高考文科数学常考题型训练解三角形

常考题型大通关：第16题 解三角形

1、如图在ABC ?中，,33

B A

C π

=

=，D 为BC 边上一点．若AB AD =，则AD DC +的

取值范围为____________.

2、如图，在四边形ABCD 中，90BAC ∠?＝，=4=1=2BC CD AB AD ，，，AC 是BCD ∠的角平分线，则BD =__________.

3、已知ABC ?中内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，6

A π

=，712

B π

=

，2a =，则边c 为__________.

4、在ABC ?中，1a =，3,3

b B π

=

，则A =__________.

5、在ABC ?中，角A,B,C 分别为a,b,c ，若sin sin ()sin a A c C a b B =+-，则角C 的大小为___________.

6、ABC △中，若13

4sin 2cos 4,sin cos 2A B B A +=+C =________.

7、在ABC △中，已知120C =o ,2,2BC AC ==则ABC △的面积为________.

8、在锐角ABC △中,角,,A B C 所对的边为,,a b c ,若cos cos (cos 3)0A B C C +=.且1b =，则a c +的取值范围为_____.

9、在ABC △中,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知2222a b c ab +-,且sin 3sin ac B C =,则

ABC △的面积为______．

10、在ABC △中,若π,24A a =则sin sin sin a b c A B C

-+-+＝______.

11、平面四边形ABCD 中,1AB =,2BC =,AD CD =,120ADC =∠?,则BCD △面积的最大值为__________.

12、在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若a b >22sin a b A =，则

B =_____________

13、若满足条件3AB =

π

3

C =

的ABC △有两个，则边长BC 的取值范围是________.

14、已知△ABC π

3AC B ∠=,则△ABC 的周长等于__________

15、在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若cos b

A c

=

，则ABC △的形状是______(填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个)．

答案以及解析

1答案及解析：

答案：

2??

解析：易知ABD ?为等边三角形，所以2,223sin AC

ADC R ADC

π∠===∠ ∴

()2sin sin 2sin sin 2sin 33AD DC R C DAC C C C ππ?????

?+=∠+∠=∠+-∠=∠+ ? ????????

?

∵03

C π

<∠<

∴AD DC ?+∈

?

2答案及解析：

解析：

3答案及解析：

答案：解析：因为6

A π

=

，712B π=

，2a =；所以76124

C πππ

π=--=，由正弦定理可得

sin sin a c

c A C

=?=

4答案及解析： 答案：6

π 解析：

sin sin a b A B =，则sin 1

sin 2

a B A

b ==，(0,)A π∈，且a b <，即A B <

5答案及解析： 答案：

3

π 解析：()asinA csinC a b sinB -=-，

由正弦定理可得：2

2

2

a c a

b b -=-，即2

2

2

a b c ab +-=，

由余弦定理可得：2222a b c cosC ab +-=

=又()0,C π∈，

∴C =

6答案及解析： 答案：

π6

解析：∵14sin 2cos 4,sin cos 2A B B A +=+=

∴2sin cos 2,sin 2cos A B B A +=+=

∴两边同时平方，然后两式相加，化简得()54sin cos sin cos 7A B B A ++=, ∴()1

sin 2

A B +=

， ∴()1

sin 180sin 2

C C ?-==， ∴得出π6C ∠=或5π6

． ∵若5π6C ∠=，可得：π

,1,2sin 1,2sin cos 26

A B COSb A A B +=<<+=，不成立， ∴π6C ∠=

． 故答案为：

π6

．

7答案及解析：

解析：

8答案及解析：

答案：

??

解析：因为()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+,

所以()

cos cos cos 0A B C C +=可化为：

sin sin sin 0B C B C ??= 又

sin 0C ≠，所以sin B B =，所以tan B =，解得：π3

B =

由正弦定理得：

2sin sin sin a b c R A B C ===，又1b =所以a A =，c C =,所以

2πsin sin 3a c A C C C ???+-+ ?????+?

=

232π2π2333sin cos cos sin sin cos sin 333322C C C C C ????????=

-+=+ ? ? ??? ?????????

π2sin 6C ?

?=+ ??? 在锐角ABC △中，ππ,62C ??∈ ?

??

,所以ππ2π,633C ??

+∈ ??? 所以(

π2sin 3,23C ??

?+∈ ???

?.

9答案及解析： 答案：

32

4

解析：：在ABC △中,2222a b c ab +-=,

由余弦定理得22222cos 2a b c ab C ab +-===

,则4

C π

=, sin 3sin ac B C =,由正弦定理得3,3ac b c ab ?==则,

11232

sin 322ABC S ab C ∴==?=

△

10答案及解析： 答案：2 解析：因为

2sin sin sin a b c

R A B C

=== 所以2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =

所以sin sin sin a b c A B C -+-+=2sin 2sin 2sin 2sin sin sin R A R B R C R A B C -+=-+=sin a A 2

2sin

4=

11答案及解析： 23

解析：

12答案及解析： 答案：

π4

解析：

13答案及解析：

答案：2) 解析：

14答案及解析：

答案：3 解析：

15答案及解析： 答案：直角三角形

解析：把222cos 2b c a A bc +-=，代入已知等式得：222

2b b c a c bc

+-=，

整理得：2

2

2

2

2b b c a =+-，即2

2

2

c a b =+，ABC ∴△是直角三角形． 故答案为：直角三角形．

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1

解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当ab 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,

【高中数学】解三角形基本题型

解三角形 解三角形 正弦定理的基本运用 1、 △A BC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为 。 2、 在△ABC 中，b cos A =a cos B ，则三角形为 。 3、 已知△ABC 中，a =10,B =60°,C =45°，则c = 。 4、 在△ABC 中，已知150,350,30==?=c b B ，那么这个三角形是 。 5、 在ABC ?中，?===452232B b a ，，，则A 为 。 6、 在△ABC 中，A =60°，C =45°，b =2，则此三角形的最小边长为 。

余弦定理的基本运用 1、 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于 。 2、 已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ，解此三角形。 3、 在△ABC 中，1326+===c b a ，，，求A 、B 、C 。 4、 在△ABC 中，化简b cos C +c cos B = 。 5、 在△ABC 中，化简 ) cos cos cos (222c C b B a A c b a abc ++++。 正余弦定理的综合运用 1、已知在△ABC 中，c =10，A =45°，C =30°，求a 、b 和 B 。 2、在△ABC 中，c =22，tan A =3,tan B =2,试求a 、b 及此三角形的面积。 3、在△ABC 中，a =2，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于 。

4、已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为。 5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为3,则△ABC外接圆的直径 为。 6、在△ABC中，BC=3，AB=2，且 )1 6 ( 5 2 sin sin + = B C ，A=。

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

必修五-解三角形-题型归纳

一． 构成三角形个数问题 1．在ABC ?中，已知,2,45a x b B === ，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．． D.02x << 2．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是__________． 3．在ABC ?中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） 二． 求边长问题 4．在ABC ?中，角,,A B C 所对边,,a b c ，若03,120a C ==，ABC ?的面积则c =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 5．在△ABC 中，01,45,2ABC a B S ?===，则b =_______________. 三． 求夹角问题 6．在ABC ?中，，则=∠BAC sin （ ） A

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积，若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 四． 求面积问题 8．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===，则 △ABC 的面积等于 （ ） 9．锐角ABC ?中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知 （Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ?的面积． 10．如图，在四边形ABCD 中， （1）求AD 边的长； （2）求ABC ?的面积．

解三角形练习题及答案

第一章 解三角形 一、选择题 1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶2∶3 4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25 B ．5 C ．25或5 D ．10或5 5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3 B ．23 C ．3或23 D ．2 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为 2 3 ，那么b ＝( )． A ． 2 3 1+ B ．1＋3 C ． 2 3 2+ D ．2＋3 9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )．

高中数学解三角形练习题

解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．

高一必修五解三角形复习题及答案

解三角形 广州市第四中学 刘运科 一、选择题.本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 若120c b B === ，则a 等于【 】 A B ．2 C D 2．在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、， 已知13 A a b π ===，，则c = 【 】 A ． 1 B ．2 C 1 D 3. 已知ABC △ 中，a = b =60B = ，那么角A 等于【 】 A ．135 B ．90 C ．45 D ．30 4. 在三角形ABC 中，537AB AC BC ===，，，则BAC ∠的大小为【 】 A ． 23π B ．56π C ．34π D ．3 π 5．ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，且2c a =，则cos B =【 】 A ．14 B ．34 C ．4 D ．3 6. △ABC 中，已知1tan 3A =，1 tan 2 B =，则角 C 等于【 】 A ．135 B ．120 C ．45 D ． 30 7. 在ABC ?中，AB =3，AC =2，BC =10，则AB AC ?= 【 】 A ．23- B ．3 2 - C ．32 D ．23 8. 若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则【 】 A ．ABC △为等腰三角形 B ．ABC △为直角三角形 C ．ABC △为等腰直角三角形 D ． ABC △为等腰三角形或直角三角形 9. 若tan tan 1A B >，则△ABC 【 】 A. 一定是锐角三角形 B. 可能是钝角三角形 C. 一定是等腰三角形 D. 可能是直角三角形 10. ABC △的面积为2 2 ()S a b c =--，则tan 2A ＝【 】 A ． 12 B ． 13 C ．14 D ． 16

高中数学三角函数解三角形题型归类

三角函数解三角形题型归类 一知识归纳： （一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ． (3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 . (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ， 1 rad ＝? ?? ?? ? 180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12 lr

＝12 |α|·r 2. 3．任意角的三角函数 （1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α ＝ ． （2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α ＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0) 4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念 1．三角函数诱导公式? ?? ???k 2π＋α(k ∈Z)的本质 奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)． 2．两角和与差的三角函数公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β. 3．二倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α，

高中数学解三角形专题及例题

课 题 解三角形专题1 教学目标 理解正玄定理、余弦定理的基本内容 会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题 重点、难点 正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用 考点及考试内容 本章中的有关三角形的一些实际问题，往往动笔计算比较复杂，象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算，能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快，但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的，所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性，时刻注意锻炼自己的意志力。 教学内容 一、正弦定理及其证明 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin sin a b c A B C == 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。 对于正弦定理，课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。 在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB 和bsinA 实际上表示了锐角三角形边AB 上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。 钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式，教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。 二、余弦定理及其证明 余弦定理 在一个三角形中，任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍，即 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-； 余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理之一。 由直角三角形三边间的关系，归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明，作为一个现代中学生，要掌握一些研究事物的方法、要学会学习，善于提出问题，并且试着去解决问题。 同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决，向量知识在数学上的一个具体应用，这也体现了数学科学的特点之一：前后知识间联系紧密。 这也要求大家能够将前后知识联系起来，而不应该是孤立地来学习某部分知识，而不善于将所学恰当地应用，这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法，自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法，以锻炼自己的能力。 三、正弦定理和余弦定理的应用 正弦定理的应用： 1．用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，正弦定理可以用于两类解三角形的问题： （１）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

2018高三第一轮复习解三角形题型总结新

2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若5 ,22 a b A B ==， 则c o s _____B = A. 53 B. 54 C. 55 D. 5 6 2. 如果111A BC ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ．23 B ．22 C ．3 D ．2 5.ABC ?中，3 π =A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB

6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b c o s c o s c o s 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 2. 在ABC ?中，若 30,6,4A a b ∠=== ，则满足条件的ABC ? A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定

高中数学解三角形复习(带答案)

解三角形 解答题（题型注释） 1．△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin sin sin sin a A c C C b B +-=． （1）求B ； （2）若75,2A b == ，求,a c 2．在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2sin sin()cos a A A B c A ++= （1）求c b 的值；（2）若ABC ?的面积为22b ，求a 的值（用b 表示）

3．在ABC ?中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2 3 2cos cos sin(A B)sinB cos(A C).25 A B B ---++=- （1）求cos A 的值； （2）若5a b ==，求向量BA BC 在uu r uu u r 方向上的投影． 4．在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos B C b a c =-+2． （1）求角B 的大小； （2）若b a c =+=134，，求ABC ?的面积．

5．已知bc a c b +=+222． （1）求角A 的大小； （2）如果3 6 cos = B ，2=b ，求AB C ?的面积． 【答案】（1） = A 6．已知在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，．且 cos 2cos 2cos A C c a B b --= ． （Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若cos B =1 4， b=2，求ABC ? 的面积S 。

7．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,,已知)sin(sin sin B A C A -=-,6=c ． （1）求B 的大小；（2）若72=b ，求ABC ?的面积；（3）若16,sinC a ≤≤求的取值范围．（3难，可不作答） 8．已知在锐角ABC ?中，c b a ,,为角C B A ,,所对的边，且2(2)cos 2cos 2 B b c A a a -=- ． （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若3=a ，求c b +的取值范围．

解三角形 公式汇总

解三角形公式汇总一、正弦定理 公 式 正弦定理： 推论1：（边化角） 推论2：（角化边） 题型（1）已知sinB求B:一题多解型 判断依据：大角对大边，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 （2）asin B＝2b: 方法：边化角，推论1，a：b=sinA：sinB （3）3sin A＝5sinB或sinA:sinB:sinC=1:2:3 方法：角化边，推论2,sinA：sinB=a：b 二、余弦定理 公式余弦定理： （已知两边及夹角，求第三边） 推论1： （已知三边，求角） 推论2： （三边的平方关系） a2＋b2－c2=2abcosC b2＋c2－a2=2bccosA a2＋c2－b2=2accosB 题型（1）已知a，b，角C,求c 方法：已知两边及夹角，求第三边，余弦定理c2=a2＋b2-2abcosC （2）已知a：b：c=1:2：，求cosB 方法：已知三边求角，余弦定理推论1， （3）已知，求cosA 方法：已知三边平方关系，余弦定理推论2，b2＋c2－a2=2bccosA

三、求三角形面积 公式： 题型1：已知a，b，c，A 求△ABC的面积． 方法：带公式 题型2：已知A，a，b＋c，求△ABC的面积． 方法： 四、判断三角形形状 题型：cos cos sin b C c B a A +=，判断三角形形状 方法1：角化边 公式：sinA:sinB:sinC=a:b:c 或 结论： 方法2：边化角 公式：a:b:c = sinA:sinB:sinC 将原式转化为sinBcosC＋sinCcosB=sin2A，用三角恒等变换公式求解。注： 三角形内常见角度转化： 五、解三角形应用举例 仰角： 俯角： 坡度：

《解三角形》常见题型总结

《解三角形》常见题型总结 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形 例1 在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解：::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin ::1 2.6 3 2 22 A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。 例2在ABC 中，已知 ，C=30°，求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。 解：∵C=30°， ，∴由正弦定理得： sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin （150°-A ）. ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b 取得最大值 2 ； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1， ∴＞ 2 cos75° = 2 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中，2 a ·tanB=2 b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：

解三角形题型的解法

解三角形题型的解法 一、直角三角形中各元素间的关系： 在ABC ?中，0 90,,,.C AB c AC b BC a ==== （1）三边之间的关系：222a b c +=(勾股定理） （2）锐角之间的关系：090A B +=； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin cos a A B c == ，cos sin b A B c ==，tan a A b =. 二、斜三角形中各元素间的关系： 在ABC ?中，A B C 、、为其内角，a b c 、、分别表示A B C 、、的对边. （1）三角形内角和：A B C π=++. （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍. 2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+-； 2222cos c a b ab C =+-. 222 222 222 cosA cosB cosC 222b c a a c b a b c bc ac ab +-+-+-= = = 2222cos a b c ab C +-= 2222cosA c b a bc +-= 2222cosB a c b ac +-= 三、三角形的面积公式： （1）111 222a b c S ah bh ch ?= ==（a b c h h h 、、分别表示a b c 、、的高） ； （2）111sin bcsinA acsin 222S ab C B ?===＝2 1 四、解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：

高考数学题型全归纳：解三角形考点归纳(含答案)

解三角形 【考题回放】 1．设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边、则()2 a b b c =+是2A B =的（ ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中、已知C B A sin 2tan =+、给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤+

(完整版)高中数学解三角形方法大全(最新整理)

解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立： ABC ?C B A 、、c b a 、、（1）边的关系：，，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） c b a >+b c a >+a c b >+（2）角的关系：，，，， π=++C B A π<A C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+2 cos 2sin C B A =+（3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理：，其中为的外接圆半径R C c B b A a 2sin sin sin ===R ABC ? 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在中，已知、、ABC ?a b A （1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。 A b a >ABC ?（2）若为锐角，则当时，三角形无解； A A b a sin < 当时，三角形有唯一解； A b a sin = 当时，三角形有两解； b a A b <

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练

2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17 B = （2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2 sin 8sin 2 B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得2 17cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B = . （2）由15cos 17B = 得8sin 17B =，故14 sin 217 ABC S ac B ac ?== ． 又2ABC S ?=，则17 2 ac = ． 由余弦定理及6a c +=得2 2 2 2 2cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ 1715 362(1)4217 =-? ?+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 【答案】 π3 【解析】1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23 B B A C C A A C B B B =+=+=?= ?=.

解三角形题型分类

解三角形题型分类 题型一：正余弦定理推论的应用 _____sinC sinB sinA c b a 2 c 1b 4 1 cosA ABC 1＝＋＋＋＋则， ＝，＝，＝中，已知、在△例 _____ k k 21k k sinC sinB sinA ABC 2的取值范围是则，）：＋：（：：中，已知、在△例= __________c 2b 1a 3的取值范围是，则最大边，中，、钝角△例==ABC

题型二：三角形解的个数的确定 ? ??150A 20b 18a 330A 22b 11a 245A 32b 22a 11＝，＝，＝）（；＝，＝，＝）（；＝，＝，＝）（三角形解的情况。、根据下列条件，判定例 6 a 34a 0D 6a 34a C 6a B 3 4a 0A a 34b 60A ABC 2＝或＜、＝或、＝、＜＜、）满足的条件是（个，，为使此三角形只有一＝，＝中，已知、△例≤≥?

？ ，求角＝边上高，且＝，＝又所对的边，、、分别为角、、中，、在锐角三角形△例①求三角形的角 A 32h BC 4b 21c C B A c b a AB C 1 ？ ，求边＝，＝，＝中，已知、在△例②求三角形的边 c 45B 2b 3a ABC 2? 的面积？ 求△， ＝，＝，＝中，已知、在△例③求三角形的面积 ABC 63AC 3 1 cosC 3tanB ABC 3 的面积为最大值？ 为多少时，△则当， π ，（），，（），，（为坐标原点，中，、在△例OAB ]201sin B cos 1A O ABC 4θθθθ∈ ) 1,(sin θB O D(0,1) C(1,0) X Y M ) cos ,1(θA