《微积分》 课程教案(十六)
课题:第四章 不定积分
§4.1-§4.2不定积分的概念、法则与基本公式 课时:2 周次:11
授课日期:
地点:
授课方式及手段:课堂讲授
教学目标:掌握不定积分的概念、法则,能根据法则、概念与公式求不定积分
教学重难
点:不定积分的概念及不定积分的简单运算 教学过程与内容:
一.不定积分的概念与基本运算法则 1. 引入新课
(1)启发学生回答下列问题: 1)()'
2x = 2)(
)
'
x =
(2)教师指出:()'
22,x
x =我们把2
x
叫做2x 的一个原函数
'
212x x ??
= ???
,我们把212x 叫做x 的一个原函数
同理: ()()'
F x f x =,我们把()F x 叫做()f x 的一个原函数 2. 由上面的讨论引出原函数的概念
已知函数()F x 在区间I 上可导,若()()'
F x f x =,则称函数()F x 为()f x 在区间I
上的一个原函数
例:由于()'
22x
x =,()'
2
12x
x +=,(
'
2
2x x =,----,()'
2
2x c x +=()c 为常数
因此2x 的原函数有无数多个
一般地,如果函数()f x 存在原函数()F x ,则原函数有无数多个,即
()()
()'
F x c f x +=
我们把()F x c +叫做()f x 的所有原函数(c 为常数) 例:2
x c +是2x 的所有原函数 3. 不定积分的概念
若函数()F x 为()f x 的一个原函数,则函数()f x 的所有原函数
()(),F x c c +为常数,称为函数()f x 的不定积分,记为:
()()f x dx F x c =+?
例:22xdx x c =+?,212
xdx x c =+?
,2332
xdx x c =+?
,2
42xdx x c =+?
,
4.积分与微分的关系
()'
2
222x
c x xdx x c +=?=+? ()2222
d x c x xdx x c +=?=+?
显然,它们是互逆运算
5. 先积分后微分两者作用互相抵消 例:(
)
()'
'
2
2
222xdx x c xdx x c x =+?=+=?
?
,
()()2
22d
xdx d x
c xdx =+=?
一般地:()()
()'
f x dx f x =?
(
)()(
)d f x
d x f
x d x
=?
6. 先微分后积分,则两者作用抵消后加上一个常数c 例:()'
222x dx xdx x c ==+??
()2
2
2d x xdx x
c ==+??
一般地: ()()'
F x dx F x c =+?
()()dF x F x c =+?
7.讲例题
例4:()152p 填空题
函数的一个原函数
分析:这是求被积函数的问题,由于
()()f x dx F x c =+?,因此()()'
F x f x =
解:('
'
== 例5. ()152p 解:()
略
例6. 例7 例8 例9 学生练习:190p 19,()()()()1,2,3,4
补充:(1)函数()21F x x =+是哪个函数的原函数,()()
2f x x = (2)函数()f x ex =的一个原函数是
---------
(3)函数()cos f x x =的所有原函数是-------------- 8.不定积分运算法则
()u v dx udx vdx ±=±??? (),kvdx k vdx k =??为常数
小结:(1)原函数的概念 (2)不定积分的概念 (3)微分与积分为互逆运算 (4)运算法则
二.不定积分基本公式
1. 师生讨论,由导数的运算得出积分基本公式 (1)()1
1,11
x dx x c α
ααα+=
+≠-+?
(幂函数) ()'
11x x x dx x c αααααα--=?=+?111
1
x dx x dx x c ααααα
α
--?==
+??
()()()()'
1111
11111
x x
x dx x c x dx x c x dx x c αα
αααααααααα++++=+?+=+?+=+?=
++??? 例:1)112
11112xdx x c x c +=+=++?
2
21311213
x dx x c x c +=
+=++?
3
4
14x dx x c =
+? 4
515
x dx x c =+?
―――――――――――
2)
221121121dx x dx x c x c x --+-==+=-+-+?? 3
3123111312dx x dx x c x c x --+-==
+=-+-+?? 4
4134111413
dx x dx x c x c x --+-==
+=-+-+?? ――――――――――――
3)
1
1312
2
2
1213
12x dx x
c x c +==
+=++?
11413
3
3
1314
13x dx x
c x c +==
+=++?
115
14
4
41415
14
x dx x
c x c +==
+=++?
―――――――――――――――――――
特例:0
0,x dx dx x c α===+??
1
1
1,ln x dx dx x c x α-=-=
=+?? (2)()()11
ln ',0ln x x dx x c x x =>?=+?,
()()()''
11ln ,0x x x x x -=-=???-()1ln dx x c x ?=-+?
即:1
ln dx x c x
=+?
(3)(),0,1ln x
x
a a dx c a a a
=+>≠? (指数函数) ()
()'
'1ln ln x
x x x a a a a a a =?='
ln x x a a a ???= ???
ln x x
a a dx c a ?=+?
例: 22ln 2
x
x
dx c =+?
33ln 3
x
x
dx c =+?
44ln 4
x
x
dx c =+?
1112212ln 2ln 2x x
x dx c c ???? ? ?
??????=+=+ ?-???? ?
??
?
――――――――――――――――――
特例:x x
e dx e c =+?
(4)cos sin xdx x c =+?
(三角函数)
()
'
sin cos cos sin x x xdx x c =?=+?
sin cos xdx x c =-+? 2
sec tan xdx x c =+? 2
csc
cot xdx x c =-+?
(5
)
arcsin x c =+ (反三角函数)
21
arctan 1dx x c x =++?
例:
41147
3
3
3
334713
x x x dx x dx c x c +=?==+=++???
()
()5555ln5ln51
x
x x
x
x x
e e e dx e dx c c e ==
+=++?? ()3
341
2122
x x x x
e dx x dx dx e dx x x e c +-=+-=+-+????
()111
e
x e e x e
x
e e dx x e e x c e +-+=
-+++? ()()()2221
22222211111arctan 12111x x dx dx dx x x c x x x x x x -++-??==-=-+ ?+-+++?????
arctan x x c =--+
()222
tan sec 1sec tan xdx x dx xdx dx x x c =-=-=-+????
例 已知
()()2
1ln ,2
f x dx x c f x dx =
+?
?求 解:()'
21ln 2x c x f x x ??
+=?= ???
令ln u
u x e x =?=
()()u x f u e f x e ∴=?= , 即()x x f x dx e dx e c ==+?? 课后练习:习题四 159p 4.01(1)(2)(3)(4) 4.02(2)(4)(6) 阅读参考书目:
教学小结:主要内容是不定积分的概念、公式与不定积分的简单运算
基本公式1.1
0111ln dx c
dx x c x x c dx x c x ααα+?=??=+??
?=+?+?
?=+??
???? (幂)
2.1ln x x x x a dx a c a e dx e c ?=+???=+?
?? (a >0,a ≠1) (指) 3.2
2
sin cos cos sin sec tan csc cot xdx x c xdx x c xdx x c xdx x c ?=-+??=+??=+??=-+???
???
(三角)
4.2arcsin 1arctan 1x c dx x c x ?
=+??
??=+?+?? (反三角)
《微积分》 课程教案(十七)
课题:第四章 不定积分 §4.3 凑微分 课时:2 周次:12
授课日期:
地点:
授课方式及手段:课堂讲授 教学目标:掌握凑微分的方法 教学重难点:凑微分的方法 教学过程与内容:
三.凑微分 ⒈引言
为求解不定积分的需要,我们再来讨论微分的逆运算 ⒉由微分的逆运算引出概念 例: ∵()()'
11d x x dx dx +=+=
反过来:()()'
11dx x dx d x =+=+, 即()()'dx f x dx df x ==
由此得出凑微分的概念:把一个函数的导数与自变量的微分的乘积,变成这个函数的微分的方法叫做凑微分
⒊引例:
(1)()()'
11dx x dx d x =+=+ ()()'22dx x dx d x =+=+ ()()'11dx x dx d x =-=-
(('
dx x dx d x ==
―――――――――――――
()()()'dx x c dx d x c dx d x c =+=+?=+ (c 为常数)
(2)()()'
11212122dx x d x =
+=+ ()1
313
dx d x =+
――――――――――――― 一般地 ()1
dx d kx c k
=
+,()0k ≠
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题. 2.考查简单定积分的求解. 3.考查曲边梯形面积的求解. 4.与几何概型相结合考查. 1.定积分 (1)定积分的相关概念:在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式. (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分). ②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所 示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质:①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t,则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等? 提示:相等. 2.一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗? 提示:一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 3.定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么? 提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积. 2.微积分基本定理:如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)| b a,即∫b a f(x)d x=F(x) |b a=F(b)-F(a). 课前预测: 1.∫421 x d x等于( ) A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 21-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
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