2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式及推理与证明层级快练42
文
1.(xx·沈阳四校联考)下列各点中,与点(1,2)位于直线x +y -1=0的同一侧的是( ) A .(0,0) B .(-1,1) C .(-1,3) D .(2,-3)
答案 C
解析 点(1,2)使x +y -1>0,点(-1,3)使x +y -1>0,所以此两点位于x +y -1=0的同一侧.故选C.
2.不等式(x +2y +1)(x -y +4)≤0表示的平面区域为(
)
答案 B
解析 方法一:可转化为①?????x +2y +1≥0,x -y +4≤0或②?
????x +2y +1≤0,
x -y +4≥0.
由于(-2,0)满足②,所以排除A ,C ,D 选项.
方法二:原不等式可转化为③?????x +2y +1≥0,-x +y -4≥0或④?
????x +2y +1≤0,-x +y -4≤0. 两条直线相交产生四个区域,分别为上下左右区域,③表示上面的区域,④表示下面的区域,故选B.
3.(xx·天津,理)设变量x ,y 满足约束条件?????2x +y≥0,
x +2y -2≥0,
x ≤0,y ≤3,则目标函数z =x +y 的最大
值为( ) A.2
3 B .1 C.32 D .3
答案 D
解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z =x +y 得y =-x +z ,作出直线y =-x ,平移使之经过可行域,观察可知,最大值在B(0,3)处取得,故z max =0+3=3,
选项D 符合.
4.设关于x ,y 的不等式组????
?2x -y +1>0,x +m<0,y -m>0,表示的平面区域内存在点P(x 0,y 0),满足x 0-2y 0
=2,则m 的取值范围是( ) A .(-∞,4
3)
B .(-∞,1
3)
C .(-∞,-2
3)
D .(-∞,-5
3
)
答案 C
解析 作出可行域如图.
图中阴影部分表示可行域,要求可行域包含y =1
2x -1的上的点,只需要可行域的边界点(-
m ,m)在y =12x -1下方,也就是m<-12m -1,即m<-2
3
.
5.(xx·北京,理)若x ,y 满足????
?2x -y≤0,x +y≤3,x ≥0,则2x +y 的最大值为( )
A .0
B .3
C .4
D .5
答案 C
解析 不等式组????
?2x -y≤0,x +y≤3,x ≥0
表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界),
由?????2x -y =0,x +y =3,解得?
????x =1,y =2,故当目标函数z =2x +y 经过点A(1,2)时,z 取得最大值,z max =2×1+2=4.故选C.
6.(xx·西安四校联考)设变量x ,y 满足约束条件????
?3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,则目标函数z =y -2x 的
最小值为( ) A .-7 B .-4 C .1 D .2
答案 A
解析 画出由x ,y 满足的约束条件????
?3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,
如图所示,得它们的交点分别为A(2,0),B(5,3),C(1,3).
可知z =y -2x 过点B(5,3)时,z 最小值为3-2×5=-7.
7.(xx·贵阳监测)已知实数x ,y 满足:????
?x -2y +1≥0,x<2,x +y -1≥0,则z =2x -2y -1的取值范围是
( ) A .[5
3
,5]
B .[0,5]
C .[5
3,5)
D .[-5
3
,5)
答案 D
解析 画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,作直线l :2x -2y -1=0,平移l 可知2×13-2×2
3-1≤z<2×2
-2×(-1)-1,即z 的取值范围是[-5
3
,5).
8.(xx·南昌调研)设变量x ,y 满足约束条件????
?y≥x,x +3y≤4,x ≥-2,则z =|x -3y|的最大值为( )
A .10
B .8
C .6
D .4
答案 B
解析 不等式组????
?y≥x,x +3y≤4,x ≥-2,
所表示的平面区域如图中阴影部分所示.
当平移直线x -3y =0过点A 时,m =x -3y 取最大值; 当平移直线x -3y =0过点C 时,m =x -3y 取最小值.
由题意可得A(-2,-2),C(-2,2),所以m max =-2-3×(-2)=4,m min =-2-3×2=-8,所以-8≤m≤4,所以|m|≤8,即z max =8.
9.(xx·安徽,理)x ,y 满足约束条件????
?x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0,若z =y -ax 取得最大值的最优解不
唯一,则实数a 的值为( ) A.1
2或-1 B .2或1
2
C .2或1
D .2或-1
答案 D
解析 作出约束条件满足的可行域,根据z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,通过数形结合分析求解.
如图,由y =ax +z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距,故当a>0时,要使z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则a =2;当a<0时,要使z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则a =-1.
10.(xx·福建)变量x ,y 满足约束条件????
?x +y≥0,x -2y +2≥0,mx -y≤0,若z =2x -y 的最大值为2,则实数
m 等于( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2
答案 C
解析 如图所示,目标函数z =2x -y 取最大值2即y =2x -2时,画出?
????x +y≥0,
x -2y +2≥0,表示
的区域,由于mx -y≤0过定点(0,0),要使z =2x -y 取最大值2,则目标函数必过两直线x -2y +2=0与y =2x -2的交点A(2,2),因此直线mx -y =0过点A(2,2),故有2m -2=0,解得m =1.
11.(xx·泉州质检)已知O 为坐标原点,A(1,2),点P 的坐标(x ,y)满足约束条件???
?
?x +|y|≤1,x ≥0,
则z =OA →·OP →
的最大值为( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2
答案 D
解析 作出可行域如图中阴影部分所示,易知B(0,1),z =OA →·OP →
=x +2y ,平移直线x +2y =0,显然当直线z =x +2y 经过点B 时,z 取得最大值,且z max =2.故选D.
12.已知实数x ,y 满足条件?
????(x -3)2+(y -2)2
≤1,x -y -1≥0,则z =y
x -2的最小值为( )
A .3+ 2
B .2+ 2 C.3
4 D.43
答案 C
解析 不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.目标函数z =
y x -2=y -0x -2
表示在可行域取一点与点(2,0)连线的斜率,可知过点(2,0)作半圆的切线,切线的斜率为z =y
x -2的最小值,设切线方
程为y =k(x -2),则A 到切线的距离为1,故1=|k -2|1+k
2
.解得k =
34
. 13.(xx·苏州市高三一诊)实数x ,y 满足????
?y≥0,x -y≥0,2x -y -2≤0,则使得z =2y -3x 取得最小值的
最优解是( ) A .(1,0) B .(0,-2) C .(0,0) D .(2,2) 答案 A
解析 约束条件所表示的可行域为三角形,其三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,0),(2,2),将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z =2y -3x 中,易得在(1,0)处取得最小值,故取得最小值的最优解为(1,0).
14.(xx·湖北宜昌市)设x ,y 满足约束条件????
?y -x≤1,x +y≤3,y ≥m ,若z =x +3y 的最大值与最小值的
差为7,则实数m =( ) A.3
2 B .-32
C.14 D .-14
答案 C
解析 作出不等式组表示的平面区域(图略),由图易得目标函数z =x +3y 在点(1,2)处取得最大值;z max =1+3×2=7,在点(m -1,m)处取得最小值,z min =m -1+3m =4m -1.又由
题知7-(4m -1)=7,解得m =1
4
,故选C.
15.(xx·兰州模拟)已知M(-4,0),N(0,-3),P(x ,y)的坐标x ,y 满足????
?x≥0,y ≥0,
3x +4y≤12,则△PMN 面积的取值范围是( ) A .[12,24] B .[12,25] C .[6,12] D .[6,25
2
]
答案 C
解析 作出不等式组????
?x≥0,y ≥0,3x +4y≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示.又过点M(-4,0),
N(0,-3)的直线的方程为3x +4y +12=0,而它与直线3x +4y =12平行,其距离d =|12+12|
32+42
=24
5,所以当P 点在原点O 处时,△PMN 的面积最小,其面积为△OMN 的面积,此时S △OMN =12×3×4=6;当P 点在线段AB 上时,△PMN 的面积最大,为12×32+42
×245
=12,故选C.
16.(xx·陕西质检一)点(x ,y)满足不等式|x|+|y|≤1,Z =(x -2)2
+(y -2)2
,则Z 的最小值为________. 答案 92
解析 |x|+|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示,目标
函数Z =(x -2)2
+(y -2)2
的几何意义是点(x ,y)到点P(2,2)距离的平方,由图可知Z 的最小值为点P(2,2)到直线x +y =1距离的平方,即为(|2+2-1|2
)2=9
2.
17.已知整数x ,y 满足?????2x -y≤0,x -3y +5≥0,
则z =4-x
·(12)y 的最小值为
________.
答案
116
解析 z =4-x ·(12)y =2-2x ·2-y =2-2x -y
.设m =-2x -y ,要使z 最小,
则只需m 最小.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由m =-2x -y 得y =-2x -m ,平移可知当直线y =-2x -m 经过
点B 时,m 最小,由?????2x -y =0,x -3y +5=0,解得?
????x =1,y =2,即B(1,2),此时m =-2-2=-4,所以z =4-x ·(12)y 的最小值为2-4
=116
.
18.某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料为A ,B 两种规格金属板,每张面积分别为2 m 2
与3 m 2
.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个;用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A ,B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总用料面积最省? 答案 A ,B 两种金属板各取5张.
解析 设A ,B 两种金属板各取x 张,y 张,总用料面积为z , 则约束条件为????
?3x +6y≥45,5x +6y≥55,x ,y ∈N ,目标函数z =2x +3y.
作出不等式组的可行域,如图所示.
将z =2x +3y 化成y =-23x +z 3,得到斜率为-23,在y 轴上截距为z
3,且随z 变化的一组平
行直线.
当直线z =2x +3y 经过可行域上点M 时,截距最小,z 取得最小值.
解方程组?
????5x +6y =55,
3x +6y =45,得点M 的坐标为(5,5).
此时z min =2×5+3×5=25.
所以两种金属板各取5张时,总用料面积最省.
1.(xx·兰州市高考诊断考试)设变量x ,y 满足不等式组?????x +y≥3,x -y≥-1,2x -y≤3,
则x 2+y 2
的最小值是
( ) A.322
B.9
2 C. 5 D .2 5
答案 B
解析 约束条件所表示的可行域为一个三角形,而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方,其距离的最小值为原点到直线x +y =3的距离.∵原点到直线x +y =3的距离为32=
322,∴x 2+y 2
的最小值为92
. 2.(课本习题改编)不等式x -2y +6>0表示的区域在直线x -2y +6=0的( ) A .左下方 B .左上方 C .右下方 D .右上方
答案 C
解析 画出直线及区域范围,如:当B<0时,Ax +By +C>0表示直线Ax +By +C =0的下方区域;Ax +By +C<0表示直线Ax +By +C =0的上方区域.故选C.
3.(xx·安徽,文)不等式组????
?x +y -2≥0,x +2y -4≤0,x +3y -2≥0表示的平面区域的面积为________.
答案 4
解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.
由?
????x +3y -2=0,
x +2y -4=0,得A(8,-2). 由x +y -2=0,得B(0,2).又|CD|=2, 故S 阴影=12×2×2+1
2
×2×2=4.
4.(xx·课标全国Ⅲ,理)若x ,y 满足约束条件????
?x -y +1≥0,x -2y≤0,x +2y -2≤0,则z =x +y 的最大值为
________.
答案 32
解析 约束条件对应的平面区域是以点(1,1
2)、(0,1)和(-2,-1)为顶点的三角形,当目
标函数y =-x +z 经过点(1,12)时,z 取得最大值3
2
.
5.(xx·沈阳质检)在满足不等式组????
?x -y +1≥0,x +y -3≤0,y ≥0,的平面点集中随机取一点M(x 0,y 0),设
事件A 为“y 0<2x 0”,那么事件A 发生的概率是( ) A.1
4 B.3
4 C.13 D.23
答案 B
解析 不等式组?????x -y +1≥0,x +y -3≤0,y ≥0,表示的平面区域的面积为1
2
×(1+3)×2=4;不等式组
?????x -y +1≥0,
x +y -3≤0,y ≥0,y ≤2x ,
表示的平面区域的面积为12×3×2=3,因此所求的概率等于3
4
,选B. 6.(xx·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 C .17万元 D .18万元
答案 D
解析 设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x ,y 吨,则利润z =3x +4y.
由题意可列?????3x +2y≤12,
x +2y≤8,
x ≥0,y ≥0,其表示如图阴影部分区域:.当直线3x +4y -z =0过点A(2,3)
时,z 取得最大值,所以z max =3×2+4×3=18,故选D 项.
7.(xx·安徽,文)已知x ,y 满足约束条件????
?x -y≥0,x +y -4≤0,y ≥1,则z =-2x +y 的最大值是( )
A .-1
B .-2
C .-5
D .1
答案 A
解析 作出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示,易知在点A(1,1)处,z 取得最大值,故z max =-2×1+1=-1.
8.(xx·课标全国Ⅱ,文)若x ,y 满足约束条件????
?x -y +1≥0,x +y -3≥0,x -3≤0,则z =x -2y 的最小值为
________. 答案 -5
解析 通性通法:作出可行域,如图中阴影部分所示,由z =x -2y 得y =12x -1
2z ,作直线y
=1
2
x 并平移,观察可知,当直线经过点A(3,4)时,z min =3-2×4=-5.
光速解法:因为可行域为封闭区域,所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得,易求得边界点分别为(3,4),(1,2),(3,0),依次代入目标函数可求得z min =-5.
9.已知实数x ,y 满足不等式组????
?x -y +2≥0,x +y -4≥0,2x -y -5≤0,目标函数z =y -ax(a∈R ).若z 取最大值
时的唯一最优解是(1,3),则实数a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞)
解析 作出可行域,可行域为三条直线所围成的区域,则它的最大值在三条直线的交点处取
得,三个交点分别为(1,3),(7,9),(3,1),所以?
????3-a>9-7a ,
3-a>1-3a.所以a>1.
10.(xx·安徽安庆模拟)若实数x ,y 满足?????y -2x≤-2,y ≥1,x +y≤4,则z =x 2+y
2
xy
的取值范围是________.
答案 [2,10
3
]
解析 因为z =x 2
+y 2
xy =x y +y x ,所以令k =y x ,则z =k +1
k ,其中k 表示可行域内的点与坐标
原点连线的斜率.根据不等式组画出可行域,则A(2,2),B(3,1),C(3
2,1),如图.由图
形可知,13≤k ≤1,根据函数z =1k +k 的单调性得2≤z≤103.所以z∈[2,10
3
].
2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式及推理与证明层级快练43
文
1.已知a ,b ∈(0,1)且a≠b,下列各式中最大的是( ) A .a 2
+b 2
B .2ab
C .2ab
D .a +b
答案 D
解析 只需比较a 2+b 2与a +b.由于a ,b ∈(0,1),∴a 2 x B .y =sinx +4 sinx (0 C .y =4e x +e -x D .y =log 3x +log x 3(0 答案 C 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a=b”,同时考虑函数的定义域,A 中x 的定义域为{x|x∈R ,且x≠0},函数没有最小值;B 中若sinx =4sinx 取到最小值4,则sin 2 x =4,显然不成立.D 中没有最小值.故选C. 3.设0 a +b 2 B .a 2 2 D. ab a +b 2