高三文科数学专题复习--三角函数、解三角形-(教师版)

高三文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式

A组三年高考真题（2016～2014年）

1.(2015·福建，6)若α＝－，且α为第四象限角，则α的值等于()

B.－ D.－

1.解析∵α＝－，且α为第四象限角，∴α＝，∴α＝＝－，故选D. 答案D

2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则α＝()

C.－

D.－

2.解析记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝＝＝5，故α＝＝＝－，故选D.

3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若α＞0，则()

α＞0 α＞0 2α＞0 2α＞0

3.解析由α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时α与α同号，

故2α＝2 αα＞0，故选C. 答案C

4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且＝，则＝.

4.解析由题意，得＝，∴＝.∴＝＝－＝－. 答案－

5.(2016·四川，11) 750°＝.

5.解析∵θ＝(k·360°＋θ)，(k∈Z)，∴750°＝(2×360°＋30°)＝30°＝. 答案

6.(2015·四川，13)已知α＋2 α＝0，则2 αα－2α的值是．

6.解析∵α＋2 α＝0，∴α＝－2 α，∴α＝－2，

又∵2 αα－2α＝＝，∴原式＝＝－1. 答案－1

B组两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a)在

1

2

y x

图象上，则π的值为()

A.0 C.1

1.解析∵a＝4＝2，∴π＝. 答案 D

2.(2016·贵州4月适应性考试)若＝－，且α∈，则＝()

C.－

D.－

2.解析由＝－得α＝－，又α∈，则α＝，

所以(π－2α)＝2α＝2 αα＝－. 答案 D

3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝()

A.3 C.－ D.－3

3.解析因为角α终边经过点P(2，－1)，所以α＝－，＝＝＝－3，故选D.

4.(2015·乐山市调研)若点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于()

A.－ C.－

4.解析－＝－4π＋，所以－与的终边相同，所以＝－＝－y，则y＝. 答案 D

5.(2015·石家庄一模)已知α＝k，k∈R，α∈，则(π＋α)＝()

A.－ C.－k D.±

5.解析因为α∈，所以α>0，则＝－α＝－＝－，故选A. 答案 A

6.(2015·洛阳市统考)已知△为锐角三角形,且A为最小角,则点P( B,3 1)位于()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

6.解析由题意得，A＋B＞即A＞－B，且A∈，－B＞0，

故A＞＝B，即A－B＞0， 3 A－1＞3×－1＝，故点P在第一象限. 答案 A

7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，＝，则α＝.

7.解析α＝＝，又α为第二象限角，所以α＝－＝－. 答案－

8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系中，将点A(，1)绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为，若直线的倾斜角为α，则2α的值为.

8.解析设点A(，1)为角θ终边上一点，如图所示，＝2，

由三角函数的定义可知：θ＝，θ＝，则θ＝2kπ＋(k∈Z)，则A(2 θ，2 θ)，

设B(x，y)，由已知得x＝2＝2＝－1，y＝2＝2＝，

所以B(－1，)，且α＝－，所以2α＝＝. 答案(－1，)

专题二三角函数的图象与性质

A组三年高考真题（2016～2014年）

1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y＝2的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()

＝2 ＝2＝2 ＝2

1.解析函数y＝2的周期为π，将函数y＝2的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2＝2，故选D. 答案D

2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y＝(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()

＝2＝2

＝2＝2

2.解析由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，

所以函数的解析式为y＝2，故选A. 答案A

3.(2016·四川，4)为了得到函数y＝的图象，只需把函数y＝x的图象上所有的点()

A.向左平行移动个单位长度

B.向右平行移动个单位长度

C.向上平行移动个单位长度

D.向下平行移动个单位长度

3.解析由y＝x得到y＝(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案A

4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()

，k∈Z ，k∈Z

，k∈Z ，k∈Z

4.解析由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D正确．答案D

5.(2015·山东，4)要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝4x的图象()

A．向左平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向右平移个单位

5.解析∵y＝＝，

∴要得到函数y＝的图象，只需将函数y＝4x的图象向右平移个单位．答案B

6.(2014·天津，8)已知函数f(x)＝ωx＋ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()

C.π

D.2π

6.解析由题意得函数f(x)＝2(ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是，

由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差，即＝，解得ω＝2，

所以f(x)的最小正周期是T＝＝π. 答案C

7.(2014·陕西，2)函数f(x)＝的最小正周期是()

B.π

C.2π

D.4π

7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T＝＝π. 答案B

8.(2014·四川，3)为了得到函数y＝(x＋1)的图象，只需把函数y＝x的图象上所有的点()

A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度

C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度

8.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案A

9.(2014·浙江，4)为了得到函数y＝3x＋3x的图象，可以将函数y＝3x的图象()

A.向右平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向左平移个单位

9.解析因为y＝3x＋3x＝，所以将y＝3x的图象向右平移个单位后可得到

y＝的图象．答案A

10.(2014·安徽，7)若将函数f(x)＝2x＋2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是()

10.解析方法一f(x)＝，

将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝，由该函数为偶函数可知2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，所以φ的最小正值为.

方法二f(x)＝，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为

y＝，且该函数为偶函数，故2φ＋＝kπ，k∈Z，所以φ的最小正值为. 答案C

11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y＝2，②y＝，③y＝，

④y＝中，最小正周期为π的所有函数为()

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③

11.解析①y＝2，最小正周期为π；②y＝，最小正周期为π；③y＝，最小正周期为π；

④y＝，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案A

12.(2014·福建，7)将函数y＝x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是() ＝f(x)是奇函数＝f(x)的周期为π

＝f(x)的图象关于直线x＝对称＝f(x)的图象关于点对称

12.解析函数y＝x的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝＝x的图象，f(x)＝x为偶函数，排除A；f(x)＝x 的周期为2π，排除B；因为＝＝0，所以f(x)＝x不关于直线x＝对称，排除C；故选D. 答案D

13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y＝x－x的图象可由函数y＝2 x的图象至少向右平移个单位长度得到.

13.解析y＝x－x＝2，由y＝2 x的图象至少向右平移个单位长度得到. 答案

14.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝ωx＋ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数

y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为．

14.解析f(x)＝ωx＋ωx＝，由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，由题意f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k＝0，ω≥，

又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以(ω2＋)＝1，ω2＋＝，所以ω＝. 答案

15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

y＝3＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为．

15.解析由题干图易得＝k－3＝2，则k＝5，∴＝k＋3＝8. 答案8

16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y＝2 ωx与y＝2 ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝.

16.解析由知ωx＝ωx，即ωx－ωx＝0，∴＝0，

∴ωx＝＋kπ，x＝(k∈Z)，∴两函数交点坐标为(k＝0，2，4，…)，

或(k＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为＝2，

∴＝4，∴ω＝. 答案

17.(2014·重庆，13)将函数f(x)＝(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝x的图象，则＝.

17.解析把函数y＝x的图象向左平移个单位长度得到y＝的图象，

再把函数y＝图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，

得到函数f(x)＝的图象，所以＝＝＝. 答案

18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，

求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

18.解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

且函数表达式为f(

(2)由(1)知f(x)＝5，因此g(x)＝5＝5.

因为y＝x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.

即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.

19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－t－t，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天上午8时的温度；

(2)求实验室这一天的最大温差．

19.解(1)f(8)＝10－－＝10－－＝10－×－＝10.

故实验室上午8时的温度为10 ℃.

(2)因为f(t)＝10－2＝10－2，又0≤t＜24，所以≤t＋＜，

－1≤≤1. 当t＝2时，＝1；当t＝14时，＝－1.

于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

20.(2014·四川，17)已知函数f(x)＝.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，＝2α，求α－α的值．

20.解(1)由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.

所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由已知，有＝(2α－2α)，

所以α＋α＝(2α－2α)，

即α＋α＝( α－α)2( α＋α)．

当α＋α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z，此时α－α＝－.

当α＋α≠0时，有( α－α)2＝.

由α是第二象限角，知α－α＜0，此时α－α＝－.

综上所述，α－α＝－或α－α＝－.

21.(2014·福建，18)已知函数f(x)＝2 x( x＋x)．

(1)求的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

21.解f(x)＝2 x＋22x＝2x＋2x＋1＝＋1.

(1)＝＋1＝＋1＝2.

(2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

22.(2014·北京，16)函数f(x)＝3的部分图象如图所示．

(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

22.解(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.

(2)因为x∈，所以2x＋∈. 于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.

B组两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f(x)＝的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()

(x)＝(x)＝(x)＝(x)＝

1.解析横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则有g(x)＝. 答案B

2.(2016·山西四校联考)已知函数f(x)＝的部分图象如图所示，

则y＝取得最小值时x的集合为()

2.解析依题意得T＝＝4＝π，ω＝2，＝＝1，

又|φ|<，因此φ＝－，所以f(x)＝.

当＝取得最小值时，2x－＝2kπ－π，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z，答案B

3.(2015·石家庄模拟)将函数f(x)＝(2x＋φ)的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为()

C.0

D.－

3.解析函数f(x)＝(2x＋φ)的图象向左平移个单位，得g(x)＝＝的图象，

又g(x)的函数图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，

当k＝0时，φ＝，故选B. 答案B

4.(2015·黄冈模拟)当x＝时，函数f(x)＝(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝是()

A.奇函数且图象关于点对称

B.偶函数且图象关于点(π，0)对称

C.奇函数且图象关于直线x＝对称

D.偶函数且图象关于点对称

4.解析当x＝时，函数f(x)＝(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，

所以f(x)＝(A＞0)，所以y＝f(－x)＝＝－x，

所以函数为偶函数且图象关于点对称，选D. 答案D

5.(2015·河南焦作市统考)函数f(x)＝(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象()

A.关于点对称

B.关于直线x＝对称

C.关于点对称

D.关于直线x＝对称

5.解析f(x)＝2＝2，π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，

即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 答案(k∈Z)

6.(2015·怀化市监测)函数y＝2的单调增区间为.

6.解析由于函数f(x)＝(ωx＋φ)的最小正周期为π，故＝π，ω＝2.

把其图象向右平移个单位后得到函数的解析式为y＝＝，为奇函数，

∴－＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝，∴函数f(x)＝.

令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z，故函数的对称中心为(k∈Z).

故点是函数的一个对称中心. 答案 C

7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝ωx＋ωx(ω＞0)的周期为4.

(1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象，P，Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图)，求∠的大小.

7.解(1)f(x)＝ωx＋ωx＝＝＝.

∵T＝4，ω＞0，∴ω＝＝. ∴f(x)＝.

(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)＝x.

∵P，Q分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1，)，Q(3，－).

∴＝2，＝4，＝，∴∠＝＝.

∵∠是△的一个内角，∴∠＝.

专题三三角恒等变换

A组三年高考真题（2016～2014年）

1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若θ＝－，则2θ＝()

A.－

B.－

1.解析θ＝－，则2θ＝2θ－2θ＝＝＝. 答案D

2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f(x)＝2x＋6的最大值为()

A.4

B.5

C.6

D.7

2.解析因为f(x)＝2x＋6＝1－22x＋6 x＝－2＋，

所以当x＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案B

3.(2015·重庆，6)若α＝，(α＋β)＝，则β＝()

3.解析β＝[(α＋β)－α]＝＝＝. 答案A

4.(2016·浙江，11)已知22x＋2x＝(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝，b＝.

4.解析∵22x＋2x＝2x＋1＋2x＝＋1

＝＋1＝(ωx＋φ)＋b(A＞0)，

∴A＝，b＝1. 答案 1

5.(2016·山东，17)设f(x)＝2(π－x) x－( x－x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求的值.

5.解(1)由f(x)＝2(π－x) x－( x－x)2＝22x－(1－2 x)

＝(1－2x)＋2x－1＝2x－2x＋－1＝2＋－1.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

(2)由(1)知f(x)＝2＋－1，

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得到y＝2＋－1的图象.

再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2 x＋－1的图象，

即g(x)＝2 x＋－1. 所以＝2 ＋－1＝.

6.(2016·北京，16)已知函数f(x)＝2 ωωx＋2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.

6.解(1)f(x)＝2 ωx·ωx＋2ωx＝2ωx＋2ωx

＝＝

由ω＞0，f(x)最小正周期为π得＝π，解得ω＝1.

(2)由(1)得f(x)＝，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

7.(2015·广东，16)已知α＝2.

(1)求的值；(2)求的值．

7.解(1)＝＝＝＝－3.

(2)＝

＝＝＝＝1.

8.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝x－22.

(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值．

8.解(1)因为f(x)＝x＋x－.＝2－. 所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π. 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．

所以f(x)在区间上的最小值为＝－.

9.(2015·福建，21)已知函数f(x)＝10 ＋102.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，

且函数g(x)的最大值为2.

①求函数g(x)的解析式；

②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.

9.(1)解因为f(x)＝10 ＋102＝5 x＋5 x＋5＝10＋5，

所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.

(2)证明①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10 x＋5的图象，再向下平移a

(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10 x＋5－a的图象．

又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10 x－8.

②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10 x0－8＞0，即x0＞. 由＜知，存在0＜α0＜，使得α0＝.

由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有x＞. 因为y＝x的周期为2π，

所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有x＞.

因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，

所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得＞.

亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.

10.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝，x∈R，且＝.

(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求.

10.解(1)∵f(x)＝，且＝，∴＝?＝?A＝3.

(2)由(1)知f(x)＝3，∵f(θ)－f(－θ)＝，∴3(θ＋)－3＝，

展开得3－3＝，化简得θ＝.

∵θ∈，∴θ＝. ∴＝3＝3＝3 θ＝.

11.(2014·浙江,18)在△中,内角所对的边分别为.已知42＋4 ＝2＋.

(1)求角C的大小；(2)已知b＝4,△的面积为6,求边长c的值．

11.解(1)由已知得2[1－(A－B)]＋4 B＝2＋，

化简得－2 B＋2 B＝，故(A＋B)＝－. 所以A＋B＝，从而C＝.

(2)因为S△＝C，由S△＝6，b＝4，C＝，得a＝3，

由余弦定理c2＝a2＋b2－2 C，得c＝.

B组两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·江西九校联考)已知α∈，α＝－，则等于()

A.7 C.－ D.－7

1.解析∵α∈，α＝－，∴α＝－，

∴α＝＝，∴＝＝. 答案 B

2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足＝α＋α的α的取值范围是()

∪

2.解析由＝α＋α得α＋α＝≥0，

又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为∪，故选D. 答案 D

3.(2016·河南六市联考)设a＝2°－2°，b＝，c＝，则有()

3.解析利用三角公式化简得a＝2°－2°＝(60°＋2°)＝62°＝28°，

b＝28°，c＝＝25°.

因为25°< 28°< 28°，所以c

4.(2015·大庆市质检二)已知α＝，则2α－2α的值为()

A.－

B.－

4.解析2α－2α＝－2α＝22α－1＝－. 答案B

5.(2015·烟台模拟)已知α＝，(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则β等于()

A.－

B.－

5.解析∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又(α＋β)＝－＜0，α＝，

∴＜α＋β＜π，∴(α＋β)＝，α＝.

又β＝[(α＋β)－α]＝(α＋β) α＋(α＋β) α＝－×＋×＝. 答案 C

6.(2015·河北唐山模拟)已知2 2α＝1＋2α，则2α＝()

B.－或0 D.－或0

6.解析因为2 2α＝1＋2α，所以2 2α＝22α，

所以2 α·(2 α－α)＝0，解得α＝0或α＝.

若α＝0，则α＝kπ＋，k∈Z，2α＝2kπ＋π，k∈Z，所以2α＝0；

若α＝，则2α＝＝. 综上所述，故选C. 答案 C

7.(2015·巴蜀中学一模)已知＝，(α－β)＝，则β＝.

7.解析∵＝＝＝，∴α＝1.

∵(α－β)＝＝，∴β＝. 答案

8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a＝( α，α)，b＝( β，β)，－＝.

(1)求(α－β)的值；(2)若0＜α＜，－＜β＜0且β＝－，求α的值.

8.解(1)∵a－b＝( α－β，α－β)，

∴－2＝( α－β)2＋( α－β)2＝2－2(α－β)，

∴＝2－2(α－β)，∴(α－β)＝.

(2)∵0＜α＜，－＜β＜0且β＝－，∴β＝且0＜α－β＜π.

又∵(α－β)＝，∴(α－β)＝.

∴α＝[(α－β)＋β]＝(α－β)·β＋(α－β)·β＝×＋×＝.

专题四解三角形

A组三年高考真题（2016～2014年）

1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，A＝，

则b＝()

C.2

D.3

1.解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝3，故选D.答案D

2.(2016·山东，8)△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－A)，则A＝()

2.解析在△中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2 A，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－A)，又∵a2＝2b2(1－A)，

∴A＝A，∴A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.答案C

3.(2015·广东,5)设△的内角的对边分别为.若a＝2＝2 A＝,且b

B.2

C.2

3.解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2 A，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，

∴b＝4或b＝2，又b

4.(2014·四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，

则河流的宽度等于()

A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m

4.解析∵15°＝(60°－45°)＝＝2－，

∴＝60 60°－60 15°＝120(－1)(m)，故选C. 答案C

5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

若A＝，C＝，a＝1，则b＝.

5.解析在△中由A＝，C＝，可得A＝，C＝，

B＝(A＋C)＝C＋C＝，由正弦定理得b＝＝.答案

6.(2016·北京，13)在△中，∠A＝，a＝c，则＝.

6.解析由＝得C＝＝×＝，又0＜C＜，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝.

所以＝＝＝1. 答案1

7.(2015·北京，11)在△中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝.

7.解析由正弦定理得∠B＝＝＝，因为∠A为钝角，所以∠B＝. 答案

8.(2015·重庆，13)设△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且a＝2，C＝－，3 A＝2 B，则c＝.

8.解析由3 A＝2 B，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，

在△中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2 C＝22＋32－2×2×3×＝16，解得c＝4. 答案 4

9.(2015·安徽，12)在△中，＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则＝.

9.解析已知∠C＝60°，由正弦定理得＝，∴＝＝＝2. 答案2

10.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度＝.

10.解析依题意，在△中，＝600，∠＝30°，∠＝45°，

由正弦定理得＝，得＝300，在△中，＝· 30°＝100(m)．答案10011.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠＝60°，C点的仰角∠＝45°以及∠＝75°；从C点测得∠＝60°，已知山高＝100 m，则山高＝.

11.解析在三角形中，＝100，在三角形中，＝，解得＝100，

在三角形中，＝60°＝，故＝150，即山高为150 m．答案150

12.(2014·湖北，13)在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，

b＝，则B＝.

12.解析由正弦定理＝得B＝＝，又B∈，所以B＝或.答案或

13.(2014·福建，14)在△中，A＝60°，＝2，＝，则等于．

13.解析在△中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得B＝1，

因为B∈(0，π)，所以B＝，所以＝＝1. 答案1

14.(2014·北京，12)在△中，a＝1，b＝2，C＝，则c＝；A＝.

14.解析根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2 C＝12＋22－2×1×2×＝4，故c＝2，

因为C＝，于是C＝＝，于是，由正弦定理，A＝＝＝

(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得A＝＝，于是，A＝＝). 答案2

15.(2016·浙江，16)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2 B.

(1)证明：A＝2B；(2)若B＝，求C的值.

15.(1)证明由正弦定理得B＋C＝2 B，

故2 B＝B＋(A＋B)＝B＋B＋B，于是B＝(A－B).

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.

(2)解由B＝得B＝，2B＝22B－1＝－，故A＝－，A＝，

C＝－(A＋B)＝－B＋B＝.

16.(2016·四川，18)在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

(1)证明：B＝C；(2)若b2＋c2－a2＝，求B.

16.(1)证明根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0). 则a＝A，b＝B，c＝C.

代入＋＝中，有＋＝，变形可得：B＝B＋B＝(A＋B).

在△中，由A＋B＋C＝π，有(A＋B)＝(π－C)＝C，所以B＝C.

(2)解由已知，b2＋c2－a2＝，根据余弦定理，有A＝＝. 所以A＝＝.

由(1)知，B＝B＋B，所以B＝B＋B，故B＝＝4.

17.(2015·江苏，15)在△中，已知＝2，＝3，A＝60°.

(1)求的长；(2)求2C的值．

17.解(1)由余弦定理知，2＝2＋2－2··A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以＝.

(2)由正弦定理知，＝，所以C＝·A＝＝.

因为＜，所以C为锐角，则C＝＝＝.

所以2C＝2 C·C＝2××＝.

18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△中，D是上的点，平分∠，＝2.

(1)求；(2)若∠＝60°，求∠B.

18.解(1)由正弦定理得＝，＝.

因为平分∠，＝2，所以＝＝.

(2)因为∠C＝180°－(∠＋∠B)，∠＝60°，

所以∠C＝(∠＋∠B)＝∠B＋∠B.

由(1)知2∠B＝∠C，所以∠B＝，即∠B＝30°.

19.(2015·天津，16)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

已知△的面积为3，b－c＝2，A＝－.

(1)求a和C的值；(2)求的值．

19.解(1)在△中，由A＝－，可得A＝. 由S△＝A＝3，得＝24，

又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4. 由a2＝b2＋c2－2 A，可得a＝8. 由＝，得C＝.

(2)＝2A·－2A·＝(22A－1)－×2 A·A＝.

20.(2015·山东，17)在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知B＝，(A＋B)＝，＝2，求A和c的值．

20.解在△中，由B＝，得B＝. 因为A＋B＋C＝π，所以C＝(A＋B)＝.

因为C＜B，所以C＜B，可知C为锐角，所以C＝.

所以A＝(B＋C)＝C＋C＝×＋×＝.

由＝，可得a＝＝＝2c，又＝2，所以c＝1.

21.(2015·湖南，17)设△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝A.

(1)证明：B＝A；(2)若C－B＝，且B为钝角，求A，B，C.

21.解(1)由正弦定理知＝＝＝2R，∴a＝2 A，b＝2 B，

代入a＝A，得A＝B·，又∵A∈(0，π)，∴A＞0，∴1＝，即B＝A. (2)由C－B＝知，(A＋B)－B＝，∴B＝.

由(1)知B＝A，∴2A＝，由于B是钝角，故A∈，

∴A＝，A＝，B＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝.

22.(2015·浙江，16)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知＝2.

(1)求的值；(2)若B＝，a＝3，求△的面积．

22.解(1)由＝2，得A＝，所以＝＝.

(2)因为A＝，A∈(0，π)，所以A＝，A＝.

又由a＝3，B＝及正弦定理＝得b＝3. 由C＝(A＋B)＝得C＝，

设△的面积为S，则S＝C＝9.

23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知分别为△内角的对边2B＝2 C.

(1)若a＝b,求B；(2)设B＝90°,且a＝,求△的面积．

23.解(1)由题设及正弦定理可得b2＝2. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得B＝＝.

(2)由(1)知b2＝2. 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2. 故a2＋c2＝2，得c＝a＝.

所以△的面积为1.

24.(2014·重庆，18)在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

(1)若a＝2，b＝，求C的值；

(2)若2＋2＝2 C，且△的面积S＝C，求a和b的值．

24.解(1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝.

由余弦定理得：C＝＝＝－.

(2)由2＋2＝2 C可得：A·＋B·＝2 C，

化简得A＋B＋B＋A＝4 C. 因为B＋B＝(A＋B)＝C，

所以A＋B＝3 C. 由正弦定理可知：a＋b＝3c. 又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.

由于S＝C＝C，所以＝9，从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.

25.(2014·山东，17)△中,角所对的边分别为.已知a＝3，A＝，B＝A＋.

(1)求b的值；(2)求△的面积．

25.解(1)在△中，由题意知A＝＝，又因为B＝A＋，所以B＝＝A＝.

由正弦定理可得b＝＝＝3.

(2)由B＝A＋得B＝＝－A＝－. 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

三年高考文科数学真题分类专题11-解三角形

考纲解读明方向 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理, 并能解决一些简单的三角 形度量问题 掌握 2017山东,9;2017浙江,14; 2017天津,15;2017北京,15; 2016课标全国Ⅱ,13; 2016天津,3;2015天津,13 选择题 填空题 ★★★ 2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦 定理等知识和方法解决一 些与测量和几何计算有关 的实际问题 掌握 2017课标全国Ⅱ,17; 2017课标全国Ⅲ,17;2017江 苏,18; 2016课标全国Ⅲ,8; 2016山东,16; 2016浙江,16; 2015湖北,13 解答题★★★ 分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识. 2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查. 3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.

2018年高考全景展示 1．【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为，，，若的面积为 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。 2．【2018年全国卷Ⅲ文】若，则

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由公式可得。 详解：，故答案为B. 点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题。 3．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2， A=60°，则sin B=___________，c=___________． 【答案】3 【解析】分析:根据正弦定理得sin B,根据余弦定理解出c. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 4．【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 【答案】 【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 详解：，，即，

高中数学解三角形和平面向量

高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°

高三数学(理科)测试题(函数、导数、三角函数、解三角形)

高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科） 一、选择题 1．设2 :f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则A B 为 ( ) A ．? B ．{1} C ．?或{2} D ．?或{1} 2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 3．若函数2 ()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2 a -∞上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1，23) D ．(0，1)∪(1，23) 4.若0()ln 0 x e x g x x x ?≤=? >?，则1 (())2g g = ( ) A ．1 2 B ．1 C ．1 2e D ．ln 2- — 5．已知3 2 ()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b << C ．12b << D ．2b > ] 6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题： ①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线1 2 x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 ` C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 x

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b

07高考文科数学真题解三角形

【考点28】解三角形

1．（2008北京，4）已知ABC ?中，2=a ，3=b ， 060=B ，那么角A 等于 （ ） A ．0 135 B ．0 90 C ．045 D ．0 30 2．（2008福建，8）在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222b c a -+=ac 3， 则角B 的值为 （ ） A ．6 π B ． 3 π C ．6 π或65π D ．3 π或32π 3．（200安徽，5）在三角形ABC 中，5=AB ， 3=AC ，7=BC ，则∠BAC 的大小为（ ） A ．32π B ．65π C ．43π D ．3 π 4．（2008江苏，13）满足条件2=AB ，BC AC 2= 的三角形ABC 的面积的最大值为 ． 5．（2008浙江，14）在ABC ?中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若A c b cos )3(- C a cos =，则=A cos ． 6．（2008陕西，13）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2=c ，6=b 0120=B ，则a = ． 7．（2009上海春，8）ABC ?中，若3=AB ，∠0 75=ABC ，∠ACB =0 60，则BC 等于 ． 8．（2008宁夏，海南，17，12 分）如图，ACD ? 是等边三角形，ABC ?是 ACB =090，BD 交AC 于E ，2=AB ． 等腰直角三角形，∠ （1）求cos ∠CBE 的的值； （2）求AE ． 9. （2009海南宁夏17）

为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图）。飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。 10．（2009浙江18）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足,5 5 22cos =A .3=?AC AB （I ）求ABC ?的面积； （II ）若b +c =6，求a 的值. 11.(2009安徽文16) 在.3 1 sin ,2,== -?B A C ABC π 中 （I ）求A sin 的值； （Ⅱ）设6= AC ，求ABC ?的面积. 12．(2009福建文7)已知锐角ABC ?的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 13. （2009海南宁夏文17） 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量。已知 AB=50m,BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。

高中数学解三角形方法大全

解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2 cos 2sin C B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB C ?的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b <

文科数学高考试题分类汇编(解三角形,三角函数)

2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二） 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=?（ ） （A ）2π （B ）3 2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13 a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （B ） 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ） 9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ） （B ） （C ） （D ）

11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=，x 的图像向右平移 2π个单位后，与函数y=sin （2x+3 π）的图像重合，则?=___________. 12、若0tan >α，则（ ） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =， 6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为 （A ）2+2 （B ） （C ）2 （D ）-1 3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .

(完整版)高中数学解三角形方法大全

解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2 cos 2sin C B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB C ?的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 【例1】考查正弦定理的应用 （1）ABC ?中，若ο 60=B ，4 2 tan = A ，2=BC ，则=AC _____； （2）ABC ?中，若ο 30=A ，2= b ，1=a ，则=C ____； （3）ABC ?中，若ο 45=A ，24=b ，8=a ，则=C ____； （4）ABC ?中，若A c a sin =，则c b a +的最大值为_____。

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长）

高三文科数学三角函数专题测试题(后附答案)

高三文科数学三角函数专题测试题 1．在△ABC 中，已知a b ＝sin A cos B ，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) A . 6 B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C . 3 D . 32 在△ABC 中， AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2 ＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A

高中文科数学解三角形部分讲练整理

高中文科数学解三角形部分整理 一 正弦定理 （一）知识与工具: 正弦定理：在△ＡBC 中， R C c B b A a 2sin sin sin ===。 变形:::sin :sin :sin a b c A B C =. 在这个式子当中,已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 注明:正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中,注意三角形中其他条件的应用: (1)三内角和为180° 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (2）三角函数的恒等变形 s ｉn(A+B)=ｓｉｎC,ｃos （A ＋Ｂ)＝－ｃosC ，s ｉn 2B A +＝cos 2C ，cos 2 B A +=si ｎ 2 C (３）面积公式：S= 21absin Ｃ＝R abc 4＝2R ２ s ｉnA ｓinBsinC （二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型 题型1 利用正弦定理公式原型解三角形 例一、在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于( ) A ．1 B.1- C ．32 Ｄ.32- 【解析】C ． 00tan 30,tan 302b b a c b c b a =====-= 题型2 利用正弦定理公式变形边角互化解三角形:关于边或角的齐次式可以直接边角互化。 例二、在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于（ ) A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 【解析】D ． 01 2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302 b a B B A B A A ====或0150 题型３ 三角形解的个数的讨论 方法一:画图看

文科《解三角形》高考常考题型专题训练

文科《解三角形》高考常考题型专题训练 1．已知在ABC ?的三个内角分别为A 、B 、C ，2sin sin B A A = ，1 cos 3 B =. （1）求A 的大小； （2）若2AC =，求AB 长. 1．【解析】（1）由题得sin 3 B = ， 所以22sin 3cos A A =，所以( ) 2 21cos 3cos A A -=， 解得1cos 2 A = ，(0,)A π∈，∴3 A π = . （2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+11323= +?= 由正弦定理 sin sin AB AC C B =得sin 1sin AC AB C B =?=+. 2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a c +=， cos 2cos C a c B b -=． （1）求b 的最小值； （2）若a b <，2b =，求cos 6A π? ? + ?? ? 的值． 2．【解析】（1）在ABC 中，满足 cos 2cos C a c B b -=，即()cos 2cos b C a c B =-， 由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-， 整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 因为()()sin sin sin B C A A π+=-=， 又因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1 cos 2 B =， 因为0B π<<，所以3 B π = ． 又由()2 2 22293939324a c b a c ac a c ac ac +??=+-=+-=-≥-= ??? ． 当且仅当32 a c == 时，等号成立，故b 的最小值为3 2．

文科数学解三角形专题高考题练习附答案

解三角形专题练习 1、在b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 3、在ABC ?中，cos 5A = ，cos 10 B =. （Ⅰ）求角 C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 4、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =， (sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小； （II ）求)sin(6π +B 的值.

5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。 6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 2 3 A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长. 7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且 c o s c o s B C b a c =-+2. （I ）求角B 的大小； （II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ， 2 3cos )cos(= +-B C A ,ac b =2 ，求B. 9、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4 2sin(π -A 的值。

高三数学《解三角形》题型归纳

高三数学《解三角形》题型归纳（含解析） 题型一：求某边的值 （1）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知2 5,2,cos 3 a c A === ，则b =_______. （2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14， ∠BDA ＝60?， ∠BCD ＝135? ，则BC ＝ ． （3）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2 －c 2 ＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ ． （4）钝角△ABC 的面积是1 2 ，AB ＝1，BC ＝ 2 ，则AC ＝ ． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b － c ＝2，cos A ＝－1 4，则a 的值为________． （6）在ABC △中，已知3,120AB A ==o ，且ABC △的面积为153 4 ，则BC 边长为______． （7）在ABC △中，已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________． 答案：（1）3 （2）8 2 （3）4 （4） 5 （5）8 （6）7 （7）26 题型二：三角形的角 （1）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1 3 BC ，则cos A ＝________． （2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，已知85,2b c C B ==,则cos C = （3）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c B b += ．则A =________. （4）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且 cos sin a c A C =，则A =________. （5）在△ABC 中，若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则A =________. （6）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>, 320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C =________. 答案：（1）－10 10 （2） 725

高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形 (教师版)

高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形 专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式 A 组 三年高考真题（2016～2014年） 1.(2015·福建，6)若sin α＝－ 5 13 ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B.－125 C.512 D.－512 1.解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角， ∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－5 12，故选D. 答案 D 2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C.－35 D.－45 2.解析 记P (－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP |＝（－4）2＋32＝5， 故cos α＝x r ＝－45＝－4 5，故选D. 3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( ) A.sin α＞0 B.cos α＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞0 3.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C 4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ????θ＋π4＝35，则tan ????θ－π 4＝________. 4.解析 由题意，得cos ????θ＋π4＝45，∴tan ????θ＋π4＝34.∴tan ????θ－π4＝tan ????θ＋π4－π 2＝－1 tan ??? ?θ＋π4＝－43. 答案 －4 3 5.(2016·四川，11)sin 750°＝________. 5.解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，(k ∈Z )， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 1 2 6.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 6.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos 2α＝ 2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1， ∴原式＝2×（－2）－1 （－2）2＋1 ＝－1. 答案 －1 B 组 两年模拟精选(2016～2015年) 1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a )在12 y x =图象上，则tan a 6π的值为( ) A.0 B. 3 3 C.1 D. 3 1.解析 ∵a ＝412＝2， ∴tan a 6 π＝ 3. 答案 D 2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ????π2＋α＝－3 5，且α∈????π2，π，则sin ()π－2α＝( ) A.2425 B.1225 C.－1225 D.－24 25 2.解析 由sin ????π2＋α＝－35得cos α＝－35， 又α∈????π2，π， 则sin α＝4 5 ，

全国高考模拟文科数学分类汇编三角函数和解三角形

2018年全国高考模拟文科数学分类汇编—— 三角函数和解三角形 一、选择题 1. 1０．(5分)已知定义在R 上的函数ｆ（ｘ）满足:(１）f （ｘ)＋ｆ(２﹣x ）＝0，（２）ｆ（x ﹣2)=f （﹣x),(3)在[﹣1,1]上表达式为f （x)= ， 则函数ｆ(x)与函数g （x)=的图象区间[﹣3，3］上的交点个数为( ) A.5 B ．６?C ．7?D.８ 2． 11.（５分)已知函数f(ｘ）＝s ｉn(ωx +φ)（ω>0,｜φ|＜)的最小正周期是π， 若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象 （ ) Ａ.关于直线x=对称?B.关于直线x=对称 Ｃ．关于点（ ,0)对称 D .关于点（ ，0)对称 ３． 4.若ｔanθ+ =4，则sin2θ=（ ) A.?B ．?Ｃ.?D ． 4. 7.将函数()2sin 13f x x π? ? =-- ?? ? 的图象向右平移3π 个单位,再把所有的点的横坐标缩 短到原来的1 2 倍（纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为 A.,03π?? ??? Ｂ．,012π?? ??? C ．,13π??- ??? D ．,112π??- ??? ５． 7．(5分)若将函数f （x)=ｓin （２ｘ+）图象上的每一个点都向左平移 个单位,得到g(x ）的图象,则函数g(ｘ)的单调递增区间为（ ) A ．[kπ﹣ ，kπ+ ](ｋ∈Ｚ） Ｂ.[kπ+ ,kπ+ ]（k ∈Z)

C.[ｋπ﹣ ，ｋπ﹣ ](ｋ∈Ｚ）?D.[ｋπ﹣ ,ｋπ+ ］(k ∈Z) ６. １１.函数()[]() cos ,x f x xe x ππ=∈-的图象大致是 ７. ８． 已知函数，则下列结论中正确的是 A ． 函数的最小正周期为 B ． 函数的图象关于点 对称 C ． 由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数 的图象 D. 函数 在区间 上单调递增 8. ９． 函数 ,则函数的导数的图象是( ） A ． B ． Ｃ. ． D. 9. 8.（5分）已知函数y ＝Ａsin （ωx +φ)(ω＞０，|φ|<,x ∈R ）的图象如图所示， 则该函数的单调减区间是（ ) A.［２＋16ｋ，1０＋16k ］(k ∈Ｚ） B.[６＋16ｋ，１４＋1６k ］（ｋ∈Z ） Ｃ．[﹣２+16k ，6＋16ｋ](k ∈Z)?D ．[﹣6+１６k,２+16k ］（ｋ∈Ｚ) 1０． ８．已知曲线121 5:sin ,:cos 2 6C y x C y x π?? ==- ??? ，则下列说法正确的是 A ．把1C 上各点横坐标伸长到原来的２倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3 π 个单位长度，得到曲线2C