对数平均不等式

对数平均不等式

引申：已知a>b>0,求证：ab b

a b

a b a >-->

+ln ln 2

对数平均值的不等式链：

对数平均不等式灵活变形：

()1

21212122ln ln ,01x x x x x x x x +->

->>求证：、已知

2、1

22

1ln ,0+>+>x x x x 求证：

已知

被称之对数平均值）

其中

b a b

a ln ln (-

-

3、a

x a x x a a x )

2(2ln )ln(,20->

--<<求证：已知

4、2

11221212)

(2)1ln()1ln(,10x x x x x x x x --->---<<<求证：

已知

5、2

11212

12ln ,0x x x x x x x x -<>>求证：已知

6、x

x x x x x 1

ln 1)121-<<+->（，求证：若

1)

1ln()1ln(171212121

212+++>+-+-->>x x x x x x x x x x ，求证：、若

2

12

12

21221122ln ln 1,08x x x x x x x x x x -<

-<->>求证：、已知

9、2

1

2121

21

2122,x x x x x x e x x e e e e x x +>-->+>求证：若

对数平均不等式的应用： 1、设函数

()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.

设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明.

2、已知函数的最小值为0，其中

证明（）

{})

1ln(,1)1(1

3+<++=n S S n n n a a n n

n n 证明：项的和为其前的通项公式、设数列

)ln()(a x x x f +-=.0>a ∑

=<+--n

i n i 1

2)12ln(1

22

*N n ∈

()线”，请说明理由

是否存在“中值相依切试问函数”。）存在“中值相依切线则称函数处的切线平行于直线在点曲线使得：

（上存在点如果在曲线上的不同两点。

为曲线设的图像为曲线、记函数)0,()1(2

1

ln )((,)2(;2

1),),(),,(,)(422

100,02211≠∈-+-=+=a R a x a ax x x f x H AB M C x x x y x M C C y x B y x A C x H

请说明理由。

的横坐标；若不存在，切线平行？若存在求出处的

在处的切线与在使得试问是否存在点，于点的垂线分别交作的中点过线段，交于的图像与函数的图像设函数、已知函数R N C M C R N M C C x R PQ Q P C x g C x f a bx ax x g x x f 2121212

,,,,)()(),0(2

1)(,ln )(5≠+=

=

)12ln(1)

2(n n +1)+(n ㏑,131211}{6+<<+++++

=n a n a a n n n 证明：的通项公式、设数列Λ

2ln 41

,131211}{72>+-++++=n

a a n a a n n n n 证明：的通项公式、设数列Λ

8、4

)

12ln(:,,141}{2

+>-+=n S S n n n a a n n n n 求证项的和为前的通项公式已知数列

9、设函数)0()1()(>+-=x b x ax x f n

，n 为正整数，a,b 为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.

（1）求a,b 的值；（2）求函数f(x)的最大值；（3）证明：f(x)< 1

ne

.

10、a x x x x ax ax e x g x

2ln 2

.,)(2

1212<+--=证明：恰有两个不同的极值点如果

0)2

(

,0,,)()2().

()(200)1(ln )2()(112

121212>+'<<<-<<>---=x x f x x x x x f x f x a f a

x a x

a x a x x f 证明：且有两个零点若函数时，，证明：当设、已知函数

)(2)1()(,)(12212121<'<+-=x x f a x x x x a ax e x f x ）证明：的取值范围；（求有两个零点、已知函数

13、已知函数f （x ）=x

e x 2

1x 1+-.证明：当f （x 1）=f （x 2）(x 1≠x 2)时，x 1+x 2＜0.

对数平均不等式学生

对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） ()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例 2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．

（三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ，证明：()ln 21n a n <+． （四） ()2011ln ln b a b a b a a b ->>>-+的应用 例4. （2010年湖北）已知函数()()0b f x ax c a x =++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()() ()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L （五） )0ln ln b a b a b a ->>>-的应用 例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =++ +-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414 n n n +++++>+?-?-?-?-L 对一切正整数n 均成立． 强化训练 1. （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0． （1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21 n i n n N i =-+<∈-∑ 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x x λ+=+-+．

对数平均数的不等式链的几何解释及应用

对数平均数的不等式链的几何解释及应用 [文档副标题] [日期] [公司名称] [公司地址]

对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是： 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地 探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴， () ,0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???, ,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 因为ABNM ABQP ABFE S S S 矩形曲边梯形梯形， 所以 1 2ln ln ,b a dx b a b a x a b ① 又1ln ln ab AUTP a S dx ab a x 曲边梯形， 1 1 ln ln 2 2 ABQP b a S 曲边梯形， 1111 222 AUTP ABCD S ab a S a ab ab 梯形梯形，

根据右图可知， AUTP AUTP S S 曲边梯形梯形 ，所以ln ln b a ab ， ② 另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S 矩形矩形曲边梯形梯形，可得： 11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a ③ 综上，结合重要不等式可知： 211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a ab ， 即20112 ln ln a b b a b ab a b a b a a b . ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． 2.1 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1,,（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小，并加以证明． 解析,,（3）因为()1x g x x =+， 所以()()()121111223 123 1n g g g n n n n ?? ++ += +++ =-+++ ?++?? ， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，即只需比较 1 13121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a 时， ln ln b a b b a ，即1ln ln , b a b a b 令,1,a n b n 则 1 ln 1 ln ,1 n n n 所以 1ln 2ln1ln 22<-=，1 ln 3ln 23 <-，1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+，

对数平均数的不等式链的几何解释及应用

对数平均数的不等式链的几何解释及应用 中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是： 设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b ab a b +->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数. 童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地 探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解. 1 对数平均数的不等关系的几何解释 反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,,T ab ab ?? ???作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形， 所以 ()12 ln ln ,b a dx b a b a x a b =->-+ò ① 又1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形， ()11 ln ln 22ABQP b a S = -=曲边梯形， () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形，

根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b a b a ab --<， ② 另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得： ()()()11111 ln ln ,2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 ③ 综上，结合重要不等式可知： ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+， 即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 不等式链的应用 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． 2.1 ()0ln ln b a b a a b a -> >>-的应用 例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明． 解析（3）因为()1x g x x = +， 所以()()()121111223123 1n g g g n n n n ??+++= +++=-+++ ?++?? ， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，即只需比较 1 1 3121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln , b a b a b -<- 令,1,a n b n = =+则 ()1 ln 1ln ,1 n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1 , ln(1)ln 1 n n n <+-+ ，

对数平均不等式 - 学生

对 数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x = >的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x |||| 轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与 ,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） ()0ln ln b a b a a b a ->>>-的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明． . （二）()0ln ln b a b a b a ->>-的应用 例2 设数列{} n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） ()02ln ln a b b a b a b a +->>>-的应用

(完整版)极值点偏移问题专题——对数平均不等式

极值点偏移——对数平均不等式（本质回归） 笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链： ， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且 ，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为． 先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设 ，则， ，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平 ，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试． 证法2（比值代换） 令，则 ，构造函数可证． 证法3（主元法） 不妨设 ， 1 1 1ln 2e e 2ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a ---??-+?? < <<<<< ? ?+ -?? ??a b a b ≠ln ln a b a b --a b ln ln 2 a b a b a b -+< -()()(),,,G a b L a b A a b <<0 ln ln a b R a b -= >-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1k f x x '= -()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<< 2 2a b k ab k +>??()()11ln ln 2ln 2 b t b t a b a b a b t -+-+<

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究 中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设0b a >>，则211 2ln ln a b b a b ab a b a a b +-> >>> >-+，其中 ln ln a b a b --被称为“对数 平均数”. 安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解. 1 对数平均数不等式链的几何证明 如图，先画反比例函数()()1 0f x x x = >的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,1,T ab ab ?? ? ? ?.设函数()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知： 因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形， 所以 ()12 ln ln b a dx b a b a x a b =->-+ò . ① 因为1 ln ln ab AUTP a S dx ab a x = =-ò 曲边梯形()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， () 11111 222AUTP ABCD b a S ab a S a ab ab 骣-÷?=+ -=?÷?÷?桫梯形梯形，

而根据右图可知：AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形，所以ln ln b a b a ab --<. ② 另外，根据ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得： ()()()11111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a 骣÷?-<-<+-<-÷?÷?桫 . ③ 综上，结合重要不等式可知： ()()()()211111 ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab 骣--÷?-<<-<<+-<-÷?÷?桫+， 即()2011 2ln ln a b b a b ab a b a b a a b +-> >>> >>>-+. ④ 2 对数平均数不等式链的变式探究 近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的. 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 2ln ln a b b a b a +->-，记为①式；将ln ln b a ab b a -> -，记为②式；将2 11 ln ln b a b b a a b -> >-+，记为③式. 变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知： 1221 21 2ln ln +-> -x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：212112 2()ln ln --> +x x x x x x . 变式探究2：取12,a x b x ==，则由②知： 21 1221 ln ln ->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知 210>>x x ，求证：21 2112 ln ln --< x x x x x x . 变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112 2 11 ln ln -> > -+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22 12121212 1ln ln 2--<-< x x x x x x x x .

极值点偏移问题专题(五)——对数平均不等式(本质回归)

极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链： 1 1 1 ln 2 e e 2 ln b a b a a a b b ab ab b a b a b a b a b b b a a a - - - ?? -+ ?? <<<<<< ? ? +- ???? ， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数a，b，且a b≠，定义 ln ln a b a b - - 为a，b的对数平均值，且 ln ln2 a b a b a b -+ << - ，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为 ()()() ,,, G a b L a b A a b <<． 先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造）设0 ln ln a b R a b - => - ，则l n l n k a k b a b -=-， ln ln k a a k b b -=-，构造函数()ln f x k x x =-，则()() f a f b =．由()1 k f x x '=-得 ()0 f k '=，且() f x在() 0,k 上，在() ,k+∞ 上，x k =为() f x的极大值点．对数 平均不等式即 2 a b k + <，等价于 2 2 a b k ab k +> ? ?< ? ，这是两个常规的极值点偏移问题， 留给读者尝试． 证法2（比值代换）令1 a t b => ，则 ()() 11 ln ln2ln2 b t b t a b a b a b t -+ -+ <，

对数平均不等式在极值点偏移中应用

对数平均不等式的典型应用 极值点偏移问题的母题 对数、指数平均不等式与高考中的一类热点 ，即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系，利用对数与 指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下 . ［母题结构］:(I )(对数模型)设P(X 1 ,y 1 ) > Q(X 2 ,y 2 )是函数f(x)=mlnx+ax 2+bx+c(m 工0)图像上的任意两点，则当m>0 时，f ( △ 丝)k PQ ； 2 2 X +ax 2+bx+c(m ^ 0)图像上的任意两点，则当m>0时，「(空 竺)0 时，f I X1;X 2 )vk PQ 当 mv0 时，超X 12X 2)>k PQ ; f ( X 12X 2 g 当 mv0 时，f (X 12X 2) >k P 。 1. 对数模型 子题类型I ：(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2+(2-a)x. (I )讨论f(x)的单调性； 1 1 1 (n )设 a>0,证明：当 0f( — -x); a a a (山)若函数y=f(x)的图像与x 轴交于A,B 两点，线段AB 中点的横坐标为X o ,证明: 在(0,+ 3)上递增；②当a>0时,f(x)在(0, 1)上递增，在(丄,+ 3)递减; a 1 1 (n )令 g(x)=f( +x)-f( -x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a — — 1 1 增二 g(x)>g(0)=0 二 f( - +x)>f( --x); a a (山)设 A(X 1,0),B(x 2,0),贝U k AB =0,由「(丝 三)k PQ . (I )由 f(x)=mlnx+ax 2+bx+c=. f (x)= m +2ax+b 二 f (亠竺)==+a(x 1+x?+b;又由 k PQ = f(x)」匈= x 2 X 1 - X 2 )=m( ln X 1」nx 2 x 1 亠x 2 X -X 2 +a(x 1+xd+b =. k pQ - f ( t X 2 )=m( ln —nX 2 - 2 ),由对数平均不等式：a 巾? a -b X ［ -X 2 ■ 2 x^ -X 2 为亠 X 2 ln x 1 _lnx 2 > X 1 丸 (n )由 f(x)=me X +ax 2 +bx+c - f (x)=me X +2ax+b - f ( X 1 ' x 2 )=me 2 2 +a(X i +X 2)+b;又由 X 1 X 2 X 1 X 2 1 a(x 1+X 2)+b =. k p? f ( x ^ )=m( e —-e 2 ),由指数平均不等式： 2 为7 e a _e b a _b >e a ：；b —二 k PQ =f (x 1)-f (x 2)=m.e X1-e X 2 + X ［ —X 2 X 1 X 2 X 1 佻 >e_ X 1 -X 2 =当m>0时, X 1 -,-x 2 f (x o )0 =f(x) +亠-2a=空爲 1 -ax 1 _a 2x 2 —— 1 >0= g(x )在［0, 一 )上递 a

利用对数平均数解导数压轴题例谈

利用对数平均数破解导数压轴题例谈 广东佛山顺德莘村中学陈万寿2018.10.11 定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln b a b a b a ab +<--<，其中ln ln a b a b --被称为对数平均数.（为了叙述方便，这个不等式链后面我简称对均不等式）这个不等式链巧妙地将基本不等式的算术平均数、几何平均数结合在一起，给解决高考导数压轴题提供很大的便利。据我不完全统计，高考可以利用对均不等式这个工具解决导数的压轴题有2010年湖北高考题、2010年天津高考理科导数解答题、2011年辽宁高考导数解答题、2012年天津高考导数解答题、2013年新课标卷I 卷、2014年陕西高考导数解答题等等。可见这个不等式确实非常好用。值得注意的是对数平均数必须先证再用。故而读者需熟系对均不等式的证法原理方能熟练应用。 对均不等式证明如下： 不妨设0a b >> ln ln a b a b -<-，即证a b b a b a -，设1()2ln (1)f t t t t t =-+>，则0)1(112)(22 2<+-=--='t t t t t f ，所以()f t 在),1(+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1 ()2ln 0f t t t t =-+<恒成立，即a b b a b a -，2(1)g()ln (1)1 t t t t t -=->+，则0)1()1()1(41)(2 2 2>+-=+-='t t t t t t g ，所以g()t 在),1(+∞递增，而g(1)0=，因此当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+恒成立，即ln ln 2 a b a b a b -+<-成立．该不等式本身的证明乃通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得，当然也可以通过导数的几何意义等来证明（曲边梯形的不定积分，限于篇幅在此讨论）．在处理某些与指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析． 简单拓展：设,0b a <<则.2 112 22b a b a a b ab b a a +<+<--<<+<例1（2010年天津高考理科21题）已知函数()()x f x xe x R -=∈．

对数平均不等式

对数平均不等式 引申：已知a>b>0,求证：ab b a b a b a >--> +ln ln 2 对数平均值的不等式链： 对数平均不等式灵活变形： ()1 21212122ln ln ,01x x x x x x x x +-> ->>求证：、已知 2、1 22 1ln ,0+>+>x x x x 求证： 已知 被称之对数平均值） 其中 b a b a ln ln (- -

3、a x a x x a a x ) 2(2ln )ln(,20-> --<<求证：已知 4、2 11221212) (2)1ln()1ln(,10x x x x x x x x --->---<<<求证： 已知 5、2 11212 12ln ,0x x x x x x x x -<>>求证：已知 6、x x x x x x 1 ln 1)121-<<+->（，求证：若 1) 1ln()1ln(171212121 212+++>+-+-->>x x x x x x x x x x ，求证：、若 2 12 12 21221122ln ln 1,08x x x x x x x x x x -< -<->>求证：、已知 9、2 1 2121 21 2122,x x x x x x e x x e e e e x x +>-->+>求证：若

对数平均不等式的应用： 1、设函数 ()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数. 设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++L 与()n f n -的大小，并加以证明. 2、已知函数的最小值为0，其中 证明（） {}) 1ln(,1)1(1 3+<++=n S S n n n a a n n n n 证明：项的和为其前的通项公式、设数列 )ln()(a x x x f +-=.0>a ∑ =<+--n i n i 1 2)12ln(1 22 *N n ∈

对数平均不等式学生

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对 数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()10f x x x =>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||， MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ???,,T 作()f x 在点 2,2a b K a b +?? ?+?? 处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1 （2014年陕西）设函数 )1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明． . （二）220ln ln b b a b a b a 的应用 例2 设数列{}n a 的通项(n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） 02ln ln a b b a b a b a 的应用 例3. 设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：()ln 21n a n <+．

3直击高考之对数平均不等式

第三篇：对数平均数不等式 高考相关：高考中很多题都是以对数平均不等式为背景，变形出题的，重要性毋庸置疑！ 例（2018全国Ⅰ卷理21）（12分）已知函数1 ()ln f x x a x x = -+. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明： () 1212 ()2f x f x a x x -<-- 解： ⑴函数的定义域为()0,+∞ ()222 11 '1a x ax f x x x x -+-=--+= 24a ?=- ① 当22a -≤≤时，()'0f x ≤,()f x 在 ()0,+∞单调递减； ② 当2a >时， ()'0f x = ，1222 a a x x +== ，120x x << ()f x 在0,2a ??- ? ??? 和2a ??+∞ ? ??? 上单调递减，在,22a a ?+????? 上单 调递增； ③ 当2a <-时，120x x <<，()f x 在 ()0,+∞单调递减. 综上所述：2a ≤时，()f x 在 ()0,+∞单调递减； 2a >时，()f x 在0,2a ? ??? 和2a ??++∞ ? ???上单调递减， 在,22a a ?+????? 上单调递增. ⑵ ()f x 存在两个极值点12,x x ，由⑴知2a > 12x x a +=，121x x =

()() 2111222112121221121212 11 ln ln ln ln ()x x x a x x a x x x a x x f x f x x x x x x x x x x x --+-+-+-+--== --- 12 12 ln ln 2x x a x x -=-- 要证()1212()2f x f x a x x -<--，即证1212 ln ln 1x x x x -<- 方法一： 12 12 ln ln 1x x x x -<=- 12 12 ln ln 1x x x x -<-得证. 方法二：12x x a +=，121x x =，2a >，不妨设212 a x > > 将121 x x = 代入 1212 ln ln 1x x x x -<-得， 2 22 2ln 1 1x x x -<-， 22212ln x x x ->-，222 12ln 0x x x +-< 证1212 ln ln 1x x x x -<-，即证2 221 2ln 0x x x +-< 令()()12ln ,1g x x x x x =-+>，那么()()2222212121'1x x x g x x x x x ---+-=--== 0x >时，()'0g x <，()g x 在()+∞1，上单调递减, ()()21g x g <， ()2222 1 2ln g x x x x =+ -，()12ln1110g =+-= 222 1 2ln 0x x x + -<得证.

对数平均不等式学生

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对数平均不等式 1.定义：设,0,,a b a b >≠ 则2ln ln a b a b a b +->>-ln ln a b a b -- 为对数平均数. 2.几何解释： 反比例函数()()1 0f x x x =>的图象，如图所示， AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ?? ???()1,0,,B b Q b b ?? ??? ,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +?? ?+??处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知， 变形公式： )0.()(2ln ln >≥+-≥ -b a b a b a b a 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n ++ +与()n f n -的大小，并加以证明． . （二） 220ln ln b b a b a b a 的应用 例 2 设数 列{}n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：

对数平均不等式

对数平均不等式 定义：设b a b a ≠>>,0,0，则ab b a b a b a >-->+ ln ln 2，其中b a b a ln ln --为对数 平均数。 几何解释：反比例函数)0(1)(>=x x x f 的图像如图所示，y KV TU BC AP ////////轴， x CD MN ////轴，)1 , (),1,(),0,(),1,(),0,(ab ab T b b Q b B a a P a A ，作)(x f 在点) 2,2(b a b a K ++ 处的切线分别于AP ，BQ 交于E ，F ，易得ab b a b a b a >-->+ln ln 2 变形公式： )0.() (2ln ln >≥+-≥ -b a b a b a b a )0.(ln ln >≥-≤ -b a a b b a b a 20112 ln ln a b b a b ab a b a b a a b 3.典例剖析 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理

选取其中一个达到不等式证明的目的． （一） 0ln ln b a b a a b a 的应用 例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数． （1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明． （二） 2 2 0ln ln b b a b a b a 的应用 例 2 设数列{}n a 的通项(n a = ，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+． （三） 02 ln ln a b b a b a b a 的应用 例3. 设数列{}n a 的通项n a n 1 ...31211++++=，证明：()ln 21n a n <+． （四） 2011ln ln b a b a b a a b 的应用 例4. （2010年湖北）已知函数0b f x ax c a x 的图象在点1,1f 处的切线 方程为1y x ．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：1111 ln 1 1.2321 n n n n n （五） 0ln ln b a ab b a b a 的应用 例 5. （2014福建预赛）已知1 ()ln(1)311 f x a x x x =++ +-+。求证：()222 2 234 11 ln 21411421431 414 n n n +++++ >+?-?-?-?-对一切正整数n 均成立。