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第一讲 函数、极限、连续

1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性

奇函数： f ( x) f ( x) ，图像关于原点对称。 偶函数： f ( x)

f ( x) ，图像关于 y 轴对称

3、无穷小量、无穷大量、阶的比较

设 α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则

（ 1）若 lim

α

0 ，则 α是比 β高阶的无穷小量。

β

（ 2）若 lim α c （不为 α

β 0），则

与 β是同阶无穷小量

特别地，若

lim

α 1

α β

，则 与

是等价无穷小量

β

（ 3）若 lim α

α β

β

，则

与

是低阶无穷小量

记忆方法：看谁趋向于 0 的速度快，谁就趋向于

0 的本领高。

4、两个重要极限

（ 1） lim

sin x

lim

x 1

x 0

x

x

sin x

使用方法：拼凑

lim

sin

lim

sin

0 ，一定保证拼凑

sin 后面和分母保持一致

1

x

1

（ 2） lim

1

lim (1 x) x

e

x

x

x

1 lim (1

)

e

使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

a

, n

m

5、 lim

P n

x

b 0 0, n m

x

Q m

X

, n m

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P n x 的最高次幂是n,Q m x 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。 n m ,以相同的比例趋向于无穷大；n m ，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m ，分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限

左极限：lim f ( x)A

x x0

右极限：lim f ( x)A

x x0

lim f ( x)A充分必要条件是lim f ( x) lim f ( x) A

x x0x x0x x0

注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。

8、连续、间断

连续的定义： lim y lim f (x0x) f ( x0 ) 0

x0x 0

或 lim f (x) f ( x0 )

x x0

无法成立的三种情况

间断：使得连续定义lim f ( x) f ( x0 )

x x0

f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义

lim f ( x)不存在

x x0

lim f ( x) f ( x0 )

x x0

记忆方法： 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等

9、间断点类型

（ 1）、第二类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 至少有一个不存在

x x0x x0

（ 2）、第一类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 都存在

x x0x x0

可去间断点：lim f ( x)lim f (x)

x x0x x0

跳跃间断点：lim f ( x)lim f (x)

x x0x x0

注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃”

10、闭区间上连续函数的性质

（ 1）最值定理：如果 f ( x) 在 a,b 上连续，则f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。

（ 2）零点定理：如果 f (x) 在 a,b 上连续，且 f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b内至少存在一点，使得 f ( )0

第三讲中值定理及导数的应用

1、罗尔定理

如果函数

y f (x) 满足：（1）在闭区间a, b上连续；（ 2）在开区间（a,b）内可导；（3） f (a) f (b) ，则在 (a,b)内至少存在一点，使得

记忆方法：脑海里记着一幅图：

a b

2、拉格朗日定理

如果 y f ( x) 满足（1）在闭区间 a,b 上连续

（ 2）在开区间（ a,b）内可导；

则在 (a,b)内至少存在一点，使得 f ( )f (b) f (a)

b a

脑海里记着一幅图：

a b

（ * ）推论 1 ：如果函数y f (x) 在闭区间a,b 上连续，在开区间（a,b）内可导，且 f (x)0 ，那么在 (a, b) 内 f ( x) =C恒为常数。

记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。

（*）推论2：如果 f (x), g( x) 在a, b上连续，在开区间(a,b) 内可导，且 f ( x)g ( x), x(a,b) ，那么 f ( x) g( x) c

记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等

满足 f ( x) 0 的点，称为函数 f (x) 的驻点。

几何意义：切线斜率为0 的点，过此点切线为水平线

4、极值的概念

设 f ( x) 在点 x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数f (x) 的极大值， x0称为极大值点。

设 f (x) 在点 x0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有f ( x) f (x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数f (x) 的极小值， x0称为极小值点。

记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。

5、拐点的概念

连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。

注 y x3在原点即

是拐点

6、单调性的判定定理

设 f (x) 在 (a,b) 内可导，如果 f ( x)0 ，则 f (x) 在 ( a,b) 内单调增加；

如果 f ( x)0 ，则 f ( x) 在 (a,b) 内单调减少。

记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，7、取得极值的必要条件

f(x)0 ；f( x)0 ；

可导函数 f ( x) 在点 x0处取得极值的必要条件是 f ( x0 )0

8、取得极值的充分条件

第一充分条件：

设 f (x) 在点 x0的某空心邻域内可导，且 f (x) 在 x0处连续，则

（ 1）如果x x0时， f(x)0;

x

,那么f (x)在x0处取得极大值 f ( x0 ) ；x 时， f (x)

（ 2）如果 x x0时， f(x)0； x x0时， f (x)0 ，那么 f (x)在x0处取得极小值 f ( x0 ) ；（ 3）如果在点 x0的两侧， f(x)同号，那么 f ( x) 在 x0处没有取得极值；

记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件：

设函数 f (x) 在点 x 0 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且f ( x 0 ) 0， f ( x 0 )

则 （1）如果 f ( x 0 )

0 ，那么 f (x) 在 x 0 处取得极大值 f ( x 0 ) ；

（2）如果 f ( x 0 )

0 ，那么 f (x) 在 x 0 处取得极小值 f ( x 0 )

9、 凹凸性的判定

设函数 f (x) 在 (a,b) 内具有二阶导数， （ 1）如果 f ( x) 0, x ( a,b) ，那么曲线 f (x) 在 ( a,b) 内凹的；

（2）如果 f ( x) 0, x ( a,b) ，那么 f (x) 在 (a,b) 内凸的。

图像表现：

凹的表现

凸的表现

10、

渐近线的概念

曲线 f ( x) 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。

（ 1） 水平渐近线：若 lim f ( x)

A ,则 y

f (x) 有水平渐近线 y A

x

(2) 垂直渐近线：若存在点

x 0 ， lim f ( x)

，则 y

f (x) 有垂直渐近线 x x 0

x

（ 2） 求斜渐近线：若

lim f ( x)

, lim ( )

x

x

a

f

x ax b ，则 y ax b 为其斜渐近线。

x

11、罗比达法则

遇到“” 、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。

如果遇到幂指函数，需用 f ( x)e ln

f ( x)

把函数变成“0”、“”。

第二讲导数与微分

1、导数的定义

（ 1）、f( x0 )lim y lim f ( x0x) f ( x0 )0

x 0x0

（ 2）、f( x0 )lim f (x0h) f (x0 )

h 0h

（3）、 f (x

0 )lim f (x) f (x0 )

x x0x x0

注：使用时务必保证x0后面和分母保持一致，不一致就拼凑。

2、导数几何意义： f ( x0)在x x0处切线斜率

法线表示垂直于切线，法线斜率与 f ( x0 ) 乘积为—1

3、导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。

4、求导方法总结

（1）、导数的四则运算法则

u v u v

(u v) u v v u

u u v v u

v v2

（ 2）、复合函数求导：

y f x 是由 y f (u) 与 u(x) 复合而成，则

dy dy du

dx du dx

（ 3）、隐函数求导

对于 F ( x, y) 0 ，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。

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（ 4）、参数方程求导

x(t) f ( x)

，则dy dy

(t )

确定一可导函数 y dt

设

(t )

y dx dx(t )

dt

dy d ( dy

)

d 2 y d ()dx

dx dt

dx2dx dx

dt

(5)、对数求导法

先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（ 6）、幂指函数求导

幂指函数 y u(x)v( x)，利用公式a e ln a

ln u ( x )v ( x )

e v( x ) ln u ( x )

y e然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。

第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导

注：优选选择第二种方法。

5、高阶导数

对函数 f ( x) 多次求导，直至求出。

6、微分

dy y dx

记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加

7、可微、可导、连续之间的关系

可微可导

可导连续，但连续不一定可导

dx，不需要单独记忆。

8、可导与连续的区别。

脑海里记忆两幅图

（1）（ 2）

y x2在x=0既连续又可导。y x 在x=0只连续但不可导。

第四讲不定积分

一、原函数与不定积分

1、原函数：若F ( x) f ( x) ，则 F ( x) 为 f (x) 的一个原函数；

2、不定积分： f (x) 的所有原函数 F ( x) +C叫做 f ( x) 的不定积分，记作 f (x)dx F ( x)C

二、不定积分公式

记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式

三、不定积分的重要性质

1、2、f (x)dx f (x)或d f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x) c

注：求导与求不定积分互为逆运算。

四、积分方法

1、基本积分公式

2、第一换元积分法（凑微分法）

把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。

3、第二换元积分法

ax b,令t ax b

a2x2令 x a sin t

三角代换x2a2令x a sect

x2a2令x a tan t

三角代换主要使用两个三角公式：sin 2 t cos2 t 1, 1 tan2 t sec2 t

4、分部积分法udv uv vdu

第五讲定积分

1、定积分定义

b n

f ( i )x i

a

f (x) dx lim

x0 i1

如果 f ( x) 在 a,b上连续，则 f (x) 在 a, b 上一定可积。

理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。

2、定积分的几何意义

b

b

曲边梯形的面积。 S= f ( x)dx 。

a

如果 f (x) 在 a, b 上连续，且 f ( x)0，S=b

（ 2）a f ( x)dx 。

3、定积分的性质：

b b

（ 1）a kf ( x)dx k a f ( x)dx

b b b

（ 2）a f ( x)g( x)dx =a f ( x)dx a g (x)dx

b c b

（3）

a

f ( x)dx a f ( x)dx c g( x)dx

b

b a f ( x)dx0a b

（ 4）1dx a f ( x)dx f (x)dx

a a

b a

b b

（ 5）如果f ( x)g( x) ，则a f ( x)dx a g( x)dx

（ 6）设 m,M 分别是f ( x)在a,b的 min, max, 则

b

m(b a)a f ( x) dx M (b a)

M

m

记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积

（ 7）积分中值定理

b

如果 f (x) 在 a,b 上连续，则至少存在一点a,b ，使得a f ( x)dx f ( )(b a)

记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。

1称

b a b

a

f (x)dx为 f (x)在a, b上的平均值。

4、积分的计算

（ 1）、变上限的定积分

x

f ( x)

( f (t) dt )

a

x

注：由此可看出来(x) a f (t) dt 是 f (x) 的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有

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（ 2）、牛顿—莱布尼兹公式

设 f (x) 在 a,b 上连续， F ( x) 是 f (x) 的一个原函数， 则

b f ( x)dx F ( x) b

a F (b) F ( a)

a

由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，

只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。

基本积分公式

第一换元积分法（凑微

分法）

第二换元积分法

分部积分法

5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分 （ 1）、若 f ( x) 在 a, a

（ 2）、若 f ( x) 在

a,a

上为奇函数，则

上为偶函数，则

a a a a

f ( x) 0

a

f ( x) 2 0 f ( x)dx

注：此方法只适用于对称区间上的定积分。

6、 广义积分

（1）

无穷积分

c

a

b

f ( x) dx lim

a f (x)dx

c

f ( x)dx

lim

b f ( x)dx

c

c

c

f ( x)dx f ( x)dx

c

f ( x)dx

7、 定积分关于面积计算

f (x)

g( x)

b

面积 S

a

f (x)

g ( x) dx ，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界 a, b 上的定积分。

d

x

( y) x ( y)

c

d

面积 S= c

( y) ( y) dy

记忆方法：把头向右旋转

90°就是第一副图。

8、旋转体体积

（1）y f (x)

a b x

曲线 f ( x) 绕x轴旋转一周所得旋转体体积

b2： V x f ( x) dx

a

（2）、 f (x)

g( x)

a b

x 轴旋转一周所得旋转体体积：b

2x g

2 ( x) dx

阴影部分绕绕V x a f

（3）、

y

d

x( y)

c

x

x ( y) 绕y轴旋转一周所得旋转体体积： V y

d2

c

( y) dy

(4)、

y

d

x( y)x( y)

c

x

y V d( y)2 ( y) dy

第六讲

向量、空间解析几何

（一）向量的相关考试内容

一、向量的基本概念

1、 定义：与起点无关，既有方向又有大小的量称为向量。 （生活来源：力、速度、加速度，位移）

2、 向量的表示：

a 1 , a 2 , a 3 或记为

a 1i a 2 j a 3k ，

其中 a 1 , a 2 , a 3 为向量 在 x 轴， y 轴， z 轴上的投影。

其中， i , j, k 为向量

在 x 轴， y 轴， z 轴上的单位向量

i

1,0,0 , j

0,1,0 , k

0,0,1

2

2

2

3、 向量的模：

a 1

a 2

a 3

，模为 1 的向量叫做单位向量，模为

0 的向量叫做 0 向量。

4、 向量

的方向余弦：

cos

a 1

cos

a 2

a 3

a 12 a 22

a 12 a 22 a 32 cos

a 32

a 12 a 22

a 32

并且： cos 2

cos 2 cos 2

1

为向量

与 x 轴， y 轴，

z 轴的正方向的夹角，叫做

的方向角。

5、 M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , M ( x 1, y 1 , z 1 ) ，则M 0M 1

(x 1 x 0 , y 1

y 0 , z 1

z 0 )

二、向量的三种不同运算

设向量 1 2

,a 3

，

b 1 ,b 2 ,b 3

a ,a

（ 1）线性运算

a 1

b 1 , a 2

b 2 , a 3 b 3 ，

a 1 , a 2 , a 3

（ 2）两向量的数量积

c o s ,

a 1

b 1 a 2b 2

a 3

b 3

向量

，

的夹角 ：

cos ,

a1b1a2b2a3b3

a12a22a32b12b22b32

0注：因为cos,cos0

2（ 3）两向量的向量积

定义：

1、

c，满足下述规则c sin ,

2、c， c

3、,, c 成右手系

称 c 为, 的向量积，记作: c

i j k

向量积的坐标表示： c a1a2a3

b1b2b3

∥ 的充要条件为：0

a1a2a3或

b2b3 b1

注：因为 sin,sin 00

（二）、直线与平面的相关考试内容一、空间平面方程

在空间直角坐标系下，一次方程Ax By Cz D 0

表示空间一张平面

π

，这里 A,B,C 不同时为零。由

A,B,C 为向量坐标构成得向量n A, B,C 叫做平面π得法向量。即nπ。

（ 1）平面的位置

若 A=0, 即By Cz D 0该平面平行 x 轴。同理B=0,平面平行于y轴。C=0,平面平行于z轴。D=0,过原点。

记忆方法：“谁”的系数为0，平面平行于“谁”轴。

二、空间直线方程

A1x B1 y C1 z D10

一般式： l :, (一次项系数不成比例 )

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注：两个平面相交

标准式： l :

x

x 0 y

y 0 z z 0 a

b c

注：（ x 0 , y 0 , z 0 ）为直线上一已知点，向量

a,b, c 为直线的方向向量

x x 0

at 参数式：

l : y

y 0 bt z z 0

ct

三、总结：专升本考试中重点考察两平面的位置关系，两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，记忆的重点在

于：

（1）平面 Ax By Cz

D 0 的法向量为 A, B,C

,

（2）直线 l :

x

x 0

y

y 0

z z 0 的方向向量为 a,b, c

a

b

c

（ 3）向量平行需满足：

α β 0 或 或

a

1

a 2

a 3 α λβ

b 2 b 3

b 1

（4）向量垂直需满足

α β a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 0

四、两直线的位置关系：

设有两直线

l 1 : x

x 1 x

x 1 z z 1

a 1

b 1

c 1

l 2

:

xx

2

y y 2

z z 2

a 2

b 2

c 2

（ 1） l 1 l 2 的充要条件为 a 1 a 2 b 1b 2

c 1c 2 0,即 s 1 s 2 0

（ 2） l 1 ∥ l 2 得充要条件为

a 1

b 1

c 1

,即s 1 s 2 0

a 2

b 2

c 2

（

3）直线

l 1 ,l 2 得夹角可由 cos s 1, s 2

s 1

s

2 来确定。

s 1 s 2

五、直线和平面的位置关系：

x x 0

y y 0 z

z 0

设直线方程为 l :

b

c

a

平面方程为 π： Ax

By Cz D

（ 1）lπ

a b c

,即s n0的充要条件为

A B C

（ 2）lπ

aA bB cC0,即s n0∥的充要条件为

（ 3）直线l与平面的夹角可由sin φaA bB cC来确定。

πφ

a2b2c2A2 B 2 C 2

六、两平面的位置关系：

设有两平面π：1A1 x B1 y C1 z D10

π2 : A2 x B2 y C2 z D20

π1π2的充要条件是A1 A2 B B C C,即 n n

0 1212012

π∥π的充要条件是A1B1C

1 ，即n

1n20

12A2B2C2π，π的夹角可

由

cos n1 ,n2n1n2确定。

12n1n2

（三）、曲面的相关考试内容一、简单的二次曲面

（ 1）柱面方程

x2y 2a2

(2)球面方程

( x a)2( y b) 2(z c) 2R2

(3) 椭球面方程

x2y2z2

1

a2b2c2

（ 4）旋转面方程

以曲线 l :f ( y, z) 0

f (x2y2 , z)0 x 0为母线，

z轴为旋转轴的旋转曲面方程为

第七讲多元函数微分学

一、二元函数的概念

定义：设有变量x, y, z，如果当相互独立的变量x, y 在一定范围D内取定任意一对值时，z 按照一定法则有唯一确定的数值与之对应，那么，z称为x, y的二元函数，记作z f (x, y) 。

注：二元函数的定义域为x, y 坐标平面上的一个区域，二元函数是悬浮在空间的一个曲面。

二、二元函数的极限

定义：设函数 z

f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 某邻域有定义 （但 ( x 0 , y 0 ) 点可以除外） ，如果当点 ( x, y) 无论沿着

任何途径趋向于 (x 0 , y 0 ) 时，z f (x, y) 都无限接近于唯一确定的常数

A ，则称当点 ( x, y) 趋向于 (x 0 , y 0 )

时， z

f ( x, y) 以 A 为极限，记为

lim

f ( x, y)

A

( x, y)

( x 0 , y 0 )

三、二元函数的连续性

若 lim

f ( x, y)

f ( x 0 , y 0 )

，则称

z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 连续。

( x, y) ( x 0 , y 0 )

注： z f ( x, y) 的不连续点叫函数的间断点，

二元函数的间断点可能是一些离散点，

也可能是一条或多条曲

线。

四、二元函数的偏导数

z f x (x, y) lim f ( x

x, y)

f ( x, y)

x x 0

x

z f y ( x, y) lim f ( x, y

y) f (x, y)

y

y 0

y

五、偏导数求法

由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。

六、全微分： dz

z

dx

z

dy

x

y

七、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系

二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。 若偏导存在且连续，则一定可微。

函数 z

f ( x, y) 的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。

八、二元复合函数求偏导

设 z

f (u, v),u (x, y), v (x, y) ，

z z u z v z z u z v

则

u

x

v

x

，

u y

v

y

x

y

注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。 九、隐函数求偏导

方程 F ( x, y, z)

0 确定的隐函数为 z f ( x, y) ，则对等号两边同时对 x 求导，遇到 z 的函数，把 z 当成

中间变量。

十、二元函数的极值

1、 二元函数极值存在的必要条件

如果 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处取得极值，且两个偏导数存在，则有 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0 。

若

f x (x0, y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0 ，则称 ( x0 , y0 ) 是 z f ( x, y) 的驻点。

2、极值存在的充分条件

如果 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且 ( x0 , y0 ) 是驻点，设

2

P(x, y) f xy (x, y) f xx ( x, y) f yy(x, y)

则（ 1）如果P( x0, y0 )0,

且 f xx ( x0 , y0 )0 ，则 f ( x0, y0 ) 是极大值

2P( x0 , y0 )0,

且f xx ( x0 , y0 ) 0

，则

f

(x0,y0) 是极小值

（）如果

（ 3）如果P( x0, y0 )0, ，则 f ( x0 , y0 ) 不是极值

（ 4）如果P( x0, y0 )0, 则此方法失效。

十一、条件极值的拉格朗日乘数法。

方法一：（ 1）从条件( x, y) 0中求出 y( x)

（ 2）将y( x) 代入 z f ( x, y) 化为一元函数

（3）利用一元函数求极值的方法求最值

方法二：拉格朗日乘数法

（1）作拉格朗日函数 F ( x, y, ) f ( x, y)( x, y)

（2）F x 0 ,F y0，F 0

（3）解上述方程组得驻点( x0, y0)，则(x0, y0)点就是函数的极值点，依题意，判定它是极大值或是极小值。

第八讲多元函数积分学知识点

一、二重积分的概念、性质

n

1、f (x, y)dxdy lim f (i , i )i，几何意义：代表由 f (x, y) ，D围成的曲顶柱体体积。

D d 0i 1

2、性质：

（ 1）kf ( x, y)dxdy k f (x, y)dxdy

D D

（ 2） f (x, y)g( x, y)dxdy = f (x, y)dxdy+g(x, y)dxdy

D D D

（ 3）、dxdy D

D

（4）D D1D2, f (x, y)dxdy= f ( x, y) dxdy + f ( x, y)dxdy

D D1D2

(5)若f ( x, y)g( x, y) ，则 f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy

D D

（ 6）若m f ( x, y)M , 则mD f (x, y)dxdy MD

D

(7) 设f ( x, y)在区域 D 上连续，则至少存在一点(, ) D ，使 f (x, y)dxdy f ( , )D

D

二、计算

（ 1） D: a x b,1( x)y2 ( x)

f ( x, y)dxdy b2 ( x )

dx

1( x )f ( x, y) dy

D

a

（ 2） D：c y d,1( y)x2 ( y) ，

f ( x, y ) dxdy d2 ( x )f ( x, y) dy

c dy( x )

1

D

技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线

和垂直线的方法确定另一个变量的范围

（ 3）极坐标下：x r cos, y r sin, dxdy rdrd

f ( x, y) dxdy d r ( ) f ( r cos , r sin ) rdr

D

三、曲线积分

1、第一型曲线积分的计算

（ 1）若积分路径为L ：y( x), a x b ，则

f ( x, y)ds b( x))1((x)) 2 dx

= f ( x,

L a

（ 2）若积分路径为L ：x( y), c y d ，则

L f ( x, y)ds=

d

f (( y), y)1(( y)) 2 dy

c

x(t )

t

（ 3）若积分路为 L ：，，则

y(t )

f ( x, y)ds= f ((t ), (t ))((t )) 2((t )) 2 dt

L

2、第二型曲线积分的计算

（ 1）若积分路径为L ：y(x) ，起点x a ,终点y b ，则

P( x, y)dx Q( x, y)dy

b

( x)) Q(x, ( x))

( x) dx

P( x,

L

a

（ 2） 若积分路径为 L ： x

( y) ，起点 y

c ，终点 y

d ，则

L P( x, y)dx

d

Q( x, y) dy

c P( ( y), y)) ( y) Q ( ( y), y) dy

（ 3）

x (t ) ，起点 t

，终点 t

若积分路为 L ：

(t ) ，则

y

L P( x, y)dx Q( x, y) dy P( (t ), (t )) (t ) Q( (t), (t )) (t ) dt

第九讲

常微分方程

一、基本概念

（ 1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分

方程。

（ 2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。

（ 3）微分方程的解：满足微分方程

y f ( x) 或 f (x, y) 0 。前者为显示解，后者称为隐式解

（ 4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解 （ 5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。

（ 6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。 二、一阶微分方程

1、可分离变量的微分方程

dy f ( x)g( y) 的微分方程。

（ 1）形如

dx

解法：变形为

1

dy

f (x)dx ，两边作不定积分求出通解。

g( y)

（ 2）形如

dy

f y 的微分方程。

dx x

解法：令

y u ，则 y ux ，两边对 x 求导，然后代入原方程，则变量分离 x

2、一阶线性微分方程

dy

一阶线性齐次微分方程

形如

P(x) y 0 。解法：变量分离

dx

dy

一阶线性非齐次微分方程

形如

P(x) y Q(x)

解法：常数变易法或公式法

dx

P ( x)dx

P ( x) dx

注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：

y e Q(x) e dx C

在通常使用中建议选择常数变易法

三、可降阶微分方程

形如 y n f (x) 的微分方程解法：作 n 次不等式

形如 y f ( x, y ) 的微分方程解法：令 y u

四、二阶常系数线性微分方程

形如 y py qy0的微分方程，称二阶常系数线性齐次微分方程

形如 y py qy f (x) 的微分方程，称二阶常系数线性非齐次微分方程。（其中， p,q 均为常数）。

有关解的结构定理

(1) 定理 1若 y1 , y2是二阶线性齐次方程 y py qy 0 的解，则其任意一个线性组合c1 y1c2 y2也是该方程的解

函数 y1 , y2若满足y1

k, k 为常数，称 y1, y2线性相关，若

y1

k, k 为常数，称y1 , y2线性无关y2y2

(2)定理 2若 y1, y2是二阶线性齐次方程y py qy0 的两个线性无关的解，则 c1 y1c2 y2就是该方程的通解。

(3)定理 3设 y1是二阶线性非齐次方程y py qy f1 ( x) 的解， y2是 y py qy f2 ( x) 的解，则y1 y2是方程 y py qy f1 ( x) f 2 ( x) 的解。

(4)定理 4设 y *是二阶线性非齐次微分方程y py qy f (x) 的特解， y c1x c2 x 是与其对应的齐次方程 y py qy0的通解，则 y c1 y1c2 y2y*为方程 y py qy f ( x) 的通解。

1、常系数二阶线性齐次方程

y py qy0（ 1）

求通解的步骤如下：

(1) 、写出（ 1）的特征方程r2pr q0

（2）写出特征方程的两个根r1, r2

（3）按照下列规律写出（ 1）的通解

实根 r1r2y c1e r1x c2 e r2x

实根 r1r2 r y (c1 c2 x)e rx

r

天一专升本高数知识点

天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

微积分知识点归纳

知识点归纳 1. 求极限 2.1函数极限的性质P35 唯一性、局部有界性、保号性 P34 A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是 ：A x f x f x f x f x x x x == +==-+-→→)()0()()0(lim lim 0 000 2.2 利用无穷小的性质P37： 定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 0)sin 2(30 lim =+→x x x 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 0)1 sin (20 lim =→x x x 定理3无穷大的倒数是无穷小。反之，无穷小的倒数是无穷大。 例如：lim ∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim ∞→x 131 23523+--+x x x x 0= 2.3利用极限运算法则P41 2.4利用复合函数的极限运算法则P45 2.4利用极限存在准则与两个重要极限P47 夹逼准则与单调有界准则，

lim 0→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x x arcsin 1=， lim )(∞→x ?)())(11(x x ??+e =，lim 0 )(→x ?) (1 ))(1(x x ??+e = 2.6利用等价无穷小P55 当0→x 时， x x ~sin ，x x ~tan ， x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+， x e x ~，221 ~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数 2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64 如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66 )(ln )()()(x u x v x v e x u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v a x a x e x u →=→ 2.8洛必达法则P120 lim a x →)() (x g x f )() (lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞ ， 其它未定式 ∞?0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数） 2. 求导数的方法 2.1导数的定义P77： lim 00|)(→?==='='x x x dx dy x f y x x f x x f x y x ?-?+ =??→?) ()(000lim h x f h x f h ) ()(000lim -+=→

专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1. 函 数 x x y --= 5)1ln(的定义域为为 （ ） A.1>x 5->-51050 1. 2. 下 列 函 数 中 , 图 形 关 于 y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x y C. 222x x y --= D.2 22x x y -+= 解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数2 22x x y -+=为 偶函数,应选D. 3. 当0→x 时，与12 -x e 等价的无穷小量是 （ ） A. x B.2x C.x 2 D. 22x

解： ?-x e x ~12~12 x e x -,应选B. 4.=?? ? ??++∞ →1 21lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e 解：2)1(2lim 2 )1(221 21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n n n n n n n =? ?? ????? ??? ??+=?? ? ??+=?? ? ? ? + +∞→+?∞ →+∞ →∞→,应选B. 5.设 ?? ? ??=≠--=0,0,11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B.-1 C.21 D.2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000 =-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0 =--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B.21- C.41 D.4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A. )1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.) 1() 1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,

专升本高等数学知识点汇总

------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

天一专升本高数知识点

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

高等数学知识点总结

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

2017年专升本高等数学真题试卷

高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数1 x ()e f x =，则x=0是函数f(x)的（ ）． （A ）可去间断点 （B ）连续点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点 2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，则下列说法正确的是 （A ）b a ()()()f x dx f b a ζζ∈=-?必存在（a,b ）,使得 （B ）'()()f b a ζζ∈-必存在（a,b ）,使得f(b)-f(a)= （C ）()0f ζξ∈=必存在（a,b ）,使得 （D ）'()0f ζζ∈=必存在（a,b ）,使得 3 下列等式中，正确的是 （A ）'()()f x dx f x =? （B ）()()df x f x =?（C ）()()d f x dx f x dx =? （D ）()()d f x dx f x =? 4. 下列广义积分发散的是 （A ）+2011+dx x ∞ ? （B ）12 011dx x -? （C ）+0ln x dx x ∞? （D ）+0x e dx ∞-? 5． y -32sin ,x y y e x '''+=微分方程则其特解形式为 （A ）sin x ae x （B ）(cos sin )x xe a x b x +

天一专升本高数知识点

第一讲函数、极限、连续 1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、 函数的性质，奇偶性、有界性 设 a, 3是自变量同一变化过程中的两 个无穷小量，则 a (1)若lim 一 = 0，则a 是比 3 a （2）若 lim — = C （不为 0）, 3 a (3)若 lim — = 3 记忆方法：看谁趋向于 4、两个重要极限 ，贝y a 与3是低阶无穷小 量 sinx X , =lim ----- =1 X T 。si nx 拼凑 lfm*] Tm 。*] =0，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 ⑵ lim1」「lim （1+xle X X 丿 X T 。 1 时〔卩Le 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 奇函数: f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。 偶函数: f (-X)= f(x), 图像关于y 轴对称 3、无穷小量、 无穷大量、阶的比较 特别地，若 lim — =1，则 3 a 与3是等价无穷小量 (3高阶的无穷小量。 则 a 与3是同阶无穷小量 0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。 （1）lim T X 使用方法: Pn(X) 5、lim — --- = X *Qm （X ） ,n = m b o 0,n V m

V- 巳(X )的最高次幕是n,Q m(x )的最高次幕是m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无 穷大的速度 n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大；n < m，分母以更快的速度趋向于无穷大; 度趋向于无穷大。

专升本高等数学学习经验

任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。 第一天去听高数课，我信心满满的，并暗下决心我一定能学好这门课，可是事情并不如意，当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号，说着一连串我听都没听过的术语的时候，我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事，近在眼前，你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流，我问老师：什么是绝对值？老师说：绝对值你都不知道你还听什么高数！面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说，当时真的是万念俱灰，我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末，所以宿舍只有我一个人，面对空荡荡的宿舍，看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶，心里百感交集不知所措。夜色渐暗，天气转凉，我独自走在河边，思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话：人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们：人在何时都要谦虚谨慎，但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学，从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习，自己去学，这当然是有好处的，但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂，比如不定积分和定积分这两个知识点，如果你按照自己的思维从字面意思去理解，你会误以为它们两个基本是一样的，无非就是定积分多了一个几何意义，多了一步原函数带入上下限做差的

高等数学高数知识点总结

高数重点总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

郑州天一专升本高数答题技巧

郑州天一专升本高数答题技巧 ——编辑：johnny 一元微分主要包括不定积分、定积分和定积分的应用三大部分。其中不定积分部分包含不定积分的定义、性质、基本积分公式、第一换元法、第二换元法、分部积分、简单有理函数的积分等内容；定积分包括定积分的定义、性质、几何意义、变上限的积分、微积分基本公式、利用定积分奇偶性计算、第一换元法、第二换元法、分部积分、简单有理函数的定积分等内容；定积分的应用包括利用定积分求平面图形面积、旋转体体积等内容。 和一元函数微分学一样，一元函数积分学是高等数学二的另一个考查重点。考生应深刻理解不定积分与定积分的定义。要熟练掌握基本方法和基本技能，熟练掌握函数的不定积分、定积分的计算。复习中应当狠抓基本功，从熟记基本公式做起，如基本积分公式。 要熟练掌握积分的性质、换元积分法、分部积分法和简单有理函数的积分。考题中占有相当大的比例，但试题并不难，考生只要达到上述要求，都能正确解答这些试题。同时，要高度重视定积分的应用，如利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积等。 对不定积分， （1）理解不定积分就是所有的原函数，搞清楚原函数和导数的关系。 （2）不定积分基本积分公式是积分的最基础的内容，要牢记，能利用不定积分的两个运算性质解决简单的计算，一般出填空或选择。 （3）不定积分的第一换元法是考查的重点，要重点掌握，做题时看清楚第一

换元法的条件，就是有没有导数关系，这部分题目难度不大，希望大家一定掌握；第二换元法考的较少，大家只要把上课的例题搞懂即可。 （4）分部积分是用来解决函数乘积的不定积分，这两年有所考查，但难度不大，大家掌握基本题目即可。 （5）简单有理函数的积分以基本题目为主。

高数重要知识点汇总

高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=

高等数学基础知识点归纳

第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。

高数专升本试题(卷)与答案解析

普通专科教育考试 《数学（二）》 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20题。在每小题给出的四个备选项 中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其他位置上无效。） 1.极限=+--+→2 32 lim 2 21x x x x x ( ) A.—3 B. —2 2.若函数()??? ? ???>=<+=?0 ,1 sin 0,00,sin 1 x x x x x a x x x 在0=x 处连续，则=a （ ） D.—1 3.函数()x f 在()+∞∞-,上有定义，则下列函数中为奇函数的是( ) A.() x f B.()x f C.()()x f x f -+ D.()()x f x f -- 4.设函数()x f 在闭区间[]b a , 上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b f a f =，则曲线()x f y =在()b a ,内平行于x 轴的切线（ ） A.不存在 B.只有一条 C.至少有一条 D.有两条以上 5.已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为C (),2000102.02 ++=x x x C 则当产 量10=x ，其边际成本是（ ） A.—14 C.—20 6.设二元函数,xy y e x z +=则=??x z （ ） A. xy y e yx +-1 B.xy y ye yx +-1 C.xy y e x x +ln D.xy y ye x x +ln 7.微分方程y x e dx dy -=2的通解为（ ） A.C e e y x =-2 B.C e e y x =-212 C.C e e y x =-22 1 D.C e e y x =+2 8.下列级数中收敛发散的是（ ） A.∑∞ =1!1n n B.∑∞=123n n n C.∑∞ =+1 1n n n D.∑∞=13sin n n π

成人高考高升专数学常用知识点及公式(打印版)

成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生 改变）。

河南专升本高数真题及答案

1 2012年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 一、选择题（每小题2分，共60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 1．函数1 arctan y x = 的定义域是 A ．[)4, -+∞ B ．()4, -+∞ C ．[)()4, 00, -+∞ D ．() ()4, 00, -+∞ 解：40 400 x x x x +≥??≥-≠? ≠?且.选C. 2．下列函数中为偶函数的是 A ．2 3log (1)y x x =+- B ．sin y x x = C ．)y x = D ．e x y = 解：A 、D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，C 为奇函数。选B. 3．当0x →时，下列无穷小量中与ln(12)x +等价的是 A ．x B ． 12 x C ．2x D ．2x 解：0x →时，ln(12)~2x x +.选D. 4．设函数2 1 ()sin f x x =，则0x =是()f x 的 A ．连续点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．第二类间断点

2 解：0x =处没有定义，显然是间断点；又0x →时2 1 sin x 的极限不存在，故是第二类间断点。选D. 5 ．函数y = 0x =处 A ．极限不存在 B ．间断 C ．连续但不可导 D ．连续且可导 解：函数的定义域为(),-∞+∞ ，0 lim lim (0)0x x f + - →→===，显然是连续 的；又0 0(0)lim lim (0)x x f f + ++-→→''===+∞=，因此在该点处不可导。选C. 6．设函数()()f x x x ?=，其中)(x ?在0x =处连续且(0)0?≠，则(0)f ' A ．不存在 B ．等于(0)?' C ．存在且等于0 D ．存在且等于(0)? 解：易知(0)=0f ，且0 0()0 (0)lim lim ()(0)x x x x f x x ???+ ++→→-'===， 0 0()0 (0)lim lim ()(0)(0)x x x x f x f x ???- +-+→→--''==-=-≠.故(0)f '不存在。选A. 7．若函数()y f u =可导，e x u =，则d y = A ．(e )d x f x ' B ．(e )d(e )x x f ' C ．()e d x f x x ' D ．[(e )]de x x f ' 解：根据复合函数求导法则可知：d ()()x x y f u du f e de ''==.选B. 8．曲线1 () y f x = 有水平渐近线的充分条件是 A ．lim ()0x f x →∞ = B ．lim ()x f x →∞ =∞ C ．0 lim ()0x f x →= D ．0 lim ()x f x →=∞ 解：根据水平渐近线的求法可知：当lim ()x f x →∞ =∞时，1 lim 0() x f x →∞ =，即0y =时1 () y f x = 的一条水平渐近线，选B. 9．设函数x x y sin 2 1 - =，则d d x y =