概率论大题附答案
假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ． 解 以ν表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则
496
4100
C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-≈-=νν．
从0,1,2,,10…等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：1A ={三个数最大的是5}；2A ={三个数大于、等于和小于5的各一个}；3A ={三个数两个大于5，一个小于7}．
解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有311C 个基本事件，其中有利于1A 的
取法有25C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有2
5C 10=种不同取法）；
有利于2A 的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；
有利于3A 的取法有5×2
5
C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得
111102550()0.06()0.15()0.30165165165
P A P A P A =
=====&&&&&&，，． 考虑一元二次方程 02
=++C Bx x , 其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数． (1) 求方程无实根的概率α， (2) 求方程有两个不同实根的概率β．
解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式C B 42-=?．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件{0}?<和{0}?>．下表给出了事件{
0}?<和{0}?>所含基本事件的个数．
由对称性知{0}?<和{0}?>等价，因此αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两个不同实根的概率
β为
17
0.47
αβ==
≈．
． ()1()1P AB P AB r =-=-， ()()1P A B P AB r +==-，
()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-， ()()1[]P AB P A B p q r =+=-+-，
([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．
假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率α．
解 引进事件：=A {取出的是白球}，1H ={箱中原来是白球}，2H ={箱中原来是红球}，则12,H H 构成完
全事件组，并且12()()0.5P H P H ==．由条件知
12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．
由贝叶斯公式，有
1111122()(|)2
(|)()(|)()(|)3
P H P A H P H A P H P A H P H P A H α==
=+．
假设一厂家生产的每台仪器，以概率可以直接出厂；以概率需进一步进行调试， 经调试以概率可以出厂，以概率定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生产了20台仪器．求最后20台仪器
(1) 都能出厂的概率α； (2) 至少两台不能出厂的概率β．
解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，A ={仪器可以出厂}．由条件知
1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====， ，
，．
(1) 10台仪器都能出厂的概率
0112210
100()()(|)()(|)
0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=?+===≈ ；
．
(2) 记ν——10台中不能出厂的台数，即10次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =．易见，10台中至少两台不能出厂的概率
10
9
{2}1{0}{1}
10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--??≈．
设B A ,是任意二事件，证明：
(1) 若事件A 和B 独立且B A ?，则()0P A =或()1P B =；
(2) 若事件A 和B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件．
证明 (1) 由于B A ?，可见
()()()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A P A P B ===，，． 因此，若()0P A ≠，则()1P B =；若()0P B ≠，()0P A =．
(2) 对于事件A 和B ，由于它们相互独立而且不相容，可见
()()()0P A P B P AB ==，
因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．
补充：
第二节 事件的关系和运算
1. 设A ,B ,C 是三个随机事件,用事件A ,B ,C 的运算关系表示下列事件：
⑴ A ,B ,C 三个都发生；⑵ A 发生而B ,C 都不发生；⑶ A ,B 都发生, C 不发生； ⑷ A ,B ,C 恰有一个发生；⑸ A ,B ,C 恰有两个发生；⑹ A ,B ,C 至少有一个发生；
⑺ A ,B ,C 都不发生.
解：（1）ABC （2）ABC （3）ABC （4）ABC ABC ABC ++ (5)ABC ABC ABC ++ (6) A B C ++ (7) ABC
第三节 事件的概率
解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，
()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.40.30.6=+-= ()1()10.10.9P AB P AB =-=-=
()()1()10.60.4P AB P A B P A B =+=-+=-= ()()()0.40.10.3P AB P A P AB =-=-=
解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()P A B P A P AB -=-
()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=， ()1()10.40.6P AB P AB =-=-=
3. 已知()09.P A =,()08.P B =,试证()07.P AB ≥. 解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，
()()()()P AB P A P B P A B =+-+0.90.81≥+-0.7=
解：由条件()()0P AB P BC ==，知()0P ABC =，
()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+
11115
00044488
=
++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问 ⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值是多少？ ⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值是多少？
解：由()()()()P A B P A P B P AB +=+-知，()()()()P AB P A P B P A B =+-+ 又因为()()P A P A B ≤+，()()P B P A B ≤+，所以(){}
max (),()P A P B P A B ≤+， 所以0.7()1P A B ≤+≤，所以0.3()0.6P AB ≤≤.
第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式
1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？ 解：设{}A =某疾病患者，{}A =非某疾病患者，{}B =检查结果为阳性.依条件得,
B A A ?+=Ω，且()0.01,P A = ()0.99P A =,(|)0.9P B A =(|)0.05P B A =
所以()
()()()()
()()
()
0010901500109099005B P A P P AB ..A A P .B P B ....B B
P A P P A P A A
?===≈?+?+
第五节 事件的独立性和独立试验
1．设有n 个元件分别依串联、并联两种情形组成系统I 和II ,已知每个元件正常工作的概率为p ，分别求系统I 、II 的可靠性（系统正常工作的概率）
解：{}A I =系统正常工作，{}B II =系统正常工作，{}B II =系统不正常工作 {}1,2,,i C i n ==L 每个元件正常工作，，且()i P C p =， {}i C =每个元件都不正常工作，()1i P C p =- 由条件知，每个元件正常是相互独立的，故
1212()()()()()n n n P A P C C C P C P C P C p ===L L ，
()1i P C p =-，1212()()()()()(1)n n n P B P C C C P C P C P C p ===-L L
()1()1(1)n P B P B p =-=--
2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为 p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的. 解: 设{}i A i =第条线路通达， 1,2,3,i
= {}A =代表这个装置通达,
{}i A i =第条线路不通达，
1,2,3,i = {}A =代表这个装置不通达， 由条件知，2
()i P A p =，2()1i P A p =-，
23123()1()1()1(1)P A P A P A A A p =-=-=--
第二章 随机变量及其分布
口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回． (1) 求4次抽球出现黑球次数X 的概率分布；
(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布．
解 (1) 随机变量X 有4个可能值0,1,2,3，若以W 和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于
“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为4
10C 210=，其中有利于{}X k = (0,1,2,3)k =的基本事件个数为：43
7C C k k
-，因此 4
37
4
10
C C {}(0,1,2,3)C k k P X k k -===，
或
01230123~35
1056371131210210210210621030X ???? ? ?= ? ? ? ?????
． (2) 随机变量Y 显然有1,2,3,4等4个可能值；以W k 和B k 分别表示第(1,2,3,4)k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，
其基本事件总数4
10
P 10987120=???=．易见 7843728
{1}{2}10120109120P Y P Y ?==
====?，，
327732171
{3}{4}109812010987120
P Y P Y ?????======?????， ．
1
234~84
2871120
120
120
120Y ?? ? ? ???
． 设X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．
解 以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，以)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，未知分布参数λ决定于条件：
2
{1}{2}e
e 2!
P X P X λ
λλλ--====
，．
于是λ=2．由于随机变量)4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此
422
22{=4}=e =e 0.090243
P X --≈ ！
设随机变量X 服从区间25[，]上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率α．
解 设Y 3次独立试验事件{3}A X =>出现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，其中23p =．因此
234
820
(){2}{3}3(1)92727
P B P Y P Y p p p ===+==-+=+
=α．
设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，且满足 {}{}P X C P X C <=≥和{}2{}P X C P X C <=≥
，分别求常数C
解 （1）由{}X C <与{}X C ≥为对立事件，又{}{}P X C P X C <=≥得 1
{}2
P X C <=所以C=3 (2) 由题意可知23
{}=32
C P X C Φ-<=（）
所以反查表可得 3.88C ≈
设随机变量X 服从[1,2]-上的均匀分布，求随机变量Y 的分布律，其中
10 00 10X Y X X -<==>??
???，若，，若，
，若．
解 由于X 服从[1,2]-上的均匀分布，知随机变量Y 的概率分布为
1
{1}{0}{10}{0}{0}03
2
{1}{0}{02}3
1~1233P Y P X P X P Y P X P Y P X P X Y =-=<=-≤<=======>=<≤=?? ? ? ???
，，
；-1．
补充：
第二节 离散随机变量
解：由条件知，随机变量X 的分布列如下：
设{}A =至多遇到一次红灯，则54()(0)(1)64
P A P X P X ==+==
2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量X 服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。
解：A={在一分钟内至少有两辆车通过}，A ={在一分钟内至多有一辆车通过}
由条件知，(),0,1,2,,!
k e P X K k l k λ
λ-===L ，且(0)(1)P X P X ===，
即
0!
1!
e e λλλλ
--=
，求出，1λ= 故：1(0)P X e -==，1(1)P X e -==，
1(A)(0)(1)2P P X P X e -==+== 1()1(A)12P A P e -=-=-
3.计算机硬件公司制造某种特殊型号的芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相对独立，求在1000只产品中至少有2只次品的概率。以X 记产品中的次品数。
解：设{10002}A =在只产品中至少有只次品，{1000}A =在只产品中至多有1只次品，
B={生产的产品是次品}，B ={生产的产品不是次品}
由条件知，()0.001P B =，)0.999B =P(，)0.999P B =(
010001
999
10001000()(0)(1)(10.001)0.001(10.001)P A P X P X C C ==+==-+-
1000999(10.001)(10.001)=-+-
1000
999()1[(10.001)(10.001)]P A =--+-
第三章 随机向量及其概率分布
设随机变量X 和Y 的联合密度为
(1) 试求X 的概率密度)(1x f ；
(2) 试求事件“X 大于Y ”的概率{}P X Y >；
解 (1) 易见，当)1,0(?x 时)(1x f =0；对于10< 222102 166 ()(,)d d (2) 727 6(2)01()7 0 xy f x f x y y x y x x x x x f x +∞-∞??==+=+ ????+< =?????，若，，若不然． ． (2) 事件“X 大于Y ”的概率 112 300066515{}(,)d d d d d 727456x x y xy P X Y f x y x y x x y x x >??>= =+=?= ?? ??? ??? ． ． 设随机变量X 和Y 的联合密度为 22e 00(,) 0 0 0x y x y f x y x y --?>>=?≤≤? 或，若，， ，若． 求随机变量X 和Y 的联合分布函数和概率{1,1}P X Y >>． 解 设(,){,}F x y P X x Y y =≤≤是X 和Y 的联合分布函数．当0≤x 或0≤y 时0),(=y x F ；设 00>>y x ，，则 220 (,)2e e d d (1e )(1e )x y u x y F x y u ----==--? ? v v ． 于是 {} 223 1 1 1,1(1e )(1e )00(,) 0 0 0{1,1}(,)d d 2e d e d e x y x y x y x y F x y x y P X Y f x y x y x y --+∞ +∞ --->>?-->>=? ≤≤?>>= ==???? 或，若，， ，若． ． 设G 是曲线2y x =和直线4y =所围成的封闭区域，而随机向量),(Y X 在区域G 上均匀分布，求X 和Y 的概率密度)()(21y f x f 和． 解 设G 是x y =和2x y =所围区域，其面积G S 为 2 20 16d 3 G S x x == ?（4-）， 因此X 和Y 的联合概率密度为 3 (,)(,)16 0(,)x y G f x y x y G ?∈?=????，若， ，若． (1) X 的密度 对于(02)x ∈，，2 4 2133 ()d 1616 x f x y x ==?(4-)； 于是 2 13(4)()16 x x f x ?-≤ =??? ，若０2． 0，其他． (2) Y 的密度 对于04y ≤<， 20 3()d 16f y x == 于是 24() y f y ≤<=?? ．0，其他． 补充： 第一节 二元随机向量及其分布 1.设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为：(,)(arctan )(arctan )F x y A B x C y =++，求常数 ,,.A B C ,,x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 解: 由条件知，(,)1F +∞+∞=，(,)0F x -∞=,(,)0F y -∞=,即： ()()122(arctan )()02()(arctan )02A B C A B x C A B C y ππππ?++=?? ? +-=?? ?-+=?? 求出，2 1A π=，2B C π== 2．设X Y 和的联合概率密度函数为26,0,x y x f ?≤≤=??（x,y ）， 其他 ，求x 和y 的边缘密度函数。 解：设(,)x f x y 为f （x,y ） 关于x 的边缘密度函数，(,)y f x y 为(,)f x y 为关于y 的边缘密度函数，且，()(,)X f x f x y dy +∞ -∞ =? ，()(,)Y f y f x y dx +∞ -∞ =? 当 01x ≤≤时，2 2 ()66()x X x f x dy x x ==-?， 当0,1x x <>时，()0X f x = 当01y ≤≤ 时，())Y y f y dx y = = 当0y <，1y >时，()0Y f y = 第四章 随机变量的数字特征 设随机变量X 的概率密度为 01()0kx x f x α?<<=? ?，若， ， 其他． 已知0.75EX =，求未知常数k 与α的值． 解 由题设知 1 1 1 20 ()d d 0.7522k k EX xf x x kx x x αααα+∞++-∞ =====++? ?， 另一方面，由于 1 1 100 ()d d 111k k f x x kx x x αααα+∞+-∞ ====++? ?， 于是，得关于k 与α的方程组 0.752 11 k k αα?=??+? ?=?+?，， 其解为2,3k α==． 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，求(32)E X -． 解 熟知，参数为2的泊松分布的数学期望2EX =，故 (32)323224E X EX -=-=?-=． 求EX ，已知随机变量X 具有概率密度为 01()2120x x f x x x <≤?? =-<≤??? ， 若，，若，，其他． 解 由数学期望的定义，知 12 20 1 1 2 2323101 ()d (2)d 11 133EX xf x x x dx x x x x x x +∞-∞ ==+-=+-=? ??． 设随机变量X 具有概率密度如下， 2(1)12() 0 x x f x -< ?，若， ，其他. 解 由随机变量函数的数学期望，知 2 22 111 1()d 2(1)d 2ln 2ln 2EZ zf x x x x x x x +∞-∞ ==-=-=-? ? ． 设随机变量123X X X ,,相互独立，且1X 服从区间(0,6)上的均匀分布，而2 2~(0,2)X N ， 3X 付出参数为3的泊松分布，试求12323Y X X X =-+的方差． 解 由条件知1233,4,3DX DX DX ===，而由方差的性质可得 123123 (23)493449346DY D X X X DX DX DX =-+=++=+?+?=． 设随机变量X Y 与相互独立，且~(12)~(01)X N Y N ，，，，试求随机变量23Z X Y =-+的数学期望、 方差以及概率密度． 解 由条件知，~(1,2), ~(0,1)X N Y N ．从而由期望和方差的性质得 23549EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=，． 由于Z 是X 和Y 的线性函数，且,X Y 是相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，而正态分布完全决定于其期望和方差，因此~(5,9)Z N ，于是，Z 的概率密度为 2 (5) 29() ()z Z f z z --?=-∞<<+∞． 已知随机向量(,)X Y 的概率密度 0101(,) 0 x y x y f x y +≤≤≤≤?=??，若， ，，若不然． 求cov()XY EX EY DX DY EXY X Y ρ,,,,,,,． 解 (1) 求EX EY DX DY ,,,。 11100011122220002 2217 (,)d d d ()d d 21215(,)d d d ()d d 2125711 ()1212144 EX xf x y x y x x x y y x x x EX x f x y x y x x x y y x x x DX EX EX +∞+∞ -∞-∞+∞+∞-∞-∞??==+=+= ???? ?==+=+= ??? ??=-=-= ???? ?????????；；． 由对称性，有 711 12144 EY DY = =，． (2) 求cov()XY EXY X Y ρ,,,． 11100011 (,)d d d ()d d 2331771 cov(,)31212144 114411114411XY x EXY xyf x y x y x x y x y y x x X Y EXY EX EY +∞+∞ -∞-∞??==+=+= ??? =-=-?=-==-=-? ????ρ；； ． 第六章 数理统计的基本概念和抽样分布 假设总体X 服从参数为λ的泊松分布, ，而12(,,,)n X X X …是来自总体X 的简单随机样本．求12(,,,)n X X X …的概率函数． 解 总体X 的概率函数为 , e (;) ! 0 x x p x x x λ λλ-??=???若为自然数若不是自然数，，． 由于12,,,n X X X …独立同服从参数为λ的泊松分布，可见12(,,,)n X X X …的概率函数为 121211221 12(,,,){,,,}e ()(0,1,2,)!!!n n n n n n x x x i i i n p x x x P X x X x X x p x x x x x λ λλλ-+++========∏L …；；………． 假设总体),(~2 σμN X ，而12(,,,)n X X X …是来自总体X 的简单随机样本．求12,,,n X X X …的概率函数. 解 由于12,,,n X X X …独立同分布，可见12 (,,,)n X X X …的密度为 22 () 212i 1 221(,,,)1exp ()2i x n n n n i i f x x x x μσμσ--===??=--????∑L ． 其中12,,,n x x x -∞<<+∞…． 第七章 参数估计 设总体X 的概率分布为 2 2 12 3 ~2(1) 12X θθθθθ? ? ?--? ? ， 1 (022134)28 X =++?+?= 用X 估计数学期望EX ，可得关于未知参数θ矩估计量?Θ 的方程；总体X 的数学期望为 21???????2(1)23(12)2434104 EX x =-++-==-+-==，，，．θ θθθθθθ 于是，θ的矩估计值为１４． (2) θ的最大似然估计量 易见，在12(,,,)n X X X … 中0,1,2和3各出现1， 2，1和4次，因此未知 参数θ似然函数和似然方程为 22242212()[2(1)](12)ln ()ln 6ln 2ln(1)4ln(12)dln ()62861)1212)81) d 1121)12121430 1214301)12?L L C L =--=++-+----+-=--= ----+==+=--==， ；（（）-2（（（（） -，-，（（） θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ 其中C 是常数，而似然方程的解 1 ?θ=≈10.88>2 显然不合题意。于是，参数θ的最大似然估计值为 ?θ ≈0.28． 设总体X 的密度函数为 其中0θ>为未知参数, 12,,,n X X X …为来自总体X 的一个样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量. 解 (1) 矩估计量 总体X 的数学期望为 1 1 1 ()d d EX xf x x x x θθ+∞-∞=== ? 将EX 换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量?Θ ： 2 2 ?1X X X Θ==-（）． (2) θ的最大似然估计量 参数θ的似然函数?Θ 为 11 2 11 1 1 11 22 2 2 1 1 () ln()ln1)ln 2 ln() ln0 2 ln0ln ? ln0 ln n n n i i i i n i n i n n i i n n i i i L n L X L n X X X n X n X θθ θθ θ θθ θθ θθΘ == = = == = = == =+ =+= ?==- ? ? ??-== ? ???? ? ?? ∏ ∑ ∑∑ ∑ ∑ 2 ， ， d ， d ，， ，． 假设总体X的概率密度为 01 (;)112 x f x x θ θθ << ? ? =-≤< ? ?? ，若， ，若， ，其他， 其中θ是未知参数（1 0< <θ）． 12 ,,, n X X X …为来自总体X的简单随机样本，记N为样本的n个观测值中小于1的个数． (1) 求θ的矩估计量；(2) 求θ的最大似然估计量． 解 (1) 求θ的矩估计量总体X的数学期望为 12 01 3 (;)d d(1)d 2 EX xf x x x x x x θθθθ +∞ -∞ ==+-=- ???． 用样本均值X估计EX，得θ的矩估计量?Θ： 33 ?? 22 X X ΘΘ =-=- ，． 于是，?Θ就是θ的矩估计量． (2) 求θ的最大似然估计量参数θ的似然函数为 ， ； ， 1 ) ( ln ) 1 ln( ) ( ln ) ( ln ) 1( ) ; ( ) ( 1 = - - - = - - + = - = =- = ∏ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ N n N d L d N n N L X f L N n N n i i ? (1) N N n N n θθθΘ -=-= ，． 于是，θ的最大似然估计量是?N n Θ=． 第5章 概率与概率分布 练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间： （1） 抛三枚硬币。 （2） 把两个不同颜色的球分别放入两个格子。 （3） 把两个相同颜色的球分别放入两个格子。 （4） 灯泡的寿命（单位：h ）。 （5） 某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球， 请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件： （1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。 （2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。 （3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品， 而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中 了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。 根据这些数值，分别计算： （1） 有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2） 只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3） 有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率： （1）)2( 5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求： （1） 晚班期间恰好发生两次事故的概率。 （2） 下午班期间发生少于两次事故的概率。 （3） 连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求： （1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率： （1）)2.10(≤≤Z P 。 （2）)49.10(≤≤Z P 。 （3）)048.0(≤≤-Z P 。 （4）)037.1(≤≤-Z P 。 （5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下： 试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否 为二项分布的良好近似 （1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。 （3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。 概率论与数理统计模拟题一 一、 单项选择题（每小题3分，共30分） 1、设,,A B C 是随机事件，且AB C ?，则（ ）。 (A)C A B ?U (B) A C ?且B C ? (C)C AB ? (D) A C ?或B C ? 2、某工厂生产某种圆柱形产品，只有当产品的长度和直径都合格时才算正品，否则就为次品，设A 表示事件“长度合格”，B 表示事件“直径合格”，则事件“产品不合格”为（ ）。 (A)A B U (B) AB (C)AB (D) AB 或AB 3、已知()0.6,()0.8,()0.6P A P B P B A ===，则()P A B =（ ）。 (A)0.4 (B) 0.5 (C)0.6 (D) 0.7 4、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的为（ ）。 (A)21()1F x x = + (B) 11 ()arctan 2 F x x π=+ (C)1(1),0 ()20, 0x e x F x x -?->?=??≤? (D) ()()x F x f x dx -∞=?，其中()1f x dx +∞-∞ =? 5、设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ，则（ ）。 (A)0()1f x ≤≤ (B)()()P X x F x == (C)()()P X x F x =≤ (D) ()()P X x f x == 6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ ）。 (A)1)1(2-Φ (B))2()4(ΦΦ- (C))2()4(---ΦΦ (D))4()2(ΦΦ- 7、设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 已知事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立，则（ ）。 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： 概率与统计 大题练习3 1．某校决定为本校上学所需时间超过30分钟的学生提供校车接送服务(所有学生上学时间均不超过60分钟)．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位：分)，将600人随机编号，为001,002，…，600，将抽取的50名学生的上学所需时间分成六组：第一组(0,10]，第二组(10,20]，…，第六组(50,60]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到的，且第一个抽取的编号为006，则第5个抽取的编号是多少？ (2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a 分钟，b 分钟，求满足|a －b |>10的概率． (3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？ 解析：(1)因为600÷50＝12，且第一个抽取的编号为006， 所以第5个抽取的数是6＋(5－1)×12＝54，即第5个抽取的编号是054. (2)第四组的人数为0.008×10×50＝4，设这4人分别为A ，B ，C ，D ，第六组的人数为0.004×10×50＝2，设这2人分别为x ，y ， 随机抽取2人的可能情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，xy ，Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共15种，其中他们上学所需时间满足|a －b |>10的情况有Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共8种． 所以满足|a －b |>10的概率P ＝8 15 . (3)全校上学所需时间超过30分钟的学生约有600×(0.008＋0.008＋0.004)×10＝120(人)， 所以估计全校应有120÷40＝3辆这样的校车． 2．某教师统计甲、乙两位同学20次考试的数学成绩(满分150分)，根据所得数据绘制茎叶图如图所示． (1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数； (2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； (3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个，设事件A 为“选出的2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率． 解析：(1)甲同学成绩的中位数是116＋1122＝119，乙同学的中位数是128＋128 2 ＝128. (2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定． 第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18 练习题一 一、填空题。 1、已知P(A)=0.3，P(A+B)=0.6，则当A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。 2、已知X ～),(p n B ,且8E X =, 4.8D X =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。 3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。 4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为： 则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立？_____________（填独立或不独立）。 5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n = ++ 服从__________。 6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为 。 7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 ()1 010 x x x x x ?+≤ 3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。（ ） 4、已知θ 是θ的无偏估计，则2 θ 一定是2θ的无偏估计。（ ） 5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为 0.4。（ ） 三、选择题。 1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是 （A ）1e -； （B ）3e -（C ）31e --（D ）13e - 2、设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为 （A ） ()3 131- y F （B ）()13+y F （C ）1)(3+y F （D ）?? ? ??- 313 1y F 3、设随机变量(3,4)N ξ ，且()()P c P c ξξ≤=>，则c 的取值为（） （A ）0； （B ）3； （C ）-3； （D ）2 4、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是（）。 （A ）8； （B ）16； （C ）28； （D ）44 5、设B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ） （A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件 （C ）Φ=?B A （D ）)()(A P B P ≤ 四．据某医院统计，心脏手术后能完全复原的概率是0.9，那么在对100名病人实施手术后，有84至95名病人能完全复原的概率是多少？ （Ф0(1.67)=0.9525, Ф0(2)=0.9773） 五、设总体ξ的概率密度为0 (,)0x e x x λλ?λ-? >=? ?当其它，其中0λ>，试求参数λ的 最大似然估计量。 六、若已知某地幼儿身高总体的标准差7()cm σ=，现从该地一幼儿园中抽查了9名幼儿，测得身高()cm 为：115，120，131，115，109，115，115，105，110，试求总体期望值μ的95％的置信区间：（1）若已知幼儿身高分布为正态分布；（2）若幼儿身高分布未知。 七、证明：对于任何的随机变量ξ，都有22()D E E ξξξ=-。 统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.（2013广东理17）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.（2013新课标Ⅱ理）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图 (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下： 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是（ ） A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 概率与统计练习题 (出题人 董贞) 一、填空题 1、小明五次测试成绩如下：91、89、88、90、92，则这五次测试成绩的平均数是_______________。 2五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：㎝）：2、-2、-1、1、0，则这组数据的极差为_________________㎝。 3、十位同学分别购买如下尺码的鞋子：20、20、21、22、22、22、22、23、23、24（单位：㎝）这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中，鞋店老板最喜欢的是______________。 4、已知一组数据：-2、-2、3、-2、x 、-1，若这组数据的平均数是0.5，则这组数据的中位数是____________。 5、小张和小李去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如图所示，根据图中的信息，估计两人中谁的方差小___________________。 6、抛掷两枚分别标有1、2、3、4的四面体骰子，写出这个实验中的一个可能事件是___________________。 7、长度分别是1、3、5、7、9的五条线段，从中任取三条，则恰能围成三角形的概率是______________________。 8、小明和小丽按如下规则做游戏：桌上放有5支铅笔，每一次取一只或两只，有小明先取，最后取完铅笔的人获胜。如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应该取走___________只。 9、下表示对某校10名女生进行身高测量的数据表（单位：厘米），但其中一个数据不慎丢失（有x 表示）。 从这10名女生中任意抽出一名身高不低于162㎝的事件的可能性，可以用下图中的点____表示 (在A 、B 、C 、D 、E 五个字母中选择一个符合题意的) 。 10、某路公交车每20分钟一班，王义由于要急着上班，他最多只有5分钟的候车时间，否则他只能打出租车上班，那么他打出租车上班的概率是_________。 二、选择题 11、十字路口的信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮秒25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是（ ） 12、一个均匀的立方体六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6。如图是这个立方一半的概率是（ ）。 13、甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有( )。 A 、3种 B 、4种 C 、6种 D 、12种 14、王大爷在工商银行存入5000元人民币，并在存单上留下4位数的密码，每个数字都是0～9这十个数字中的一个，但由于年龄的原因，王大爷忘了密码中间的两个数字，那么王大爷最多可能试验（ ）次，才能正确输入密码。 A 、1次 B 、50次 C 、100次 D 、200次 15、体育课上，八年级一班两个组各10人参加立定跳远，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组立定跳远成绩的是（ ）。 A 、频率分布 B 、平均数 C 、方差 D 、众数 身高/㎝ 156 162 x 165 157 168 165 163 170 159 0 1 23 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 · · · · · · · · · · ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ·小张 ◎小李 2 1 6 4 5 3统计学统计学概率与概率分布练习题
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