2015年浙江省专升本高等数学相关知识点

浙江省专升本高等数学相关知识点

一、函数、极限和连续

1.函数的几种特性

(1) 函数的有界性

① 如果函y=f(x)在定义域x 所属范围内(用D 表示)连续，且存在一个正数M,使在x ∈D 上的函数值f(x)都满足│f(x)│

② 如果函y=f(x)在定义域x ∈D 内连续且存在一个正数N,使在x ∈D 上的函数值f(x)都满足 │f(x)│>N 则称函数y=f(x)在x ∈D 有下界。

③ 当这两个条件同时满足时，则称函数f(x)在x ∈D 内有界。 (2) 函数的单调性

设函数f(x)的定义域为D ，区间I ∈D ，如果对于区间I 上任意两点x 1及x 2，当x 1＜x 2时，恒有:

① f(x 1）＜f(x 2)，则称函数f(x)在区间I 上是单调增加的； ② f(x 1）＞f(x 2)，则称函数f(x)在区间I 上是单调减少的。 (3) 函数的奇偶性

① 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 ② 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 ③ 如果对于函数定义域内的任意一个x ，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

④ 如果对于函数定义域内的任意一个x ，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 (4) 函数的周期性

① 若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使之恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的。

② 若T 是周期，则k ?T （k ≠0,k ∈Z ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期，如常函数f(x)=C 。

2.函数极限的四则运算

3.两个重要极限

① 1sin lim

0=→x

x

x ② ...590457182818284.2)1

1(lim 0

==+

→e x

x x

那么,)(lim ,)(lim 如果00b x g a x f x x x x ==→→

)0()(lim )(lim )()(lim )(lim )(lim )](）([lim )(lim )(lim )]()([lim 0

00

00000≠==?=?=?±=±=±→→→→→→→→→b b

a x g x f x g x f b

a x g x f x g x f b

a x g x f x g x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x

① ② ③

4.无穷小与无穷大

(1) 无穷小概念

① 无穷小量是以0为极限的变量；讲一个函数是无穷小量，须指出自变量的变化趋势； ② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是无穷小量；

③ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身，并不是零。 (2) 无穷小的性质

① 有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。 ② 有界函数与无穷小的积仍为无穷小。 (3) 无穷小的比较

定义：设α和β是同一变化过程中的两个无穷小，即lim α=0和lim β=0

(4) 等价无穷小替代

(5) 无穷大的性质

① 有限个无穷大量之积是无穷大量。 ② 有界变量与无穷大量之和是无穷大量。

③ 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量。 (6) 无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化的过程中，

如果 ，那么称α是β的高阶无穷小。

如果 ，那么称α是β的低阶无穷小。

如果 ，那么称α是β的同阶无穷小。

特别是当c=1时，即当 时，则称α与β是等价无穷小,记作:α~β。 0lim =β

α ∞=β

αlim )0(lim ≠=c c β

α

① ② ③ 1lim

=β

α )(~)(x βx α若极限 ，称)(x α与)(x β等价， 。

常见的几个等价无穷小

x n x a x a x e x x x x x x x x x x x x x n x x

1111121102~,ln ~~,~cos ,~)ln(,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin -+---+→时当1)()(lim 0=→x x x x

βα ① ②

,

为无穷大)(如果x f ; 为无穷小 )

(1 则 x f ,0)( 且 ,为无穷小)( 如果 ≠x f x f . 为无穷大 )(1

则x f ① ② ③ 无穷小与无穷大互为“倒数”，)0)( (≠x f 。

(7) 渐近线

① 垂直渐近线

② 水平渐近线

③ 斜渐近线 (8) 连续

定义：设函数

在 的某邻域内有定义，且 则称函数

① 在点 有定义，即 存在。 ② 极限

存在。 ③ 定理：处既左连续又右连续。在)(是函数处连续在)(函数00x x f x x f ? (9) 函数的间断点

① 第一类间断点 及 均存在。 若 称 为可去间断点。 若 称

为跳跃间断点。 ② 第二类间断点

及 中至少一个不存在。

若其中有一个为 称 为无穷间断点。 若其中有一个为振荡，称

为振荡间断点。

.

的一条铅直渐近线)(就是那么)(lim 或)(lim 如果

00

x f y x x x f x f x x x x ==∞

=∞=-+

→→

.

的一条水平渐近线)(就是那么)

为常数()(lim 或)(lim 如果

x f y b y b b

x f b x f x x ====-∞

→+∞

→

.

的一条斜渐近线)(就是那么)为常数,(0

)]()([lim 或

)]()([lim 如果

x f y b kx y b a b kx x f b kx x f x x =+==+-=+--∞

→+∞

→

斜渐近线求法:

.的一条斜渐近线)(就是曲线那么x f y b kx y =+=

.

])([lim b kx x f x =-∞

→)(x f y =0x ,)()(lim 00

x f x f x x =→.连续在)(0x x f )(x f 0x

)(0x f )(lim 0

x f x x →.

)()(lim 00

x f x f x x =→,)()(00+

-

≠x f x f 0x )(0-

x f )(0+

x f ,∞0x )(0-

x f )

(0+

x f ,)()(00+

-=x f x f 0x 0x

(10) 闭区间上连续函数的性质

① 有界定理

若 在闭区间[a,b]上连续，则 在[a,b]上有界。 ② 最值定理

若 在闭区间[a,b]上连续，则 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ③ 介值定理

设 在闭区间[a,b]上连续，且)()(b f a f ≠

对介于)(a f 与)(b f 之间的任意一个

④ 根的存在定理

若函数 在闭区间[a,b]上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在（a,b ）至少有一点ξ存

【注】 (11) 四则运算的连续性

定理：若函数)(),(x g x f 在点0x 处连续，则)()(x g x f ±，

)()(x g x f ?，()

0)()()(0≠x g x g x f 在点0x 处也连续。 注意：初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续。

)(x f )(x f )(x f )(x f )(x f 上面四个定理中闭区间和连续缺一不可，缺少任一条件都可能使结论不成立。

根的存在定理又叫做零点定理，证明方程根的存在性与分布非常有效。 ① ② )(x f 数η，则至少存在一点）,（b a ∈ξ，使得ηξ=)(f 。

在，使得0)(=ξf 。

二、一元函数微分学

1.单侧导数

① 左导数 ② 右导数

【备注】

2.导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 的导数)(0x f '在几何上表示曲线)(x f y =在点 ① 切线方程：))((-000x x x f y y -'=

② 法线方程：)0)()(()

(1

-

0000≠'-'-

=x f x x x f y y

3.导数公式

())(,00x f x M 处的切线的斜率。

0000

()()()lim h f x h f x f x h -

-→+-'=000()()

lim x x f x f x x x -

→-=-0000

()()()lim h f x h f x f x h +

+→+-'=000

()()lim x x f x f x x x +

→-=-函数在点x 0 左导数和右导数都存在，并且相等。 函数)(x f 在开区间（

a,b ）内可导，且 和 存在，则称)(x f 在闭区间[a,b]内可导。

()f a +'()f b -'f a

+'② ①

0 0tan ()MT k f x α'==曲线)(x f y =

在点))(,(00x f x M 处：

(1).0='C (2).i u u ux x -=')( (3).a a a x x ln )(=' (4).x x e e =')( (5).a x x a ln 1

)(log ='

(6).x x 1

)

(ln =' (7).v u v u '±'='±)(

(8).v u v u uv '+'=')

(

(9).2

)(v v u v u v u '-'=' (10).x x cos )(sin =' (11).x x sin )(cos -='

(12).x x 2sec )

(tan =' (13).x x 2csc )

(cot

-=' (14).x x x tan sec )(sec ='

(15).x x x cot csc )(csc

-='

(16).2

11)(arcsin x

x -=

'

(17).2

11)(arccos x

x --

='

(18).2

11

)

(arctan x x +=' (19).2

1

)

cot (x arc -='

4.常用的高阶导函数

5.隐函数求导

由方程0),(=y x F 确定的变量x 与变量y 之间的函数关系)(x y y =，称为隐函数。

隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x 求导。

6.幂指函数求导

一般的，幂指函数)

()(x v x u y =的求导，可有两种方法，都可得到一般公式

[]

'?=')(ln )()()(x u x v x u y x v

幂指函数的求导法——①转化为初等函数，直接求导法。②转化为隐函数，对数求导法。 例如：)0，0＞(sin ≠=

x x x y x 的导数y '

解法①：()()'='=

'x

x x e

x y ln sin sin

()'

?=x x e x

x ln sin ln sin

???

?

?

?

+

??=

x x x x x x sin ln cos sin 解法②：两边取对数，得x x y ln sin ln =

将方程两边同时对x 求导（注意：y 是x 的函数）得：

x

x x x y y

1

sin ln cos 1

?

+?='

)1

sin ln (cos x

x x x y y ?

+?='

???

?

?

?

?

+?=

x x x x x x 1sin ln cos sin 7.对数求导

对数求导法常用于幂指函数和以及乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。

()()()

(

)[]

1

)

(1)

()()

()()

()()1(！)1(11).5()1()!1()1(1ln ).4()(ln ).3(!).2()().1(+-+?-=???? ?

?++-?

-=+===n n

n n n n n

x n x n n x a n n x a x n x x n x a a a n x e a e ()()1

)

()

()

()(！

)1(1).8(2)(cos )()cos().

7(2)(sin )()sin().6(++?

-=?

??

? ??+????

???+=???

?

???+=n n n n n n n x a n x a n x a a x a n x a a x a ππ

○ ○ 【备注】○表示的是同一个公式，只是变了一个变量a 。

8.参数函数求导

dt

dx dx

dy dt d dx dy

dx d dx

y d x y dt

dx dt dy dx dy t t )()(二阶导数：//一阶导数：

22

=='

'== 9.中值定理及导数的应用

（1）中值定理

① 罗尔中值定理 ② 拉格朗日中值定理

③ 柯西中值定理

④ 泰勒公式

。

0)(，使得)＜＜(内至少有一点),(那么在；)()(相等，即在区间端点处的函数值.）3内可导；

),(在开区间.）2上连续；],[在闭区间.）1满足)(如果函数='=ξξξf b a b a b f a f b a b a x f

成立。

)

)(()()(，使等式)＜＜(内至少有一点),(那么在内可导；

),(在开区间.）2上连续；],[在闭区间.）1满足)(如果函数a b f a f b f b a b a b a b a x f -'=-ξξξ

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是）（【备注】当成立。

)

()

()()()()(，使等式

内至少有一点),(那么在;0)(),,(对任一.）3内可导；),(在开区间.）2上连续；],[在闭区间.）1满足)(及)(如果函数x x F F f a F b F a f b f b a x F b a x b a b a x F x f =''=--≠'∈ξξξ

。

)之间与在)()(()()(格朗日中值公式时，泰勒公式就变成拉0【备注】当。

)()!

1()

()(有),,(任一阶的导数，则对

)1(内有直到),(的某个开区间在含有)(如果函数00010)1(0x x x x f x f x f n x x n f x R b a x n b a x x f n n n ξξξ-'+==-+=∈+++

（2）洛必达法则

通常用于

∝

∝

,00型的未定式的计算，其他未定式还有?0、∝00、1、0、∝∝-∝∝型的未定式也可以通过

∝

∝

,00型的未定式来计算。 （3）函数的单调性

（4）曲线的凸凹性与拐点

定义：

凸凹性判别定理：

拐点计算：

（5）函数的极值与最大值最小值

① 极值

定理1 (必要条件)： 定理2 (第一充分条件)：

上单调减少。],[在)(那么函数,0＜)(内),(如果在.）2上单调增加；],[在)(那么函数,0＞)(内),(如果在.）1内可导，那么),(上连续，在],[在)

(设函数b a x f y x f b a b a x f y x f b a b a b a x f y ='='= 恒有,上任意两点上连续，如果对在区间)(设函数21x x I I x f ；如果恒有)或凹弧(凹的)向上(上的图形是在)(那么称I x f

2)

()(＜22121x f x f x x f +???

?

??+ 2)()(＞22121x f x f x x f +????

?

?+ 。)或凸弧(凸的)向上(上的图形是在)(那么称I x f

上的图形是凸的。

],[在)(那么,0＜)(内),(若在.）2上的图形是凹的；],[在)(那么,0＞)(内),(若在.）1，那么

内具有一阶和二阶导数),(上连续，在],[在)(设b a x f x f b a b a x f x f b a b a b a x f '''' 的值，并算出0根据具有一阶和二阶导，则)(设函数x y x f y =''=

凹性和计算拐点。以此划分区间、判定凸

.0)

(处取得极值，那么处可导，且在在)(设函数000='x f x x x f

内可导。),(的某去心领域处连续，且在在)(设函数000δx U x x x f

处取得极大值；

在)(则,0＜)(时，

),(，而0＞)(时，),(若).100000x x f x f x x x x f x x x '+∈'-∈δδ

处取得极小值；在)(则,0＞)(时，

),(，而0＜)(时，),(若).200000x x f x f x x x x f x x x '+∈'-∈δδ

处没有极值；

在)

(的符号保持不变，则)(时，),(若).3000x x f x f x x x '-∈δ

定理3(第二充分条件)：

② 最大值与最小值 最值求法：

那么,

0)(,0)(处具有二阶导数且在)(设函数000≠''='x f x f x x f

处取得极小值。

在)(时，函数0＞)(当).2处取得极大值。

在)(时，函数0＜)(当).10000x x f x f x x f x f

值与最小值。

再比较大小，算得最大数值，区间，算出各区间的函再结合函数定义域划分数是否具有不可导点，的值，并算出该函求出驻点,0具有二阶导数，则使)(令函数x y x f y =''=

三、一元函数积分学

1 基本积分公式

(1).)是常数(k C kx kdx ?

+=

(2).)1(111-≠++=

+?

u C x u dx x u u

(3).C a a dx a x x

+=

?

ln (4).C e dx e x

x +=?

(5).C x dx x

+=?

ln 1

(6).C x xdx +=?sin cos

(7).C x xdx +-=?cos sin (8).C x xdx +-=?

cos ln tan (9).C x xdx +=?

sin ln cot

(10).C x x xdx ++=?tan sec ln sec (11).C x x xdx +-=?

cot csc ln csc (12).C x xdx x +=?

sec tan sec (13).C x xdx x +-=?

csc cot csc

(14).?

?+==

C x dx x xdx tan cos 1

sec

22

(15).?

?

+-==

C x dx x

xdx cot sin 1

csc

2

2

(16).

C a x x a

a x x

dx a x +++

+

+=

+?

)ln(2

2

222

2222

(17).

C

a x x a a x x

dx a x +-++

-=

-?

222

2

22

2ln 2

2

(18).

C x dx x

+=-?arcsin 112

(19).

C x dx x

+=--

?arccos 11

2

(20).C x dx x +=+?arctan 11

2

(21).C x arc dx x

+=+-

?cot 11

2

(22).

C a x

b ar

c b a dx x b a +=+?

)(cot )(1)(12

2

(23).C a x a

x a dx a

x ++-=-?ln 2112

2 (24).

C a

x

dx x a +=-?arcsin

1

2

2 (25).

C a x x dx a x +++=+?)ln(1

222

2

(26).

C a x x dx a x +-+=-?

222

2ln 1

(27).220

20

1

cos sin --=

=

=

?

?

n n n

I n n dx x dx x In π

π

(28).

C a

x

a x a x

dx x a ++

-=

-?arcsin

2

2

2

2

22

2 ◎(29).C chx shxdx +=? ◎(30).C

shx chxdx +=?

【备注】◎表示双曲线函数积分公式。

2 三角函数的有理式积分

3 换元积分法

① 第一类换元法（凑微分）

一般是结合基本积分公式，对复合函数、导数进行逆向思考。

② 第二类换元法（根式代换、三角代换） 通常用于解决被积函数含有根式的情形。

4 分部积分法

5 有理函数的积分

(1). 212sin u u x += (2).2

2

11cos u

u x +-= (3).2tan x u = (4).212u du dx += (1)..

,,则令,1

若

2dt x dx b t x t b x dx b

x a '=+==--+?

目都以此方法做。【备注】类似这样的题

(2)..

,,则令,1

若

663dt x dx t x t x dx b

a '===±?

目都以此方法做。【备注】类似这样的题

(3)..

cos ),2,2(,sin 则令),0＞()(若222tdt n

a

dx t t n a x a dx x n a =

-∈=-?ππ (4)..

sec ),2,2(,tan 则令),0＞()(若

2222tdt n

a

dx

t t n a x a dx x n a =-∈=+?

π

π (5)..

tan sec ),2,0(,sec 则令),0＞()(若222tdt t n

a

dx t t n a x a dx a x n =

∈=-?π

()()du

v uv udv dx

v u uv dx v u dx

v u vdx u dx uv uv v u v u uv ???????-='-=''+

'='='

+'='

由

得 即 或

.

互换三角函数与指数函数可);(、指数函数)(sin 、三角函数)(幂函数、)(ln 、对数函数)(arcsin 角函数的选择顺序如下：反三其中，对于x a a x x x x u 分拆成两个真分式之和

没有公因式，那么它可)(与)(且),()()(多项式的乘积如果分母可分解为两个,)

()

(对于真分式

2121x Q x Q x Q x Q x Q x Q x P =

)()

()()()()(2211x Q x P x Q x P x Q x P +

=

例如：

6 定积分的几何意义及基本性质

(1) 奇偶函数

① 若)(x f 是偶函数，则dx x f dx x f a

a

a ??=-0

)(2)

(

② 若)(x f 是奇函数，则

0)

(=?-

dx x f a

a

求 ?---dx x x x )1)(1(3

2 (同济六版上册215P 例3.)

解: 被积函数分母的两个因式1-x 与12

-x 有公因式，故而再分解成

)1()1(2+-x x ，设

)1()

1()1()1(32

2++-+=+--x C

x B Ax x x x 则 2)1()1)((3-+++=-x C x B Ax x

即 C B x C B A x C A x ++-+++

=-)2()(32

有 ?????-=+=-+=+3120C B C B A C A 解得??

?

??-=-==121

C B A

C

x x x x dx x x dx x x x dx x x x dx

x x x ++--+-=+----=

??

????+---=+--=---????1ln 1

1

1ln 1

ln )1(1

111)1(2)1()1(3

)1)(1(3

22

2

2

于是

-a

a

a

-a

【备注】设)(x f 为一实变量实值函数，则f 为偶

函数如下列的方程对所有实数x 都成立：

)()(x f x f -=

常见的偶函数：x x x x x sec 、cos 、

、、4

2等。 【备注】设f

为一实变量实值函数，则f 为奇

函数如下列的方程对所有实数)()(x f x f -=都成立：

)()(x f x f --=或)()(x f x f -=-

常见的奇函数：x x x x csc 、sin 、

、3

等。

③ 奇偶判定方法

(2) 基本性质

(3) 积分上限函数及其导数

① ?

=a a dx x f 0)( ② dx x f dx x f b a a b ??

-=)()(

③ [

]

dx x g dx x f dx x g x f b

a

b a b a ?

??±=±)()()()( ④ dx x f k dx x kf b a b

a

??

=)()( ⑤ dx x f dx x f dx x f b

c

b a

c a ?

??+=)()()( ⑥ ?

-=b

a

a b dx 1 ⑦ 若)()(x g x f ≥

，则?

?

≥b

a b

a dx x g dx x f )()( ⑧ ?

-≤≤-b

a a

b M dx x f a b m )()()(， 其中m 是)(x f 的最小值，M 是)(x f 的最大值。 ⑨ 定积分之中值定理

设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存

在一点ξ，使))(()(a b f dx x f b

a -=?

ξ )(x f 在],[b a 上0＞)(x f ，且在),(b a 内0＜)(x f '，则)(＞)(＞)(b f f a f ξ，则有))((＞)(＞))((a b b f dx x f a b a f b a

--?

，即))(()(a b f dx x f b a

-=?

ξ。 定理1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续，则积分上限的函数dt t f x x a ?

=)()(φ在],[b a 上可导，并且它的导数].,[),()()(b a x x f dt t f dt d x x

a ∈=='

?

φ 定理2 如果函数)(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f x x a ?

=)()(φ就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数。 1).奇函数： 奇)偶(奇偶奇奇奇偶奇

奇偶)(奇奇奇

奇奇='=÷=÷=??∈=?=+f a n n

两个奇函数的复合为奇。 2).偶函数：

偶

)奇(偶奇奇偶偶偶偶奇奇偶偶偶)(偶偶偶

偶偶='=÷=÷=?=??∈=?=+f a n n 两个偶函数的复合为偶。

一奇一偶函数的复合为偶。

3).特殊：

唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x ，0)(=x f )。 一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如2x x +。(奇+偶=非奇非偶)

(4) 牛顿—莱布尼兹公式

(5) 定积分的换元积分法

① 基本换元规律，与不定积分相同。

② 定积分的换元法，得到新元的原函数后，无需回代，但必须做到换元同时换限。 (6) 定积分的分部积分法

① u 与dv 的选择规律，与不定积分的规律完全相同。

② 不同之处，仅在于定积分的计算需要计算原函数的函数值之差。 (7) 无穷区间上的广义积分

无穷区间上的广义积分),(),,

[],,(∝+∝-∝+∝-a b 假设被积函数)(x f 是连续函数，则有如下定义：

(8) 无穷限的反常积分

定义 设函数)(x f 在区间),

[∝+a 上连续，取a t ＞，如果极限存在，则称此极限为函数

)(x f 在无穷区间),[∝+a 上的反常积分，记作

?∝

+a

dx x f ,)(即

??∝

+∝+→=t

a

a

x dx

x f dx x f )(lim )(。（极限存在，收敛；极限不存在，发散。）

定理： 如果函数)(x F 连续函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则)()()

(a F b F dx x f b

a -=?。

一般的： [][]

);()()()()()

()(x u x u f x v x v f dx x f x v x u '-'='??

????? 特别的： []

)()()()

(x v x v f dx x f x v a '='??

?????

[]

)()()()(x u x u f dx x f b

x u '-='??

?????

① ；＜,)(lim )(b a dx x f dx x f b

a

b

a ?=?

?

∝-∝-→

② ；＞,)(lim )(a b dx x f dx x f b

a

a b ?=?

?

∝+∝+→

③ ；),(,)()()(∝+∝-∈?+=?

??

∝

+∝-∝+∝-c dx x f dx x f dx x f c

c

dx x f dx x f b

c

b c a a ?

?∝+→∝-→+)(lim )(lim

【注意】dx x f c ?∝-)(和dx x f c ?∝+)(都存在时，?

∝

+∝

-dx x f )(才存在。

(9) 无界函数的反常积分

定义 设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，点a 为)(x f 的瑕点，取a t ＞，如果极限

?+

→b t

a

t dx x f )(lim 存在，则称此极限为函数)(x f 在],(b a 上的反常积分，仍然记作?b

a dx x f )(，

即

??+→=t

t

b

a a t dx x f dx x f )(lim )(。

（极限存在，收敛；极限不存在，发散。） (10) 定积分的近似计算

(11) 定积分旋转体体积计算

① 矩形法 )()(110-+++-≈?

n b a y y y n

a

b x f ② 梯形法 ])(2

1

[)(110-++++-≈?

n n b a y y y y n a b x f ③ 抛物线法 )](4)(2)[(3)(1312420--+++++++++-≈?

n n n b a y y y y y y y y n

a

b x f

① 绕x 轴旋转 dx x f V b a

?=)

(2π ② 绕y 轴旋转 dy y V b a

?=

)(2

?π

★ 其中x 与y 互换位置算得1x 与2x 。 根据★步骤可得dy x x dy x dy x V b

a

b a

b a

???-=-=

)(221222

12πππ

③ 绕x 轴旋转体的侧面积

dx

y y A b

a

?'+=2)(12π

四、无穷级数

1 几个常见的重要级数

(1) 常数项级数的概念

(2) 几何级数(等比级数)

(3) 调和级数

(4) P 级数

(5) 其它

2 收敛级数的基本性质

性质1 性质2 如果级数

∑

∝

=1n n u 的部分和数列{}

n s 有极限s ，即,lim s s n n =→∝则称无穷级数∑

∝

=1

n n u 收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成 ++++=n u u u s 21；如果{}

n s 没有极限，则称无穷级数

∑

∝

=1n n u 发散。 ??

???∝-==→∝

∝=∑

q a S q a n n n n

1)(lim )(0

1＜q 1≥q 收敛 发散 ∑

∝

=+1

)()(1

n b n a 发散

??

?≤∑

∝=11

＞11p p n n p 发散 收敛 【备注】其中当p 等于1的时候，就是调和级数。 ?

??

??≤≤-∑∝

=0

1＜01

＞1)1(1

p p p n n p n 绝对收敛 条件收敛 发散

如果级数

{}n s 收敛于和s ，则级数∑∝

=1

n n

ku

也收敛，且和为。ks

结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的敛散性不会改变。 如果级数

∑∝

=1

n n u 、∑∝

=1

n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数∑∝

=±1

)(n

n n v u 也收敛，

且和为。σ±s

结论：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。

性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。 性质4 如果级数

∑∝

=1

n

n u 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

★性质5(级数收敛的必要条件) 如果级数∑∝

=1

n

n u 收敛，则它的一般项趋于0lim =→∝

n n

u 。

3 柯西审敛原理

定理(柯西审敛原理) 级数

∑∝

=1

n

n u 收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数,ε总存在正整数N ，使得当N n ＞时，对于任意的正整数,p 都有ε＜11p n n n u u u ++++++ 成

立。

4 正项级数及其审敛法

定理1 正项级数

∑∝

=1

n

n u 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{}n s 有界。

【注意】 如果加括号后所成的级数收敛，则不能断定去括号后原来的级数也收敛。 推论 如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散；事实上，倘若原来级数收

敛，则根据性质4知道，加括号后的级数就应该收敛了。

【注意】 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件，有些级数虽然一般项趋

于零，但仍然是发散的，例如调和级数。

定理2(比较审敛法) 设∑∝=1

n n u 和∑∝

=1

n

n v 都是正项级数，且),2,1( =≤n v u n n ，若级

数

∑∝

=1

n n v 收敛，则级数∑∝

=1

n n u 收敛；反之，若级数∑∝

=1

n

n u 发散，则级数

∑∝

=1

n

n v 发散。 推论 设∑∝

=1

n n u 和∑∝

=1

n n v 都是正项级数，如果级数∑∝

=1

n

n v 收敛，且存在正整数N ，使当

N n ≥时有)0＞(k kv u n n ≤成立，则级数∑∝

=1

n n u 收敛；如果级数∑∝

=1

n n v 发散，

且当N n ≥时有)0＞(k kv u n n ≥

成立，则级数∑∝

=1

n n u 发散。

定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑∝=1

n n u 和∑∝

=1

n

n v 都是正项级数。

★定理4(比值审敛法，达朗贝尔判别法) 设

∑∝

=1

n

n u 为正项级数，如果 ρ=+→∝

n

n n u u 1lim

(后项除以前项) ??

?

??

??=???? ??=∝+→∝1lim 或1＞1

＜1ρρρn n n u u

★定理5(根值审敛法，柯西判别法) 设

∑∝

=1

n

n u 为正项级数，如果 ρ=→∝

n n

n u lim ()

????

???=∝+=→∝

1

lim 或1＞1

＜ρρρn n n u

★定理6(极限审敛法) 设∑∝

=1

n

n u 为正项级数。

5 交错级数及其审敛法

定理7(莱布尼茨定理) 如果交错级数

∑∝

=--1

1

)1(n

n n u 满足条件：

① 如果,）＜0（lim

∝+≤=→∝t t v u n

n

n 且级数∑∝=1n n v 收敛，则级数∑∝

=1n n u 收敛； ② 如果0＞lim t v u n n n =→∝或,lim ∝+=→∝n

n

n v u 且级数∑∝=1n n v 发散，则级数∑∝

=1n n u 发散；

收敛 发散 不确定 收敛 发散 不确定

① 如果0＞lim

t nu n =→∝

或)lim (∝+=→∝

nu n ，则级数∑∝

=1

n n u 发散；

② 如果,1＞ρ而),＜0(lim ∝+≤=→∝

t t u n n p

n 则级数∑∝

=1

n n u 收敛；

① ),3,2,1(1 =≥+n u u n n ；

② .0lim

=→∝

n n u

则级数收敛，且其和1u s ≤

，其余项n r 的绝对值.1+≤n n u r

6 绝对收敛与条件收敛

定义 若

∑∝=1

n n u 收敛，则称∑∝=1

n n u 是绝对收敛，若只是∑∝=1

n n u 收敛而∑∝

=1

n

n u 发散，称∑∝

=1

n

n u 是条件收敛。 定理8 如果级数绝对收敛，则级数必定收敛。

7 幂级数及其收敛性

定理1(阿贝尔定理) 如果级数

∑∝

=0

n

n n x a 当)0(00≠=x x x 时收敛，则适合不等式

0＜x x 的一切x 使这幂函数绝对收敛；反之，如果级数∑∝

=0

n n n x a 当0x x =时发散，则适

合0＞x x 的一切x 使这幂函数发散。

定理2(收敛半径) 如果,lim

1

ρ=+→∝n

n n a a 其中1、+n n a a 是幂级数∑∝=0n n n x a 的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径

????

?

????∝+=01ρR

或★1

lim

+→∝

=n n

n a a R 推论 如果幂级数∑∝

=0

n

n n x a 不是在0=x 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则

必有一个确定在正数R 存在，使得

??

?

?

???±=R x R x R

x ＞＜ 绝对收敛 发散 不确定

0≠ρ 0=ρ

∝+=ρ

8 幂级数的运算

性质1 幂级数

∑∝

=0n n

n

x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上连续；即若)(0

x f x a n n

n =∑∝

=，则)(x f 在其收敛域I 上连续。

若

),,(),(110

R R x x f x a n

n

n -∈=∑∝

=).

,(),(220

R R x x g x b n n n -∈=∑∝

=

记),,min(21R R R =则在),(R R -内有如下运算法则： ① 加减法运算：

)()()(0

x g x f x b a x b x a n

n n n n

n

n n

n

n ±=±=

±

∑∑∑∝

=∝

=∝

=

② 乘法运算：

)()(00x g x f x b x a n n n n n n ?=???

? ?????? ??∑∑∝

=∝= 性质2 幂级数

∑∝

=0

n

n n x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式

dx

x a dx x a dx x s n

x

n n x

n n n x

∑??

∑?

∝

=∝==

??

????=

00

)(

),(1

10

I x x n a n n

n

∈+=

+∝

=∑

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径R 。

性质3 幂级数的

∑∝

=0n

n n x a 和函数)(x s 在其收敛域),(R R -内可导，有逐项求导公式,

)＜()()()(1

10

∑∑∑∝

=-∝=∝

=='='='n n n n n

n n n

n R x x na x a x a x s

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径R 。

天一专升本高数知识点

天一专升本高数知识点 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数：)()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大； m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =-→)(lim 0 右极限：A x f x x =+→)(lim 0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （1） 最值定理：如果)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

2013年浙江专升本数学试卷(1)

浙江省 2013 年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色字迹的签字笔或 钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试 题卷上。 一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设f(x)=sin(cos2x )，-∞

4.由曲线x y =，y=x 所围成的平面图形的面积是 A.3/2 B.1/2 C.1/3 D.1/6 5.二阶微分方程x x e y y y x cos sin 36```2=-+，则其特解的形式为 A.)sin cos (2x b x a e x + B.)2sin 2cos (2x b x a e x + C.)sin cos (2x b x a xe x + D. )2sin 2cos (2x b x a xe x + 非选择题部分 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷 上。 2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的 签字笔或钢笔描黑。 二、 填空题: 本大题共10小题，每小题 4分，共40分。 1.极限=→)sin(lim 20 x xIn x 2.函数x y sin =的定义域是 3.已知1)1(’=f ，=??+-?-→?x x f x f x )1()1(lim 0 4.若函数 )(x y y =由方程y xe y sin 1+=确定，则y`= 5.?=x x dx ln 6.极限)1sin ...2sin 21(sin 1lim 2n n n n n ++∞ →用定积分表示 7.∑∞=+-1 1 2)1(n n n n x 的收敛区间是

专升本高等数学知识点汇总

------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： y kx b (1) 2 —般形式的定义域：x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域：x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域：x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域：X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时，恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时，恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义：设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D，则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D，恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D，恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数：y c，定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数：y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义：y f（x）x a，I （a是常数且a 0，a 1）.图形过（0,1）点。 4 、 对数函数 定义：y f （x）lOg a X，（a是常数且a 0，a1）。图形过（1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数：y sin x T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数：y cosx. T 2 ，D(f)(,)，f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数：y tan x T，D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z}，f(D)(,). ⑷余切函数：y cotx T，D(f) {x | x R,x k ,k Z}，f(D)(,). 5、反三角函数 （1）反正弦函数：y arcsinx，D( f) [ 1,1]，f (D)[,]。 2 2 （2）反余弦函 数： y arccosx，D(f) [ 1,1]，f(D) [0,]。 （3）反正切函数：y arctanx，D(f) ( , )，f (D)(-,- 2 2 （4）反余切函 数： y arccotx，D(f) ( , )，f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

浙江专升本—高等数学复习公式(下载)

浙江专升本—高等数学复习公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

2019浙江专升本高数真题及答案

浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题卡上 选择题部分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上 在（都落成立设.....1δ

dx x D dx x C dx x B dx x A n n n n n x ???? +++?? ? ???+++++++∞→1 1 1 10sin 1.sin 1.sin 1.sin .sin 12sin 1sin 11lim .3ππππππ等于（） D C B A n n ? .....4. (2) 1 ? D C B A n x x x x xe x c c x y D e x c c x y C e x c c x y B e c x c x y A y y y 221221221221)()(.)()(.)()(.)(.04'4''.5---+=+=+=+==+-的通解为（）微分方程x e x c c y r r r y y y C 22122)(,0)2,044,04'4''+==-=+-=+-所以即（特征方程为由解析：

非选择题部分 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔填写 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） = +∞→n n n )1 sin 1(lim .6极限n n 11 1.7解析： )('=t h 8.当解析：? ??.9y x 设解析： t t t t t dx y d t dx dy t dt dx t dt dy 322 2sec cos sec cos )'tan (tan ,cos ,sin -=-=-=-==-== →=?n x x g x dt t x g n x 是同阶无穷小，则与时，且当设)(0,sin )(.1002

浙江省专升本高等数学试卷和答案

浙江省2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试 高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.当x →0x 时，f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x →0x 时，f(x)-g(x)是g(x)的 A ．等价无穷小 B ．同阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．低阶无穷小 2.设f(x)在x=a 处可导，则()x x a f x a f x --+→)(lim 0 等于 A.f ’(a)B.2f ’(a)C.0D.f ’(2a) 3.设可导函数F(x)满足F ’(x)=f(x),且C 为任意常数，则 A. ?+=C x f dx x F )()(' B.?+=C x F dx x f )()( C.?+=C x F dx x F )()( D.?+=C x F dx x f )()(' 4.设直线L 1：2-31511+=-=-z y x 与L 2：???=+=32z y 1z -x ，则L 1与L 2的夹角是 A.6πB.4πC.3πD.2 π 5在下列级数中，发散的是

A.)1ln(1)1(1 1+-∑∞=-n n n B.∑∞=-113n n n C.n n n 31)1(11 ∑∞=--D .∑∞=-113n n n 非选择题部分 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、 填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。 6.[]=--∞→n n ln )1(ln n lim 数列极限n 7.2x x 1lim ax b 2a b x 1→+∞??+++= ?+?? 若，则和的值为 8.的单调减区间是)0(11)(F 函数1>???? ? ?-=?x dt t x x 9.==?????≥<<---+=a 处连续，则必有0x 在0,02,22)(f 设函数x a x x x x x 10. =+=dy ），则21（ln y 设-x 11==-=)(f 则,1)2(f 且,)('若x x x f 12.?=+dx e x 11 13.的和为）1-n 2（1，则级数6n 1已知级数1 n 221n 2∑∑ ∞=∞==π 14.函数lnx 在x=1处的幂级数展开式为 三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。 16.)(f ，求)0(1)1 (f 设42 x x x x x x ≠+=+

2013年浙江专升本高等数学

浙江省普通高校“专升本”统考科目： 《高等数学》考试大纲 考试要求 考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。 考试内容 一、函数、极限和连续 (一)函数 1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单 的分段函数图像。 2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 3．理解函数y =?(x )与其反函数y =?-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)， 会求单调函数的反函数。 4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。 5．掌握基本初等函数的性质及其图像。 6．理解初等函数的概念。 7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。 (二)极限 1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的 变化趋势。理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。 2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。 3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷 大量的关系。会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量替换求极限。 4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要 极限： 1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x ， 并能用这两个重要极限求函数的极限。 (三)连续

专升本高等数学学习经验

任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。 第一天去听高数课，我信心满满的，并暗下决心我一定能学好这门课，可是事情并不如意，当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号，说着一连串我听都没听过的术语的时候，我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事，近在眼前，你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流，我问老师：什么是绝对值？老师说：绝对值你都不知道你还听什么高数！面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说，当时真的是万念俱灰，我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末，所以宿舍只有我一个人，面对空荡荡的宿舍，看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶，心里百感交集不知所措。夜色渐暗，天气转凉，我独自走在河边，思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话：人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们：人在何时都要谦虚谨慎，但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学，从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习，自己去学，这当然是有好处的，但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂，比如不定积分和定积分这两个知识点，如果你按照自己的思维从字面意思去理解，你会误以为它们两个基本是一样的，无非就是定积分多了一个几何意义，多了一步原函数带入上下限做差的

2018浙江专升本高等数学真题

2018年浙江专升本高数考试真题答案 一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。 1、设??? ??≤>=00,,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在)1,1(-内（ C ） A 、有可去间断点 B 、连续点 C 、有跳跃间断点 D 、有第二间断点 解析：1sin lim )(lim ,0lim )(lim 0 ====+ +--→→→→x x x f x x f x x x x )(lim )(lim 0 x f x f x x +-→→≠ ，但是又存在，0=∴x 是跳跃间断点 2、当0→x 时，x x x cos sin -是2 x 的（ D ）无穷小 A 、低阶 B 、等阶 C 、同阶 D 、高阶 解析：02 sin lim 2sin cos cos lim cos sin lim 0020==+-=-→→→x x x x x x x x x x x x x ?高阶无穷小 3、设)(x f 二阶可导，在0x x =处0)(0<''x f ，0) (lim 0 =-→x x x f x x ，则)(x f 在0x x =处（ B ） A 、取得极小值 B 、取得极大值 C 、不是极值 D 、() )(0,0x f x 是拐点 解析：0 000)()(lim )(,0) (lim 00 x x x f x f x f x x x f x x x x --='∴=-→→ ，则其0)(,0)(00=='x f x f ， 0x 为驻点，又000)(x x x f =∴<'' 是极大值点。 4、已知)(x f 在[]b a ,上连续，则下列说法不正确的是（ B ） A 、已知 ? =b a dx x f 0)(2，则在[]b a ,上，0)(=x f B 、?-=x x x f x f dt t f dx d 2)()2()(，其中[]b a x x ,2,∈ C 、0)()(

浙江专升本高等数学真题答案解析

高等数学 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 一、选择题: 本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 1．已知函数f(x)e x ，则 x=0 是函数 f(x)的 （ ）． （A）可去间断点（B）连续点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点 2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，则下列说法正确的是（）．（A）必存在（a,b）,使得a b f(x)dx f ()(b a) （B）必存在（a,b）,使得f(b)-f(a)=f '()(b a) （C）必存在（a,b）,使得f () （D）必存在（a,b）,使得f '()0 3 下列等式中，正确的是（）． （A）f'(x)dx f(x)df ( x ) f d f ( x ) dx

（B） ( x)（C） dx f ( x) 4. 下列广义积分发散的是（）． +111+ln x + x （A） 0dx （B） 0dx （C） 0x dx （D） 0e dx 1+x21 x2 5．微分方程 2 y e x sin x, 则其特解形式为（）．y -3 y （A）ae x sin x （B）xe x(a cos x b sin x) （C）xae x sin x （D）e x(a cos x b sin x) 非选择题部分 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二．填空题: 本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 6.已知函数f ( x )的定义域为(0,1), 则函数f (2 x )的定义域为 ___________________ 1 7. 已知lim（1+kx）x2,则k= ___________________ x0 8.若f (x) ln(1 x2 ), 则lim f (3) f (3 h) h _________________________ . x0

天一专升本高数知识点

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数：)()(x f x f -=-，图像关于原点对称。 偶函数： )()(x f x f =-，图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （1）若0=β α lim ，则α是比β高阶的无穷小量。 （2）若c β α =lim （不为0），则α与β是同阶无穷小量 特别地，若1=β α lim ，则α与β是等价无穷小量 （3）若∞=β α lim ，则α与β是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 （1）100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法：拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 （2）e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度 快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大；m n <，分母以更快的速度趋向于无穷大；m n >，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：A x f x x =- →)(lim 0 右极限：A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断：使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在， 记忆方法：1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （1）、第二类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 （2）、第一类间断点：)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在

成人高考高升专数学常用知识点及公式(打印版)

成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2：简易逻辑 概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。 题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙 但 乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”） 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生 改变）。

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精品文档 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 奇函数： f ( x) f ( x) ，图像关于原点对称。 偶函数： f ( x) f ( x) ，图像关于 y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设 α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 （ 1）若 lim α 0 ，则 α是比 β高阶的无穷小量。 β （ 2）若 lim α c （不为 α β 0），则 与 β是同阶无穷小量 特别地，若 lim α 1 α β ，则 与 是等价无穷小量 β （ 3）若 lim α α β β ，则 与 是低阶无穷小量 记忆方法：看谁趋向于 0 的速度快，谁就趋向于 0 的本领高。 4、两个重要极限 （ 1） lim sin x lim x 1 x 0 x x sin x 使用方法：拼凑 lim sin lim sin 0 ，一定保证拼凑 sin 后面和分母保持一致 1 x 1 （ 2） lim 1 lim (1 x) x e x x x 1 lim (1 ) e 使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 a , n m 5、 lim P n x b 0 0, n m x Q m X , n m

精品文档 P n x 的最高次幂是n,Q m x 的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。 n m ,以相同的比例趋向于无穷大；n m ，分母以更快的速度趋向于无穷大；n m ，分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限：lim f ( x)A x x0 右极限：lim f ( x)A x x0 lim f ( x)A充分必要条件是lim f ( x) lim f ( x) A x x0x x0x x0 注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义： lim y lim f (x0x) f ( x0 ) 0 x0x 0 或 lim f (x) f ( x0 ) x x0 无法成立的三种情况 间断：使得连续定义lim f ( x) f ( x0 ) x x0 f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义 lim f ( x)不存在 x x0 lim f ( x) f ( x0 ) x x0 记忆方法： 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 （ 1）、第二类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 至少有一个不存在 x x0x x0 （ 2）、第一类间断点：lim f ( x) 、 lim f ( x) 都存在 x x0x x0 可去间断点：lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 跳跃间断点：lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 （ 1）最值定理：如果 f ( x) 在 a,b 上连续，则f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。 （ 2）零点定理：如果 f (x) 在 a,b 上连续，且 f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b内至少存在一点，使得 f ( )0

天一专升本高数知识点

第一讲函数、极限、连续 1、 基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、 函数的性质，奇偶性、有界性 设 a, 3是自变量同一变化过程中的两 个无穷小量，则 a (1)若lim 一 = 0，则a 是比 3 a （2）若 lim — = C （不为 0）, 3 a (3)若 lim — = 3 记忆方法：看谁趋向于 4、两个重要极限 ，贝y a 与3是低阶无穷小 量 sinx X , =lim ----- =1 X T 。si nx 拼凑 lfm*] Tm 。*] =0，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 ⑵ lim1」「lim （1+xle X X 丿 X T 。 1 时〔卩Le 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 奇函数: f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。 偶函数: f (-X)= f(x), 图像关于y 轴对称 3、无穷小量、 无穷大量、阶的比较 特别地，若 lim — =1，则 3 a 与3是等价无穷小量 (3高阶的无穷小量。 则 a 与3是同阶无穷小量 0的速度快，谁就趋向于 0的本领高。 （1）lim T X 使用方法: Pn(X) 5、lim — --- = X *Qm （X ） ,n = m b o 0,n V m

V- 巳(X )的最高次幕是n,Q m(x )的最高次幕是m.,只比较最高次幕，谁的次幕高，谁的头大，趋向于无 穷大的速度 n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大；n < m，分母以更快的速度趋向于无穷大; 度趋向于无穷大。

专升本数学一知识点(记住)

常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。

5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 二、函数极限的四则运算法则 设A u x =→λ lim ， B v x =→λ lim ，则

浙江省专升本《高等数学》考试大纲

浙江省普通高校“专升本”统考科目： 《高等数学》考试大纲 考试要求 考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。 求某点处极限，连续，和导数都要考虑其邻域。即有左极限，右极限；左连续，右连续；左导，右导（有无定义，左导等不等于右导，对分段函数（只要有定义就要去求导，有的时候公式不能用的要用定义去求，例如）只要讨论有左右之分的分段点处） 考试内容 一、函数、极限和连续 (一)函数 1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。 2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。 3．理解函数y=?(x)与其反函数y =?-1(x)之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。 4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。 5．掌握基本初等函数的性质及其图像。

6．理解初等函数的概念。 7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。 (二)极限 1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。 2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。 3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量替换求极限。 4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限： 1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x ， 并能用这两个重要极限求函数的极限。 (三)连续 1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。会判断分段函数在分段点的连续性。 2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。 3．理解“一切初等函数在其定义区间上都是连续的”，并会利用初等函数的连续性求函数的极限。