解三角形专题练习
1、在b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ?
?=- ??
?,且//m n 。
(I )求锐角B 的大小;
(II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。
2、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值;
(II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值.
3、在ABC ?中,cos 5A =
,cos 10
B =. (Ⅰ)求角
C ;
(Ⅱ)设AB =,求ABC ?的面积.
4、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =u r
,
(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r
满足
(I )求A 的大小;
(II )求)sin(6π
+B 的值.
5、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当
13,4==c a ,求△ABC 的面积。
6、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a ,b ,c ,已知11tan ,tan 2
3
A B ==,且最长边的边长为l.求:
(I )角C 的大小; (II )△ABC 最短边的长.
7、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且
c o s c o s B C b
a c
=-+2. (I )求角B 的大小;
(II )若b a c =+=134,,求△ABC 的面积.
8、(2009全国卷Ⅱ文)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,
2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
,求B.
9、(2009天津卷文)在ABC ?中,A C AC BC sin 2sin ,3,5=== (Ⅰ)求AB 的值。 (Ⅱ)求)4
2sin(π
-A 的值。
1、 (1)解:m ∥n
2sinB(2cos2B
2
-1)=-3cos2B
2sinBcosB =-3cos2B tan2B =- 3
……4分
∵0<2B <π,∴2B =
2π3,∴锐角B =π
3
……2分 (2)由tan2B =- 3
B =
π3或5π
6
①当B =
π
3
时,已知b =2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac ≥2ac -ac =ac(当且仅当a =c =2时等号成立) ……3分
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB =3
4ac ≤ 3
∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1分
②当B =
5π
6
时,已知b =2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+3ac ≥2ac +3ac =(2+3)ac(当且仅当a =c =6-2时等号成立) ∴ac ≤4(2-3)
……1分
∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB =1
4ac ≤2- 3
∴△ABC 的面积最大值为2- 3
……1分
2、解:(I )由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===,
,
0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则
因此
.
31
cos =B …………6分
(II )解:由2cos ,2==?B a BC BA 可得,
,,0)(,
12,cos 2,
6,3
1
cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a =c =6
3、
(Ⅰ)解:由
cos 5A =
,cos 10B =,得02A B π??∈ ?
??、,
,所以sin sin A B =
= …… 3分
因为
cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=
…6分
且0C π<< 故.
4C π
=
………… 7分
(Ⅱ)解:
根据正弦定理得
sin sin sin sin AB AC AB B AC C B C ?=?== ………….. 10分
所以ABC ?的面积为16
sin .
2
5AB AC A ??= 4、解:(1)由
m 0cos 1sin 22
=--A A 0
1cos cos 22
=-+A A 1cos 2
1
cos -==
∴A A 或1cos ,-=
?A ABC A 的内角是Θ3π
=
∴A a
c b 3=+Θ2
3
sin 3sin sin =
=+A C B π
32=+C B Θ2
3)32sin(
sin =-+∴B B π23
)6sin(23sin 23cos 23=
+=+∴πB B B 即π
=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin 2
3
sin 0cos ,0cos 3cos sin 2=
==-C C C C C 或所以
3
,23sin ,,13,4π==
<==C C a c c a 则所以只能有3
1,034cos 22222===+-?-+=b b b b C ab b a c 或解得有.3sin 2
1
,133sin 2
1
,3=?=
==?=
=C ab S b C ab S b 时当时11tan tan 231
111tan tan 123A B A B +
+=-=-=---?0C π<<34
C π=1tan 3B
=sin B =sin sin b c B C
=
1sin sin c B
b C
?=
=a A b B c C R s i n s i n s i n ===2a R A b R B cR C ===222s i n s i n s i n ,,c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C B
A C
=-+=-
+22得20
s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++=20s i n c o s s i n ()A B B C ++=A B C B C A A B A ++=+=+=π,∴,∴sin()sin sin cos sin 20
s i n c o s A B ≠,∴,012=-B =23π
解法二:由余弦定理得
c o s c o s B a c b a c C a b c
a b =+-=
+-222222
22, 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c b
a c =-++-+-=-+2222222
222
得×
整理得a c b a c 222
+-=-
∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=-
222221
2
∵B 为三角形内角,∴
B =
2
3π
(II )将b a c B =+==1342
3,,π代入余弦定理b a c a c B 222
2=+-c o s 得
b a
c a c a c B 22
22=+--()c o s ,
∴131621123
=--=a c a c (),∴
∴S a c B A B C
△==123
43s i n .
8、解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角
理得到sinB=23
(负值舍掉),从而求出B=3π。 函数值的制约,并利用正弦定
解:由 cos (A -C )+cosB=及B=π-(A+C )得
cos (A -C )-cos (A+C )=3
2,
cosAcosC+sinAsinC -(cosAcosC -sinAsinC )=3
2,
sinAsinC=3
4.
又由2
b =a
c 及正弦定理得
2sin sin sin ,B A C = 故
23
sin 4B =
,
sin 2B =
或
sin 2B =-
(舍去),
于是 B=3π 或 B=23π
.
又由 2
b a
c =知a b ≤或c b ≤
所以 B=3π
。
9、【解析】(1)解:在ABC ? 中,根据正弦定理,A BC
C AB sin sin =
,于是522sin sin ===BC A BC
C
AB
3
2
(2)解:在ABC ? 中,根据余弦定理,得AC AB BC AC AB A ?-+=
2cos 2
22 于是
A A 2
cos 1sin -==55
, 从而
53
sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==
=A A A A A A
102
4
sin
2cos 4
cos
2sin )4
2sin(=
-=-
π
π
π
A A A
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2).
考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角 形度量问题 掌握 2017山东,9;2017浙江,14; 2017天津,15;2017北京,15; 2016课标全国Ⅱ,13; 2016天津,3;2015天津,13 选择题 填空题 ★★★ 2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关 的实际问题 掌握 2017课标全国Ⅱ,17; 2017课标全国Ⅲ,17;2017江 苏,18; 2016课标全国Ⅲ,8; 2016山东,16; 2016浙江,16; 2015湖北,13 解答题★★★ 分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识. 2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查. 3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.
2018年高考全景展示 1.【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为,,,若的面积为 ,则 A. B. C. D. 【答案】C 点睛:本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理。 2.【2018年全国卷Ⅲ文】若,则
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:由公式可得。 详解:,故答案为B. 点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题。 3.【2018年浙江卷】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2, A=60°,则sin B=___________,c=___________. 【答案】3 【解析】分析:根据正弦定理得sin B,根据余弦定理解出c. 点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 4.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角,则∠B=_________;的取值范围是_________. 【答案】 【解析】分析:根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得,可求得;再利用,将问题转化为求函数的取值范围问题. 详解:,,即,
1.(10分) 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示,BC ∥AD ,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=600 ,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决 定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过450 时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? 2. 如图,山顶建有一座铁塔,塔高CD =20m ,某人在点A 处,测得塔底C 的仰角为45o ,塔顶D 的仰角为60o ,求山高BC (精确到1m ,参考数据:2 1.41,3 1.73≈≈) 3.(10分)如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡角∠BAD= 60,坡长AB=m 320,为加强水 坝强度,将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45,求AF 的长度(结果精确到1米,参考数据: 414.12≈,732.13≈). D A B C E F G (22题图)
4.(8分)某市为缓解城市交通压力,决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6m , ∠ABC=45o ,后考虑到安全因素,将楼梯脚B 移到CB 延长线上点D 处,使0 30=∠ADC (如图所示). (1)求调整后楼梯AD 的长; (2)求BD 的长. (结果保留根号) 5.(8分)为促进我市经济快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中,需修建隧道AB. 如图,在山外一点C 测得BC 距离为20m ,∠,540=CAB ∠,300=CBA 求隧道AB 的长.(参考 数据: ,73.13,38.154tan ,59.054cos ,81.054sin 000≈≈≈≈精确到个位) 6.(8分)(2013?恩施州)“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A 处测得“香顶”N 的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D 在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B 处,测得“香顶”N 的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:, ).
解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义:设 P(x,y),记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式: 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式: 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式: si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式:① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R,证明:sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明:cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ,求cos( )的值. 2 ?若(0,—), tan 2,求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 , sin() 2,求芽的值.
3 5 6
1 2?若sin2 2,求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型:①知三个条件 (知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等 ② 知两个条件,求某个特定元素或范围; ③ 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中,若acosA bcosB ,试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形: b c a a c cosA ,其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系:在 △ ABC 中, ②若a b c ,则a b c ;③等边对等角,大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形:a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R ( R 是厶ABC 外接圆的半径). 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式: S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程:① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式:① a b si nA sin B cosA cosB .
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1