(完整word版)天一专升本高数知识点
第一讲函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：
)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
（1）若0=β
α
lim ，则α是比β高阶的无穷小量。
（2）若c β
α
=lim
（不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β
α
lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β
α
lim
，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x
x
x x x x sin lim sin lim
使用方法：拼凑[][
][][][][]
000
==→→sin lim sin lim
，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致
（2）e x x x x x
x =+=???
?
?+→∞→1
0111)(lim lim
使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
5、()() ??>∞<==∞→m n m n m n b
a X Q x P m
n x ,,,lim
00
()x P n 的最高次幂是
n,()x Q m
的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。
m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于
无穷大。 7、左右极限
左极限：
A x f x x =-
→)(lim 0
右极限：
A x f x x =+
→)(lim 0
注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义：[]0)()(lim lim
000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim
00
x f x f x x =→
间断：使得连续定义)()(lim
00
x f x f x x =→无法成立的三种情况
记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0x f x x -
→、)(lim 0x f x x +
→至少有一个不存在
（2）、第一类间断点：
)(lim 0x f x x -
→、)(lim 0x f x x +
→都存在
注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间
断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”
10、闭区间上连续函数的性质
（1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。
（2）
ξ零点定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，且0)()(
b a ,内至少存在一点ξ，
使得
0)(=ξf
1、 罗尔定理
如果函数
y =a,b ）内可导；（3）)()(b f a f =，则
在(a,b)2、 拉格朗日定理如果
(f y =（2则在(a,b)（*）推论1]b ,上连续，在开区间（a,b ）内可导，且0)(≡'x f ，那么在)
,(b a 内
)(x f =C 记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 （*）推论2：如果
)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，在开区间),(b a 内可导，且),(),()(b a x x g x f ∈'≡'，那
么
c x g x f +=)()(
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、 驻点
满足
0)(='x f 的点，称为函数)(x f 的驻点。
几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线 4、极值的概念
设
)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0x f x f <，则称)(0x f 为函数)
(x f
的极大值，0x 称为极大值点。
设
)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0x f x f >，则称)(0x f 为函数)
(x f
的极小值，0x 称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、 拐点的概念
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
注
3x y =是拐点
6、 单调性的判定定理
设
)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f 如果
0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 内单调减少。
记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，
0)(>'x f ； 在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，
0)(<'x f ；
7、 取得极值的必要条件
可导函数
)(x f 在点0x 处取得极值的必要条件是0)(0='x f
8、 取得极值的充分条件
第一充分条件： 设
)(x f 在点0x 的某空心邻域内可导，且)(x f 在0x 处连续，则
（1） 如果0x x <时，0)(>'x f ;0)(0<'>x f x x 时，,那么)(x f 在0x 处取得极大值)(0x f ； （2） 如果0x x
<时，0)(<'x f ；0)(0>'>x f x x 时，，那么)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f ；
（3） 如果在点0x 的两侧，
)(x f '同号，那么)(x f 在0x 处没有取得极值；
记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件： 设函数
)(x f 在点0x 的某邻域内具有一阶、二阶导数，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f
则（1）如果0)(0<''x f ，那么)(x f 在0x 处取得极大值)(0x f ；
（2）如果
0)(0>''x f ，那么)(x f 在0x 处取得极小值)(0x f
9、 凹凸性的判定
设函数
)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，（1）如果),(,0)(b a x x f ∈>''，那么曲线)(x f 在),(b a 内凹的；（2）如果
),(,0)(b a x x f ∈<''，那么)(x f 在),(b a 内凸的。
10、 渐曲线
)(x f 在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。
（1） 水平渐近线：若A x f x =∞
→)(lim ,则)(x f y =有水平渐近线A y =
(2)垂直渐近线：若存在点0x ，∞=∞
→)(lim x f x ，则)(x f y =有垂直渐近线0x x =
（2） 求斜渐近线：若[]b ax x f a x
x f x x =-=∞
→∞
→)(lim ,)
(lim ，则b ax y +=为其斜渐近线。
11、 洛必达法则
遇到“
00
”、“∞
∞”，就分子分母分别求导，直至求出极限。 如果遇到幂指函数，需用
)
(ln )(x f e
x f =把函数变成“
00
”、“∞
∞”。 第二讲导数与微分
1、 导数的定义
（1）、
[]0)()(lim lim )(000
0=-?+=?='→?→?x f x x f y x f x x
（2）、
h x f h x f x f h )()(lim
)(000
0-+='→
（3）、
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x
x --='→
注：使用时务必保证0x 后面和分母保持一致，不一致就拼凑。 2、 导数几何意义：
)(0x f '在0x x =处切线斜率
法线表示垂直于切线，法线斜率与
)(0x f '乘积为—1
3、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。
4、 求导方法总结
（1）、导数的四则运算法则 （2）、复合函数求导：
()[]x f y ?=是由)(u f y =与)(x u ?=复合而成，则
（3）、隐函数求导
对于0),(=y x F ，遇到y ，把y 当成中间变量u ，然后利用复合函数求导方法。
（4）、参数方程求导
设???==)
()(t y t x ψ?确定一可导函数)(x f y =，则)()(t t dt
dx dt dy
dx dy ψ?''=
= (5)、对数求导法
先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 （6）、幂指函数求导 幂指函数
)()(x v x u y =，利用公式a e a ln =
)
(ln )()(ln )
(x u x v x u e
e
y x v ?==然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。
第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 注：优选选择第二种方法。
5、 高阶导数
对函数)(x f 多次求导，直至求出。
6、 微分
记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx ，不需要单独记忆。 7、 可微、可导、连续之间的关系
可微?可导
可导?连续，但连续不一定可导 8、 可导与连续的区别。
脑海里记忆两幅图 （1）（2）
2x y =在x=0既连续又可导。x y =在x=0只连续但不可导。
所以可导比连续的要求更高。
第四讲不定积分
一、 原函数与不定积分
1、 原函数：若)()(x f x F ='，则)(x F 为)(x f 的一个原函数；
2、 不定积分：)(x f 的所有原函数)(x F +C 叫做)(x f 的不定积分，记作C x F dx x f +=?)()(
二、 不定积分公式
记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式 三、不定积分的重要性质
1、[]??=='
dx x f dx x f d x f dx x f )()()()(或
2、
?+=
'c x f dx x f )()(
注：求导与求不定积分互为逆运算。 四、 积分方法
1、 基本积分公式
2、 第一换元积分法（凑微分法）
把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。 3、 第二换元积分法
三角代换??
???=+=-=-t
a x a x t a x a
x t a x x a tan sec sin 222
222令令令 三角代换主要使用两个三角公式：t t t t 2222
sec tan 1,1cos sin =+=+
4、 分部积分法??-=vdu uv udv
第五讲定积分 1、定积分定义
∑?
=→??=n
i i i x b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξ
如果
)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上一定可积。
理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积
是常数，所以定积分如果可积也是常数。 2、定积分的几何意义
（1） 如果
)(x f 在[]b a ,上连续，且0)(>x f ，则?b
a dx x f )(表示由)(x f ，,,
b x a x ==x 轴所围成的曲
边梯形的面积。S=
?
b
a
dx x f )(。
（2） 如果
)(x f 在[]b a ,上连续，且0)( a dx x f )(。 3、定积分的性质： （1）? =b a dx x kf )(?b a dx x f k )( （2） ? ±b a dx x g x f )()(=?b a dx x f )(?±b a dx x g )( （3）??? +=c a b c b a dx x g dx x f dx x f )()()( （4） - ==-=? ? ?a b a a b a dx x f dx x f a b dx )(0 )(1? b a dx x f )( （5）如果 )()(x g x f ≤，则??≤b a b a dx x g dx x f )()( （6）设m,M 分别是)(x f 在[]b a ,的min,max,则 M m 记忆：小长方形面积≤曲边梯形面积≤大长方形面积 （7）积分中值定理 如果 )(x f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ 记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长 方形。 称?-b a dx x f a b )(1为)(x f 在[]b a ,上的平均值。 4、 积分的计算 （1）、变上限的定积分 注：由此可看出来?=x a dt t f x )()(?是)(x f 的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个 是x 而不是t （2）、牛顿—莱布尼兹公式 设 )(x f 在[]b a ,上连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分， 只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。 5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分 （1）、若)(x f 在[]a a ,-上为奇函数，则0)(=?-x f a a （2）、若 )(x f 在[]a a ,-上为偶函数，则??=-a a a dx x f x f 0)(2)( 注：此方法只适用于对称区间上的定积分。 6、 广义积分 （1） 无穷积分 7、 定积分关于面积计算 面积[]dx x g x f S b a ?-=)()(，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界[] b a ,上的定积分。 d c 面积S= []dy y y d c ?-)()(?θ 记忆方法：把头向右旋转90°就是第一副图。 8、 旋转体体积 （1） y (f abx 曲线 f []dx x f V b a x 2 )(?=π （2）、)(x f ab 阴影部分绕绕x ()]dx x g x f a -)(22 （3）、 y d c x []dy y V d c y 2 )(?=θπ (4)、 y d c x :[]dy y y V d c y ?-=)()(22?θπ （二）、直线与平面的相关考试内容 一、 二元函数的极限 定义：设函数),(y x f z =在点),(00y x 某邻域有定义（但),(00y x 点可以除外），如果当点),(y x 无论沿着任 何途径趋向于),(00y x 时，),(y x f z =都无限接近于唯一确定的常数A ，则称当点),(y x 趋向于),(00y x 时， ),(y x f z =以A 为极限，记为 二、 二元函数的连续性 若 ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→，则称),(y x f z =在点),(00y x 连续。 注：),(y x f z =的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。 三、 二元函数的偏导数 四、 偏导数求法 由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。 五、 全微分：dy y z dx x z dz ??+??= 六、 二元函数的连续、偏导、可微之间的关系 二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。 若偏导存在且连续，则一定可微。 函数),(y x f z =的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。 七、 二元复合函数求偏导 设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ?φ===， 则 x v v z x u u z x z ?????+?????=??，y v v z y u u z y z ?????+?????= ?? 注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。 八、 隐函数求偏导 方程0),,(=z y x F 确定的隐函数为),(y x f z =，则对等号两边同时对x 求导，遇到z 的函数，把z 当成中间 变量。 第八讲多元函数积分学知识点 一、 二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 ),(lim ),(δ ηξ，几何意义：代表由 ),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2） [ ]??+D dxdy y x g y x f ),(),(=??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、 D dxdy D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1 ),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若 ),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设 ),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、 计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos 三、 曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ： b x a x y ≤≤=),(φ，则 ?L ds y x f ),(=dx x x x f b a ?'+2))((1))(,(φφ （2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(?，则 ? L ds y x f ),(=dy y y y f d c ?'+2))((1)),((?? （3）若积分路为L ：???==) () (t y t x ?φ，βα≤≤t ，则 ? L ds y x f ),(=dt t t t t f ?'+'β α?φ?φ22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算 （1） 若积分路径为L ： )(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则 （2） 若积分路径为L ：)(y x ?=，起点c y =，终点d y =，则 （3） 若积分路为L ：???==) () (t y t x ?φ，起点α=t ，终点β=t ，则 第九讲常微分方程 一、 基本概念 （1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。 （2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。 （3）微分方程的解：满足微分方程 )(x f y =或0),(=y x f 。前者为显示解，后者称为隐式解 （4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解 （5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。 （6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。 二、 一阶微分方程 1、可分离变量的微分方程 （1）形如 )()(y g x f dx dy =的微分方程。 解法：变形为 dx x f dy y g )() (1 =，两边作不定积分求出通解。 （2）形如 ?? ? ??=x y f dx dy 的微分方程。 解法：令 u x y =，则ux y =，两边对x 求导，然后代入原方程，则变量分离 2、一阶线性微分方程 一阶线性齐次微分方程形如 0)(=+y x P dx dy 。解法：变量分离 一阶线性非齐次微分方程形如 )()(x Q y x P dx dy =+解法：常数变易法或公式法 注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：?? ????+=??? -C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( 在通常使用中建议选择常数变易法 天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。 高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论 结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。 未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠; 2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1. 函 数 x x y --= 5)1ln(的定义域为为 （ ） A.1>x 5 解： ?-x e x ~12~12 x e x -,应选B. 4.=?? ? ??++∞ →1 21lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e 解：2)1(2lim 2 )1(221 21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n n n n n n n =? ?? ????? ??? ??+=?? ? ??+=?? ? ? ? + +∞→+?∞ →+∞ →∞→,应选B. 5.设 ?? ? ??=≠--=0,0,11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B.-1 C.21 D.2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000 =-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0 =--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B.21- C.41 D.4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A. )1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.) 1() 1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, ------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式 高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数1 x ()e f x =，则x=0是函数f(x)的（ ）． （A ）可去间断点 （B ）连续点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点 2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，则下列说法正确的是 （A ）b a ()()()f x dx f b a ζζ∈=-?必存在（a,b ）,使得 （B ）'()()f b a ζζ∈-必存在（a,b ）,使得f(b)-f(a)= （C ）()0f ζξ∈=必存在（a,b ）,使得 （D ）'()0f ζζ∈=必存在（a,b ）,使得 3 下列等式中，正确的是 （A ）'()()f x dx f x =? （B ）()()df x f x =?（C ）()()d f x dx f x dx =? （D ）()()d f x dx f x =? 4. 下列广义积分发散的是 （A ）+2011+dx x ∞ ? （B ）12 011dx x -? （C ）+0ln x dx x ∞? （D ）+0x e dx ∞-? 5． y -32sin ,x y y e x '''+=微分方程则其特解形式为 （A ）sin x ae x （B ）(cos sin )x xe a x b x + 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！ 第一讲函数、极限、连续 1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、 函数的性质，奇偶性、有界性 设 a, 3是自变量同一变化过程中的两 个无穷小量，则 a (1)若lim 一 = 0，则a 是比 3 a （2）若 lim — = C （不为 0）, 3 a (3)若 lim — = 3 记忆方法：看谁趋向于 4、两个重要极限 ，贝y a 与3是低阶无穷小 量 sinx X , =lim ----- =1 X T 。si nx 拼凑 lfm*] Tm 。*] =0，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 ⑵ lim1」「lim （1+xle X X 丿 X T 。 1 时〔卩Le 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 奇函数: f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。 偶函数: f (-X)= f(x), 图像关于y 轴对称 3、无穷小量、 无穷大量、阶的比较 特别地，若 lim — =1，则 3 a 与3是等价无穷小量 (3高阶的无穷小量。 则 a 与3是同阶无穷小量 0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。 （1）lim T X 使用方法: Pn(X) 5、lim — --- = X *Qm （X ） ,n = m b o 0,n V m V- 巳(X )的最高次幕是n,Q m(x )的最高次幕是m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无 穷大的速度 n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大；n < m，分母以更快的速度趋向于无穷大; 度趋向于无穷大。 任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。 第一天去听高数课，我信心满满的，并暗下决心我一定能学好这门课，可是事情并不如意，当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号，说着一连串我听都没听过的术语的时候，我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事，近在眼前，你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流，我问老师：什么是绝对值？老师说：绝对值你都不知道你还听什么高数！面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说，当时真的是万念俱灰，我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末，所以宿舍只有我一个人，面对空荡荡的宿舍，看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶，心里百感交集不知所措。夜色渐暗，天气转凉，我独自走在河边，思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话：人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们：人在何时都要谦虚谨慎，但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学，从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习，自己去学，这当然是有好处的，但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂，比如不定积分和定积分这两个知识点，如果你按照自己的思维从字面意思去理解，你会误以为它们两个基本是一样的，无非就是定积分多了一个几何意义，多了一步原函数带入上下限做差的 郑州天一专升本高数答题技巧 ——编辑：johnny 一元微分主要包括不定积分、定积分和定积分的应用三大部分。其中不定积分部分包含不定积分的定义、性质、基本积分公式、第一换元法、第二换元法、分部积分、简单有理函数的积分等内容；定积分包括定积分的定义、性质、几何意义、变上限的积分、微积分基本公式、利用定积分奇偶性计算、第一换元法、第二换元法、分部积分、简单有理函数的定积分等内容；定积分的应用包括利用定积分求平面图形面积、旋转体体积等内容。 和一元函数微分学一样，一元函数积分学是高等数学二的另一个考查重点。考生应深刻理解不定积分与定积分的定义。要熟练掌握基本方法和基本技能，熟练掌握函数的不定积分、定积分的计算。复习中应当狠抓基本功，从熟记基本公式做起，如基本积分公式。 要熟练掌握积分的性质、换元积分法、分部积分法和简单有理函数的积分。考题中占有相当大的比例，但试题并不难，考生只要达到上述要求，都能正确解答这些试题。同时，要高度重视定积分的应用，如利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积等。 对不定积分， （1）理解不定积分就是所有的原函数，搞清楚原函数和导数的关系。 （2）不定积分基本积分公式是积分的最基础的内容，要牢记，能利用不定积分的两个运算性质解决简单的计算，一般出填空或选择。 （3）不定积分的第一换元法是考查的重点，要重点掌握，做题时看清楚第一 换元法的条件，就是有没有导数关系，这部分题目难度不大，希望大家一定掌握；第二换元法考的较少，大家只要把上课的例题搞懂即可。 （4）分部积分是用来解决函数乘积的不定积分，这两年有所考查，但难度不大，大家掌握基本题目即可。 （5）简单有理函数的积分以基本题目为主。 普通专科教育考试 《数学（二）》 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20题。在每小题给出的四个备选项 中，选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其他位置上无效。） 1.极限=+--+→2 32 lim 2 21x x x x x ( ) A.—3 B. —2 2.若函数()??? ? ???>=<+=?0 ,1 sin 0,00,sin 1 x x x x x a x x x 在0=x 处连续，则=a （ ） D.—1 3.函数()x f 在()+∞∞-,上有定义，则下列函数中为奇函数的是( ) A.() x f B.()x f C.()()x f x f -+ D.()()x f x f -- 4.设函数()x f 在闭区间[]b a , 上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b f a f =，则曲线()x f y =在()b a ,内平行于x 轴的切线（ ） A.不存在 B.只有一条 C.至少有一条 D.有两条以上 5.已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为C (),2000102.02 ++=x x x C 则当产 量10=x ，其边际成本是（ ） A.—14 C.—20 6.设二元函数,xy y e x z +=则=??x z （ ） A. xy y e yx +-1 B.xy y ye yx +-1 C.xy y e x x +ln D.xy y ye x x +ln 7.微分方程y x e dx dy -=2的通解为（ ） A.C e e y x =-2 B.C e e y x =-212 C.C e e y x =-22 1 D.C e e y x =+2 8.下列级数中收敛发散的是（ ） A.∑∞ =1!1n n B.∑∞=123n n n C.∑∞ =+1 1n n n D.∑∞=13sin n n π 成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生 改变）。 1 2012年河南省普通高等学校 选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试 高等数学 一、选择题（每小题2分，共60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 1．函数1 arctan y x = 的定义域是 A ．[)4, -+∞ B ．()4, -+∞ C ．[)()4, 00, -+∞ D ．() ()4, 00, -+∞ 解：40 400 x x x x +≥??≥-≠? ≠?且.选C. 2．下列函数中为偶函数的是 A ．2 3log (1)y x x =+- B ．sin y x x = C ．)y x = D ．e x y = 解：A 、D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，C 为奇函数。选B. 3．当0x →时，下列无穷小量中与ln(12)x +等价的是 A ．x B ． 12 x C ．2x D ．2x 解：0x →时，ln(12)~2x x +.选D. 4．设函数2 1 ()sin f x x =，则0x =是()f x 的 A ．连续点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．第二类间断点 2 解：0x =处没有定义，显然是间断点；又0x →时2 1 sin x 的极限不存在，故是第二类间断点。选D. 5 ．函数y = 0x =处 A ．极限不存在 B ．间断 C ．连续但不可导 D ．连续且可导 解：函数的定义域为(),-∞+∞ ，0 lim lim (0)0x x f + - →→===，显然是连续 的；又0 0(0)lim lim (0)x x f f + ++-→→''===+∞=，因此在该点处不可导。选C. 6．设函数()()f x x x ?=，其中)(x ?在0x =处连续且(0)0?≠，则(0)f ' A ．不存在 B ．等于(0)?' C ．存在且等于0 D ．存在且等于(0)? 解：易知(0)=0f ，且0 0()0 (0)lim lim ()(0)x x x x f x x ???+ ++→→-'===， 0 0()0 (0)lim lim ()(0)(0)x x x x f x f x ???- +-+→→--''==-=-≠.故(0)f '不存在。选A. 7．若函数()y f u =可导，e x u =，则d y = A ．(e )d x f x ' B ．(e )d(e )x x f ' C ．()e d x f x x ' D ．[(e )]de x x f ' 解：根据复合函数求导法则可知：d ()()x x y f u du f e de ''==.选B. 8．曲线1 () y f x = 有水平渐近线的充分条件是 A ．lim ()0x f x →∞ = B ．lim ()x f x →∞ =∞ C ．0 lim ()0x f x →= D ．0 lim ()x f x →=∞ 解：根据水平渐近线的求法可知：当lim ()x f x →∞ =∞时，1 lim 0() x f x →∞ =，即0y =时1 () y f x = 的一条水平渐近线，选B. 9．设函数x x y sin 2 1 - =，则d d x y = 精品文档 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数： f ( x) f ( x) ，图像关于原点对称。 偶函数： f ( x) f ( x) ，图像关于 y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设 α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （ 1）若 lim α 0 ，则 α是比 β高阶的无穷小量。 β （ 2）若 lim α c （不为 α β 0），则 与 β是同阶无穷小量 特别地，若 lim α 1 α β ，则 与 是等价无穷小量 β （ 3）若 lim α α β β ，则 与 是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于 0 的速度快，谁就趋向于 0 的本领高。 4、两个重要极限 （ 1） lim sin x lim x 1 x 0 x x sin x 使用方法：拼凑 lim sin lim sin 0 ，一定保证拼凑 sin 后面和分母保持一致 1 x 1 （ 2） lim 1 lim (1 x) x e x x x 1 lim (1 ) e 使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 a , n m 5、 lim P n x b 0 0, n m x Q m X , n m 精品文档 P n x 的最高次幂是n,Q m x 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。 n m ,以相同的比例趋向于无穷大；n m ，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m ，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：lim f ( x)A x x0 右极限：lim f ( x)A x x0 lim f ( x)A充分必要条件是lim f ( x) lim f ( x) A x x0x x0x x0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： lim y lim f (x0x) f ( x0 ) 0 x0x 0 或 lim f (x) f ( x0 ) x x0 无法成立的三种情况 间断：使得连续定义lim f ( x) f ( x0 ) x x0 f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义 lim f ( x)不存在 x x0 lim f ( x) f ( x0 ) x x0 记忆方法： 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （ 1）、第二类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 至少有一个不存在 x x0x x0 （ 2）、第一类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 都存在 x x0x x0 可去间断点：lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 跳跃间断点：lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （ 1）最值定理：如果 f ( x) 在 a,b 上连续，则f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。 （ 2）零点定理：如果 f (x) 在 a,b 上连续，且 f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b内至少存在一点，使得 f ( )0 高数解题技巧。高数（上册）期末复习要点 高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。（高等数学、考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势天一专升本高数知识点
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