对数均值不等式的简单应用

基本不等式及其应用(优秀经典专题及答案详解)

专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值

【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果

基本不等式的变形及应用

基本不等式ab b a 22 2≥+的变式及应用 不等式ab b a 222≥+是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种常见的变式及应用 1、十种变式 ①222b a ab +≤； ②2 )2(b a ab +≤； ③2 )2(222b a b a +≤+ ； ④)(222b a b a +≤+ ⑤若0>b ，则b a b a -≥22 ； ⑥ ,,+∈R b a 则b a b a +≥+411 ⑦若ab b a R b a 4 )11(,,2≥ +∈+ ⑧若 ≠ab ，则 2 2 2)11(2111b a b a +≥+ 上述不等式中等号成立的充要条件均为： b a = ⑨若R b a R n m ∈∈+ ,,,，则n m b a n b m a ++≥+2 22)(（当且仅当bm an =时 等号成立） ⑩)(3)(2222c b a c b a ++≤++（当且仅当c b a ==时等号成立） 2、应用 例1、若+∈R c b a ,,，且2=++c b a ，求证：4111<+++++c b a 证法一：由变式①得21 111++≤ +? a a 即12 1+≤+a a

同理：121+≤ +b b ，12 1+≤+c c 因此 12111+≤+++++a c b a 41212≤++++c b 由于三个不等式中的等号不能同时成立，故 4111<+++++c b a 评论：本解法应用“2 2 2b a ab +≤ ”观察其左右两端可以 发现，对于某一字母左边是一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幂与降幂功能，本解法应用的是升幂功能。 证法二：由变式④得)11(211+++≤+++b a b a 同理： )11(211++≤++c c ∴≤ ++++++1111c b a )4(2)2(2)2(2+++≤++++c b a c b a 512<= 故结论成立 评论：本解法应用“)(222b a b a +≤+” ，这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。 证法三：由变式⑩得 1(3)111(2+≤+++++a c b a 15)11=++++c b 故4111<+++++c b a 即得结论

绝对值指数对数三角不等式的解法

不等式的解法 绝对值不等式 例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜． ｛x ｜x>1｝． 例2 对任意实数x ，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k<3 B ．k<-3 C ．k≤3 D ．k≤-3 选B ． 例3 解不等式｜3x-1｜>x+3． ｛x ｜ x<- ，或x>2｝． 例4 解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜<1 ｛x ｜x<-7或 x> ｝ ｜x+3｜+｜x-3｜>8． 例5 解不等式1≤｜2x-1｜<5． ｛x ｜-2????≥ ≥?> )()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例1.解不等式0343>-- -x x 二.???<≥?? ???>≥≥?>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2.解不等式x x x 34232->-+- }256| {≤≥?<2)]([)(0 )(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 例3.解不等式24622+<+-x x x

指数不等式 例1、解不等式 （1）12>x （2） ) 1(332)21(22--->+-a a a a x x x 且 （4）x x -->4)21(3 2 （5）222223 2≤+-x x （6）2931831>?+-+x x {x |x >2或32 log 3x （2） 1log 2 1->x （3）6 24log log >x （4）)102(log )43(log 312 31+>--x x x 三角不等式 （1）21 cos >x （2） 3sin 2+πx

一元一次不等式组的实际应用

一元一次不等式组的实际 应用 Prepared on 22 November 2020

一元一次不等式组的实际应用 1、某市召开的出租汽车价格听证会上，物价局拟定了两套客运出租汽车运价调整方案．方案一：起步价调至7元/2公里，而后每公里元；方案二：起步价调至8元/3公里，而后每公里元．若某乘客乘坐出租车(路程多于3公里)时用方案一比较合算，则该乘客乘坐出租车的路程________5公里(填大于或小于) 2、李明家距离学校，现在李明需要用不超过18min的时间从家出发到达学校，已知他步行的速度为90m/min，跑步的速度为210m/min，则李明至少需要跑________分钟． 3、某火车站购进一种溶质质量分数为20%的消毒液，准备对候车室进行喷洒消毒，而从科学的角度知用含的消毒液喷洒效果最好，那么工作人员把这种溶质质量分数为20%消毒液稀释时，兑水的比例为1:100行不行________(填“行”或“不行”) 4、用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物支援汶川地震灾区，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装8t，则最后一辆汽车不满也不空，请问：有________辆汽车 5、现用甲、乙两种保温车将1800箱抗甲流疫苗运往灾区，每辆甲运输车最多可载200箱，每辆乙运输车最多可载150箱，并且安排车辆不超过10辆，那么甲运输车至少应安排_______辆． 6、某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到江阴儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童5盒牛奶，那么剩下18盒牛奶；如果分给每位儿童6盒牛奶，那么最后一位儿童分不到6盒，但至少能有3盒．则这个儿童福利院的儿童最少有________人，最多有________人．

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 一、教学分析设计 【教材分析】 人教版普通高中课程标准试验教科书分不同的章节处理不等式问题。在必修5的第三章中，首先介绍了不等关系与不等式；然后是一元二次不等式及其解法，二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题；最后在第四节介绍基本不等式。在选修教材《不等式选讲》中对不等式与绝对值不等式、证明不等式的基本方法、柯西不等式与排序不等式、数学归纳法证明不等式作了更详细的介绍。并在书中还安排章节复习了基本不等式，并将其推广到三元的形式。基本不等式从数学上凸显了沟通基础数学知识间的内在联系的可行性。 基本不等式的课程标准内容为：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最值问题。教学要求为：了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算数平均数、几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最值问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值（说明：突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形）。《考试说明》中内容为：会用基本不等式解决简单的最值问题。通过对比分析，他们的共同都有“会用基本不等式解决简单的最值问题”。基本不等式与函数（包括三角函数）、数列、解析几何等内容均有丰富的联系，在《考试说明》中属于C及内容（含义：对该知识有实质性的理解并能与已有知识建立联系，掌握内容与形式的变化；相关技能已经形成，能用它来解决简单的相关问题）。 【学生分析】 从知识储备上看，高三学生已经基本掌握了不等式的简单性质和证明，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的数学模型，也具备一定的几何知识。 从思维特点看，学生了解了不等关系的数学模型是解决实际问题的重要工具，具备一定的归纳、猜想、演绎证明和抽象思维的水平。 【目标分析】 结果性目标： 1、能在具体的问题情景中，通过抽象概括、数学建模以及逻辑推理获得基本不等式； 2、掌握基本不等式应用的条件“一正二定三相等”，和基本不等式的常见变形； 3、会用基本不等式解决一些简单的实际问题。 体验性目标： 1、在解决实际问题的过程中，体验基本不等式的本质是求二元的最值问题； 2、在解决实际问题中，体验“形”与“数”间的关联。 重点：创设基本不等式使用的条件。 难点：基本不等式的简单应用，以及使用过程中定值的取得。 【核心问题分析】 核心问题：在学校文化厘清过程中，拟对一块空地实行打造，现对其规划如下：将这块空地建成一个广场，在广场中间建一个长方形文化长廊，在其正中间造一个长方形景观池，并利用长廊内部左下角的那颗古树打造一条直线型景观带。请同学们按照以下要求实行数据设计： 问题1：文化长廊的周长为480米，要求文化长廊所围成的长方形面积最大，应怎样设计其长和宽？ 问题2：已知景观池的容积为4800米，深为3米。已知景观池底每平米的造价是150元，池壁每平方米的造价是120元，问怎样设计，使造价最低，最低造价是多少？ 问题3：设文化长廊为ABCD，现在长廊ABCD的左下角点E处有颗古树，且点E距左边AB和下边AD的D距离各为20米、10米，为保护古树，现经过古树E建造一直线型的景观带

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

指数不等式、对数不等式考试试题及答案

指数不等式、对数不等式考试试题及答案 例5-3-7 解不等式： 解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为 注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。 解[法一] 原不等式同解于

所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。 注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。 解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。 解原不等式可化为 解得t＜-2或0＜t＜1，即 注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式 解原不等式可化为 令log a x=t，则得 当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。 例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数

不等式的典型例题解析

不等式的典型例题解析 【例1】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝． 【说明】用“区间法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“区间法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】解下列不等式：

变形 解：(1)原不等式等价于 用“区间法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． 用“区间法”

【例3】解下列不等式： 【分析】无理不等式的基本解法是转化为有理不等式(组)后再求解，但要注意变换的等价性． 解：(1)原不等式等价于 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x≥5｝． (3)原不等式等价于

【说明】解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变．此外，有的还有其他解法，如上例(3)． 原不等式化为 t2-2t-3＜0(t≥0)解得0≤t＜3 【说明】有些题目若用数形结合的方法将更简便． 【例4】解下列不等式：

数学：不等式的实际应用教案新人教B版必修

３．４不等式的实际应用教案 一、教材分析： 前面学生已经学习了一元二次不等式的解法，本节主要是一元二次不等式的实际应用。通过本节课的实例教学，让学生体验不等式在解决实际问题的作用，数学与日常及其他学科的联系。并通过解题过程，抽象出不等式模型，总结出解应用题的思路与步骤。本节课的内容对于解决线性规划问题提供了很好的解题思路。同时，应用题中不等式模型也是高考经常经常涉及的问题，其地位也就不言而喻了。 二、三维目标： １、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤， ２、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。 ３、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。 三、教学重点和难点： 重点：不等式的实际应用 难点：数学建模 四、教学方法：通过启发、引导、归纳、总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊到一般的认知规律，引导学生分析归纳如何抽象不等式模型及解不等式应用题的一般步骤。 五、教具：多媒体 六、教学过程： （一）温故知新：

１、比较两实数大小的常用方法 ２、联系一元二次不等式与相应的方程以及函数之间的关系，填写下表 △>0△=0△<0△=b２— ４ac Y=ax２ +bx+c （a>0）的 图象 ax２ +bx+c=0 （a>0）的 根 ax２ +bx+>0 （a>0）的 解集 ax２ +bx+c<0 （a>0）的 解集

（二）情景引入 b 克糖水中含有a 克糖（b>a>0），若在这些糖水中再添加m （m>0）克糖，则糖水就变甜了，根据此事实提炼一个关系式 ，师：引例就是不等式在我们的生活中的实际应用，今天，我们一起来学习不等式的实际应用。（引出课题） （三）、典例分析： 例１、 甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点，甲有一半的时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点？ 分析：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t 甲、t 乙, 若要解决此问题，只需比较t 甲，t 乙的大小即可 解：设总路程为s,甲、乙所用时间分别为t 甲、t 乙,由题意得 s n t m t =+ 2 2 甲甲， 乙t n s m s =+22 所以 t 甲= n m s + ， t 乙=mn n m s 2) (+ 所以t 甲— t 乙=n m s +—mn n m s 2)(+=()[] ()mn n m n m mn s ++-242 =()() n m mn n m s +--22 其中s,m,n 都是正数，且m ≠n,于是t 甲— t 乙<0 ，即t 甲＜t 乙 答：甲比乙先到达指定地点。 方法二：做商比较。 回归情景：对糖水问题你能给出证明吗？ 例２、有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出４升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？

基本不等式及其应用

2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最

不等式的实际应用含答案

课时作业18 不等式的实际应用 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．某工厂第一年产量为A ，第二年产量的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( ) A ．x ＝a ＋b 2 B ．x ≤a ＋b 2 C ．x >a ＋b 2 D ．x ≥a ＋b 2 【答案】 B 【解析】 由题设有A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2，即x ＝ (1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2 －1＝a ＋b 2. 2．设产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0

4万元/次．一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨． 【答案】 20 【解析】 每年购买次数为400x 次，∴总费用为400x ·4＋ 4x ≥2 6 400＝160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x ＝20. 4．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0

(全)基本不等式应用,利用基本不等式求最值的技巧,题型分析

基本不等式应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数

基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:

不等式最最简单应用题习题

一. 解下列不等式,并在数轴上表示出它们的解集. 1.8223-<+x x 2. )1(5)32(2+<+x x 3．x x 4923+≥- 4 . 223125+<-+x x 5. 3 1222+≥+x x 6. )2(3)]2(2[3-->--x x x x 二．不等式应用题 根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节： ⑴ 审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意 的值；⑹作答。 2.某车间有20名工人，要求一天加工120个零件，问：平均每人一天至少加工多少个零件？ 3. 某车间有20名工人，要求一天加工113个零件，问：平均每人一天至少加工多少个零件？ 5. 一个工程队要求在8天内至少要挖土600m 3，求：平均每天至少要挖土多少m 3？ 6. 一个工程队原定在8天内至少要挖土600m 3，在前两天一共完成了150 m 3，由于整个工程 调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖土多少m 3？ 7. 某种商品进价150元，标价200元，但销量较小。为了促销，商场决定打折销售，若为 了保证利润率不底于20%，那么至多打几折？如果设商场将该商品打x 折，则可列出不等式为： 。 8. 甲现有存款600元，乙现有存款2000元，从本月起甲每月存500元，乙每月存200元。 问几个月后甲的存款开始超过乙的存款额？

9. 某市科学知识竞赛的预赛共20道选择题，答对一道得10分，答错或不答扣5分，总分 不少于80分者就通过了预赛而进入决赛，若小王通过了预赛，那么他至少答对几道题？ 10.某公园门票的价格是每位20元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠．现有18位游客 春游，如果他们买20人的团体票，那么比买普通票便宜多少钱？至少要有多少人去该公园，买团体票反而合算呢？ 11,有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，如果这个数大于20小于40，求这个两位数．

指数方程与指数不等式、对数方程与对数不等式的解法

指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： （1）同底去底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=； （2）化成对数式：log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： （1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=； （2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=； （3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： （1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式： 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.

基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 【考试要求】 1.掌握基本不等式ab ≤ a ＋b 2 (a ，b ≥0)； 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中 a ＋b 2 称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 2 4(简记：和定积最大). 【微点提醒】 1.b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2. 21a ＋ 1b ≤ab ≤a ＋b 2 ≤a 2＋b 2 2 (a >0，b >0). 3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2 ＋b 2 ≥2ab 与 a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1 x 的最小值是2.( )

(3)函数f (x )＝sin x ＋4 sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x ≥2的充要条件.( ) 【教材衍化】 2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18 C.36 D.81 3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1 x ( ) A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为－2 D.有最大值，且最大值为－2 【真题体验】 4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在???? ??12，3上的最小值为( ) A.1 2 B.43 C.－1 D.0 5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大.

基本不等式及应用

基本不等式及应用 一、考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3．了解证明不等式的基本方法——综合法． (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2 (a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零) 上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 四、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数． 四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+ ： 当且仅当a ＝ b 时取等号. 五、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数． (1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14 S 2 . 强调：1、在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数； 定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。 等：等号成立的条件必须存在. 2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性．） 想一想:错在哪里？ +≤≤2 a b ≤ +2ab a b １．已知函数，求函数的 最小值和此时x 的取值．x x x f 1)(+=1:()22112. f x x x x x x =+≥===±解当且仅当即时函数取到最小值２．已知函数，求函数的最小值． )2(23)(>-+=x x x x f 3()222 3326f x x x x x x x =+≥->?? =?=?-?解：当且仅当即时，函数的最小值是