2019届高考数学考前30天基础知识专练8(不等式推理与证明)

高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明

一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)

1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察

2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为

__________________.

3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ?平面α，直线a ?平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).

(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误

4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .

5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2

)1(1-+=成立.类比上述

性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.

(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯.

7、设?????≥-<=-2

),1(log 22)(2

21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________.

8、若函数13)2(2)(2≥?+++=

x a

x a x x

x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____.

9、设a ＞b ＞c ＞0，且

c

a m c

b b a -≥

-+-11恒成立，则m 的最大值为___________.

10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋

35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1

)(1(b

b a a ++

的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”

或“负数).

13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________.

14、下面使用类比推理正确的序号是__________.

(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +?=?+?”；

(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；

(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是

全等的平行四边形”；

(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题

15. 已知f (x )=a 2x －1

2x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。

（Ⅰ）可以证明：定理“若a 、b ∈R +

，则a+b 2≥ab （当且仅当a =b 时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

（Ⅱ）若f (x )＞0在(0,2)上恒成立，且函数f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测y = f (x )的单调性（无需证明）.

参考答案

1、140,85

2、)1

,1(

α

β

3、(1)

4、2

)

2)(1()(-+=

n n n f

5、2

)1(1

-?=n n n n q b T

6、(2)(3)

7、

(

)

+∞,5

8、3

1≥

a 9、4

10、500 11、

4

25 12、正数 13、2053 14、(2)(3)(4)

15. 解：（1）若a 、b 、+

∈R c ，则3

3

abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）

。 （2）()021212232

>??? ?

?-=-

=x a x x x a x f 在()2,0上恒成立，即2221x a >在()2,0上恒成立，

∵

()2,02

12

∈x ，∴22≥a ，即2≥a ， ()[]323

22222222222

32321212121???? ??=?????

?????????? ??-+??? ??-+≤??? ??-??? ??-=a x a x a x x a x a x x f 2

222

1x a x -

=即

a x 3

6=

时，

26

2646362919623

33m

a x >????

? ??==>?>=a a a f ， 又∵a x 3

6

=

()2,0∈，∴()6,0∈a 。 综上，得[

)

6,2∈a 。

易知，()x f 是奇函数，∵a x 36=

时，函数有最大值，∴a x 3

6-=时，函数有最小值。 故猜测：??????????? ??--∈2,3636,2a a x 时，()x f 单调递减；??

?

???-∈a a x 36,36时，()x f 单调递增。

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法

高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b

（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->

广东省高考数学复习专题汇编 不等式(试题)

不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 － b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，

高考数学压轴专题专题备战高考《不等式》真题汇编附答案

【高中数学】数学《不等式》复习资料 一、选择题 1．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒 成立，则实数t 的取值范围是（ ）. A ．33 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? B ．2323 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? C ．23,3?? +∞ ? ??? D ．3,3?? +∞ ? ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0u u u r u u u r 两边平方得2 222 ()2()1k AB kt AB BC t BC +?+>u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即2210k kt t -+->，构造函数2 2 ()1f k k tk t =-+-， 由题意，( ) 2 2 410t t ?--<=， 解得23t <-或23 t > . 故选：B. 【点睛】 本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题. 2．若直线过点 ，则 的最小值等于（ ） A ．5 B ． C ．6 D ． 【答案】C 【解析】∵直线过点 ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ， ，

当且仅当 时，等号成立，故选C. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．若33 log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由33 log (2)1log a b ab +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为33 log (2)1log a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a =，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．设x ，y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120 【答案】B 【解析】 【分析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.

最新数学不等式高考真题【精】

1.（2018?卷Ⅱ）设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围 2.（2013?辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 4.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 5.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分） （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 6.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 7.（2018?卷Ⅰ）已知 （1）当时，求不等式的解集 （2）若时，不等式成立，求的取值范围 8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 10.（2014?新课标II）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （1）证明：f（x）≥2； （2）若f（3）＜5，求a的取值范围． 11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．（1）求的值；

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

(完整版)高中数学不等式习题及详细答案

第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为

高考数学真题汇编8 不等式 理( 解析版)

2012高考真题分类汇编：不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12 1 <<-x 或1=x ，所以不等式的解为12 1 ≤<- x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b B.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b C.若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a -2a=a b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其 余选项用同样方法排除．故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ， 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+，

必修五不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间

三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结：

2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （05不等式） 一、选择题： 1.（2015文）已知x，y满足约束条件 40 1 x y x y y -≥ ? ? +-≤ ? ?≥ ? ，则y x z+ - =2的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）1 2.（2015理）若x，y满足 1 x y x y x - ? ? + ? ? ? ≤， ≤， ≥， 则2 z x y =+的最大值为（） A．0 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】D 【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2 z x y =+，则 11 22 y x z =-+，令0 Z=，

作直线 1 2 y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2. 考点：线性规划； 3．（2015文）若直线1(0,0) x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 考点：基本不等式． 4．（2015理）若变量,x y满足约束条件 20, 0, 220, x y x y x y +≥ ? ? -≤ ? ?-+≥ ? 则2 z x y =-的最小值等于 ( ) A． 5 2 - B．2- C． 3 2 - D．2 【答案】A 【解析】 试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2 y x z =-，当z最小时，直线2 y x z =-的纵截距最大，故将直线2 y x =经过可行域，尽可能向上移到过点 1 (1,) 2 B-时，z取到最小值，最小值为 15 2(1) 22 z=?--=-，故选A． 考点：线性规划． 5．（2015文）变量,x y满足约束条件 220 x y x y mx y +≥ ? ? -+≥ ? ?-≤ ? ，若2 z x y =-的最大值为2，则实数m等于（）A．2 - B．1 -C．1 D．2 【答案】C 【解析】

高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－33。 4。 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A 。若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B 。若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2

高考数学一轮复习不等式知识点讲解

2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解，请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化。在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可

记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编

2020高考数学模拟试题(理)《不等式》分类汇编(含答案)

2020高考数学模拟试题（理）《不等式》分类汇编 1．（2020?桥东区校级模拟）已知函数()2|1|f x x mx =-+，m R ∈． （1）当3m =-时，求不等式()40f x +<的解集； （2）若函数()f x 的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值． 2．（2020?眉山模拟）已知函数()|1||21|f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x +…； （2）若函数()|2019||2021|g x x x a =+++-，若对于任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 3．（2020?内蒙古模拟）已知函数()4()f x ax a R =+∈，()|2||1|g x x x =++-． （1）若1a =，求不等式()()f x g x >的解集； （2）若不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-，求a 的取值范围． 4．（2020?五华区校级模拟）已知()|4||8|f x ax ax =--+． （1）当2a =时，解不等式()2f x <； （2）求()f x 的最大值． 5．（2020?龙岩一模）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；

（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 6．（2020?芮城县模拟）已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-． （1）若f （1）2<，求实数a 的取值范围； （2）若1a -?，x R ∈，求证：()4f x …． 7．（2020?临汾模拟）设函数()|2|f x x a =+（其中0)a <． （1）解不等式：()3f x …； （2）若1a =-，解不等式1 ()||2f x x a +-<． 8．（2020?长治一模）设函数()|22||2|f x x x =+-的最大值m ． （1）求m 的值． （2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求22 11 a b b a + ++的最小值． 9．（2020?吉林二模）已知函数()16|21|f x x =--． （1）解不等式()|2|f x x +?； （2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．