2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年四川省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x ＜3}，则A ∪B=（ ） A ． {x|﹣1＜x ＜3} B ． {x|﹣1＜x ＜1}
C ． {x|1＜x ＜2}
D ．
{x|2＜x ＜3}
考点：
并集及其运算．
专题：
函数的性质及应用． 分析：
求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x ＜2}， 根据集合的并集可求解答案．
点评： 本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．
3．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）
A ． ﹣
B ．
C ．
﹣ D ．
考点：
程序框图．
专题
图表型；算法和程序框图．
：
分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件k ＞4，计算并输出S 的值为．
解答： 解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2
不满足条件k ＞4，k=3 不满足条件k ＞4，k=4 不满足条件k ＞4，k=5
满足条件k ＞4，S=sin =， 输出S 的值为． 故选：D ．
点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
4．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）
A ．
y=cos （2x+） B ．
y=sin （2x+）
C y=sin2x+cos2x
D y=sinx+cosx
．．
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．
专
题
：
三角函数的图像与性质．
分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
解答：解：
y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选：A．
点本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇
评
：
偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．
5．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）
A ．B
．
2C
．
6 D
．
4
考
点
：
双曲线的简单性质．
专
题
：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．
解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，
过双曲线x 2﹣=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，x=2，
可得y A =2，y B =﹣2， ∴|AB|=4． 故选：D ．
点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
6．（5分）（2015?四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A ． 144个 B ．
120个 C ．
96个 D ．
72个
考点：
排列、组合及简单计数问题．
专题：
应用题；排列组合．
分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解答：解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选：B
点评： 本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．
7．（5分）（2015?四川）设四边形ABCD 为平行四边形，||=6，||=4，若点M 、N 满足，，
则=（ ）
A ． 20
B ．
15 C ．
9 D ．
6
考点：
平面向量数量积的运算．
专题：
平面向量及应用． 分析： 根据图形得出=+=
， =
=，=?（）=2﹣，
结合向量结合向量的数量积求解即可． 解答： 解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M 、N 满足，，
∴根据图形可得：=+
=，
==， ∴=， ∵=?（）=2﹣，
2=
2
2， =
2
2
，
||=6，||=4，
∴=22=12﹣3=9 故选：
C
点评： 本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．
8．（5分）（2015?四川）设a 、b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的（ ） A ．
充要条件 B ．
充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件
考
点
：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专
题
：
简易逻辑．
分析：求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，
log a3＜log b3，或根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
解答：解：a、b都是不等于1的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1，
∵log a3＜log b3，
∴，
即＜0，
或
求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”
是“log a 3＜log b 3”的充分条不必要件， 故选：B ．
点评： 本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．
9．（5分）（2015?四川）如果函数f （x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]
上单调递减，那么mn 的最大值为（ ） A ． 16 B ． 18 C ． 25 D ．
考点：
基本不等式在最值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
专题：
函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析： 函数f
（x ）=（m ﹣2）x 2+（n ﹣8）x+1（m ≥0，n ≥0）在区间[]上单调递减，则f ′（x ）≤0，故（m ﹣2）x+n ﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m ﹣2）x+n ﹣8是一次函数，在[，
2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．
解答：解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，
∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f ′（）≤0，f′（2）≤0即可．即
由（2）得m ≤（12﹣n），
∴mn ≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．
故选：B．
解法二：
∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，
∴①m=2，n＜8
对称轴x=﹣，
②即
③即
设或或
设y=，y′=，
当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，
∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2
∴k的最大值为3×6=18
②﹣=﹣．，k=，
y0==，
2y0+x0﹣18=0，
解得：x0=9，y0=
∵x0＜2
∴不符合题意．
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B
点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．
10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x 相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）
A ． （1，3）
B ． （1，4）
C ． （2，3）
D ．
（2，4）
考点：
抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．
专题：
综合题；创新题型；开放型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先确定M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．
解答： 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 斜率存在时，设斜率为k ，则y 12=4x 1，y 22=4x 2， 则，相减，得（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=4（x 1
﹣x 2），
当l 的斜率存在时，利用点差法可得ky 0=2， 因为直线与圆相切，所以
=﹣，所以x 0=3，
即M 的轨迹是直线x=3．
将x=3代入y 2=4x ，得y 2=12，∴，
∵M 在圆上，∴
，
∴r2=，
∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；
斜率不存在时，直线l有2条；
所以直线l恰有4条，2＜r＜4，
故选：D．
点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）（2015?四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是﹣40（用数字填写答案）．
考
点
：
二项式定理的应用．
专
题
：
二项式定理．
分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r，再代入系数求出结果．
解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=；
要求x2的项的系数，
∴5﹣r=2，
∴r=3，
∴x2的项的系数是22（﹣1）3C53=﹣40．
故答案为：﹣40．
点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
12．（5分）（2015?四川）sin15°+sin75°的值是．
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．
专三角函数的求值．
：
分析：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
解答：解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）
=sin60°=．
故答案为：．
点评：本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．
13．（5分）（2015?四川）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．
考
点
函数与方程的综合运用．