高考压轴题中的对数平均不等式链
高考又见对数平均数 在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问,实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解,无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。 对于a>b>0,我们把 b a b a ln ln --称作a 与 b 的对数平均数,并且有: 算术平均数>对数平均数>几何平均数,即: 2b a +>b a b a ln ln -->a b 证明方法Ⅰ(几何证明):如图,分别过A(a,0)、B(b,0)、C( 2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线,与函数y=x 1 交于F 、G 、E 、H 四点,过E 作函数的切线,分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。 比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2,得S 1>S 2,其中: S 1=?a b dx x 1 =ln a-ln b ,
S 2= 2AN BM +?AB=CE ?AB=b a +2 ?(a-b) ∴ ln a-ln b>b a +2 ?(a-b) 即:2b a +>b a b a ln ln --……① 比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4,得S 3>S 4,其中: S 3=21 (GB+HD)?BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=ab b a 2- S 4=?ab b dx x 1=ln ab -ln b= 2ln ln b a +-ln b=2 ln ln b a - ∴ ab b a 2->2ln ln b a - 即: b a b a ln ln -->a b ……② 综合①②,得:2b a +>b a b a ln ln -->a b (a>b>0) 证明方法Ⅱ(函数证明): 令f(x)= 2ln x +1 2 +x -1 (x>1),则有: f`(x)=x 21 -2 )1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0,即: 2ln x +1 2 +x -1>0, 令x=b a ,代入整理得: 2ln ln b a ->b a b a +- 即:2b a +>b a b a ln ln --……① 令g(x)=x-2?ln x-x 1 (x>1),则有: g`(x)=1-x 2+21x =22 )1(x x ->0 ∴ g(x)>g(1)=0,即x-2?ln x-x 1 >0, 令x= b a ,代入整理得:ab b a ->ln a-ln b
对数平均不等式 1.定义:设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释: 反比例函数()()10f x x x =>的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||, MN CD x ||||轴, (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 变形公式: )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. (一) ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 (2014年陕西)设函数 )1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小,并加以证明. . (二) ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例 2 设数列{} n a 的通项n a =,其前n 项的和为n S ,证明:()ln 1n S n <+.
(三) ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ,证明:()ln 21n a n <+. (四) ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用 例4. (2010年湖北)已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-.(1)用a 表示出,b c ;(2)(略) (3)证明:()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L (五) )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用 例5. (2014福建预赛)已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+. (1)(略) (2)求证:()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立. 强化训练 1. (2012年天津)已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0. (1)(2)(略)(3)证明:()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.(2013年新课标Ⅰ)已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+.
对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出,其压轴题的理论背景是: 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b ab a b +->>-,其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数,借助于导数证明了对数平均数的上述不等式,难度较大,为此,我作了深入地 探讨,给出对数平均数的不等关系的几何解释,形象直观,易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||,MN CD x ||||轴,(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,,T ab ab ?? ???作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形, 所以 ()12 ln ln ,b a dx b a b a x a b =->-+ò ① 又1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形, ()11 ln ln 22ABQP b a S = -=曲边梯形, () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形,
根据右图可知,AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ,所以ln ln b a b a ab --<, ② 另外,ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形,可得: ()()()11111 ln ln ,2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 ③ 综上,结合重要不等式可知: ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+, 即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. 2.1 ()0ln ln b a b a a b a -> >>-的应用 例1(2014年陕西)设函数)1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小,并加以证明. 解析(3)因为()1x g x x = +, 所以()()()121111223123 1n g g g n n n n ??+++= +++=-+++ ?++?? , 而()()ln 1n f n n n -=-+,因此,比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小,即只需比较 1 1 3121++++n 与()ln 1n +的大小即可. 根据0b a >>时,ln ln b a b b a ->-,即()1ln ln , b a b a b -<- 令,1,a n b n = =+则 ()1 ln 1ln ,1 n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=,1ln 3ln 23<-,1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+ ,
第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 【考试要求】(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考题分类】 (一)选择题(共15题) 1.(安徽卷文7)设 232555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾,选D 。 3.(辽宁卷文10)设525b m ==,且112a b +=,则m = (A (B )10 (C )20 (D )100 【答案】 D
解析:选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.(全国Ⅰ卷理8文10)设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a>,所以a=>,所以c,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 1b a = ,所以a+2b=2 a a + 又0f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.(全国Ⅰ卷文7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处.
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对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出,其压轴题的理论背景是: 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数,借助于导数证明了对数平均数的上述不等式,难度较大,为此,我作了深入地 探讨,给出对数平均数的不等关系的几何解释,形象直观,易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||,MN CD x ||||轴, () ,0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???, ,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 因为ABNM ABQP ABFE S S S 矩形曲边梯形梯形, 所以 1 2ln ln ,b a dx b a b a x a b ① 又1ln ln ab AUTP a S dx ab a x 曲边梯形, 1 1 ln ln 2 2 ABQP b a S 曲边梯形, 1111 222 AUTP ABCD S ab a S a ab ab 梯形梯形,
根据右图可知, AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ,所以ln ln b a ab , ② 另外,ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形,可得: 11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a ③ 综上,结合重要不等式可知: 211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a ab , 即20112 ln ln a b b a b ab a b a b a a b . ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. 2.1 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1,,(2014年陕西)设函数)1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小,并加以证明. 解析,,(3)因为()1x g x x =+, 所以()()()121111223 123 1n g g g n n n n ?? ++ += +++ =-+++ ?++?? , 而()()ln 1n f n n n -=-+,因此,比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小,即只需比较 1 13121++++n 与()ln 1n +的大小即可. 根据0b a 时, ln ln b a b b a ,即1ln ln , b a b a b 令,1,a n b n 则 1 ln 1 ln ,1 n n n 所以 1ln 2ln1ln 22<-=,1 ln 3ln 23 <-,1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+,
对 数平均不等式 1.定义:设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释: 反比例函数()()10f x x x = >的图象,如图所示,AP BC TU KV ||||||,MN CD x |||| 轴, (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与 ,AP BQ 交于,E F ,根据左图可知, 变形公式: )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的. (一) ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 (2014年陕西)设函数 )1ln()(x x f +=,()()g x xf x '=,其中()f x '是)(x f 的导函数. (1)(2)(略) (3)设+∈N n ,比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小,并加以证明. . (二)()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例2 设数列{} n a 的通项n a =,其前n 项的和为n S ,证明:()ln 1n S n <+. (三) ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用