四川省泸州市2021届新高考一诊数学试题含解析

四川省泸州市2021届新高考一诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==

，则U A B =I e( ) A ．[)0,1

B ．()0,∞+

C ．()1,+∞

D ．[)1,+∞ 【答案】A

【解析】

【分析】

求得集合B 中函数的值域，由此求得U B e，进而求得U A B ?e.

【详解】

由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞e，所以[)U 0,1A B =I e.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

2．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员?面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态?紧跟时代脉搏的热门APP ?该款软件主要设有“阅读文章”?“视听学习”两个学习模块和“每日答题”?“每周答题”?“专项答题”?“挑战答题”四个答题模块?某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（ ）

A ．60

B ．192

C ．240

D ．432

【答案】C

【解析】

【分析】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．

【详解】

四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不

同的方法数为3123242243240A C A A A +=． 故选：C ．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．

3．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2018

D ．2017

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】 依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：2017sin

2018,32S i π

=+==，不满足条件； 第二次：32018sin 201812017,52S

i π=+=-==，不满足条件； 第三次：52017sin 2018,72S

i π=+==，不满足条件； 第四次：72018sin 201812017,92S

i π=+=-==，不满足条件； 第五次：92017sin 2018,112S

i π=+==，不满足条件； 第六次：112018sin 201812017,132S i π=+=-==，满足条件，退出循环．输出1．选D ． 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．若αβ⊥，m α?，n β?，则m n ⊥

B ．若//αβ，m α?，n β?，则//m n

C ．若m n ⊥，m α?，n β?，则αβ⊥

D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥

【答案】D

【解析】

试题分析：m α⊥Q ，

,n βαβ∴⊥P ,故选D.

考点：点线面的位置关系. 5．已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）

A ．2

B ．52

C ．53

D ．5

【答案】B

【解析】

【分析】

利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.

【详解】 12

2155642

F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】

本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式. 6．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆22

1x y +=相交的概率为（ ） A ．12 B ．14 C 2 D 2【答案】D

【解析】

【分析】

利用直线()3y k x =+与圆22

1x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

由于直线()3y k x =+与圆221x y +=2311k

k <+，解得2244k -<<. 因此，所求概率为222424

P ==.

本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题. 7．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.

【详解】 由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()

10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

8．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ?e=（ ） A ．()(),35,-∞+∞U

B ．(](),35,-∞+∞U

C ．(][),35,-∞+∞U

D ．()[),35,-∞+∞U 【答案】D

【解析】

【分析】

先计算集合B ，再计算A B I ，最后计算()U A B ?e．

【详解】 解：{}

27100B x x x =-+

{|25}B x x ∴=<<， {}37A x x =≤

{|35}A B x x ∴=

()[)U ,35(,)A B -∞+∞∴=U I e．

本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．

9．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1x x f x e e -=--，若()1f a =，则()f a -=( )

A ．1-

B ．1

C ．3

D ．3- 【答案】D

【解析】

【分析】 利用()f a 与()f a -的关系，求得()f a -的值.

【详解】

依题意()11,2a a a a f a e e e e --=--=-=，

所以()()11213a a a a f a e

e e e ---=--=---=--=-

故选：D

【点睛】 本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

10．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为

98，则5S 的值是( )

A ．29

B ．30

C ．31

D ．32 【答案】B

【解析】

【分析】

设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

【详解】

设正项等比数列的公比为q ，

则a 4=16q 3，a 7=16q 6，

a 4与a 7的等差中项为

98， 即有a 4+a 7=94

， 即16q 3+16q 6，=94

， 解得q=12

（负值舍去），

则有S 5=()5111a q

q --=511612112

???- ???-=1． 故选C ．

【点睛】

本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 11．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )

A ．

B ．2

C ．3

D ．6

【答案】A

【解析】

【分析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.

【详解】

双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝.

答案：A

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.

12．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则

x y z +=（ ） A ．52- B ．2- C ．2 D ．72

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意，可得2x z y +=

，2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2

z y =-，代入即得解

【详解】

由x ，y ，z 成等差数列， 所以2x z y +=

，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=， 所以2

20x x z z

??+-= ???，解得1x z =或2x z =-， 因为x ，y ，z 是不相等的非零实数， 所以

2x z =-，此时2

z y =-， 所以15222x y z +=--=-． 故选：A

【点睛】

本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人．

【答案】39

【解析】

【分析】

求出D 专业人数在A 、B 、C 、D 四个专业总人数的比例后可得．

【详解】

由题意A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D 专业应抽取的人数为13129398121013

?=+++． 故答案为：1．

【点睛】

本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的．

14．设1ln ()x f x x

+=，若关于x 的方程2()2f x x x k =-+有实数解，则实数k 的取值范围_____． 【答案】(,2]-∞

【解析】

【分析】 先求出2

()lnx f x x '=-，从而得函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．即可得()f x 的

最大值为()11f =，令2()2g x x x k =-+，得函数()g x 取得最小值()11g k =-，由2()2f x x x k =-+有

实数解，11k -?，进而得实数k 的取值范围．

【详解】 解：2

()lnx f x x '=-Q ， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，)0f x '<；

∴函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．

所以()f x 的最大值为()11f =，

令2()2g x x x k =-+，

所以当1x =时，函数()g x 取得最小值()11g k =-，

又因为方程2()2f x x x k =-+有实数解，那么11k -?，即2k ?，

所以实数k 的取值范围是：(,2]-∞．

故答案为：(,2]-∞

【点睛】

本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.

15．在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，

且||OC =u u u r 则向量OC u u u r

的坐标为___________.

【答案】(3,9)-

【解析】

【分析】 点C 在AOB ∠的平分线可知OC u u u r 与向量||||

OA OB OA OB +u u u r u u u r u u u r u u u r 共线，利用线性运算求解即可. 【详解】

因为点C 在AOB ∠的平线上，

所以存在(0,)λ∈+∞使3439(0,1),,5555||||OA OB OC OA OB λλλλλ??????=+=+-=- ? ? ???????

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，

而||OC ==u u u r 可解得5λ=，

所以(3,9)OC =-u u u r ，

故答案为：(3,9)-

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题.

16．已知sin cos 0αα-=，则cos(2)2πα+=__________. 【答案】1- 【解析】

【分析】 首先利用sin cos 0αα-=，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到1sin 20α-=，从而求得sin21α=，利用诱导公式求得cos(2)sin 212

παα+=-=-，得到结果. 【详解】

因为sin cos 0αα-=，所以1sin 20α-=，即sin21α=，

所以cos(2)sin 212παα+

=-=-，

故答案是1-.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+= (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；

(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564

. 【答案】（1）2;n a n =（2）见解析

【解析】

【分析】

【详解】

（1）因为数列

的前项和满足：，

所以当

时，， 即

解得

或， 因为数列

都是正项， 所以，

因为，

所以，

解得或，

因为数列都是正项，

所以，

当时，有，

所以，

解得，

当时，，符合

所以数列的通项公式，;

（2）因为，

所以

，

所以数列的前项和为：

，

当时，

有，

所以，

所以对于任意，数列的前项和.

18．我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图.