2020年四川高考理科数学试题及答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为
A .2
B .3
C .4
D .6
2.复数
1
13i -的虚部是 A .310
- B .110
-
C .
110
D .
310
3.在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ,且4
1
1i i p ==∑,则下面四种情形中,对应
样本的标准差最大的一组是 A .14230.1,0.4p p p p ==== B .14230.4,0.1p p p p ==== C .14230.2,0.3p p p p ====
D .14230.3,0.2p p p p ====
4.Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位:天)的Logistic 模型:0.23(53)
()=
1e t K I t --+,其中K 为最大确诊病
例数.当*()0.95I t K =时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln193)≈ A .60
B .63
C .66
D .69
5.设O 为坐标原点,直线x =2与抛物线C :22(0)y px p =>交于D ,E 两点,若OD OE ⊥,则C 的焦点坐标为 A .1
(,0)4
B .1
(,0)2
C .(1,0)
D .(2,0)
6.已知向量a ,b 满足||5=a ,||6=b ,6?=-a b ,则cos ,=+a a b A .3135
-
B .1935
-
C .
1735
D .
1935
7.在△ABC中,cos C=2
3
,AC
=4,BC=3,则cos B=
A.
1
9
B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
8.下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是
A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23
9.已知2tanθ–tan(θ+
π
4
)=7,则tanθ=
A.–2 B.–1 C.1 D.2
10.若直线l与曲线y x x2+y2=
1
5
都相切,则l的方程为
A.y=2x+1 B.y=2x+
1
2
C.y=
1
2
x+1 D.y=
1
2
x+
1
2
11.设双曲线C:
22
22
1
x y
a b
-=(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F25.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=
A.1 B.2 C.4 D.8
12.已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则
A.a
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若x,y满足约束条件
20
1
x y
x y
x
+≥
?
?
-≥
?
?≤
?
,
,
,
则32
z x y
=+的最大值为__________.
14.26
2
()
x
x
+的展开式中常数项是__________(用数字作答).
15.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为__________.
16.关于函数f(x)=
1
sin
sin
x
x
+有如下四个命题:
①f(x)的图像关于y轴对称.
②f(x)的图像关于原点对称.
③f (x )的图像关于直线x =2
π
对称. ④f (x )的最小值为2.
其中所有真命题的序号是__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
设数列{a n }满足a 1=3,134n n a a n +=-.
(1)计算a 2,a 3,猜想{a n }的通项公式并加以证明; (2)求数列{2n
a n }的前n 项和S n .
18.(12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天): 锻炼人次
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
空气质量不好
附:K 2
=()
()()()
2
) n ad bc a b c d a c b d -++++,
P (K 2≥k )
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828 .
19.(12分)
如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别在棱11,DD BB 上,且12DE ED =,12BF FB =. (1)证明:点1C 在平面AEF 内;
(2)若2AB =,1AD =,13AA =,求二面角1A EF A --的正弦值.
20.(12分)
已知椭圆22
2:1(05)25x y C m m
+=<<15,A ,B 分别为C 的左、右顶点. (1)求C 的方程;
(2)若点P 在C 上,点Q 在直线6x =上,且||||BP BQ =,BP BQ ⊥,求APQ △的面积.
21.(12分)
设函数3()f x x bx c =++,曲线()y f x =在点(12,f (1
2
))处的切线与y 轴垂直. (1)求b .
(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点,证明:()f x 所有零点的绝对值都不大于1.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22
223x t t y t t
?=--?
?=-+??(t 为参数且t ≠1),C 与坐标轴交于A 、B
两点. (1)求||AB ;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB 的极坐标方程.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
设a ,b ,c ∈R ,0a b c ++=,1abc =. (1)证明:0ab bc ca ++<;
(2)用max{,,}a b c 表示a ,b ,c 的最大值,证明:max{,,}a b c .
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
选择题答案 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.D 10.D
11.A
12.A
非选择题答案 二、填空题
13.7 14.240 15 16.②③
三、解答题
17.解:(1)235,7,a a ==猜想21,n a n =+由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+, 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--,
……
2153(3)a a -=-.
因为13a =,所以2 1.n a n =+
(2)由(1)得2(21)2n n n a n =+,所以
23325272(21)2n n S n =?+?+?+++?. ①
从而
23412325272(21)2n n S n +=?+?+?+++?.②
-①②得
23132222222(21)2n n n S n +-=?+?+?++?-+?,
所以1(21)2 2.n n S n +=-+
18.解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
空气质量等级 1 2 3 4 概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
1
(100203003550045)350100
?+?+?=. (3)根据所给数据,可得22?列联表:
人次≤400
人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好
22
8
根据列联表得
2
2
100(3382237) 5.82055457030
K ??-?=≈???.
由于5.820 3.841>,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 19.解:设AB a =,AD b =,1AA c =,如图,以1C 为坐标原点,11C D 的方向为x 轴正方向,建立空间直
角坐标系1C xyz -.
(1)连结1C F ,则1(0,0,0)C ,(,,)A a b c ,2(,0,)3E a c ,1(0,,)3F b c ,1(0,,)3EA b c =,11
(0,,)3
C F b c =,
得1EA C F =.
因此1EA C F ∥
,即1,,,A E F C 四点共面,所以点1C 在平面AEF 内. (2)由已知得(2,1,3)A ,(2,0,2)E ,(0,1,1)F ,1(2,1,0)A ,(0,1,1)AE =--,(2,0,2)AF =--,1(0,1,2)A E =-,1(2,0,1)A F =-.
设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量,则 110,0,AE AF ??=??
?=??n n 即0,
220,y z x z --=??--=?
可取1(1,1,1)=--n . 设2n 为平面1A EF 的法向量,则 22110,
0,
A E A F ??=??
?=??n n 同理可取21(,2,1)2=n .
因为121212cos ,||||???=
=?n n n n n n ,所以二面角1A EF A --
.
20.解:(1
)由题设可得54
=
,得2
2516m =, 所以C 的方程为22
1
252516
x y +=.
(2)设(,),(6,)P P Q P x y Q y ,根据对称性可设0Q y >,由题意知0P y >, 由已知可得(5,0)B ,直线BP 的方程为1(5)Q
y x y =-
-
,所以||BP y =
||BQ =, 因为||||BP BQ =,所以1P y =,将1P y =代入C 的方程,解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.
所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -
.
11
||PQ =11PQ 的方程为13y x =,点(5,0)A -到直线11PQ
,故11APQ △的面
积为
110510222
??=. 22||130
PQ =,直线22P Q 的方程为71093y x =+,点A 到直线22P Q 的距离为130
26
,故22AP Q △的面积为
11305
1302262
??=. 综上,APQ △的面积为
5
2
. 21.解:(1)2()3f x x b '=+.
依题意得1()02f '=,即3
04b +=.
故3
4
b =-.
(2)由(1)知3
(3)4f x x x c -
=+,2()334
f x x '=-. 令)0(f x '=,解得12x =-或1
2
x =.
()f x '与()f x 的情况为:
x
1()2-∞-,
12- 11()22-, 12 1
()2
∞,+ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x
14
c +
14
c -
因为11(1)()24f f c =-=+,所以当1
4c <-时,()f x 只有大于1的零点.
因为11(1)()24f f c -==-,所以当1
4c >时,f (x )只有小于–1的零点.
由题设可知11
44
c -≤≤,
当1=4
c -
时,()f x 只有两个零点1
2-和1.
当1=4c 时,()f x 只有两个零点–1和1
2
.
当1144c -<<时,()f x 有三个等点x 1,x 2,x 3,且11(1,)2x ∈--,211(,)22x ∈-,31
(,1)2
x ∈.
综上,若()f x 有一个绝对值不大于1的零点,则()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 22.解:
(1)因为t ≠1,由220t t --=得2t =-,所以C 与y 轴的交点为(0,12);
由2230t t -+=得t =2,所以C 与x 轴的交点为(4,0)-.
故||AB =
(2)由(1)可知,直线AB 的直角坐标方程为1412
x y
+=-,将cos sin x y ρθρθ==,代入, 得直线AB 的极坐标方程
3cos sin 120ρθρθ-+=.
23.解:
(1)由题设可知,a ,b 均不为零,所以
22221
[()()]2
ab bc ca a b c a b c ++=++-++
2221
()2a b c =-++
0<.
(2)不妨设max{a ,b ,c }=a ,因为1,()abc a b c ==-+,所以a >0,b <0,c <0.由2()4
b c bc +≤,可得3
4a abc ≤,
故a ≥,所以max{,,}a b c ≥.