对数平均数的应用(史上最全题型)
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有
高一指数函数与对数函数经典基础练习题,
指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数；
(完整版)对数函数图像及其性质题型归纳,推荐文档
对数函数及其性质题型总结 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征Error! 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1) x 是对数函数，则实数a ＝__________． (1)图象与性质 a ＞10＜a ＜1 图 象 (1)定义域{x |x ＞0} (2)值域{y |y R } ∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0) (4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当 0＜x ＜1时，y ＞0 性质 (5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0 性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低 谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． 题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域． 例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)； (3)． y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0． 题型二:对数值域问题 对数型函数的值域的求解
半对数计算精编版
半对数计算 一、 何谓股价三分线 ▲我们常计算回档(反弹)1/3、0.382、1/2、0.618，其实1/3与0.382属同层级， 意谓强势整理(弱势反弹)，乃最有机会创高(破底)之表征。1/2中线则是最普遍 运用的支撑或压力之观测点，因为这里是回档或反弹的成本均衡处，稳定的涨 势或跌是常藉1/2中线之转折继续维系其多空步伐。至于0.618乃回檔的『最 后防线』及反弹的『乾坤挪移』所在，前者跌破，防回档转回跌，后者突破可 促反弹转回升，这一关的重要性关乎原始趋势之转变与否。 ◆问题来了！没人规定股价的高低点要落在三分线位置，若视之为『随机』落在 任何位置皆可能，重要的是据美国分析界学者之长期统计，落在三分线附近之 机率远大于其它位置，足见其存在的惯性意义。 二、 为什么要用半对数计算 ▲很多人早就会自行计算所谓的回档(反弹)1/3、1/2及黄金切割率，久而久之却 懒得算了；原因是算不出『准头』！何以艾略特主张要用『半对数』? 例：10→ 100的中心点在哪 ? 小学生也知道(10 + 100 ) / 2 = 55，但是，股价的运算~ √10 X 100 = 31.6。半对数乃一门运用数学，并适用于股市这门投资学。 ◆原理：拿一百万元买一档10元的股票，涨到31.6元增值为316万；又，拿一 百万元买足一档31.6元的股票，涨到100元同样增值为316万。可见31.6才 是10←→100的涨跌『成本中心』位置；若说线图为人性之轨迹，那么『惯性』 透过半对数计算才得知最敏感的表征处。 进而推演出公式：10→ 100回檔1/3~ 100.333 X 1000.666= 46.2；100 → 10反弹 1/3~ 1000.333 X 100.666= 21.5。所以说，一定要用工程用计算器才算得出来。 三、如何『取样』来加强计算的可信度 ? ▲半对数计算必须先有『背景取样』，因为我们是藉由前一上涨波来测量回档支 撑，由前一下跌波来测量反弹压力；但所谓的『前一波』可长可短，且走势不 见得如想象中单纯，是故，取样的准则应力求： 一、较佳的线性轨道(走势太曲折则不佳)； 二、较符合波浪循环之原则。 有时会遇到较复杂或模棱两可的股价背景时，则不排除采用不同版本之 交叉计算，甚至舍弃某一模糊阶段寻求其它途径来判断。 也就是说，越符合前两项取样原则，计算半对数的参考价值将愈高。 譬如 10元(低点)涨到 100元(高点)之回檔0.382为100.382X 1000.618 = 41.5；回檔0.618为100.618 X
人教A版数学必修一高一数指数函数、对数函数
高一数指数函数、对数函数 一、选择题：(每小题6分， 共36分) 1．化简3458log 4log 5log 8log 9???的结果是（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 2．函数1)2(log ++=x y a 的图象过定点（ ） A ．（1，2） B ．（2，1） C ．（－2，1） D ．（－1，1） 3．已知a ＜0，则a 2 ，a )2 1 ( ，a 2.0的大小关系是（ ） A ．a 2.0 1，实数x ，y 满足log a y+x =0，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
二、填空题：(每小题6分，共18分) 7．函数：26x x y --=单调增区间是__________________________ 8.四个数：23.0，3.0log 2，3.02，0)2 (π的由小到大的顺序为____________________ 9.计算： 3 75754 log 3 1log 9 log 2log ??=__________________________ 三．解答题： 10．（15）已知函数.)3 1 ()(x x f =当]1,1[-∈x 时，求3)(2)(2+-x f x f 的取值范围。 11.（15）求函数） （2 6ln x x y --=的单调区间。
对数函数典型例题
对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47) a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0
对数极对数函数题型总结
对数极对数函数题型总结 例题讲解 一、利用对数恒等式化简求值 1．求值： 2．求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 二、积、商、幂的对数 3．求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 4．已知3a=5b=c，，求c的值. 5．设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 6．已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 三、换底公式的运用 7．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 8．求值：(1)；(2)；(3). 9． 10． 11．四、对数运算法则的应用 12．9．求值 13．(1) log89·log2732 14．(2)
15．(3) 16．(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 17． 18．10．求值： 19． 11．已知：log23=a，log37=b，求：log4256=? 五、函数的定义域、值域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 12. 求下列函数的定义域. (1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a11，k?R). 13．函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域. 六、函数图象问题 七、14．作出下列函数的图象： 八、(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx. 九、 七、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值. 15．已知则（） A．B．C．D．
高中数学-指数函数对数函数知识点
指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0
⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
指数、对数函数基本知识点
基本初等函数知识点 (1)(2)(3) 知识点一：指数及指数幂的运算 知识点二：指数函数及其性质 1. 根式的概念 1. 指数函数概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数中 的定义域为. 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为 2. 指数函数函数性质： ；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示 函数名称 指数函数 为. 定义函数且叫做指数函数负数没有偶次方根， 0的任何次方根都是 0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质： 图象 (1) 当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3. 分数指数幂的意义： 定义域 ；值域 注意： 0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义 . 过定点图象过定点，即当时，. 4.有理数指数幂的运算性质：
奇偶性非奇非偶 4. 对数的运算性质 单调性在上是增函数在上是减函数 如果，那么①加法： 函数值的 变化情况②减法：③数乘： 变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 象的影响看图象，逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算 ④⑤ 1.对数的定义 (1) 若，则叫做以为底的对数，记作⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 ，其中叫做底数，叫做真数. 1. 对数函数定义 (2) 负数和零没有对数. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函 (3) 对数式与指数式的互化：. 数的定义域. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 2. 对数函数性质： 函数名称对数函数 3. 常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即 定义函数且叫做对数函数( 其中 图象 ?).
对数与对数函数-知识点与题型归纳
对数与对数函数-知识点与题型归纳
●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数 函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数 (a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 2
3 一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==
指数、对数函数基本知识点
基本初等函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果 ，那么叫做的次方根，其 中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的 次方根是负数，表示为 ；当为偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示 为 . 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子 叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数 的定义域为 . 且 图象过定点 ，即当时，
变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 看图象， 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作 ，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中 …). ，那么①加法： ②减法：③数乘： ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函 数的定义域. 且
图象过定点，即当 时， 上是增函数上是减函数 变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向 看图象， 1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中 为常数. 2.幂函数的性质 (1) 限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象 关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数. 如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无 限接近轴与轴. 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函 当(其中 互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为 奇数为偶数时，则 是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. ，当时，若，其图象 在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若 ，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.
高三总复习-指对数函数题型总结归纳
指对函数 1比较大小，是指对函数这里很爱考的一类题型，主要依靠指对函数本身的图像性质来做题，此外，对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量；估算；作差法；作商法等。 1、若π2log =a ，6log 7=b ，8.0log 2=c ，则（ ） A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是（ ） A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ，则下列不等式成立的是( ) A ．10<<a 且1≠a ），则()f x 一定过点（ ） A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时，函数()32-=-x a x f 必过定点（ ） 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点（ ） 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点（ ） 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2，则a =（ ） 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点，则b a ,分别为（ ） A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题
高一数学(必修1)专题复习三 指数函数和对数函数
高一数学（必修1）专题复习三 指数函数和对数函数 一．基础知识复习 （一）指数的运算： 1．实数指数幂的定义： （1）正整数指数幂： a n n a a a a 个???=（R a ∈）（2）零指数幂：10=a （0≠a ） （3）负整数指数幂：n n a a 1 = -（0≠a ） （4）正分数指数幂：n m n m a a =（1,,,0≠∈≠+n N n m a ） （5）负分数指数幂：n m n m a a 1 = -（（1,,,0≠∈≠+n N n m a ． 2．指数的运算性质： ① y x y x a a a +=? ② y x y x a a a -= ③ xy y x a a =)( ④ x x x b a ab =)( 1b 就叫做以a 为底N 的对数，记作b a log =．即：b N N a a b =?=log ． （10 （2）当（3）1的对数是零，01log =a （4）底数的对数等于1，1log =a 2．对数恒等式：（1 （2）b a b a =log （3）m n a a n m log log = 3．对数的运算法则： ① ()N M MN a a a log log log += ② N M N M a a a log log log -= ③ () N n N a n a log log = ④ N n N a n a log 1log = 4．对数换底公式：b N N a b log log log =．由换底公式推出一些常用的结论： （1 （2）c c b a b a log log log =?
（3 （4 （5 （一）指数函数的图象和性质 1．x y a =(0a >且1a ≠)的定义域为R ，值域为()0,+∞． 2．x y a =(0a >且1a ≠) 的单调性： 当1>a 时，x y a =在R 上为增函数； 当01a <<时，x y a =在R 上是减函数． 3．x y a =(0a >且1a ≠)的图像特征： 当1>a 时，图象像一撇，过点()0,1， 且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴． 4．x y a =与x a y -=的图象关于y 轴对称． （二）对数函数的图象和性质 1．)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+ R ，值域为R ． 2．)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性： 当1>a 时，在()+∞,0单增， 当01a <<时，在()+∞,0单减． 3．)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征： 当1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴． 4．b a log 的符号规律（同正异负法则）： 给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与b 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与b 的范围分处两个区间，则对数值小于零． 5．log a y x =与x y a 1log =的图像关于x 轴对称． 6．指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数． （1）互为反函数的图像关于直线x y =对称 （2）互为反函数的定义域和值域相反 （3）一般地，函数)(x f y =的反函数用)(1 x f y -=表示，若点),(b a 在) (x f y =的图像上，则点),(a b 在)(1x f y -=的图像上，即若b a f =)(，则a b f =-)(1 ． （4）求反函数的步骤：①反解，用y 表示x ； ②求原函数的值域； ③x 与y 互换， 并标明定义域． 二．训练题目 （一）选择题 1．设0a >（ ）
对数的发明
类型：研究性学习课题（数学）课题负责人： 成员： 指导老师： 班级： 完成时间：
1、对数发明的背景 16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。 德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即 sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 , cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 . 大大简化了三角函数连乘的计算。比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了： sin67°34'×sin9°3' ＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3') ＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2 ＝[0.52225052-0.23146492]/2 ＝0.14539280 这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sin β=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大于1的数可用小于1的数乘上10n表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。 但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。 2、对数产生的前奏 请你观察下面两个数列,并找出规律: 1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096，8192，16384?? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12， 13， 14?? 德国数学家Stifel (1487～1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为
对数函数题型总结
对数函数题型总结： 类型1：（求对数函数定义域与值域）1.N > 0 2. a > 0且 不= 1 例1、求下列函数的定义域： （1） （2）（3） 变式练习1. 求下列函数的定义域： （1）（2） （3）（4） 1. 函数 212 log (617) y x x =-+的值域是________ 2. 设1a >，函数 ()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1 2，则a =___________ 3. 函数 ()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为___________ 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．： (1) (2) ： 变式2： 求下列各式中x 的值： (3)lg100=x (4) 类型三、利用对数恒等式化简求值：恒等式 例3 ．求值： 变式3：求的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0) 类型四、积、商、幂的对数 ① log a (MN)＝___________________________；② log a ＝____________________________； ③ log a M n ＝(n ∈R). 例4．已知lg2=a ，lg3=b ，用a 、b 表示下列各式. (1)lg9 ((2)lg64 (3)lg6(4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 【变式4】求值(1) N M 2 a y log x =a y log (4x) =-2 (3x)y log x -=5y log (1x)=-21y log x = 7 1 y log 13x = -y =
【高考数学】对数平均不等式
对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b ab a b +->>-其中ln ln a b a b --被称为对数平均数 2.几何解释： 反比例函数 ()()1 0f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,,T ab ab ? ? ? ?? 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 因为 ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以 ()12 ln ln ,b a dx b a b a x a b =->-+ò ① 又1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， ( ) 11 111 222 AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷ ?=+-= ?÷?÷ ?桫梯形梯形， 根据右图可知， AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b a b a ab --< ， ②
另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得： ()()()11111 ln ln ,2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 ③ 综上，结合重要不等式可知： ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+，即 ()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 等价变形： )0.() (2ln ln >≥+-≥ -b a b a b a b a )0.(ln ln >≥-≤ -b a a b b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a -> >>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小，并加以证明． 解析 （3）因为()1x g x x = +， 所以()()()121111223 123 1n g g g n n n n ?? +++= +++ =-+++ ?++?? ， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小，即只 需比较 1 13121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时， ln ln b a b b a -> -，即()1ln ln , b a b a b -<-