三年高考文科数学真题分类专题11-解三角形
考纲解读明方向
考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度
1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,
并能解决一些简单的三角
形度量问题
掌握
2017山东,9;2017浙江,14;
2017天津,15;2017北京,15;
2016课标全国Ⅱ,13;
2016天津,3;2015天津,13
选择题
填空题
★★★
2.正、余弦定理的应用能够运用正弦定理、余弦
定理等知识和方法解决一
些与测量和几何计算有关
的实际问题
掌握
2017课标全国Ⅱ,17;
2017课标全国Ⅲ,17;2017江
苏,18;
2016课标全国Ⅲ,8;
2016山东,16; 2016浙江,16;
2015湖北,13
解答题★★★
分析解读
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.
2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.
3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.
2018年高考全景展示
1．【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为，，，若的面积为
，则
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
2．【2018年全国卷Ⅲ文】若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由公式可得。
详解：，故答案为B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题。
3．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，
A=60°，则sin B=___________，c=___________．
【答案】3
【解析】分析:根据正弦定理得sin B,根据余弦定理解出c.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
4．【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
【答案】
【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
详解：，，即，
，
则，为钝角，，
，故.
点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.
5．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
6．【2018年新课标I卷文】△的内角的对边分别为，已知
，，则△的面积为________．
【答案】
点睛：该题考查的是三角形面积的求解问题，在解题的过程中，注意对正余弦定理的熟练应用，以及通过隐含条件确定角为锐角，借助于余弦定理求得，利用面积公式求得结果. 7．【2018年天津卷文】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
2017年高考全景展示
1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
，a=2，c=，则C=
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得
，
即，所以．
由正弦定理得，即，得，故选B．
【考点】解三角形
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2.【2017课标II，文16】的内角的对边分别为,若
,则
【答案】
【解析】由正弦定理可得
【考点】正弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
3.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】
【考点】解三角形
【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．
4.【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
C=60°，b=，c=3，则A=_________.
【答案】75°
【考点】正弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵
活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
5.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计
算到任意
精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”
的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．
【答案】
【解析】
试题分析：将正六边形分割为6个等边三角形，则
【考点】数学文化
【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．
6.【2017天津，文15】在中，内角所对的边分别为.已知
，.
（I）求的值；
（II）求的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) .
【解析】
试题分析（Ⅰ）首先根据正弦定理代入得到，再根据余弦定理求得；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论和条件，根据求，和以及正弦定理求得，再求，以及，最后代入求的值.
【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.
【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式
7.【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
b=3,,S△ABC=3,求A和a.
【答案】
【解析】
试题分析：先由数量积公式及三角形面积公式得,,由此求A,再利用余弦定理求a.
【考点】解三角形
【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1文数】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知
,,,则b=（）
（A）（B）（C）2 （D）3
【答案】D
【解析】
试题分析：由余弦定理得,解得（舍去）,故选D.
考点：余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2.【2016高考山东文数】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
,则A=（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】
考点：余弦定理
【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
3． [2016高考新课标Ⅲ文数]在中，，边上的高等于,则（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】
试题分析：设边上的高线为，则，所以
．由正弦定理，知，即，解得
，故选D．
考点：正弦定理．
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．
4.【2016高考上海文科】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于
_________.
【答案】
【解析】
试题分析：
由已知，∴，
∴，∴
考点：1.正弦定理；2.余弦定理.
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.
5.【2016高考新课标2文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
，a=1，则b=____________.
【答案】
【解析】
考点：正弦定理，三角函数和差公式.
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
6.【2016高考北京文数】在△ABC中，，，则=_________.
【答案】1
【解析】
试题分析：由正弦定理知，所以，则，所以
，所以，即．
考点：解三角形
【名师点睛】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
7.【2016高考天津文数】（本小题满分13分）
在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若，求sinC的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再根据三角形内角范围化简得，（Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为
，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解
考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
8.【2016高考浙江文数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2a cos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．
【答案】（I）证明见解析；（II）.
【解析】
试题分析：（I）先由正弦定理可得，进而由两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先用同角三角函数的基本关系可得，再用二倍角公式可得，进而可得和，最后用两角和的余弦公式可得．
考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.
【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证；（II）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得．
9.【2016高考四川文科】（本题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）已知条件式中有边有角，利用正弦定理，将边角进行转化（本小题是将边转化为
角），结合诱导公式进行证明；（Ⅱ）从已知式可以看出首先利用余弦定理解出cos A=，再根据平方关系解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B，解出tanB的值.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
cos A==．
所以sin A==．
由（Ⅰ），sin A sin B=sin A cos B+cos A sin B，
所以sin B=cos B+sin B，
故．
考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为
这个结论，否则难以得出结论．