课 题:研究性学习课题:对数-平均值不等式(A-L-G 不等式)的证明及应用 主讲教师:刘大高 河南省驻马店高级中学高二年级数学组
教学目的:了解对数--平均值不等式并会证明
,并探究其解决极值点偏移问题
教学重点:对数--平均值不等式的证明及其在不等式证明中如何应用. 教学难点:通过构造函数研究图象,探求对数--平均值不等式的证明和应用 授课类型:新授课 课时安排:2课时
教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
对数-平均值不等式(A-L-G 不等式)
证明如下: 先证明:
(Ⅰ)
2ln ln a b a b
a b
+->
-导数证明不等式兵家大忌:盲目构造函数! 方法一:分析法:要证2ln ln a b a b a b +->-,只需证明1(ln ln )(0)2a b
a b a b a b
-->>>+不妨设 右侧上下同除b,即只要证明1
1a 11
ln ,1,()ln 2b 21
1a a x b x f x x a b x b
-->=>=-
++令,只要证明 1()0,x f x >?>即可.
2
22
1112(1)
()ln(1),'()0
212(1)2(1)
x x
f x x x f x
x x x x x
--
=->∴=-=>
+++
1,(),()(1)0()0
.
2ln ln
x f x f x f f x
a b a b
a b
>∴>=∴>
+-
∴>
-
当时为增函数
成立
方法二:令,1
a bx x
=>,代人
2ln ln
a b a b
a b
+-
>
-
即
2ln ln
bx b bx b
bx b
+-
>
-
两边约掉b即证明11ln1
2ln21
x x x x
x x
+--
>?>
+
方法同上.
(Ⅱ)证明设0,ln ln,
ln ln
a b a b
a b ab a b b
a b ab
--
>>>?>-
-
左边上下同除以
a
1
ln0,1
x1x1
ln,(x)ln
a a
b x
b b
a
b
x g x
x x
-
>>=>
--
>=-
令则即证明
令
2
1
(1)
1(1)
2
'()0
2
x x
x
x
g x
x x x x
--
--
=-=<
则1,(),()(1)0.
x g x g x g
><=
单调递减在证明成立
以前我们给出了ln x的一个不太精细的界
(1)当1
x≥时ln1
x x
≤-,(2)令
1
x
x
换成时得
1
ln1
x
x
>-
令a bx
=代人
ln ln2
bx b bx b
bx b
bx b
-+
?<<
-
约去b,
11
ln2
x x
x
x
-+
<<
不等式的性质倒一下得1ln2
11
x
x x
x
>>
-+
(x1)ln:
x
-
两边同除以分两类得到还有一个更精细的界如下
画出三个函数图像如下,在点(1,0)处出现剪刀交叉.自上而下为以下三个函数.
说明:函数在某一点处交叉后,比一下导数的大小,可以看出函数图象上升的较快的图像在上方.
(一)两道高考题
2010天津高考理科(21)(本小题满分14分)
已知函数()()x
f x xe x R -=∈.
(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.证明当x>1时,f(x)>g(x);
(Ⅲ)如果12,x x ≠且12()(),f x f x =证明122x x +>.
(Ⅲ)证明:()x x
f x e
=
, 12()(),f x f x = 12
12
2x x x 1, 1.x x x e e <>=
1由图象可知,0<代人函数得
两边取对数得
11221212ln ln ,ln ln x x x x x x x x -=--=-即
即12
12121212x 1,ln ln ln ln 2
x x x x x
x x x x --+=<--又
12
12x 1,x 22
x x +>+>即 注意这里要给出公式的证明
121212x ln ln 2
x x x
x x -+<-
2013高考陕西理科21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .
(Ⅰ) 若直线y =kx +1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y =f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a
()()2f a f b +与()()
f b f a b a
--的大小, 并说明理由.
方法二对数平均值不等式法
令111,ln ,0a
x e x a x ==>则且
222,ln ,0b x e x b x ==>则且
12120,0,x x x x >><设
12
()()222
a b x x f a f b e e +++==
2121
()()ln ln b a
x x f b f a e e b a b a x x ---==
---
由对数平均值不等式得
122
121
()
()
()(
)
2ln ln 2x x x x f a f b f b f a x x b a
+-+->>--即成立 (二).(例题分析)例题一
作业2:设函数0()(1)ln ,(1,),f x x x ax x =+-∈+∞已知且函数()f x 的图像在点
00(,())x f x 处的切线方程为1
.y x e e
=
- (1) 求a 的值;
(2) 求证:函数()f x 在定义域内单调递增;
(3) 当1,,:
n n N *
>∈时证明222111
ln 1352n 1231
n n ++???+<<+++???+
-- 证明由(2)知当(1,)x ∈+∞时,()f x 单调递增,故
()(1)2,(1)ln 22f x f x x x >=-?+->-故当(1,)x ∈+∞时,2(1)
ln .1
x x x ->
+ 因此当2,n ≥时令2(
1)
2
1,ln()1121(1)1
n
n n n x n n n n n --=?>=
---+-. 即2
ln ln(1).21n n n -->-
所以2
ln 2ln1,3->
2
ln 3ln 2,5
->
…….
2ln ln(1).21n n n -->
- 相加得222
ln ...3521n n >+++-
由(1)知当(1,)x ∈+∞时,()1ln g x x x =+-单调递增, 故()(1)2,ln 1g x g x x >=?<-,因此当2,n ≥时令
11
,ln()1ln ln(1)11111
n n n x n n n n n n n =
?<-=?--<
----- 所以ln 2ln11,-<
1ln 3ln 2,2
-<
……
1ln ln(1),1n n n --<
- 相加得11
ln 1...21n n <+++-
终上所述222111
ln 1352n 1231n n ++???+<<+++???+--.
第三问可以用数学归纳法函数的两个边界一个精细,一个常见的边界 左边用2(1)
ln 1
x x x -<+,右边用ln 1x x <-
高考又见对数平均数 在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问,实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解,无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。 对于a>b>0,我们把 b a b a ln ln --称作a 与 b 的对数平均数,并且有: 算术平均数>对数平均数>几何平均数,即: 2b a +>b a b a ln ln -->a b 证明方法Ⅰ(几何证明):如图,分别过A(a,0)、B(b,0)、C( 2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线,与函数y=x 1 交于F 、G 、E 、H 四点,过E 作函数的切线,分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。 比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2,得S 1>S 2,其中: S 1=?a b dx x 1 =ln a-ln b ,
S 2= 2AN BM +?AB=CE ?AB=b a +2 ?(a-b) ∴ ln a-ln b>b a +2 ?(a-b) 即:2b a +>b a b a ln ln --……① 比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4,得S 3>S 4,其中: S 3=21 (GB+HD)?BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=ab b a 2- S 4=?ab b dx x 1=ln ab -ln b= 2ln ln b a +-ln b=2 ln ln b a - ∴ ab b a 2->2ln ln b a - 即: b a b a ln ln -->a b ……② 综合①②,得:2b a +>b a b a ln ln -->a b (a>b>0) 证明方法Ⅱ(函数证明): 令f(x)= 2ln x +1 2 +x -1 (x>1),则有: f`(x)=x 21 -2 )1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0,即: 2ln x +1 2 +x -1>0, 令x=b a ,代入整理得: 2ln ln b a ->b a b a +- 即:2b a +>b a b a ln ln --……① 令g(x)=x-2?ln x-x 1 (x>1),则有: g`(x)=1-x 2+21x =22 )1(x x ->0 ∴ g(x)>g(1)=0,即x-2?ln x-x 1 >0, 令x= b a ,代入整理得:ab b a ->ln a-ln b
对数平均不等式 1.定义:设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释: 反比例函数()()10f x x x =>的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||, MN CD x ||||轴, (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 变形公式: )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. (一) ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 (2014年陕西)设函数 )1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小,并加以证明. . (二) ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例 2 设数列{} n a 的通项n a =,其前n 项的和为n S ,证明:()ln 1n S n <+.
(三) ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ,证明:()ln 21n a n <+. (四) ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用 例4. (2010年湖北)已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-.(1)用a 表示出,b c ;(2)(略) (3)证明:()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L (五) )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用 例5. (2014福建预赛)已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+. (1)(略) (2)求证:()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立. 强化训练 1. (2012年天津)已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0. (1)(2)(略)(3)证明:()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.(2013年新课标Ⅰ)已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+.
对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出,其压轴题的理论背景是: 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b ab a b +->>-,其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数,借助于导数证明了对数平均数的上述不等式,难度较大,为此,我作了深入地 探讨,给出对数平均数的不等关系的几何解释,形象直观,易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||,MN CD x ||||轴,(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,,T ab ab ?? ???作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形, 所以 ()12 ln ln ,b a dx b a b a x a b =->-+ò ① 又1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形, ()11 ln ln 22ABQP b a S = -=曲边梯形, () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形,
根据右图可知,AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ,所以ln ln b a b a ab --<, ② 另外,ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形,可得: ()()()11111 ln ln ,2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 ③ 综上,结合重要不等式可知: ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+, 即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. 2.1 ()0ln ln b a b a a b a -> >>-的应用 例1(2014年陕西)设函数)1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小,并加以证明. 解析(3)因为()1x g x x = +, 所以()()()121111223123 1n g g g n n n n ??+++= +++=-+++ ?++?? , 而()()ln 1n f n n n -=-+,因此,比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小,即只需比较 1 1 3121++++n 与()ln 1n +的大小即可. 根据0b a >>时,ln ln b a b b a ->-,即()1ln ln , b a b a b -<- 令,1,a n b n = =+则 ()1 ln 1ln ,1 n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=,1ln 3ln 23<-,1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+ ,
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对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出,其压轴题的理论背景是: 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数,借助于导数证明了对数平均数的上述不等式,难度较大,为此,我作了深入地 探讨,给出对数平均数的不等关系的几何解释,形象直观,易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||,MN CD x ||||轴, () ,0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???, ,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 因为ABNM ABQP ABFE S S S 矩形曲边梯形梯形, 所以 1 2ln ln ,b a dx b a b a x a b ① 又1ln ln ab AUTP a S dx ab a x 曲边梯形, 1 1 ln ln 2 2 ABQP b a S 曲边梯形, 1111 222 AUTP ABCD S ab a S a ab ab 梯形梯形,
根据右图可知, AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ,所以ln ln b a ab , ② 另外,ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形,可得: 11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a ③ 综上,结合重要不等式可知: 211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a ab , 即20112 ln ln a b b a b ab a b a b a a b . ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. 2.1 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1,,(2014年陕西)设函数)1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小,并加以证明. 解析,,(3)因为()1x g x x =+, 所以()()()121111223 123 1n g g g n n n n ?? ++ += +++ =-+++ ?++?? , 而()()ln 1n f n n n -=-+,因此,比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小,即只需比较 1 13121++++n 与()ln 1n +的大小即可. 根据0b a 时, ln ln b a b b a ,即1ln ln , b a b a b 令,1,a n b n 则 1 ln 1 ln ,1 n n n 所以 1ln 2ln1ln 22<-=,1 ln 3ln 23 <-,1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+,
对 数平均不等式 1.定义:设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释: 反比例函数()()10f x x x = >的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||,MN CD x |||| 轴, (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与 ,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 变形公式: )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. (一) ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 (2014年陕西)设函数 )1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小,并加以证明. . (二)()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例2 设数列{} n a 的通项n a =,其前n 项的和为n S ,证明:()ln 1n S n <+. (三) ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用
极值点偏移——对数平均不等式(本质回归) 笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链: , 不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数,,且,定义为,的对数平均值,且 ,即几何平均数<对数平均数<算术平均数,简记为. 先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造) 设 ,则, ,构造函数,则.由得,且在上,在上,为的极大值点.对数平 ,等价于,这是两个常规的极值点偏移问题,留给读者尝试. 证法2(比值代换) 令,则 ,构造函数可证. 证法3(主元法) 不妨设 , 1 1 1ln 2e e 2ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a ---??-+?? < <<<<< ? ?+ -?? ??a b a b ≠ln ln a b a b --a b ln ln 2 a b a b a b -+< -()()(),,,G a b L a b A a b <<0 ln ln a b R a b -= >-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1k f x x '= -()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<< 2 2a b k ab k +>?? 1a t b = >()()11ln ln 2ln 2 b t b t a b a b a b t -+-+< <<-()2111ln ln 21t t t t t t --+?<<+a b >
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究 中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出,其理论背景是: 设0b a >>,则211 2ln ln a b b a b ab a b a a b +-> >>> >-+,其中 ln ln a b a b --被称为“对数 平均数”. 安振平老师通过构造函数,借助导数,证明了上述对数平均数不等式链,难度较大.基于此,笔者进行了深入的探讨,给出对数平均数不等式链的几何证明,形象直观,易于理解. 1 对数平均数不等式链的几何证明 如图,先画反比例函数()()1 0f x x x = >的图象,再画其他的辅助线,其中AP BC TU KV ||||||,MN CD x ||||轴,(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,T ab ab ?? ? ? ?.设函数()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ,则根据左图可知: 因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形, 所以 ()12 ln ln b a dx b a b a x a b =->-+ò . ① 因为1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形, () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形,
而根据右图可知:AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形,所以ln ln b a b a ab --<. ② 另外,根据ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形,可得: ()()()11111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 . ③ 综上,结合重要不等式可知: ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+, 即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 对数平均数不等式链的变式探究 近年来,以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷,如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等,因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的. 为了行文叙述的方便,将对数平均数不等式链中的不等式 2ln ln a b b a b a +->-,记为①式;将ln ln b a ab b a -> -,记为②式;将2 11 ln ln b a b b a a b -> >-+,记为③式. 变式探究1:取12,a x b x ==,则由①知: 1221 21 2ln ln +-> -x x x x x x .于是,可编制如下试题:已知210>>x x ,求证:212112 2()ln ln --> +x x x x x x . 变式探究2:取12,a x b x ==,则由②知: 21 1221 ln ln ->-x x x x x x .于是,可编制如下试题:已知 210>>x x ,求证:21 2112 ln ln --< x x x x x x . 变式探究3:取12,a x b x ==,则由③知:2122112 2 11 ln ln -> > -+x x x x x x x .于是,可编制如下试题:已知210>>x x ,求证:22 12121212 1ln ln 2--<-< x x x x x x x x .
极值点偏移(5)——对数平均不等式(本质回归)笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链: 1 1 1 ln 2 e e 2 ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a - - - ?? -+ ?? <<<<<< ? ? +- ???? , 不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数a,b,且a b≠,定义 ln ln a b a b - - 为a,b的对数平均值,且 ln ln2 a b a b a b -+ << - ,即几何平均数<对数平均数<算术平均数,简记为 ()()() ,,, G a b L a b A a b <<. 先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造)设0 ln ln a b R a b - => - ,则l n l n k a k b a b -=-, ln ln k a a k b b -=-,构造函数()ln f x k x x =-,则()() f a f b =.由()1 k f x x '=-得 ()0 f k '=,且() f x在() 0,k 上,在() ,k+∞ 上,x k =为() f x的极大值点.对数 平均不等式即 2 a b k + <,等价于 2 2 a b k ab k +> ? ?< ? ,这是两个常规的极值点偏移问题, 留给读者尝试. 证法2(比值代换)令1 a t b => ,则 ()() 11 ln ln2ln2 b t b t a b a b a b t -+ -+ << - ( ) 21 11 ln ln21 t t t t t t - -+ ?<<< + ,构造函数可证. 证法3(主元法)不妨设a b>,
对数平均不等式的典型应用 极值点偏移问题的母题 对数、指数平均不等式与高考中的一类热点,即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系,利用对数与 指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下. [母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m ≠0)图像上的任意两点,则当m>0 时,f '( 221x x +) 对数平均不等式的典型应用 极值点偏移问题的母题 对数、指数平均不等式与高考中的一类热点 ,即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系,利用对数与 指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下 . [母题结构]:(I )(对数模型)设P(X 1 ,y 1 ) > Q(X 2 ,y 2 )是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m 工0)图像上的任意两点,则当m>0 时,f ( △ 丝) 对数平均不等式 引申:已知a>b>0,求证:ab b a b a b a >--> +ln ln 2 对数平均值的不等式链: 对数平均不等式灵活变形: ()1 21212122ln ln ,01x x x x x x x x +-> ->>求证:、已知 2、1 22 1ln ,0+>+>x x x x 求证: 已知 被称之对数平均值) 其中 b a b a ln ln (- - 3、a x a x x a a x ) 2(2ln )ln(,20-> --<<求证:已知 4、2 11221212) (2)1ln()1ln(,10x x x x x x x x --->---<<<求证: 已知 5、2 11212 12ln ,0x x x x x x x x -<>>求证:已知 6、x x x x x x 1 ln 1)121-<<+->(,求证:若 1) 1ln()1ln(171212121 212+++>+-+-->>x x x x x x x x x x ,求证:、若 2 12 12 21221122ln ln 1,08x x x x x x x x x x -< -<->>求证:、已知 9、2 1 2121 21 2122,x x x x x x e x x e e e e x x +>-->+>求证:若 对数平均不等式的应用: 1、设函数 ()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥,其中'()f x 是()f x 的导函数. 设n N +∈,比较(1)(2)()g g g n +++L 与()n f n -的大小,并加以证明. 2、已知函数的最小值为0,其中 证明() {}) 1ln(,1)1(1 3+<++=n S S n n n a a n n n n 证明:项的和为其前的通项公式、设数列 )ln()(a x x x f +-=.0>a ∑ =<+--n i n i 1 2)12ln(1 22 *N n ∈ 利用对数平均数破解导数压轴题例谈 广东佛山顺德莘村中学陈万寿2018.10.11 定义:设,0,,a b a b >≠则2ln ln b a b a b a ab +<--<,其中ln ln a b a b --被称为对数平均数.(为了叙述方便,这个不等式链后面我简称对均不等式)这个不等式链巧妙地将基本不等式的算术平均数、几何平均数结合在一起,给解决高考导数压轴题提供很大的便利。据我不完全统计,高考可以利用对均不等式这个工具解决导数的压轴题有2010年湖北高考题、2010年天津高考理科导数解答题、2011年辽宁高考导数解答题、2012年天津高考导数解答题、2013年新课标卷I 卷、2014年陕西高考导数解答题等等。可见这个不等式确实非常好用。值得注意的是对数平均数必须先证再用。故而读者需熟系对均不等式的证法原理方能熟练应用。 对均不等式证明如下: 不妨设0a b >> ln ln a b a b -<-,即证a b b a b a - 对数平均不等式学生Newly compiled on November 23, 2020 对 数平均不等式 1.定义:设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释: 反比例函数()()10f x x x =>的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||, MN CD x ||||轴, (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点 2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 变形公式: )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. (一) 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1 (2014年陕西)设函数 )1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小,并加以证明. . (二)220ln ln b b a b a b a 的应用 例2 设数列{}n a 的通项(n a =,其前n 项的和为n S ,证明:()ln 1n S n <+. (三) 02ln ln a b b a b a b a 的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++,证明:()ln 21n a n <+. 第三篇:对数平均数不等式 高考相关:高考中很多题都是以对数平均不等式为背景,变形出题的,重要性毋庸置疑! 例(2018全国Ⅰ卷理21)(12分)已知函数1 ()ln f x x a x x = -+. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,证明: () 1212 ()2f x f x a x x -<-- 解: ⑴函数的定义域为()0,+∞ ()222 11 '1a x ax f x x x x -+-=--+= 24a ?=- ① 当22a -≤≤时,()'0f x ≤,()f x 在 ()0,+∞单调递减; ② 当2a >时, ()'0f x = ,1222 a a x x +== ,120x x << ()f x 在0,2a ??- ? ??? 和2a ??+∞ ? ??? 上单调递减,在,22a a ?+????? 上单 调递增; ③ 当2a <-时,120x x <<,()f x 在 ()0,+∞单调递减. 综上所述:2a ≤时,()f x 在 ()0,+∞单调递减; 2a >时,()f x 在0,2a ? ??? 和2a ??++∞ ? ???上单调递减, 在,22a a ?+????? 上单调递增. ⑵ ()f x 存在两个极值点12,x x ,由⑴知2a > 12x x a +=,121x x = ()() 2111222112121221121212 11 ln ln ln ln ()x x x a x x a x x x a x x f x f x x x x x x x x x x x --+-+-+-+--== --- 12 12 ln ln 2x x a x x -=-- 要证()1212()2f x f x a x x -<--,即证1212 ln ln 1x x x x -<- 方法一: 12 12 ln ln 1x x x x -<=- 12 12 ln ln 1x x x x -<-得证. 方法二:12x x a +=,121x x =,2a >,不妨设212 a x > > 将121 x x = 代入 1212 ln ln 1x x x x -<-得, 2 22 2ln 1 1x x x -<-, 22212ln x x x ->-,222 12ln 0x x x +-< 证1212 ln ln 1x x x x -<-,即证2 221 2ln 0x x x +-< 令()()12ln ,1g x x x x x =-+>,那么()()2222212121'1x x x g x x x x x ---+-=--== 0x >时,()'0g x <,()g x 在()+∞1,上单调递减, ()()21g x g <, ()2222 1 2ln g x x x x =+ -,()12ln1110g =+-= 222 1 2ln 0x x x + -<得证. 对数平均不等式学生文件编码(008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256) 对数平均不等式 1.定义:设,0,,a b a b >≠ 则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释: 反比例函数()()1 0f x x x =>的图象,如图所示, AP BC TU KV ||||||,MN CD x ||||轴, (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ??? ,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 变形公式: )0.()(2ln ln >≥+-≥ -b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. (一) 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1 (2014年陕西)设函数)1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小,并加以证明. . (二) 220ln ln b b a b a b a 的应用 例 2 设数 列{}n a 的通项n a =,其前n 项的和为n S ,证明: 2 对 数 平 均 不 等 式 的 典 型 应 用 极值点偏移问题的母题 对数、指数平均不等式与高考中的一类热点,即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系,利用对数 与 指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下. [母题结构]:(!)(对数模型)设 P (x”yJ 、Q (X 2, y 2)是函数 f (X )=mlnx+a X 2+bx+c (m HO )图像上的任意两点,则当m>0时"(伴)5;当m<0时,/ (伴)畑 (II)(指数模型)设 P(x” Y1)、Q(X 2, yj 是函数 f(x)=me x +ax 2+bx+c(m^0)图像上的任 意两点,则当m>0时,f (今)<也;当m<0时,厂(宁)>気 A B ]:( m - +a (xi+x :) +b => 心厂 r ( )=m( — X\ ■ X? 2 X| ~ X2 式.a 十b 〉a-b = Inxj -lnx 2〉 ? 2 \na-lnb x } -x 2 n 当m 〉0时,f (宁)〈也;当nKO 时,/(呼)>扁; - X|*X 2 (II )由 f (x)二me^+ax^+bx+c =>『(x)二me”+2ax+b => r (土Hl) =me +a (xi+xj +b; 乂 由 1£疋二「w 巴二m ?八一"+ X|-X 2 X| - x 2 心+刈+」"八宁)讹罟-e 〒),由指数平均不等 u+6 r r 亍 n =>eh n 当 m>0 时, 厂(宁)&? 1. 对数模型 子题类型I : (2011年辽宁高考试题)已知函数f (x )二lnx-/+(2-a )x ? (1)f (x)二mlnx+ax~+bx+c => f (x)二—+2ax+b => y z (山十“ x 2 )二 2m 勺+忑 +a(xi+x2)+b;又 由 ),由对数平均不等 式:V>e a-b a b b a a b a b ?, B a ? ? b , ? , b ? d x < + ? ? ? 1 1 ? ( b - a ) ? b a ? 2 ? (l n b - l n a ) < , 1 b - a 2 2 ab 秒杀秘籍:利用定积分秒杀对数平均不等式证明 如右图 1 所示,在反比例函数 f (x ) = 1 上任取两点 A ?, x ? a , 1 ? B ?b , 1 ? , ? a ? ? ? b ? 点 C ? a + b , ? ? 2 a + b 2 ? 为 AB 在双曲线上的中点, AA ⊥ x 轴交其于 A , ? 1 1 BB 1 ⊥ x 轴交其于 B 1 ,过 C 作双曲线切线交 AA 1 和 BB 1 于 D , E 两点,根 据 S ACBB A > S D EB A ? 1 1 ?a x b 1 d x > 2 1 1 a + b ? (b - a ),即 b - a a + b < l n b - l n a 2 如右图 2 所示,在 f (x ) = 1 x 上任取两点 A ? ? 1 ? ? 1 ? AA ⊥ x 轴交其于 A , BB ⊥ x 轴交其于 B ,根据 S 1 1 1 1 ABB A 曲ABB A > S 1 1 1 1 ? b 1 a x 即 b - a l n b - l n a 对数平均不等式 ? a - b ? (a ≠ b ), 两个正数 a 和 b 的对数平均定义: L (a , b ) = ?ln a - ln b ??a (a = b ). 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系: ab ≤ L (a , b ) ≤ a + b 2 (此式记为对数平均不等式)取等条件:当且仅当 a = b 时,等号成立. 只证:当 a ≠ b 时, ab < L (a , b ) < a + b ,可设 a > b .(I )先证: 2 ab < L (a , b ) …… ① a - b a 不等式① ? ln a - ln b < ? ln < - ? 2 ln x < x - 1 (中 中 x = > 1) ab b x 构造函数 f (x ) = 2 l n x - (x - 1 ), (x > 1) ,则 f '(x ) = 2 -1- 1 = -(1- 1 )2 . x x x 2 x 因为 x > 1 时, f '(x ) < 0 ,所以函数 f (x ) 在 (1, +∞) 上单调递减,故 f (x ) < (II )再证: L (a , b ) < a + b ……② 2 f (1) = 0 ,从而不等式①成立; 2(a - b ) a 不等式② ? ln a - ln b > ? ln 2( a -1) > b a ? ln x > 2( x -1) (中 中 x = > 1) a + b b ( +1) b (x +1) 构造函数 g (x ) = ln x - 2(x -1) 1 4 (x -1)2 , (x > 1) ,则 g '(x ) = - = . (x +1) x (x +1) 2 x (x +1)2 因为 x > 1 时, g '(x ) > 0 ,所以函数 g (x ) 在 (1, +∞) 上单调递增,故 g (x ) < g (1) = 0 ,从而不等式②成立;综合(I )( II )知, 对 ?a , b ∈ R + ,都有对数平均不等式 ab ≤ L (a , b ) ≤ a + b 成立,当且仅当 a = b 时,等号成立. 2 题型一:指数换对数的证明极值偏移问题 例 1:(2010 天津理)已知函数 f (x ) = xe - x ,如果 x ≠ x 且 f (x ) = f (x ) ,证明: x + x >2 1 2 1 2 1 2 例 2:已知 x 1 , x 2 是函数 f (x ) = e - ax 的两个零点,且 x 1 < x 2 .其极值点为 x 0 ,(1)求 a 的取值范围。(2)求证: x 1 + x 2 < 2x 0 (3)求证: x 1 + x 2 > 2 ;(4)求证: x 1 ? x 2 < 1. > ab ∴ x e - x 1 = x e - x 2 ? l n x e - x 1 = l n x e - x 2即l n x - x = l n x - x ,整理可得 x 1 - x 2 1 2 1 2 1 1 2 2 l n x - l n x = 1 1 2 a , 解:Θ f (x 1 ) = f (x 2 ),∴ x 1>0,x 2>0(请读者自己证明),且x 1 ≠ x 2 Θ a - b ln a - ln b 2 < a + b ,∴ x 1 - x 2 l n x 1 - l n x 2 = 1< x 1 + x 2 2 ? 即 x 1 + x 2>2 x对数平均不等式在极值点偏移中应用
对数平均不等式
利用对数平均数解导数压轴题例谈
对数平均不等式学生
3直击高考之对数平均不等式
对数平均不等式学生
对数平均不等式在极值点偏移中应用
对数平均不等式