高考四川理科数学试题及答案word解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C

【解析】由题可知， {}2,1,0,1,2A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5，故选C ．

【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的

定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答．

（2）【2016年四川，理2，5分】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A

【解析】由题可知，含4x 的项为242

46

C i 15x x =-，故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容

易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i ，则

其通项为66r r r C x -i ，即含4x 的项为46444615C x x -=-i ．

（3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数πsin 23y x ?

?=- ??

?的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点

（ ）

（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π

3个单位长度

（C ）向左平行移动π6个单位长度

（D ）向右平行移动π

6个单位长度

【答案】D

【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ???

???=-=- ? ??????

???，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，故选D ．

【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变

换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1

ω

倍，

纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1

ω

倍，纵坐标不

变，得sin y ωx =的图象，向左平移φ

ω

个单位得sin()y ωx φ=+的图象．

（4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D

【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个

位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有14

34C A 72?=，故选D ．

【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的

完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．

（5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发

资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30=）

（A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B

【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，()130112%200x

+=，

解得 1.12

200lg 2lg1.3

log 3.80130lg1.12

x -==≈，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年，故选B ． 【点评】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注

意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．

（6）【2016年四川，理6，5分】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他

在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n ，x 的值分别为3，2．则输出v 的值为（ ）

（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35 【答案】B

【解析】初始值3n =，2x =，程序运行过程如下表所示1v =，2i =，1224v =?+=，1i =，

4219v =?+=，0i =，92018v =?+=，1i =-，跳出循环，输出18v =，故选B ．

【点评】程序框图是高考的热点之一，几乎是每年必考内容，多半是考循环结构，基本方法是将每次

循环的结果一一列举出来，与判断条件比较即可．

（7）【2016年四川，理7，5分】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：

实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-??

≥-??≤?

则p 是q 的（ ）

（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】如图，()()22

112x y -+-≤① 表示圆心为()1,1，

半径为2的圆内区域所有点（包括边界）； 1,

1,1y x y x y -??

-???

≥≥≤② 表示ABC ?内部区域所有点（包括边界）．实数,x y 满足②则必然满足①， 反之不成立．则p 是q 的必要不充分条件，故选A ．

【点评】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否

成立．这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．

（8）【2016年四川，理8，5分】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是

线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 斜率的最大值为（ ） （A ）3 （B ）2

3

（C ）2 （D ）1 【答案】C

【解析】如图，由题可知,02p F ??

???，设P 点坐标为200,2y y p ??

???

，显然，当00y <时，0OM k <；00y > 时，0OM k >，要求OM k 最大值，不妨设00y >．

则()

2001112

,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ??=+=+=+-=+=+

??

?， 0

200022

322263

OM y k y p y p p y p ===++

≤，当且仅当2202y p =等号成立，故选C ．

【点评】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量

法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出 后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．

（9）【2016年四川，理9，5分】设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01,

()ln ,1,x x f x x x -<?

图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与 2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ?的面积的取值范围是（ ）

（A ）()0,1 （B ）(0,2) （C ）(0,)+∞ （D ）(1,)+∞ 【答案】A

【解析】解法1：设11122212(,),(,)()

P x y P x y x x <，易知11x <，21x >，1

212

11

,l l k k x x =-=

，121x x ∴=，则直线1l ： 111ln x y x x =-

+-，222

1

:ln 1l y x x x =+-，与y 轴的交点为12(0,1ln ),(0,ln 1)x x --，设21a x =>，则交点横坐标为21a a

+

，与y 轴的交点为(0,ln 1),(0,ln 1)a a +-，则122

2112PAB S a a a

a

?=??=++，故(0,1)PAB S ?∈

解法2：特殊值法，若121x x ==，可算出1PAB S ?=，1x ≠，故1PAB S ?≠，排除BC ；令121

,22

x x ==，算

出1PAB S ?<，故选A ．

【点评】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点

的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用． （10）【2016年四川，理10，5分】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==DA DB DC ，2DA DB DB DC DC DA ?=?=?=-，

动点P ，M 满足=1AP ，PM MC =，则2

BM 的最大值是（ ） （A ）434 （B ）49

4

（C ）37634+ （D ）372334+

【答案】B

【解析】由题意，DA DB DC ==，所以D 到,,A B C 三点的距离相等，D 是ABC ?的外心；

2DA DB DB DC DC DA ?=?=?=-()

0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ??-?=?-=?=，所以DB AC ⊥， 同理可得，,DA BC DC AB ⊥⊥，从而D 是ABC ?的垂心；ABC ∴?的外心与垂心重合，因此ABC ?是

正三角形，且D 是ABC ?的中心；1cos 22DA DB DA DB ADB DA DB ??

?=∠=?-=- ???

2DA ?=所以正三角形ABC ?的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系，

,,B C D 三点坐标分别为()()

3,3,3,3,B C - ()2,0D 。由1AP =，设P 点的坐标为

()cos ,sin θθ，其中[)0,2πθ∈，而PM MC =，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐

标为3cos 3sin ,2M θθ??++ ? ???则22

23712sin cos 333sin 37124962444BM πθθθ??+- ???-++????=+=≤= ? ? ?????

， 当23

θπ=时，2BM 取得最大值49

4，故选B ．

【点评】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一

个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=?，且

2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()

()

2

2

2

1334

x y BM +++=

，因此可用圆的性质得出最值．

第II 卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分．

（11）【2016年四川，理11，5分】22ππ

cos sin =88

- ．

【答案】2

【解析】由题可知，2

2πππ2

cos sin cos 884-==

（二倍角公式）． 【点评】这是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的

求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．

（12）【2016年四川，理12，5分】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试

验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ． 【答案】3

2

【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为113

1224

P =-?=，

∵ 2次独立试验成功次数X 满足二项分布3~2,4X B ??

???

，则()33242E X =?=．

【点评】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值12,,,n x x x ，再

求得对应的概率(1,2,

,)i P i n =，则均值为1

n

i i i x P =∑．

（13）【2016年四川，理13，5分】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱

锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．

【答案】3

【解析】由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如下俯视图，且

三棱锥高为1h =，则面积11132311332V Sh ??

==????= ???

．

【点评】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视

图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体 （柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．

（14）【2016年四川，理14，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x

f x =， 则()512f f ??

-+= ???

．

【答案】2-

【解析】首先，()f x 是周期为2的函数，所以()()2f x f x =+；而()f x 是奇函数，所以()()f x f x =--，

所以：()()11f f =-，()()11f f =--，即()10f =，又511222f f f ??????

-=-=- ? ? ???????

，1012<<时，

1

21

()422

f ==，故522f ??-=- ???，从而()5122f f ??-+=- ???．

【点评】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把52f ??

- ???

和()1f ，利用奇偶性与周期

性化为()0,1上的函数值即可． （15）在平面直角坐标系中，当(),P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222',y x P x y x y ??

- ?++??

；

当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题：① 若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ；② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；③ 若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称；④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】②③

【解析】①设A 的坐标(),x y ，伴随点2222',y x A x y x y ??-= ?++??，'A 伴随点横坐标为22222222x x y x y x x y x y -+=-????-+ ? ?++????

，

同理可得纵坐标为y -，故()'',A x y =--． 错误；

②设单位圆上点P 坐标为()cos ,sin θθ，则P 伴随点坐标为()ππ'sin ,cos cos ,sin 22P θθθθ?????

?=-=-- ? ? ??????

?

所以'P 也在单位圆上，即：'P 点是P 点延顺时针方向旋转π

2

． 正确；

③设曲线C 上点A 的坐标(),x y ，其关于x 轴对称的点()1,A x y =-也在曲线C 上，所以点A 的伴随点2222',y x A x y x y ??-= ?

++??

，点1A 的伴随点12222',y x A x y x y ??

--= ?++??，'A 与1'A 关于y 轴对称。正确； ④反例：例如1y =这条直线，则()()()0,1,1,1,2,1A B C ===，而这三个点的伴随点分别是()'1,0A =， 1112',,',2255B C ????

=-=- ? ?????

，而这三个点不在同一直线上．下面给出严格证明：设点(,)P x y 在直线

:0l Ax By C ++=，P 点的伴随点为()00',P x y =，则022

022y x x y x y x y ?

=?+??-?=?+?，解得022*******y x x y x y x y -?=?+?

??=?+?

．

带入直线方程可知：00

22220000

0y x A B C x y x y -++=++，化简得：220000()0Ay Bx C x y -+++=， 当0C =时，2200()C x y +是一个常数，'P 的轨迹是一条直线；当0C ≠时，2200()C x y +不是一个常

数，'P 的轨迹不是一条直线．所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线． 错误．

【点评】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能

力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．

三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤． （16）【2016年四川，理16，12分】我国是世界上严重缺水的国家，某市政

府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费． 为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中a 的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人

数，并说明理由；

（3）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由． 解：（1）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率=(频率/组距)*组距， ∴()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ?+++++++=，得0.3a =．

（2）由图，不低于3吨人数所占百分比为()0.50.120.080.04=12%?++， ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6?(万)．

（3）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：()0.50.080.160.30.40.520.73?++++=

即73%的居民月均用水量小于2.5吨，同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.53x <<，

假设月均用水量平均分布，则()85%73%0.5

2.50.5 2.90.3

x -÷=+?=（吨）．

注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差．

【点评】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能

力．在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

（17）【2016年四川，理17，12分】在ABC ?中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，且cos cos sin A B C

a b c

+=

．

（1）证明：sin sin sin A B C =；

（2）若2226

5b c a bc +-=，求tan B ．

解：（1）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可知原式可以化解为cos cos sin 1sin sin sin A B C

A B C

+==，∵A 和B 为三角形内 角 ，∴sin sin 0A B ≠，则两边同时乘以sin sin A B ，可得sin cos sin cos sin sin B A A B A B +=， 由和角公式可知，()()sin cos sin cos sin sin sin B A A B A B C C π+=+=-=，原式得证．

（2）由题2

2

2

65b c a bc +-=，根据余弦定理可知，2223

cos 25

b c a A bc +-==，∵A 为为三角形内角，()0,A π∈，

sin 0A >，则2

34sin 155A ??=-= ???

，即cos 3sin 4A A =，由（1）可知cos cos sin 1sin sin sin A B C A B C +==，∴

cos 11sin tan 4B B B ==， ∴tan 4B =．

【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力．在解三

角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为180?这个结论，否则难以得出结论．

（18）【2016年四川，理18，12分】如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=?，

1

2

BC CD AD ==，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90?．

（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由；

（2）若二面角P CD A --的大小为45?，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值． 解：（1）延长AB ，交直线CD 于点M ，∵E 为AD 中点，∴1

=2

AE ED AD =，

∵1

=2

BC CD AD =，∴ED BC =，∵//AD BC 即 //ED BC ，

∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ，∵AB CD M =，∴M CD ∈，

∴//CM BE ，∵BE ?面PBE ，∴//CM 面PBE ，∵M AB ∈，AB ?面PAB ， ∴M ∈面PAB 故在面PAB 上可找到一点M 使得//CM 面PBE ． （2）解法1：过A 作AF EC ⊥交EC 于点F ，连结PF ，过A 作AG PF ⊥交PF 于点G ，∵90PAB =∠，PA

与CD 所成角为90，∴PA AB ⊥，PA CD ⊥，∵=AB CD M ，∴PA ABCD ⊥，∵EC ?面ABCD ， ∴PA EC ⊥，∵EC AF ⊥且AF AP A =，∴CE ⊥面PAF ，∵AG ?面PAF ，∴AG CE ⊥，

∵AG PF ⊥且AG AF A =，∴AG ⊥面PFC ，∴APF ∠为所求PA 与面PCE 所成的角，∵PA ⊥面

ABCD ，=90ADC ∠即AD DC ⊥．

∴PDA ∠为二面角P CD A --所成的平面角，由题意可得=45PDA ∠， 而=90PAD ∠，∴PA AD =，∵BC CD =，四边形BCDE 是平行四边形，=90ADM ∠，∴四边形BCDE

是正方形，∴45BEC =∠，∴=45AEF BEC =∠∠，∵90AFE =∠，∴2

=

AF AE ，

∴2

24tan ==4

AD

AF APF AP AP =∠，∴1sin =3APF ∠． 解法2：由已知，CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA AD A =，所以CD ⊥平面PAD ．于是CD PD ⊥． 从而PDA ∠是二面角P CD A --的平面角．所以45PDA ∠=?．由PA AB ⊥，可得PA ⊥平面ABCD ．

设1BC =，则在Rt PAD ?中，2PA AD ==．作Ay AD ⊥，以A 为原点，以AD ，AP 的方向分别为x 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()2,1,0C ，()1,0,0E ，

所以()1,0,2PE =-，()1,1,0EC =，()0,0,2AP =，设平面PCE 的法向量为 (),,n x y z =，由00

PE EC ??=???=??n n ，得20,0,x z x y -=??+=? 设2x =，解得()2,2,1n =-．

z y

x

M

D

C

B

设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则1sin 3

2n AP n AP

α?==

=

??． 所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为

13

． 【点评】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力．证

明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．

（19）【2016年四川，理19，12分】已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n S qS +=+，其中

0q >，*n ∈N ．

（1）若2322,,2a a a +成等差数列，求n a 的通项公式；

（2）设双曲线22

21n y x a -=的离心率为n e ，且25

3

e =，证明：121433n n n n e e e --++???+>．

解：（1）111()11n n S q S q q ++

=+--，111111n n S q

q q -??+=+ ?--??，11n

n q S q

-∴=-，当2n ≥时，11n n n n a S S q --=-=， 故2322q q +=，又 0q >，则2q =，故12n n a -=．当1n =时也满足，故12n n a -=

，∴1*2,

n n a n -=∈N ．

（2）由双曲线的性质可知，n e =

1）可得，n a 为首项为1

，公比为q 的等比数列， , 故253

e ==，即43q =，∴{}n a 为首项为1，公比为43的等比数列， 通项公式为()1

43

n n a n N

-*

??

=∈ ?

??

，，∴1

43n n e -??= ???

∴21

123141444433...1 (4333313)

n

n n n n n e e e e --??- ?-??????++++>++++== ? ?????-

，原式得证． 【点评】本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解

决问题的能力、计算能力．在第（1）问中，已知的是n S 的递推式，在与n S 的关系式中，经常用1n -代

换n （2n ≥），然后两式相减，可得n a 的递推式，利用这种方法解题时要注意1a ；在第（2）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和．另外放缩时要注意放缩的“度”．不能太大，否则得不到结果．

（20）【2016年四川，理20，13分】已知椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角

形的3个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；

（2）设O 是坐标原点，直线'l 平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：

存在常数λ，使得2||||||PT PA PB λ=?，并求λ的值．

解：（1）设短轴一端点为()0,C b ，左，右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ()0c >，则222c b a +=．

由题意，12F F C △为直角三角形．∴2

2

2

121

2||||||F F F C F C =+ 解得b c ==，∴2222:12x y E b b +=．

代入:3l y x =-+可得 223121820x x b -+-=．l 与椭圆E 只有一个交点，则22=1243(182)0b ?-?-=，、

解得2=3b ．∴22:163

x y E +=．由23b =，解得2x =，则31y x =-+=，所以T 的坐标为()21，． （2）设00(,3)P x x -在l 上，由1

2OT

k =，'l 平行OT ．得'l 的参数方程为0023x x t y x t =+??=-+?

代入椭圆E 得．

2200(2)2(3)6x t x t ++-+=．整理可得 2

2

024440t t x x ++-+=．设两根为A t ，

B t 则有2

0(2)2

A B x t t -?=．

而2

2

202(2)PT x =

=-

，A PA =

，PB =．

故有205(2)2

A B PA PB x ?=-．由题意2

PT PA PB λ=?．

∴2

202

02(2)4

55(2)2

PT

x PA PB x λ-===?-，故存在这样的λ． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想．在涉

及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与

椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把PA PB ?用12,x x 表示出来，并代入刚才的1212,x x x x +，

这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．

（21）【2016年四川，理21，14分】设函数2()ln f x ax a x =--，其中R a ∈．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）确定a 的所有可能取值，使得11()e x

f x x

->-在区间(1,+)∞内恒成立（e 2.718=…为自然对数的底数）．

解：（1）由题意，()2121

'2,0ax f x ax x x x

-=-=

> ①当0a ≤时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减． ②当0a >时，()2'a x x f x x

? ????=

，当x ?∈ ?时，()'0f x <；

当x ?∈+∞???时，()'0f x >．故()f x

在? ?

上单调递减，在?+∞???上单调递增． （2）原不等式等价于()11e 0x

f x x

--+>在()1,x ∈+∞上恒成立．

一方面，令()()12

111e ln e x x g x f x ax x a x x

--=-+=--+-，只需()g x 在()1,x ∈+∞上恒大于0即可．

又∵()10g =，故()'g x 在1x =处必大于等于0．令()()1211'2e x

F x g x ax x x

-==-+-，()'10g ≥，

可得12a ≥．另一方面，当12a ≥时，()311123233

12122'2e 1e e x x

x x x F x a x x x x x ---+-=+-+≥+-+=

+， ∵()1,x ∈+∞故320x x +->，又1e 0x ->，故()'F x 在1

2

a ≥时恒大于0．

∴当1

2

a ≥时，()F x 在()1,x ∈+∞单调递增．∴()()1210F x F a >=-≥，故()g x 在()1,x ∈+∞单调递增． ∴()()10g x g >=，即()g x 在()1,x ∈+∞上恒大于0．

综上，1

[,)2

a ．

【点评】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问

题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明函数不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．

四川高考数学试卷及复习资料理科

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的． 1．设集合{|20} A x x =+=，集合2 {|40} B x x =-=，则A B=（） （A）{2} -（B）{2}（C）{2,2} -（D）? 2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（） （A）A（B）B（C）C（D）D 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 4．设x Z ∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2 p x A x B ?∈∈，则（）（A）:,2 p x A x B ??∈?（B）:,2 p x A x B ???? （C）:,2 p x A x B ???∈（D）:,2 p x A x B ??∈∈ 5．函数()2sin(),(0,) 22 f x x ππ ω?ω? =+>-<<的部分图象如图所示， 则,ω?的值分别是（） （A）2, 3 π -（B）2, 6 π -（C）4, 6 π -（D）4, 3 π 6．抛物线24 y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x-=的渐近线的距离是（） （A） 1 2 （B） 3 2 （C）1（D3 7．函数 2 31 x x y= - 的图象大致是（） y x D B A O C

8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A ） 14 （B ）12 （C ）34 （D ）78 10．设函数()x f x e x a =+-a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在 00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ） （A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1 [,1]e e -+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．二项式5 ()x y +的展开式中，含2 3 x y 的项的系数是_________．（用数字作答） 12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则 λ=_________． 13．设sin 2sin αα=-，( ,)2 π απ∈，则tan 2α的值是_________． 14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2 ()4f x x x =-，那么，不等式 (2)5f x +<的解集是________ ． 15．设12,, ,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点 的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意 点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题： ①若,,A B C 三个点共线，C 在线段上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）

2011—2019年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何

9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m

2018年四川省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)

2018年四川省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ） 上传者：爱云校千世锋上传时间：2019-7-24 14:52:37浏览次数：1下载次数：0 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. B. C. D. 4. 若，则 A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为( ) A. B. C. D. 6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为( ) A . B .

C . D . 8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使 用移动支付的人数，，，则 A. B. C. D. 9. 的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则 A. B. C. D. 10. 设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且面积为，则三棱锥 体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11. 设，是双曲线．的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为( ) A. B. C. D. 12. 设，，则( ) A. B. C. D. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知向量，，．若，则________． 14. 曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15. 函数在的零点个数为________． 16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ________． 解答题：共70分。 17. 等比数列中，，． 求的通项公式； 记为的前项和．若，求． 18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：）绘制了如下茎叶图： 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； 求名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入

2016年四川省高考数学试卷(理科)及答案

2016年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6 2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（） A．﹣15x4B．15x4 C．﹣20ix4D．20ix4 3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（） A．24 B．48 C．60 D．72 5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年 6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）

A．9 B．18 C．20 D．35 7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足， 则p是q的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1 9．（5分）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处 的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞） 10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足==，

2017年全国高考理科数学试卷

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2

全国高考理科数学试题分类汇编—统计

年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余

(完整版)2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷1

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p

高考数学真题分类汇编专题直线与圆理科及答案

专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x

2020年四川高考理科数学试题及答案

2020年四川高考理科数学试题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．复数 1 13i -的虚部是 A ．310 - B ．110 - C ． 110 D ． 310 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 1 1i i p ==∑，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53) ()= 1e t K I t --+，其中K 为最大确诊病 例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈ A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 5．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1 (,0)4 B ．1 (,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0) 6．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6=b ，6?=-a b ，则cos ,=+a a b A ．3135 - B ．1935 - C ． 1735 D ． 1935

[历年真题]2016年四川省高考数学试卷(文科)

2016年四川省高考数学试卷（文科） 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设i为虚数单位,则复数（1+i）2=（） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3 3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（） A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D．（1,0） 4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度 5．（5分）设p:实数x,y满足x＞1且y＞1,q:实数x,y满足x+y＞2,则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点,则a=（） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 7．（5分）某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30） A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年 8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州（现四川省安岳县）人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为（）

全国高考理科数学历年试题分类汇编

全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14

2020高考数学(理科)四川试题

xx 年普通高等学校招生全国统一考试数学（四川理科）（word 版） 选择题 (1)复数 2 11i i i +-+的值是 （A ）0 (B)1 (C)-1 (D)1 (2)函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是 (3)=----1 21 lim 211x x x x （A ）0 (B)1 (C)21 (D)3 2 (4)如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．． 的是 （A ）BD ∥平面CB 1D 1 （B ）AC 1⊥BD （C ）AC 1⊥平面CB 1D 1 （D ）异面直线AD 与CB 1角为60° （5）如果双曲线12 42 2=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的 距离是 （A ） 364 （B ）3 6 2 （C ）62 （D ）32 （6）设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都 是 2π，且三面角B -OA -C 的大小为3π ，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是

（A ） 67π （B ）45π （C ）34π （D ）2 3π （7）设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 方向在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （8）已知抛物线 32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于 （A ）3 （B ）4 （C ）23 （D ）24 （9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 3 2 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 （A ）36万元 （B ）31.2万元 （C ）30.4万元 （D ）24万元 （10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比xx0大的五位偶数共有 （A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个 （11）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （A ）32 （B ） 3 6 4 （C ） 4 17 3 （D ） 3 21 2 （12）已知一组抛物线12 12 ++= bx ax y ， 其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x =1交点处的切线相互平行的概率是

高考四川理科数学试题及答案word解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年四川，理1，5分】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C 【解析】由题可知， {}2,1,0,1,2A =--Z ，则A Z 中元素的个数为5，故选C ． 【点评】集合的概念及运算一直是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般是结合不等式，函数的 定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答． （2）【2016年四川，理2，5分】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（ ） （A ）415x - （B ）415x （C ）420i x - （D ）420i x 【答案】A 【解析】由题可知，含4x 的项为242 46 C i 15x x =-，故选A ． 【点评】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容 易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6(i)x +的展开式可以改为6()x +i ，则 其通项为66r r r C x -i ，即含4x 的项为46444615C x x -=-i ． （3）【2016年四川，理3，5分】为了得到函数πsin 23y x ? ?=- ?? ?的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 （ ） （A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π 3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π 6个单位长度 【答案】D 【解析】由题可知，ππsin 2sin 236y x x ??? ???=-=- ? ?????? ???，则只需把sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，故选D ． 【点评】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变 换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1 ω 倍， 纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来的1 ω 倍，纵坐标不 变，得sin y ωx =的图象，向左平移φ ω 个单位得sin()y ωx φ=+的图象． （4）【2016年四川，理4，5分】用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个 位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有14 34C A 72?=，故选D ． 【点评】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的 完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置． （5）【2016年四川，理5，5分】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发 资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30=） （A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B 【解析】设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，()130112%200x +=，

2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量

2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ）

四川省高考数学试卷(理科)解析

2015年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）（2015?四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（） A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）（2015?四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（） A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i 3．（5分）（2015?四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（） A． ﹣B．C． ﹣ D． 4．（5分）（2015?四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（） A． y=cos（2x+）B． y=sin（2x+） C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx 5．（5分）（2015?四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的 两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（） A．B．2C．6D．4

6．（5分）（2015?四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（） A．144个B．120个C．96个D．72个 7．（5分）（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足 ，，则=（） A．20 B．15 C．9D．6 8．（5分）（2015?四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 9．（5分）（2015?四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间 []上单调递减，那么mn的最大值为（） A．16 B．18 C．25 D． 10．（5分）（2015?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（） A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）（2015?四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是（用数字填写答案）．12．（5分）（2015?四川）sin15°+sin75°的值是． 13．（5分）（2015?四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时． 14．（5分）（2015?四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．

2019年高考理科数学分类汇编：数列(解析版)

题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N .