概率论试题(含解析)
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
1、事件A B 、独立，且()0.8,()0.4P A B P A ?==，则__
(|)P B A 等于 （A ）0； （B ）1/3； （C ）2/3； （D ）2/5.
答：（ B ） 2、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数,则下列选项正确的是 （A ）()f x 连续； （B ）()(),P X a f a a R ==?∈；
（C ）()f x 的值域为[0,1]； （D ）()f x 非负。
答：（ D ） 3、随机变量),(~2σμN X ，则概率{1}P X μ≤+随着σ的变大而
（A ）变小； （B ）变大； （C ）不变； （D ）无法确定其变化趋势。
答：（ A ） 4、已知连续型随机变量X Y 、相互独立,且具有相同的概率密度函数()f x ，设随机变
量min{,}Z X Y =，则Z 的概率密度函数为
（A ）2
)]([z f ；
（B ）2()()z f u du f z -∞
?； （C ）2
)](1[1z f --； （D ）2(1())()z f u du f z -∞
-
?
.
答:（ D ）
5、设12+1,,,,,,m m n X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的容量为n 的简单样本，则统计
量
2
12
1
()m
i
i n
i
i m n m X m
X ==+-∑∑
服从的分布是
（A ）(,)F n m m - （B ）(1,1)F n m m --- （C ）(,)F m n m - （D ）(1,1)F m n m ---
答:（ C ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
6、某人投篮，每次命中的概率为2
3，现独立投篮3次，则至少命中1次的概率为2627.
7、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为
(1)
2,1()0,x Ae x f x --??≥=???
其它
，则常数A =12
.
8、二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(12)(13),
0,0(,)0,x y x y F x y --?-->>=?
?
其它
，则概率
(1)P Y ≤=23.
9、已知随机变量X Y 、的方差分别为2,1D X D Y ==，且协方差(,)0.6C o v X Y =，则
)(Y X D -=1.8.
10、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X （单位：cm ）服从正态分布
2
(,0.3)N μ，从某天生产的产品中随机抽取
9个产品，测其直径，得样本均值_
x ＝
1.12，则μ的置信度为0.95的置信区间为(0.924,1.316).
（已知0.025 1.96z =，0.05 1.65z =，0.025(8) 2.3060t =，0.05(8) 1.8595t =）
三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
11、玻璃杯成箱出售，每箱20只，设每箱含0,1,2只残品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1.
顾客购买时，售货员随意取一箱，而顾客随意查看四只，若无残品，则买下，否则，退回。现售货员随意取一箱玻璃杯，求顾客买下的概率。（结果保留3个有效数字） 解：设B 表示售货员随意取一箱玻璃杯，顾客买下；i A 表示取到的一箱中含有i 个残品，
0,1,2i =，则所求概率为
2
()(|)()...............................................................................(5')
19181716181716150.810.10.1...........................(9')20191817
20191817
0.9i
i
i P B P B A P A ==
??????=?+?
+?
??????≈∑43...................................................................................................(10')
12、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为
2
2(),
01()3
0,x x x f x ?+<
其它
，
（1）求概率(01/2)P X <<；（2）求1()E X .
解：（1）由题意
122
(012)2()....................................................(4')
3
1....................................................................................................(5')
6
x P X x dx <<=+
=?
（2）由随机变量函数的数学期望的性质
10
111(
)()2()............................................(9')
3
5')
E f x dx x dx X x
+∞-∞
=
=
+
=?
?
13、已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()arcsin ,
011,1
x F x A x x x ≤?
?
=<
， （1）求常数A ；（2
）求(1/22)P X ≤<；（3）求X 的概率密度函数()f x .
解：（1）由分布函数的性质
(1)(1)arcsin 1 1...........................................................(1')F F A -+
=?=
因此可得 2...........................................................................(3')A π= （2）由分布函数的性质
(1/22)2)(1/2).........................................(5')
2
2
2)arcsin(1/2)13............................................(7')
P X F F π
π
≤<=-=-
=
（3）由密度函数的定义
01()()............(10')0,x dF x f x dx <<=
=?
其它 14、已知二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为
,
0(,)0,
y e x y f x y -?<<=?
?其它
，
（1）求概率(1)P X Y +≤；
（2）分别求出(,)X Y 关于X Y 、的边缘密度函数()()X Y f x f y 、 ,并判断,X Y 是否独立。 解：（1）由题意
{1}
12112(1)
12
2
(1)(,)...............................................(2')
().....................................(4')(1).................................x y x y
x
x x
P X Y f x y dxdy dx e
dy e
e
dy e
+≤------+≤==
=
-=-??
?
?
?
...............................................(5')
（2）由边缘密度函数的定义
,0,0()..............................(7')
0,0,y x x X e dy x e x f x +∞--??>>?
==??
????其它其它
0,0,0().............................(9')
0,0,y y y Y e dx y ye y f y --??>>?==???
???其它
其它
因为当0,0x y >>时，(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X Y 、不独立。.........(10')
15、已知二元离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为
（1）分别求出(,)X Y 关于X Y 、的边缘分布律；（2）分别求出,,,,.XY EX EY D X D Y ρ 解：（1）
(,)X Y 关于X 的边缘密度函数为0
1............................(2')0.2
0.8?? ???
(,)X Y 关于Y
的边缘密度函数为101..........................(5')0.1
0.3
0.6-??
???
（2） 由（1）可得0.8,0.16;0.5,0.45..................(7')EX DX EY DY ==== 又()(1)10.08110.480.40.......................................(8')E XY =-??+??= 则
0.................(10')XY ρ=
=
=
=
16、已知总体X 服从参数为(01)p p <<的几何分布，即X 的分布律为()1
(1)
x P X x p p -==-，1,2,x = ，若12,,,n X X X 为来自总体X 的一个容量为n 的简
单样本，求参数p 的最大似然估计量。
解：似然函数为11
()(1)............................................................(3')i
n
x i L p p p -==-∏
1
ln[()]ln ()ln(1)..............................(5')
n
i i L p n p x n p ==+--∑对数似然函数
1
^
1
ln[()]
00.....................................................(8')
1...........................................................(10')
n
i i n
i i n x d L p n dp
p
p
p p n
X ==-=?
+
=-=∑∑
令
的最大似然估计量
四、应用题（本大题共1个小题，5分）。
17、一系统由n 个独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且至少有
80%的部件正常工作，系统才能运行。问n 至少为多大时，才能使系统可以运行的概率不低于0.95？（已知(1.65)0.95Φ=）
解：设X 表示n 个部件中正常工作的部件数，则(,0.9).................(1')X b n
由中心极限定理(0.9,0.09)......................................................(2')X N n n 近似
由题意，要求满足(
80%)0.95X P n
≥≥的最小的n
，而
(0.8)0.950.95
0.95(1.65) 1.6524.5.......................(4')
P X n P n ≥≥?≥
≥?Φ≥=Φ?≥?≥
即n 至少为25. ...........................................................................................(5') 五、证明题（本大题共1个小题，5分）。
18、已知一母鸡所下蛋的个数X 服从参数为λ的泊松分布，即X 的分布律为
(),0,1,2,!
k e
P X k k k λ
λ-==
= ，而每个鸡蛋能够孵化成小鸡的概率为p .证明：这只母
鸡后代（小鸡）的个数Y 服从参数为p λ的泊松分布，即
()
()(),0,1,2!
r
p p P Y r e
r r λλ-==
= .
证明：由题意，对任0,1,2r =
()(|)()............................................(2')
!
(1)(1)
........(3')
!!!()!()((1)
!
()!
k r
k r r k r
r k r
k r
k r
k r
r
k r
k r
k r P Y r P Y
r X k P X k k e
e p
k p p p r k r k k r e
p e
p r k r λ
λ
λ
λ
λλλ
λλ
λ+∞
=---+∞
+∞
--==---+∞
-===
===??=
-=- ?-??
=
-=
-∑∑
∑
∑(1)
()
)!
()
.....................................................................................(5')
!
r
p p r
p e
r e
p r λλλ--=
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
《概率统计》试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
概率统计试题和答案
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
概率论与数理统计习题 含解答 答案
概率论与数理统计复习题（1） 一． 填空. 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。 2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。 3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=
长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。 二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四． X 的概率密度为? ??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)； 五． （X,Y ）的概率密度 ???<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 （1）常数k ；（2） X 与Y 是否独立；（3）XY ρ； 六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试 将其余概率值填入表中空白处.
概率论复习题及答案
复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
1概率统计试题分析
概率统计试题分析 1 一、填空题 1、已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，求( )P A B = 0.2 。 2、设X 和Y 相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布，记事件 }{}{a Y B a X A >=≤=,，且7 ()9 P A B = ，则常数 a = 5733 a =或。 3、某机构有一个9人组成的顾问小组，如每个顾问提出正确意见的概率是7.0，现在该机构对某事可行与否征求各位顾问的意见， 并按多数人意见做出决策，做出正确决策的概率= （写出计算表达式）9 9950.70.3k k k k C -=??∑ 4、设(0,1)X U :，则2ln Y X =-的概率密度为 21, 0()2 00 y Y e y f y y -?>?=??≤? 5、如果存在常数)0(,≠a b a , 使()1P Y aX b =+=，且 +∞< 22 1 1(1)~(4)n i i n X χ=-∑ 8、设∧ θ是θ的无偏估计，()0D θ∧ >，则比较大小2 ()E θ∧ > 2 θ 二、（10分）对有100名学生的班级考勤情况进行评估，从课堂上随机点了10位同学的名字，如果班上学生的缺勤人数从0到2是等可能的，并且已知该班考核为全勤，计算该班实际上确实全勤的概率。 解 设i A 表示实际缺勤人数0,1,2i =，所以1 ()3 i P A = 设B 表示点名为全勤（优秀）1010010100 ()i i C P B A C -=，0,1,2i = 0002 ()() 110 ()0.369298 ()() i i i P A P B A P A B P A P B A == = =∑ 三、（12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为： ()201,02 ,3 xy x x y f x y ?+ <<< 1.全概率公式 贝叶斯公式 1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？ 解：设A i 、A 2、A 3分别表示“谨慎的” “一般的”和“冒失的”保险户，B 表示“发生事故”，由贝叶斯公式知 057 .030 .03.015.05.005.02.005 .02.0) |()()|()()|()() |()()|(332211111≈?+?+??= ++=A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P 2.老师在出考题时, 平时练习过的题目占60%. 学生答卷时, 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%, 求: (1) 考生在考试中答对第一道题的概率; (2) 若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率. 3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%。 1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。 解：1、 解：设事件A 表示拉到一级菜，1B 表示从甲地拉到，2B 表示从乙地拉到， 3B 表示从丙地拉到 则1()0.2P B =，2()0.5P B =；3()0.3P B = 1()0.1P A B =，2()0.3P A B =, 3()0.7P A B = 则由全概率公式得 3 1 ()()(/)i i i P A P B P A B ==?∑=0.20.10.50.30.30.70.38?+?+?=—（7分） (2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为 222()()0.50.3 ()0.3947()0.38 P B P A B P B A P A ??= ==—————————（10分） 2.一维随机变量 5.设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布，求随机变量 2X Y=e 的密度函数. 6. ).1,0(~-X Y ),,N(~X 2N σμ = σμ用分布函数法证明：已知 证明: 设 b aX Y x f X x +=),(~, 则0≠a 时,Y~ )(y f Y =a 1)(a b y Y f - {}{}) 1,0(~21 2)()()()()()(2 2)(22 2 N Y e e y f y F y F y f y F y X P y X y Y P y F y y X X Y Y X Y ∴π = σ πσ =σμ+σ=μ+σ'='=μ+σ=μ+σ≤=? ?? ???≤ σ μ -=≤=- σμ-μ+σ- 7.设随机 7.变量X 的密度函数 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率统计重修复习题型 填空题： 1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。 2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。 3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。 4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。 5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。 6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机 地从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得黄球的概率是 。 7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔， 取后不放回。则第三个人取得红笔的概率是 。 8. 已知随机变量X 的密度为，其他?? ?<<=, 01 0,)(x x a x f 则a = 。 9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。 10. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f += π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概 率密度为 。 11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。 12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为 G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。 13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度 函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。 14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。 15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。 16. 设~U(1,5),X -则=)(X E ，()D X = 。 17. 设~b(5,0.1),X ~π(2),Y 且,X Y 相互独立，则()E XY = 。 18. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则=-)32(Y X D 。 19. 设),5,2(~),4,3(~N Y N X 且,2),(-=Y X Cov 则相关系数为 。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或 北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (= 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 一.填空题（每空题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、 第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4， Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ， (~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则： =-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。则：~X N （8 ， 8/13 ）， ~16252 S )25(2χ， ~5 2/8s X - )25(t 。 ○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○ ………… 学校: ___ ___ _ _ __ _姓名：___ _ __ ___ _ _班级：__ __ _ _ ___ _ _考号：_ _____ __ ___ ○ … … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … …○ … … … … 订… … … … ○ … ………线…………○………… 统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a 和b 所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．概率论期末考试试题
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