
一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P
概率论与数理统计期末考试题及答案
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
概率论期末复习试题一
概率论与数理统计 一、选择题。 1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 ( ) A.若()1P C =，则AC 与BC 也独立. B.若()1P C =，则A C 与B 也独立. C.若()0P C =，则A C 与B 也独立. D.若C B ?，则A 与C 也独立. 2. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有 ( ) A.()()() 1.P C P A P B ≤+- B.()().P C P A B ≤ C.()()() 1.P C P A P B ≥+- D.()().P C P A B ≥ 3. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为 则有（ ） A.()0.P X Y == B.()0.5.P X Y == C.()0.52.P X Y == D.() 1.P X Y == 4. 事件表达式A B 的意思是 ( ) A.事件A 与事件B 同时发生 B.事件A 发生但事件B 不发生 C.事件B 发生但事件A 不发生 D.事件A 与事件B 至少有一件发生 5. 设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >( ) A.2[1(2)]- Φ B.2(2)1Φ- C.2(2)-Φ D.12(2)-Φ 6. 设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） A ．X 与Y 独立 B.()D X Y DX DY -=+ C. ()D X Y DX DY -=- D.()D XY DXDY = 7. 设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为，
概率论期末复习试题二
概率论与数理统计试题 11级计算机大队二区队 一、选择题： 1、假设事件A与事件B互为对立，则事件AB( )。 (A) 是不可能事件(B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答案：A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 2、某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（）。 A、1 6 B、 1 12 C、 1 60 D、 1 72 答案：A。以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于是，这个人打开收音机的时间必在（0，60），记“等待时间短于分 钟”为事件A。则有S=（0，60），A=（50，60）所以P(A)=A S = 10 60 = 1 6 。 3、设连续型随机变量（X,Y）的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，问P｛X≤Y}=（）。 A、0 B、1 2 C、 1 4 D、1 答案：B。利用对称性，因为X,Y独立同分布，所以有P｛X≤Y｝=P｛Y≤X｝, 而P｛X≤Y｝+ P｛Y≤X｝=1，所以P｛X≤Y｝=1 2 4、设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F(x,y)，分布律如下：
则F （2，3）=（）。 A 、0 B 、14 C 、716 D 、916 答案：D 。 F （2，3）=P ｛X ≤2,Y ≤3｝ =P ｛X=1,Y=1｝+P ｛X=1,Y=2｝+ P ｛X=1,Y=3｝+ P ｛X=2,Y=1｝+ P ｛X=2.Y=2｝ + P ｛X=2,Y=3｝ =14+0+0+116+1 4+0 =9 16 5、下列命题中错误的是( )。 (A)若X p (λ)，则()()λ==X D X E ； (B)若X 服从参数为λ的指数分布，则()()λ 1 ==X D X E ； (C)若X b (θ,1)，则()()()θθθ-==1,X D X E ； (D)若X 服从区间[b a ,]上的均匀分布，则() 3 222 b ab a X E ++=. 答案：B 。 ()()2,λλ==X D X E 6、设()Y X ,服从二维正态分布，则下列条件中不是Y X ,相互独立的充分必要条 件是( )。 (A) Y X ,不相关 (B) ()()()Y E X E XY E = (C) ()0,cov =Y X (D) ()()0==Y E XY E
概率论基础复习题及答案
《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章
期末复习资料概率论真题
概率论真题 广 东 财 经 大 学 试 题 纸 2013-2014学年第2学期 课程名称 概率论与数理统计（A 卷） 一、填空题（每题3分，共30分） 1.已知3.0)(=B P ,7.0)(=?B A P ,且A 与B 相互独立，则=)(A P . 2.设随机变量X 的分布律为 , 则P{x ≥ 1)=______． 3.设随机变量X 服从区间[1,4]上的均匀分布，则}3X 0{P << . 4.设X 是连续型随机变量，则P {X =5}=_________. 5.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则()E 3X -=______． 6.设随机变量X ～N (0，1)，Y ～N (0，1)，Cov(X ,Y )=0.5，则D (X +Y )=_________. 7.若两个随机变量X ，Y 之间的关系是Y= -6X+8，则X 与Y 的相关系数XY ρ= . 8.设X 为随机变量，E （X+3）=5，D （2X ）=4，则E （X 2）=______.。 9设总体X 服从参数为2的指数分布，x 为样本均值，则() E x =______。 10．某类动物，活过20岁的概率是0.7，活过25岁的概率是0.56. 某只该类动物今天正好20岁，则它能活过25岁的概率是=__________. 二 、选择题（每题3分，共15分） 1．设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（ ） A ．P (A )=1-P (B ) B ．P (A -B )=P (B ) C ．P (AB )=P (A )P (B ) D ．P (A -B )=P (A ) 2. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.5，且A ?B ，则P (A |B )=（ ） A ．0 B ．0.4 C ．0.8 D ．1 3．设随机变量X 在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度f (x )为( ) A ．?????≤≤-=. ,0;21,3 1 )(其他x x f B ．?? ?≤≤-=., 0; 21,3)(其他x x f C ．?? ?≤≤-=., 0; 21,1)(其他x x f D ． ?? ??? ≤≤--=. ,0;21,3 1 )(其他x x f 4．随机变量X ～B （10， 2 1），Y ～N （2，10），且E （XY ）=14，则X 与Y 相关系数=XY ρ( ). A ．-0.8 B ．-0.16 C ．0.16 D ．0.8 5. 设总体X 服从[0,θ]上的均匀分布（参数θ未知），12,, ,n x x x 为来自X 的样本， 则下列随机变量中是统计量的为（ ）。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答(DOC)
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率论复习题及答案
复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
概率论与数理统计复习题答案
概率论与数理统计复习题 一．填空题 1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件： , , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________. 解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=??? 2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为 解：2114131325213 17C C C p C ==或者124132 5213117 C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解：155 {(,)|,1, ,6},{},()3612 S i j i j A i j P A ===>= = 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝ ，()P A B ?＝ 。 解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-= 5.已知6 1 )(,31)|(,41)(=== B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1 ()()()()3 P A B P A P B P AB ?=+-= 6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?= ()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-= 7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--= 8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________ 解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X B p ，
北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案
第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： .
2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (=
应用概率统计期末复习题及答案
第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。
7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=
概率论复习题答案
一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制
概率论期末考试复习题及答案
第一章 1?设p (A )=1, P (A U B )=丄，且A 与B 互不相容，则 P ( B ) 3 2 1 1 1 2. 设P (A )=丄，P ( A U B )=丄，且A 与B 相互独立，则 P ( B ) = _________________ - . 3 2 4 3. 设事件 A 与 B 互不相容，P (A ) =0.2 , P ( B ) =0.3，贝U P ( A^B ) =___0.5 ____________ . 4 .已知 P (A ) =1/2 , P ( B ) =1/3，且 A , B 相互独立，则 P (A B ) = ____________ 1/3 _________ A 与 B 相互独立 两个事件A^B 相互独立的充要条件：巩冋=P3F ⑻" 由于相互独立，所以：代吗= PSP (时 鬥価) = P(A)-P(AB) = A-4)[1-W] =P(A)P(B) HQ) = P(S-A) = /W_鬥血) = P(S)-P(^P(S) P (A B ) =0.4，贝U P ( B|A ) =___0.2 6. _______________________________________________________________________ 设 A , B 为 随机事件，且 P(A)=0.8 , P(B)=0.4 , P(B|A)=0.25，贝U P(A|B)= ___________________ 0.5 ________ . 7. 一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中 任意取出 2只球，则这两只恰为一红一黑的概 率是 ________ 0.6 __________ . 所以：；?与B 相互独立. 5.设 P (A ) =0.5,
概率论期中考试试卷及答案
1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间
《概率论与数理统计》期末考试题附答案
《概率论与数理统计》期末考试题 一. 填空题（每小题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.1p(AB)0.3,)B (p ,5.0)A (p ===，则 =)B -A (p 0.4 、=)B A (p Y 0.7 、=)B A (p 1/3 ,)(B A P ?= 0.3 。 2、一个袋子中有大小相同的红球4只黑球2只， (1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 8/15 。 (2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 4/9 。 (3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 13/21 . 3、设随机变量X 服从参数为6的泊松分布，则{}=≥1X p 1- 6-e 4、设随机变量X 服从B （2，0. 6）的二项分布,则{}==2X p 0.36 , Y 服从B （8，0. 6）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则Y X +服从 B （10，0. 6） 分布，=+)(Y X E 6 。 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a _0.3_， X 的数学期望 =)(X E ___0.5_______，Y X 与的相关系数 =xy ρ___0.1_______。 6、三个可靠性为p>0的电子元件独立工作， （1）若把它们串联成一个系统，则系统的可靠性为：3p ； （2）若把它们并联成一个系统，则系统的可靠性为：3)1(1p --； 7、（1）若随机变量X )3,1(~U ，则{ }=20〈〈X p 0.5；=)(2X E _13/3， =+)12(X D 3/4 ． （2）若随机变量X ~)4 ,1(N 且8413.0)1(=Φ则=<<-}31{X P 0.6826 ， (~,12N Y X Y 则+= 3 ， 16 ）。
概率论及数理统计 练习题及答案
练习 1.写出下列随机试验的样本空间 (1)把一枚硬币连续抛掷两次.观察正、反面出现的情况； (2)盒子中有5个白球，2个红球，从中随机取出2个，观察取出两球的颜色； (3)设10件同一种产品中有3件次品，每次从中任意抽取1件，取后不放回，一直到3件次品都被取出为止，记录可能抽取的次数；(4)在一批同型号的灯泡中，任意抽取1只，测试它的使用寿命. 解：(1)U={正正正反反正反反} (2)U={白白白红红白红红} (3)U={1，4，5，6，7，8，9，10} (4)U={t>0} 2.判断下列事件是不是随机事件 (1)一批产品有正品，有次品，从中任意抽出1件是正品； (2)明天降雨； (3)十字路口汽车的流量； (4)在北京地区，将水加热列100℃，变成蒸汽； (5y掷一枚均匀的骰子，出现1点. 解：(1)(2)(3)(5)都是随机事件，(4)不是随机事件。 3.设A,B为2个事件,试用文字表示下列各个事件的含义 (1)A+B； (2)AB； (3)A－B； (4)A－AB；(5)AB； (6)AB AB .
解：(1)A ，B 至少有一个发生；(2) A ，B 都发生；(3) A 发生而B 不发生；(4) A 发生而B 不发生；(5)A ，B 都不发生；(6)A ，B 中恰有一个发生（或只有一个发生）。 4.设A,B,C 为3个事件,试用A,B,C 分别表示下列各事件 (1)A ，B ，C 中至少有1个发生； (2)A ，B ，C 中只有1个发生； (3)A ，B ，C 中至多有1个发生； (4)A ，B ，C 中至少有2个发生； (5)A ，B ，C 中不多于2个发生； (6)A ，B ，C 中只有C 发生. 解： (1)A B C, (2)AB C A B C A B C, (3)AB C ABC A B C A B C, (4)ABC ABC ABC ABC AB BC AC, (5)ABC A B C, (6)A B C ++?+??+???++??+??+++++++??或或 练习 1.下表是某地区10年来新生婴儿性别统计情况： 出生年份 1990 1991 1992 1993 1094 1995 1996 1997 1998 1999 总计 男 3 011 2 531 3 031 2 989 2 848 2 939 3 066 2 955 2 967 2 974 29 311 女 2 989 2 352 2 944 2 837 2 784 2 854 2 909 2 832 2 878 2 888 28