2016年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(理工类)
参考公式:
如果事件互斥,那么球的表面积公式
()()()
P A B P A P B
+=+2
4
S R
p
=
如果事件相互独立,那么其中R表示球的半径
()()()
P A B P A P B
?球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么3
4
3
V R
p
=
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
()(1)(0,1,2,,)
k k n k
n n
P k C p p k n
-
=-=…
第一部分(选择题共60分)
注意事项:
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、7
(1)x
+的展开式中2x的系数是()
A、42
B、35
C、28
D、21
2、复数
2
(1)
2
i
i
-
=()
A、1
B、1-
C、i
D、i-
3、函数
29
,3
()3
ln(2),3
x
x
f x x
x x
?-
<
?
=-
?
?-≥
?
在3
x=处的极限是()
A、不存在
B、等于6
C、等于3
D、等于0
4、如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使1
AE=,连接EC、ED则sin CED
∠=()
A、
10
B、
10
C、
10
D
5、函数
1
(0,1)
x
y a a a
a
=->≠的图象可能是()
6、下列命题正确的是( )
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
7、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||
a b a b =成立的充分条件是( ) A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =
8、已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM =(
)
A 、
B 、
C 、4
D 、9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A 、1800元
B 、2400元
C 、2800元
D 、3100元
10、如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径CD 作平面α成45
角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=,则A 、P 两点间的球面
距离为(
)
A 、arccos 4R
B 、4R π
C 、R
D 、3
R π 11、方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方
程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A 、60条
B 、62条
C 、71条
D 、80条
12、设函数()2cos f x x x =-,
{}n a 是公差为8
π的等差数列,125()()()5f a f a f a π++???+=,则2313[()]f a a a -=( ) A 、0 B 、
2116π C 、218
π D 、21316π
第二部分 (非选择题 共90分)
注意事项:
(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
(2)本部分共10个小题,共90分。
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。)
13、设全集{,,,}U a b c d =,集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则()()U U A
B =痧___________。 14、如图,在正方体1111ABCD A B
C
D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
15、椭圆22143x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ?的周长最大时,FAB ?的面积是____________。 16、记[]x 为不超过实数x 的最大整数,例如,[2]2=,[1.5]1=,[0.3]1-=-。设a 为正整数,数列{}n x 满足1x a =,1[
][]()2n n
n a x x x n N *++=∈,现有下列命题:
①当5a =时,数列{}n x 的前3项依次为5,3,2;
②对数列{}n x 都存在正整数k ,当n k ≥时总有n k x x =;
③当1n ≥
时,1n x >;
④对某个正整数k ,若1k k x x +≥
,则n x =。
其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110
和p 。 (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
4950,求p 的值; (Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。
18、(本小题满分12分)
函数2()6cos 3(0)2x
f x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图
象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ?为正三角形。
(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;
(Ⅱ)若0()f x =,且0102(,)33
x ∈-,求0(1)f x +的值。 N
A 1
19、(本小题满分12分)
如图,在三棱锥P ABC -中,90APB ∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,
平面PAB ⊥平面ABC 。 (Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小。
20、(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立。
(Ⅰ)求1a ,2a 的值;
(Ⅱ)设10a >,数列110{lg
}n a a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图,动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ?,且2M B A M A B ∠=∠,设动点M 的轨迹为C 。
(Ⅰ)求轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ,与轨迹C 相交
于点Q R 、,且||||PQ PR <,求
||||PR PQ 的取值范围。
22、(本小题满分14分) 已知a 为正实数,n 为自然数,抛物线2
2
n
a y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ,设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。 (Ⅰ)用a 和n 表示()f n ;
(Ⅱ)求对所有n 都有3
3()1()11
f n n f n n -≥++成立的a 的最小值; (Ⅲ)当01a <<时,比较
11()(2)n k f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)
f f n f f --的大小,并说明理由。