概率论复习试题
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|()()|(C A P C P C A P C P C A P C P A C P +=
1、（会面问题）两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一个人 20 分钟，过时就可离去，试求这两个人能会面的概率。
解：以 x , y 分别表示两个人到达时刻，则会面的充要条件为
2、从区间（0,1） 内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。
解：从区间 (0,1 )内任取两个数为 x 与 y ，则 0 3、设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上} 所求为 P(B|A) .依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4 4、某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 解：设 C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果 是 阳性}，则表示“抽查的人不患癌症”. 求 P(C|A). 由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得P(C ｜A)= 0.1066 25)(C S N =1 213)(C C A N =! 10!10!10! 30)(= =10 1010201030C C C S N 203 50 )(!9!9!9! 27! 3)(= = S N A P ) (3)(10 10 1020727S N C C C B P ? = 5、（摸球问题）设合中有3个白球，2 个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A 表示“取到一红一白” 一般地，设合中有N 个球，其中有M 个白球，现从中任抽n 个球，则这n 个球中恰有k 个白球的概率是 6、（分球问题）将3个球随机的放入3个盒子中去， 问：（1）每盒恰有一球的概 率是多少？（2）空一盒的概率是多少？ 解：设 A:每盒恰有一球,B:空一盒 一般地，把 n 个球随机地分配到 m 个盒子中去( n <=m )， 则每盒 至多有一球的概率是： 7、（分组问题） 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组 一般地，把n 个球随机地分成 m 组( n > m ),要求第 i 组恰有n i 个球( i = 1,…m )，共有分法： 8、（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；(1)求取到的数能被6整除的概率；(2)求取到的数能被8整除的概率；(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率. 9、 10、 11、设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：（3） 1.P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 12、设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：（1.2.4） 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 14、下面是一个串并联电路示意图. A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率. 解 将电路正常工作记为W ，由于各元件独立工作，有 15、在1~10这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。 解：设 A —取到的数能被2整除;Ｂ—取到的数能被3整除 . 16、商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？ 解：设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品。已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 由Bayes 公式: 17、如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为 p ,且各继电器接点闭合与否相互独立，求 L 至 R 是通路的概率。 解：设 A 表示“L 至 R 为通路”, Ai 表示“第 i 个继电器通”, i =1,2,… 5. . 由全概率公式 第二章 1、已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，它是伯努利试验. A B C E D F G H 95 .095 .095 .070 .070 .070 .075 .075 . 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X 为所取的3个中的次品数，则X ~ b(3,0.05)， 于是，所求概率为： 2、某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X 为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X ~ b (3, 0.8)， P{1≤X } =P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104 3、一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 解：设该商品每月的销售数为X,已知X 服从参数λ=5的泊松分布.设商店在月底应进某种商品m 件,求满足P{ X ≤ m }>0.95的最小的m 。即： 查表得m=9件。 4、一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律. 解： 5、 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？ 解：X 表示同一时刻供水设备被使用的个数，则X~b （5，0.1）。 余下的类似接法 6、 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数. 解：设 F(x) 为 X 的分布函数，当 x < 0时，F(x) = P(x X ≤) = 0；当 x > a 时，F(x) =1 当a x ≤≤0时， P(x X ≤≤0) = kx(k 为常数 )由于 P(a X ≤≤0) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(x X ≤) = P(X<0) + P(x X ≤≤0)=x / a 则F(x)=……。 7、设在15只同类型零件中有3只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布函数，【0：22/35；1：12/35；2：1/35】（2）画出分布函数的图形。【x<0,0；x ：0~1（大于等于0小于1）22/35；1~2:34/35；2~无穷：1】 8、一袋中有6只乒乓球，编号为1、2、3、4、5、6，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量X 的分布律及分布函数。【1：1/2；2:3/10；3:3/20；4:1/20】 9、 007125.0)95.0()05.0()2(223===C X P ,)2.0()8.0()(33k k k C k X P -==∑ =->m k k k e 0 595.0!5 10、 11、 12、 13、 14、 15、设离散型随机变量x 分布律为),2,1()2/1(5}{ ===k A k X P k 则 A=_________ 16、已知随机变量X 的密度为=)(x f ?? ?<<+其它,010,x b ax ,且8/5}5.0{=>X P ,则 a=________ b=________ 17、设),2(~2σN X ,且3.0}42{=< _________ 18、设),(~2 σμN X ,那么当 σ 增大时，=<-}{σμX P A ）增大； B ）减少； C ）不变； D ）增减不定。 19、设x 的密度函数为f(x),分布函数为F(x),且)()(x f x f -=,那么对任意给定的a 都有 A) dx x f a f a ?- =-0 )(1)(; B) dx x f a F a ?-= -0)(21 )(; C))( )(a F a F -= ； D)1)(2)(-=-a F a F 20、下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 2 1 ,1==b a 解得： A ）211)(x x F += B ）x x F arctan 1 21)(π+= C ）=)(x F ?? ?≤>--0,00),1(5.0x x e x D ） dt t f x F x ? ∞ -=)()(，其中 1)(=?∞ +∞ -dt t f 21、从一批有10个合格品与 3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可 能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所需抽取次数的分布率。 （1）放回 （2）不放回 22、设随机变量x 的密度函数为x Ae x f -=)( )(+∞<<-∞x ,求（1）系数A; (2) }10{≤≤X P ;(3) 分布函数 F(x). 23、对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[a,b]内。求体积的密度函数。 24、设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使 至少成功一次的概率不小于 0.9 26、公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高 )7,168(~2N X ,问车门的高度应如何确定？ 27、设随即变量X 的参数为2的指数分布，证明：X e Y 21--=在区间(0,1)上服从均匀分布。 28、 第三章 1、设(X,Y)的概率密度是 (1) 求分布函数F(x,y),(2) 求概率 2、 ()(2)2,0,0, ,0, .x y e x y f x y -+?>>=? ?其它{} P Y X ≤设随机变量(X,Y)的概率密度是 ()()6,02,24,,0, .k x y x y f x y ?--<<<<=??其它(1) 确定常数 ;k {}1,3P X Y <<(2) 求概 率 . 3、设(X,Y )的概率密度是 求 (1) c 的值； （2）两个边缘密度。 4、 ? ? ?≤≤≤≤-=其它,x y ,x ),x (cy )y ,x (f 0010 2 设(X,Y)的概率密度是 (),0,,0,y e x y x f x y -?>>=? ?其它 求( X,Y )关于 X 和 Y 的边缘概率密度 . ?? ? ??∞<<∞<<=--其它,00,0,),(y x y e e y x f y y x 5、设(X,Y)的概率密度是 求 P{X>1|Y=y}. 4、设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 解：X 的边缘密度为 5、设数 X 在区间 (0,1) 均匀分布，当观察到 X=x(0 值 .求 Y 的概率密度. 解 依题意， X 具有概率密度 对于任意给定的值 x (0 X 和Y 的联合密度为 于是得Y 的概率密度为 6、对于二维正态分布，在已知 X= x 条件下，求Y 的条件分布. 解：设 则其概率密度为 X 的边缘密度为 在 X= x 条件下，Y 的条件概率密度为 7、 ?????≤+=其它, 01 ,1),(22y x y x f π) |(|x y f X Y 求 ?? ?<<=其它 ,01 0,1)(x x f X ?????<<-=其它 , 01, 11 )|(|y x x x y f X Y ?????<<<-=其它, 010,11 y x x )|()(),(|x y f x f y x f X Y X =?∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(?????<<--=-=?其它 , 010),1ln(11 0y y y dx x ()() 22 1212,~,,,,,X Y N μμσσρ()()212 221122122212211(),exp 2121()()()2x μf x y σρπσσρx μy μy μρσσσ??--?=??--???? ?----+????()2121() 21 12x μσX f x e πσ--=()Y X f y x =()(),X f x y f x ()221222 1221222 12211()exp 2121()()()2ρx μσρπσρx μy μy μρσσσ??--?=??--??? ??----+???? 例1 设(X,Y)的概率 密度为 ?? ?>>=+-其它,00,0,),() (y x xe y x f y x 问X 和Y 是否独 立？ 8、甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？ 解 设X 为甲到达时刻,Y 为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45), Y~U(0,60) 9、 ?????<<=其它, 045 15,30 1 )(x x f X 第四章 1、 解：由 2、某人的一串钥匙上有n 把钥匙,其中只有一把能打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门,若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试开次数的数学期望. 解：设试开次数为X,P(X=k)=1/n, k=1, 2, …, n ，于是 3、设随机变量X 的概率密度为 ,求 X e Y 2-=的数学期望。 解：Y 是随机变量 X 的函数, 4、 解： 由于 故有 5、已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪 夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为 P(5200 ≤X ≤9400) P(5200 ≤X ≤9400)=P(-2100 ≤X-E(X)≤2100) = P{ |X-E(X)| ≤2100} 由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| ≤2100} 即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9 6、在每次试验中，事件A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n 需要多么大时，才能使得在n 次独立重复试验中, 事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90? ?????≤≤+=其它）的概率密度为（设二维连续型随机变量 02,0)sin(),(,πy x y x A y x f Y X ).(),()2(,)1(XY E X E A 求求系数2 11)sin( ),(2/02/0 ==+=???? ∞+∞-∞+∞ -A dx y x A dy dxdy y x f ，得ππ4 )sin(2122/02 /0π ππ=+=??dxdy y x x X E ） （）解（12)sin(21),()(2/02 /0 -=+==????∞+∞-∞ +∞ -πππ dxdy y x xy dxdy y x xyf XY E ?? ?≤>=-000)(x x e x f x 31)()(0 22===?? +∞∞-+∞ ---dx e e dx x f e Y E x x x 气缸的计以设活塞的直径),03.0,40.22(~)(2 N X cm ,.),04.0,50.22(~2 任取一支活塞相互独立和直径Y X N Y .,率求活塞能装入气缸的概任取一只气缸}.0{},{<- .0)2()05.010.0(} 0025.0)10.0(00025.0)10.0()({}0{}{=Φ=Φ=--<---=<-= 700(1-=98911=-= 解：设X 为n 次试验中，事件A 出现的次数，则 X~B(n, 0.75)，E(X)=np=0.75n,D(X)=np(1-p)=0.75×0.25n=0.1875n 。所求为满足 的最小n 。 可改写为 P(0.74n< X<0.76n ) =P(-0.01n <0.01n} 依题意，取9 .018751≥-n 解得 18750 9.011875=-≥n 即n 取18750时，可以使得在n 次独立重复 试验中, 事件A 出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 7、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为 解： 8、设随机变量（X,Y ）具有概率密度 解： 9、 解： 10、设随机变量X 和Y 相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求 Z=2X-Y+3的概率密度. 解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且 X 与Y 独立,故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.即Z~N(E(Z), D(Z))； E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 ；D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9 90 .0)76.074.0(≥< P ) 76.074.0(< X P )76.074.0(< X P n 18751-=20001.01875.01n n -=2)01.0()(1n X D -≥?????≤>=-000)(2 222x x e x x f x σσ).(),(0X D X E 是常数，求其中>σσ π σ σ?? ∞ +-∞+∞-= = = 0222 )()(2 2 dx e x x dx x xf X E x 22 02222 42)()()()(σπσπ-=-=-=?∞+dx x f x X E X E X D ??? ??≤≤≤≤+=其它020,20)(81),(y x y x y x f 。求)(),,(),(),(Y X D Y X Cov Y E X E +95)(,361),(,67)()(= +-===Y X D Y X Cov Y E X E 相互独立，，且设设Y X N Y N X ),(~),,(~2 2σμσμ是不全为零的常数）。 ，其中的相关系数和试求βαβαβα(21Y X Z Y X Z -=+ = 第五章 3、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 4、 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码. (1) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95? (2)用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率. ???=否则次取到号码第00 1k X k 设 ，k=1,2, … 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 概率论与数理统计复习参考题 随机事件与概率 1．已知事件、A B 满足)()(B A P AB P I =且p A P =)(，求= 1)(B P ?p 。 2．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则第二次取出的是次品的概率为 1/6 。 3．设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1/5 。 4．从数1，2，3，4中任取一数，记为X ，再从1X ~中任取一数，记为Y ，则==}2{Y P 13/48 。 5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 2/3 。 6．设两两相互独立的三个事件满足条件：C B A ，，2/1)()()(<==C P B P A P ，φ=ABC ，且已知,则16/9)(=C B A P U U =)(A P 1/4 。 7．设两个相互独立的事件都不发生的概率为1/9， A 发生 B A 和B 不发生的概率与B 发生不发生的概率相等，则A =)(A P 2/3 。 8.设是两个事件, B A ,4.0)(=A P ,5.0)(=B P , )|()|(B A P B A P =,则=)(B A P 0.2 。 9．设和A B 是任意两个概率不为零的不相容事件， 则下列结论肯定正确的是 []。 D (A )A 与B 不相容 (B )A 与B 相容 (C ))()()(B P A P AB P = (D ))()(A P B A P =? 10．对于任意二事件和A B ，与B B A =U 不等价的是 [ ] D （）A B A ? （B ）A B ? （C ）φ=B A （）D φ=B A 11．设和A B 为任意两个事件，且A B ?，P B ()>0，则必有 [ B ] (A ) ()|()(B A P A P P A P A B ()(|)≥12．对于任意二事件和A B ()若A φ≠AB ，则、A B 一定独立。 (B )若φ≠AB ，则、A B 有可能独立。 (C )若φ=AB ， 则、A B 一定独立。 ()若D φ=AB ，则、A B 一定不独立。 [ B ] 13．设事件两两独立，则相互独立的充分必要条件是 [ A B C ，，A B C ，，A ]（A ）与独立 （A BC B ）与独立 AB C A U （C ）与独立 （）与独立 AB AC D B A U C A U 14．将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件 [ 1A 2A 3A 4A C ] （A ）相互独立； （321,,A A A B ）相互独立； 432,,A A A 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 1.两事件A B 、互斥且=A B ，则()P A = . 2.设()0.5P A =，()=0.2P AB ，则()P B A = . 3.设某试验成功的概率为0.5，现独立地进行该试验3次，则至少有一次成功的概率为 . 4.在[0,1]中随机取数x ，在[1,2]中随机取数y ，则事件{}1.5x y +≥的概率为 . 5.设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，()F x 为其分布函数，则对任意 实数a ，有()()F a F a μμ++-= . 6.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则2{()}P X E X == . 7.设随机变量X 和Y 相关系数为0.5，0)()(==Y E X E ，2)()(22==Y E X E ，则2[()]E X Y += . 8.随机变量(,4)X N μ ，则2 X Y μ-= . 9.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，用契比雪夫不等式估计 {}26P X -<<≥ . 10.设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的容量为n 的简单随机样本，2S 为样本方差，则2()E S = . 11.设随机变量X 的概率分布为 则{21P X ≥= . 12. 12,θθ为参数θ两个无偏估计量，若 ，则称1θ比2θ有效. 13.设总体(1,9)X N ，110,,X X 是来自总体X 的简单随机样本，则10 21 1()9i i X X =-∑ . 1.设,,A B C 为随机事件，则下列选项中一定正确的是 . A .()0P A =，则A 为不可能事件 B .A 与B 相互独立，则A 与B 互不相容 C .A 与B 互不相容，则()1()P A P B =- D .()0P AB ≠，则()()()P BC A P B A P C BA = 2.设,A B 为两个随机事件，若,A B 的概率满足0(),()1P A P B <<，且有等式()()P A B P A B =立，则事件B A , . A .互斥 B .对立 C .相互独立 D .不独立 3.设相互独立的两个随机变量X ，Y 的分布函数分别为)(x F X ，)(y F Y ，则),max(Y X Z =的分布函数是 . A .)}(),(max{ )(z F z F z F Y X Z = B .})(,)(max{)(z F z F z F Y X Z = C .)()()(z F z F z F Y X Z = D .)()()(y F x F z F Y X Z = 4.设随机变量~(1,4)X N ，~(0,1)Y N ，且X 与Y 相互独立，则 . A .2~(1,8)X Y N - B . 2~(1,6)X Y N - C .2~(1,2)X Y N - D . 2~(1,1)X Y N - 5.已知随机变量X 服从参数2n =，1/3p =的二项分布，()F x 为X 的分 布函数，则(1.5)F = . A .1/9 B .4/9 C .5/9 D .8/9 6.设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x 、()Y f y 分别为X 、Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y 为 . A .()X f x B .()Y f y C .()()X Y f x f y D .()/()X Y f x f y 7.设随机变量X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且{1}{2}P X P X ===，则(1)D X +的值为 . A . 2 B . 3 C .1/4 D .5/4 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 概率统计重修复习题型 填空题： 1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔， 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为，其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ，()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立，则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为， <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计复习题 一．填空题 1．设, , A B C 为三个事件,用, , A B C 的运算关系式表示下列事件： , , A B C 都发生_____________；, , A B C 中不多于一个发生______________. 解：ABC ； AB BC AC ABC ABC ABC ABC ??=??? 2.一副扑克牌共52张，无大小王，从中随机地抽取2张牌，这2张牌花色不相同的概率为 解：2114131325213 17C C C p C ==或者124132 5213117 C C p C =-= 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解：155 {(,)|,1,,6},{},()3612 S i j i j A i j P A ===>= =L 4.设随机事件A 与B 相互独立，()0.5,()0.6P A P B ==，则()P A B -＝ ，()P A B ?＝ 。 解：()()()()0.2P A B P AB P A P B -===, ()()()()()0.8P A B P A P B P A P B ?=+-= 5.已知6 1 )(,31)|(,41)(=== B P A B P A P ，则()P A B ?=______________. 解：111()()(|)4312P AB P A P B A ==?=，1 ()()()()3 P A B P A P B P AB ?=+-= 6.已知()0.6,()0.3P A P AB ==,且,A B 独立,则()P A B ?= . 解：()()()0.3()0.5()0.5P AB P A P B P B P B ==?=?= ()()()()()()()()0.8P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-= 7.已知 P(A)=,P(B)=,且A,B 互不相容，则()_____,()_____P AB P AB ==. 解：()()()0.3,()()()0.3P AB P B P AB P AB P A P AB =-==-= 或()()1()()0.3P AB P A B P A P B =?=--= 8.在三次独立的实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为p, 则p=_______________ 解：设X 表示3次试验中事件B 出现的次数，则(3,)X B p :， 3191{1}1{0}1(1),273 P X P X p p ≥=-==--= ∴= 9.设(),0X P λλ>:，则X 的分布律为 <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，《概率统计》试题及答案
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