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专升本高等数学知识点汇总

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专升本高等数学知识点汇总

常用知识点:

一、常见函数的定义域总结如下:

(1)

c

bx ax y b kx y ++=+=2

一般形式的定义域:x ∈R

(2)x

k

y = 分式形式的定义域:x ≠0 (3)x y =

根式的形式定义域:x ≥0

(4)x y a log = 对数形式的定义域:x >0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当21x x <时,恒有)()(21x f x f <,)(x f 在21x x ,所在的区间上是增加的。 当21x x <时,恒有)()(21x f x f >,)(x f 在21x x ,所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性

定义:设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称(即若D x ∈,则有D x ∈-) (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f -=-。

三、基本初等函数

1、常数函数:c y =,定义域是),(+∞-∞,图形是一条平行于x 轴的直线。

2、幂函数:u

x y =, (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x

a x f y ==)(, (a 是常数且0>a ,1≠a ).图形过(0,1)点。

4、对数函数

定义: x x f y a log )(==, (a 是常数且0>a ,1≠a )。图形过(1,0)点。 5、三角函数

(1) 正弦函数: x y sin =

π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。

(2) 余弦函数: x y cos =.

π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。

(3) 正切函数: x y tan =.

π=T , },2

)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π

, ),()(+∞-∞=D f .

(4) 余切函数: x y cot =.

π=T , },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f .

5、反三角函数

(1) 反正弦函数: x y sin arc =,]1,1[)(-=f D ,]2

,2[)(π

π-

=D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =,]1,1[)(-=f D ,],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =,),()(+∞-∞=f D ,)2

,2()(π

π-

=D f 。

(4) 反余切函数: x y arccot =,),()(+∞-∞=f D ,),0()(π=D f 。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法

(1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。 (4)利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设A u x =→λ

lim , B v x =→λ

lim ,则

(1)B A v u v u x x x ±=±=±→→→λ

λ

λ

lim lim )(lim

(2)AB v u v u x x x =?=?→→→λ

λ

λ

lim lim )(lim .

推论

(a)v C v C x x λ

λ

→→?=?lim )(lim , (C 为常数)。

(b )n

x n x u u )lim (lim λ

λ

→→=

(3)B

A v u v u x x x ==→→→λ

λ

λlim lim lim , (0≠B ).

(4)设)(x P 为多项式n n n a x a x a x P +++=- 1

10)(, 则)()(lim 00

x P x P x x =→

(5)设)(),(x Q x P 均为多项式, 且0)(≠x Q , 则 )

()

()()(lim

000x Q x P x Q x P x x =→

三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有:当0→x 时,x x ~sin ,x x ~tan ,x x ~arctan ,

x x ~arcsin ,x x ~)1ln(+,x e x ~1-,2

2

1~

cos 1x x -。 对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为:当0 □→时, □~ □sin ,其余类

似。

四、两个重要极限

重要极限I 1sin lim

0=→x

x

x 。

它可以用下面更直观的结构式表示:1

□sin lim

0 □=→

重要极限II e x x

x =??

?

??+∞

→11lim 。

其结构可以表示为:e =??? ??

+∞→

□ □ □

11lim

八、洛必达(L ’Hospital)法则

“00”型和“∞∞

”型不定式,存在有A x g x f x g x f a x a x ==→→)

()(lim )()(lim ''(或∞)

。 一元函数微分学 一、导数的定义

设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义,当自变量x 在0x 处取得增量?x (点

x x ?+0仍在该邻域内)时,相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果当

0→?x 时,函数的增量y ?与自变量x ?的增量之比的极限

lim

→?x x y

??=0lim →?x x

x f x x f ?-?+)()(00=)(0x f ' 注意两个符号x ?和0x 在题目中可能换成其

他的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

(1)0)(='C (C 为常数) (2)1

)(-='αα

αx

x (α为任意常数)

(3)a a a x x ln )(=')1,0(≠>a a 特殊情况x

x e e =')(

(4)a

x e x x a a ln 1log 1)(log =

=

')1,0,0(≠>>a a x , x x 1

)(l n =' (5)x x cos )(sin =' (6)x x sin )(cos -=' (7)x

x 2

'

cos 1

)(tan =

(8)x

x 2'

sin 1

)(cot -

= (9)2

'11)(arcsin x

x -=

)11(??-x

(10))11(11)(arccos 2

'

??---

=x x

x

(11)2

'

11

)(arctan x

x +=

(12)2

'

11)cot (x

x arc +-= 2、导数的四则运算公式

(1))()(])()([x v x u x v x u '±'='± (2))()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=' (3)u k ku '='][(k 为常数)

(4))()

()()()()()(2

x v x v x u x v x u x v x u '-'='??

???? 3、复合函数求导公式:设)(u f y =, )(x u ?=,且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数

)]([x f y ?=的导数为

)().('x u f dx

du

du dy dx dy ?'=?=。 三、导数的应用

1、函数的单调性

0)('>x f 则)(x f 在),(b a 内严格单调增加。 0)('

2、函数的极值

0)('=x f 的点——函数)(x f 的驻点。设为0x

(1)若0x x <时,0)('>x f ;0x x >时,0)('

时,0)('

>x f ,则)(0x f 为)(x f 的极小值点。 (3)如果)('

x f 在0x 的两侧的符号相同,那么)(0x f 不是极值点。

3、曲线的凹凸性

0)(''>x f ,则曲线)(x f y =在),(b a 内是凹的。 0)(''

4、曲线的拐点

(1)当)('

'x f 在0x 的左、右两侧异号时,点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点,此时

0)(0''=x f .

(2)当)('

'x f 在0x 的左、右两侧同号时,点))(,(00x f x 不为曲线)(x f y =的拐点。 5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式

dx x f dy )('=,求微分就是求导数。

一元函数积分学 一、不定积分

1、定义,不定积分是求导的逆运算,最后的结果是函数+C 的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。

2、不定积分的性质

(1))(])(['x f dx x f =?或dx x f dx x f d )()(=?

(2)C x F dx x F +=?)()('或C x F x dF +=?

)()(

(3)????±±±=

±±±dx x x dx x f dx x x x f )()()()]()()([ψ?ψ? 。

(4)dx x f k dx x kf ?

?=)()((k 为常数且0≠k )。 2、基本积分公式(要求熟练记忆) (1)?

=C dx 0 (2))1(1

11

-≠++=+?

a C x a dx x a a

. (3)

C x dx x +=?ln 1

.

(4)C a a

dx a x

x

+=

?

ln 1 )

1,0(≠>a a (5)C e dx e x x +=?

(6)?

+-=C x xdx cos sin (7)?

+=C x xdx sin cos

(8)C x dx x +=?tan cos 1

2.

(9)C x dx x

+-=?cot sin 1

2

. (10)

C x dx x

+=-?

arcsin 112

.

(11)

C x dx x +=+?arctan 11

2.

3、第一类换元积分法

对不定微分dx x g ?

)(,将被积表达式dx x g )(凑成

)()()()]([)('x d x f dx x x f dx x g ????==,这是关键的一步。

常用的凑微分的公式有:

(1))()(1

)(b ax d b ax f a

dx b ax f ++=+ (2))()(1)(1

b ax d b ax f ka

dx x b ax f k k k k ++=?+-

(3)x d x f dx x

x f 21)(=?

(4)x d x f dx x

x f 1)1(1)1(2

-=?

(5))()()(x

x

x

x

e d e

f dx e e f =? (6))(ln )(ln 1

)(ln x d x f dx x

x f =?

(7))(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f =? (8))(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f -=?

(9))(tan )(tan cos 1

)(tan 2x d x f dx x x f =?

(10))(cot )(cot sin 1

)(cot 2

x d x f dx x

x f -=?

(11))(arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2

x d x f dx x x f =-?

(12))(arccos )(arccos 11)(arccos 2x d x f dx x

x f -=-?

(13))(arctan )(arctan 11

)(arctan 2

x d x f dx x x f =+?

(14)))((ln )

()('x d dx x x ???= )0)((≠x ?

4、分部积分法

??-=vdu uv udv

二、定积分公式

1、(牛顿—莱布尼茨公式) 如果)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任意一个原函数,则有

)()()( a F b F dx x f b

a

-=?

2、计算平面图形的面积

如果某平面图形是由两条连续曲线

)(),(21x f y x g y ==及两条直线a x =1和b x =2所

围成的(其中1y 是下面的曲线,2y 是上面的曲线),则其面积可由下式求出:

.)]()([dx x g x f S b

a

?-=

3、计算旋转体的体积

设某立体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体,如图所示。则该旋转体的体积V 可由下式求出:

.)()(22dx x f dx x f V b

a

b a

x ??==ππ

多元函数微分学

1、 偏导数,对某个变量求导,把其他变量看做常数。

2、全微分公式:y B x A y x df dz ?+?==),(。

3、复合函数的偏导数——利用函数结构图

如果),(y x u ?=、),(y x v ψ=在点),(y x 处存在连续的偏导数

x

u

?? ,y u ??,x v ?? ,y v ??,

且在对应于),(y x 的点),(v u 处,函数),(v u f z =存在连续的偏导数

u z ??,v

z

??,则复合函数)],(),,([y x y x f z ψ?=在点),(y x 处存在对x 及y 的连续偏导数,且

x v v z x u u z x z ????+

????=??,y

v

v z y u u z y z ????+????=??。

4、隐函数的导数

对于方程0),(=y x F 所确定的隐函数)(x f y =,可以由下列公式求出y 对x 的导数'

y :

)

,()

,('

''

y x F y x F y y x -=, 2、隐函数的偏导数

对于由方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数),(y x f z =,可用下列公式求偏导数:

)

,,(),,('

'z y x F z y x F x z

z x -=??, ),,(),,(''z y x F z y x F y z z y -=??, 5、二元函数的极值

设函数),(00y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数,且

0),(00'=y x f x ,0),(00'=y x f y 又设A y x f xx =),(00'',B y x f xy =),(00'',C y x f yy =),(00'

',

则:

(1)当02

<-AC B 时,函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极值,且当0A 时有极小值。

(2)当02>-AC B 时,函数),(y x f 在点),(00y x 处无极值。

(3)当02=-AC B 时,函数),(y x f 在点),(00y x 处是否有极值不能确定,要用其它方法另作讨论。

平面与直线

1、平面方程

(1)平面的点法式方程:在空间直角坐标系中,过点),,(0000z y x M ,以},,{C B A n =为法向量的平面方程为

0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 称之为平面的点法式方程

(2)平面的一般式方程

0=+++D Cz By Ax 称之为平面的一般式方程 2、特殊的平面方程

0=++Cz By Ax 表示过原点的平面方程 0=++D By Ax 表示平行于Oz 轴的平面方程 0=+By Ax 表示过Oz 轴的平面方程

0=+D Cz 表示平行于坐标平面xOy 的平面方程

3、两个平面间的关系

设有平面 0:11111=+++D z C y B x A π

0:22222=+++D z C y B x A π

平面1π和2π互相垂直的充分必要条件是:0212121=++C C B B A A

4、直线的方程

(1)直线的标准式方程 过点),,(0000z y x M 且平行于向量},,{p n m s =的直线方程

常称},,{p n m s =为所给直线的方向向量

(2)直线的一般式方程

??

?=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A 称之为直线的一般式方程 5、两直线间关系

设直线1l ,2l 的方程为

直线1l ,2l 互相垂直的充分必要条件为0212121=++p p n n m m

0)()()(:000=-+-+-z z C y y B x x A

π

直线l 与平面π平行的充分必要条件为:??

?

≠+++=++00

00D Cp Bn Am Cp Bn Am o

直线l 落在平面π上的充分必要条件为??

?

=+++=++00

00D Cp Bn Am Cp Bn Am o

将初等函数展开成幂级数

1、定理: 设)(x f 在),(0δx

U 内具有任意阶导数,且

称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。或称上式为将)(x f 展开为0x x =的幂级数。

常微分方程

1、一阶微分方程

(1)可分离变量的微分方程

若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(= 或 )()(y g x f y ='则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程. 2、、可分离变量微分方程的解

方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。其中:

?=dy y g y G )()(,?=dx x f x F )()(.

即两边取积分。

(2)一阶线性微分方程

1、定义:方程 )()(x Q y x P y =+' 称为一阶线性微分方程. (1) 非齐次方程——0)(≠x Q ;

(2) 齐次方程 —— 0)(=+'y x P y . 2、求解一阶线性微分方程

(1)先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解:?=-dx

x P Ce y )(, 其中C 为任意常数。 (2)将齐次通解的C 换成)(x u 。即 ?=-dx x P e x u y )()(

(3)代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+', 得

??

????+??

=?

-C dx e x q e y dx

x P dx x P )()()( 2、二阶线性常系数微分方程

(1)可降阶的二阶微分方程 1、)(x f y =''型的微分方程 例3: 求方程x e y x sin 212-=

''的通解.分析:12cos 4

1

C x e dx y y x ++=''='?; 212sin 8

1

C x C x e dx y y x +++='=?.

2、),(y x f y '=''型的微分方程 解法:

(1) 令y p '=,方程化为 ),(p x f p ='; (2) 解此方程得通解 ),(1C x p ?=; (3) 再解方程 ),(1C x y ?=' 得原方程的通解 21),(C dx C x y +=?

?. 3、),(y y f y '=''型的微分方程 解法:

(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy

dp

p

dx dy dy dp dx dp y =?==

'', (2) 代入原方程, 得 ),(p y f dy

dp

p

= (3) 解此方程得通解 ),(1C y p ?=;

(4) 再解方程 ),(1C y y ?=' 得原方程的通解

21),(C x C y dy

+=??.

例4:求方程02

='-''y y y 的通解.

分析:(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy

dp

p

dx dy dy dp dx dp y =?==

'', (2) 代入原方程, 得 02=-p dy

dp

yp

y dy p dp = (3) 解上方程, 得 C y p ln ||ln ||ln += ? y C p 1=, (C C ±=1). (4) 再解方程 y C y 1=' ?

1C y

y ='

? 2

1||ln C x C y '+=. (5) 于是原方程的通解为 x

C e C y 12=, (22C e C '

±=)

(2)常系数线性微分方程

(1)、二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。 写出特征方程并求解

02=++q pr r .

下面记q p 42

-=?,21,r r 为特征方程的两个根. (1)042>-=?q p 时, 则齐次方程通解为:

x r x r e C e C y 2121+=。

(2)042

=-=?q p 时, 则齐次方程通解为

)(2121111x C C e xe C e C y x r x r x r +=+=.

(3)042

<-=?q p 时,有,1βαi r +=)0( 2≠-=ββαi r ,则齐次方程通解为

).sin cos (21x C x C e y x ββα+=

(2)二阶常系数非齐次方程解法

方程的形式:)(x f qy y p y =+'+'' 解法步骤: (1) 写出方程的特征方程 02

=++q pr r ; (2) 求出特征方程的两个根21,r r ;

(4) 再求出非齐次方程的一个特解 )(*

x y ;

(5)那么原方程的通解为 )()()(*

2211x y x y C x y C y ++=。

天一专升本高数知识点

天一专升本高数知识点 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质,奇偶性、有界性 奇函数:)()(x f x f -=-,图像关于原点对称。 偶函数:)()(x f x f =-,图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα,是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则 (1)若0=β α lim ,则α是比β高阶的无穷小量。 (2)若c β α =lim (不为0),则α与β是同阶无穷小量 特别地,若1=β α lim ,则α与β是等价无穷小量 (3)若∞=β α lim ,则α与β是低阶无穷小量 记忆方法:看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 (1)100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法:拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ,一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 (2)e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速度快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大;m n <,分母以更快的速度趋向于无穷大; m n >,分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限:A x f x x =-→)(lim 0 右极限:A x f x x =+→)(lim 0 注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义: []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断:使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 记忆方法:1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在,但不相等 9、间断点类型 (1)、第二类间断点:)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→至少有一个不存在 (2)、第一类间断点:)(lim 0 x f x x -→、)(lim 0 x f x x +→都存在 注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再判断 是不是第一类间断点;左右相等是“可去”,左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 (1) 最值定理:如果)(x f 在[]b a ,上连续,则)(x f 在[]b a ,上必有最大值最小值。

小学年级数学公式及知识点汇总

小学一至六年级得数学公式 基本公式: 1 每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数 2 倍数×倍数=几倍数几倍数÷倍数=1倍数 3 速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度 4 单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价 5 工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间工作总量÷工作时间=工作效率 6 加数+加数=与与-一个加数=另一个加数 7 被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数 8 因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数 9 被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数小学数学图形计算公式: 1 正方形C周长S面积a边长 周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2 正方体V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 长方形C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4 长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

(2)体积=长×宽×高V=abh 5 三角形s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形s面积a底h高面积=底×高s=ah 7 梯形s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形S面积C周长π d=直径r=半径 (1)周长=直径×π=2×π×半径C=πd=2πr (2)面积=半径×半径×n 9 圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高(4)体积=侧面积÷2×半径 10 圆锥体v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 与差问题得公式: 总数÷总份数=平均数 (与+差)÷2=大数(与-差)÷2=小数 与倍问题 与÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数 (或者与-小数=大数)

高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos ' -=; ⑤a a a x x ln )(' =;⑥x x e e =' )(; ⑦a x x a ln 1)(log ' = ;⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 (1)' ' ' ()u v u v ±=±. (2)' ' ' ()uv u v uv =+. (3)'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈,且1n >). (2)1m n m n a a - = = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 根式的性质 (1)当n a =;

专升本高等数学知识点汇总

------------------- 时需Sr彳-------- ---- --- -- 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点: 一、常见函数的定义域总结如下: y kx b (1) 2 —般形式的定义域:x € R y ax bx c k (2)y 分式形式的定义域:x丰0 x (3)y 、、x根式的形式定义域:x > 0 (4)y log a x对数形式的定义域:X>0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当洛X2时,恒有f(xj f(X2), f(x)在x1?X2所在的区间上是增加的。 当x1 x2时,恒有f (x1) f (x2) , f (x)在x1?x2所在的区间上是减少的。 2、函数的奇偶性 定义:设函数y f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若x D,则有x D ) (1)偶函数f (x)——x D,恒有f ( x) f (x)。 ⑵奇函数f (x)——x D,恒有f( x) f (x)。 三、基本初等函数 1、常数函数:y c,定义域是(,),图形是一条平行于x轴的直线。 2、幕函数:y x u, (u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义:y f(x)x a,I (a是常数且a 0,a 1).图形过(0,1)点。 4 、 对数函数 定义:y f (x)lOg a X,(a是常数且a 0,a1)。图形过(1,0 )点。5 、 三角函数 (1)正弦函数:y sin x T 2 ,D(f)(,),f (D) [ 1,1]。 ⑵余弦函数:y cosx. T 2 ,D(f)(,),f (D) [ 1,1]。 ⑶正切函数:y tan x T,D(f) {x | x R,x (2k 1)-,k Z},f(D)(,). ⑷余切函数:y cotx T,D(f) {x | x R,x k ,k Z},f(D)(,). 5、反三角函数 (1)反正弦函数:y arcsinx,D( f) [ 1,1],f (D)[,]。 2 2 (2)反余弦函 数: y arccosx,D(f) [ 1,1],f(D) [0,]。 (3)反正切函数:y arctanx,D(f) ( , ),f (D)(-,- 2 2 (4)反余切函 数: y arccotx,D(f) ( , ),f(D) (0,)。 极限 一、求极限的方法 1代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 (1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。 (4)利用罗比达法则就极限。

福建专升本高等数学2013-2017考点归纳

★★★★★为必考题,星越少考的可能性越小 第一部分 函数、极限与连续 考点1定义域★★★★ 【2013】1、函数()2421 x x x f -+-=的定义域是() 【2014】11. 函数()ln(1)f x x =-的定义域是 【2015】11. 函数()() 2 1ln x x f -=的连续区间为 . 【2016】1. 函数()ln(2)f x x =-的定义域是( ) 考点2 对应关系★★★ 【2013】11、设()()()2,21-+=+x f x x x f = 【2014】函数()f x 与()g x 相同的是【 】 2 .(),()x A f x g x x x == .()()B f x g x x == 2 2 .()sin cos ,()1C f x x x g x =+= 2 .(),()D f x g x x = = 【2015】1.若()()()=?? ? ??≥<≤--<-=2,2,1,22,0,2,1f f x x x x f 则【 】 考点3 反函数★★ 【2016】2.在同一平面直角坐标系中,函数()y f x =与其反函数1 ()y f x -=的图像关于 ( ) .A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 直线y=x 对称 .D O 原点对称 【2017】1.函数()()2()1,1 x f x x x = ∈+∞-则1(3)f -=( ) .1A 3 .2 B .2 C .3D 考点4 无穷小的比较★★★★★ 【2013】3.当x →0时,1-cos x 是tan x 的() A.高阶无穷小 B.同阶无穷小,但非等价无穷小 C.低阶无穷小 D.等价无穷小 【2014】2.当x →0时,下列无穷小与x 等价的是()

成人高考专升本高等数学考点解析一

2015年成人高考专升本高等数学考点解析一 2015年成人高考专升本高等数学知识点:不定积分 1、知识范围 (1)不定积分、原函数与不定积分的定义、原函数存在定理不定积分的性质 (2)基本积分公式 (3)换元积分法、第一换元法(凑微分法)、第二换元法 (4)分部积分法 (5)一些简单有理函数的积分 2、要求 (1)理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质,了解原函数存在定理。 (2)熟练掌握不定积分的基本公式。 (3)熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。 (4)熟练掌握不定积分的分部积分法。 (5)会求简单有理函数的不定积分。 2015年成人高考专升本高等数学知识点:数与微分 1、知识范围 (1)导数概念 导数的定义、左导数与右导数、函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系 (2)求导法则与导数的基本公式 导数的四则运算、反函数的导数、导数的基本公式 (3)求导方法

复合函数的求导法、隐函数的求导法、对数求导法由参数方程确定的函数的求导法、求分段函数的导数 (4)高阶导数 高阶导数的定义、高阶导数的计算 (5)微分 微分的定义、微分与导数的关系、微分法则一阶微分形式不变性 2、要求 (1)理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系,掌握用定义求函数在一点处的导数的方法。 (2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 (3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法,会求反函数的导数。 (4)掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法,会求分段函数的导数。 (5)理解高阶导数的概念,会求简单函数的阶导数。 (6)理解函数的微分概念,掌握微分法则,了解可微与可导的关系,会求函数的一阶微分。

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点: 一、常见函数的定义域总结如下: (1) c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域:x ∈R (2)x k y = 分式形式的定义域:x ≠0 (3)x y = 根式的形式定义域:x ≥0 (4)x y a log = 对数形式的定义域:x >0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时,恒有)()(21x f x f <,)(x f 在21x x ,所在的区间上是增加的。 当21x x <时,恒有)()(21x f x f >,)(x f 在21x x ,所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义:设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称(即若D x ∈,则有D x ∈-) (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数:c y =,定义域是),(+∞-∞,图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数:u x y =, (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(, (a 是常数且0>a ,1≠a ).图形过(0,1)点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==, (a 是常数且0>a ,1≠a )。图形过(1,0)点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T , },2 ) 12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π , ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T , },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =,]1,1[)(-=f D ,]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =,]1,1[)(-=f D ,],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =,),()(+∞-∞=f D ,)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =,),()(+∞-∞=f D ,),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 (1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。 (4)利用罗比达法则就极限。

专升本高等数学学习经验

任何一门学科的学习都需要付出艰苦的努力才会取得令人满意的结果。 第一天去听高数课,我信心满满的,并暗下决心我一定能学好这门课,可是事情并不如意,当老师在黑板上写下一堆我生平从未见到过的符号,说着一连串我听都没听过的术语的时候,我只觉内心伊真崩溃世界上最难受的精神折磨莫过于你想做好的一件事,近在眼前,你却根本无法完成甚至是无从拿起我的内心就如同煎锅上的生煎一样被煎熬了一节课。下课后我去和授课老师交流,我问老师:什么是绝对值?老师说:绝对值你都不知道你还听什么高数!面对这突如其来的打击,我缓缓的镇定了一下,继续给老师说了我的情况 :打从小学毕业后我就没再学过数学,老师喝了口茶,慢悠悠的说:回去找老师给你补补吧,我的课你不要再听了,听了也没用!完全是在浪费时间。毫不夸张的说,当时真的是万念俱灰,我垂头丧气的回到了学校。由于我们学校最后一年的后半学期要出去实习加上还是周末,所以宿舍只有我一个人,面对空荡荡的宿舍,看着窗外被萧瑟的秋风一片又一片剥落的枯叶,心里百感交集不知所措。夜色渐暗,天气转凉,我独自走在河边,思索着下一步怎么走突然想起了徐悲鸿大师的一句话:人不可有傲气但不可无傲骨。意思是在告诉我们:人在何时都要谦虚谨慎,但在失落无助的时候也要保持坚强不折不挠的性格。于是我决定自学数学,从小学数学开始自学。数学学科的学习可以提前预习,自己去学,这当然是有好处的,但是不要按照自己的思维去理解每一个章节的字面意思否则只会是自己坑自己把自己绕糊涂,比如不定积分和定积分这两个知识点,如果你按照自己的思维从字面意思去理解,你会误以为它们两个基本是一样的,无非就是定积分多了一个几何意义,多了一步原函数带入上下限做差的

小学1-6年级数学公式及知识点汇总

小学数学公式大全, 第一部分:概念. 1,加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变. 2,加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变. 3,乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变. 4,乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变. 5,乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变. 如:(2+4)×5=2×5+4×5 6,除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变. 0除以任何不是0的数都得0. 简便乘法:被乘数,乘数末尾有0的乘法,可以先把0前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾. 7,什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式. 等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立. 8,什么叫方程式答:含有未知数的等式叫方程式. 9, 什么叫一元一次方程式答:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式. 学会一元一次方程式的例法及计算.即例出代有χ的算式并计算. 10,分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数. 11,分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减. 12,分数大小的比较:同分

母的分数相比较,分子大的大,分子小的小. 异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小. 13,分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变. 14,分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母. 15,分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数. 16,真分数:分子比分母小的分数叫做真分数. 17,假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数.假分数大于或等于1. 18,带分数:把假分数写成整数和真分数的形式, 叫做带分数. 19,分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变. 20,一个数 除以分数,等于这个数乘以分数的倒数. 21,甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数. 分数的加,减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减,先通分,然后再加减. 分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母. 22,什么叫比:两个数相除就叫做两个数的比.如:2÷5或3:6或13 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外),比值不变. 23,什么叫比例:表 示两个比相等的式子叫做比例.如3:6=9:18 24,比例的基 本性质:在比例里,两外项之积等于两内项之积. 25,解比例:求比例中的未知项,叫做解比例.如3:χ=9:18 26,正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着化,如果这两种量中相对应的的比值(也就是商k)一定,这两种量就叫做成正比

小学数学公式、知识点汇总

小学数学公式、知识点汇总 一、常用的数量关系式 1、每份数×份数=总数总数÷每份数=份数总数÷份数=每份数 2、1倍数×倍数=几倍数几倍数÷1倍数=倍数几倍数÷倍数=1倍数 3、速度×时间=路程路程÷速度=时间路程÷时间=速度 4、单价×数量=总价总价÷单价=数量总价÷数量=单价 5、工作总量=工作效率×工作时间工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 6、加数+加数=和和-一个加数=另一个加数 7、被减数-减数=差被减数-差=减数差+减数=被减数 8、因数×因数=积积÷一个因数=另一个因数 9、被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数 10、在有余数的除法里:被除数÷除数=商……余数(被除数-余数)÷商=除数 商×除数+余数=被除数被除数—商×除数=余数(被除数-余数)÷除数=商 二、小学数学图形计算公式 1、正方形(C:周长 S:面积 a:边长)周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a=a2 2、正方体(V:体积 a:棱长)表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 =6a2 底面积=棱长×棱长=a2 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a= a3棱长和=棱长×12=12a 3、长方形(C:周长 S:面积 a:边长)周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体(V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高) 表面积=(长×宽+宽×高+高×长)×2 S=2(ab+bh+ha) 体积=长×宽×高 V=abh 底面积=长×宽=ab 5、三角形(s:面积 a:底 h:高) 面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形的高=面积×2÷底三角形的底=面积×2÷高

云南专升本高等数学知识点及典型考题类型

数学考点内容 一、一元函数及其极限、连续性 1.确定函数的定义域 2.判断两函数的异同 3.求函数的关系式 4.函数的奇偶性、有界性等判定 5.求已知函数的反函数 6.无穷小的概念及其比较 7.利用两个重要极限求极限 8.分式极限的求解 9.不定式极限的计算10.函数连续性概念11.函数的间断点及其类型确定 12.利用零点定理判定方程根的存在性 二、一元函数的导数与微分 1.导数概念的理解 2.利用导数的几何意义求曲线的切线及法线 3.连续、可导概念以及二者间的关系判定 4.初等函数的求导 5.隐函数的求导 6.幂函数的求导 7.参数方程确定的函数的求导 8.高阶导数的计算9.函数微分的计算 三、微分中值定理及导数的应用 1.罗尔定理、拉格朗日定理的理解掌握 2.函数单调性判定,求单调区间 3.函数极值的计算 4.函数曲线的凹凸性、拐点的求解 5.函数不等式的证明 6.方程根的存在性判定 7.函数的最值及其应用 8.曲线渐近线的求法 四、一无函数不定积分 1.不定积分的基本概念 2.直接积分法的应用 3.第一换元积分法的应用 4.第二换元积分 5.分部积分法 五、一无函数的定积分 1.定积分的基本概念 2.定积分的计算 3.定积分的应和 4.证明题 六、向量代数与空间解析几何 1.向量代数 2.空间平面与直线 3.简单的二次曲面 七、多元函数微分学

1.多元函数的极限、连续、偏导数、全微分 2.多元复合函数、隐函数的偏导数 3.多元函数微分学的应用 八、多元函数积分学 1.二重积分的概念与性质 2.二重积分的计算 3.交换二次积分顺序 4.二次积分的直角坐标与极坐标形式的转化 5.二重积分的应用 6.曲线积分 九、常微分方程 1.一阶微分方程 2.可降阶的微分方程 3.常系数二阶线性方程 十、无穷级数 1.数项级数的性质判断 2.正项级数的敛散性判定 3.任意项级数的敛散性判定 4.幂级数的绝对收敛性及收敛半径、收敛区间的确定 5.把函数展开成幂级数 6.求幂级数的和函数

天一专升本高数知识点

第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质,奇偶性、有界性 奇函数:)()(x f x f -=-,图像关于原点对称。 偶函数: )()(x f x f =-,图像关于y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设βα,是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则 (1)若0=β α lim ,则α是比β高阶的无穷小量。 (2)若c β α =lim (不为0),则α与β是同阶无穷小量 特别地,若1=β α lim ,则α与β是等价无穷小量 (3)若∞=β α lim ,则α与β是低阶无穷小量 记忆方法:看谁趋向于0的速度快,谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 (1)100==→→x x x x x x sin lim sin lim 使用方法:拼凑[][ ][][][][] 000 ==→→sin lim sin lim ,一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 (2)e x x x x x x =+=??? ? ?+→∞→1 0111)(lim lim [][][]e =+→1 1)(lim 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。

5、()() ? ?>∞<==∞→m n m n m n b a X Q x P m n x ,,,lim 00 ()x P n 的最高次幂是n,()x Q m 的最高次幂是m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速度 快。m n =,以相同的比例趋向于无穷大;m n <,分母以更快的速度趋向于无穷大;m n >,分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限:A x f x x =- →)(lim 0 右极限:A x f x x =+ →)(lim 0 A x f x f A x f x x x x x x ===+ - →→→)(lim )(lim )(lim 000 充分必要条件是 注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义: []0)()(lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x 或)()(lim 00 x f x f x x =→ 间断:使得连续定义)()(lim 00 x f x f x x =→无法成立的三种情况 ??? ? ???≠→→)()(lim )(lim )()(00 00 0x f x f x f x f x f x x x x 不存在无意义 不存在, 记忆方法:1、右边不存在 2、左边不存在 3、左右都存在,但不相等 9、间断点类型 (1)、第二类间断点:)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →至少有一个不存在 (2)、第一类间断点:)(lim 0 x f x x - →、)(lim 0x f x x + →都存在

小学级数学公式及知识点汇总

小学数学公式大全, 第一部分:概念。 1,加法交换律:两数相加交换加数的位置,和不变。 2,加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或先把后两个数相加,再同第三个数相加,和不变。 3,乘法交换律:两数相乘,交换因数的位置,积不变。 4,乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,再和第三个数相乘,它们的积不变。 5,乘法分配律:两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。 如:(2+4)×5=2×5+4× 5 6,除法的性质:在除法里,被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数,商不变。0除以任何不是0的数都得0。 简便乘法:被乘数,乘数末尾有0的乘法,可以先把0前面的相乘,零不参加运算,有几个零都落下,添在积的末尾。 7,什么叫等式等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。 等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。 8,什么叫方程式答:含有未知数的等式叫方程式。 9,什么叫一元一次方程式答:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。 学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 10,分数:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几分的数,叫做分数。

11,分数的加减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 12,分数大小的比较:同分母的分数相比较,分子大的大,分子小的小。 异分母的分数相比较,先通分然后再比较;若分子相同,分母大的反而小。 13,分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。 14,分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作为分母。 15,分数除以整数(0除外),等于分数乘以这个整数的倒数。 16,真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。 17,假分数:分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 18,带分数:把假分数写成整数和真分数的形式,叫做带分数。 19,分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数(0除外),分数的大小不变。 20,一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。 21,甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。 分数的加,减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。 分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母。 22,什么叫比:两个数相除就叫做两个数的比。如:2÷5或3:6或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数(0除外),比值不变。 23,什么叫比例:表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6=9:18 24,比例的基本性质:在比例里,两外项之积等于两内项之积。 25,解比例:求比例中的未知项,叫做解比例。如3:χ=9:18

2020年成人高考专升本高等数学一知识点汇总复习(自编)

2020年成人高考专升本高等数学一知识点复习一、题型分布: 试卷分选择、填空、解答三部分,分别占40分、40分、70分 二、内容分布 难点:隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程 复习方法: 1、结合自身情况定目标 2、分章节重点突破,多做题,做真题

第一章:极限与连续 1-1、极限的运算 1、极限的概念 (1)设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当x无限趋于x0时函数f(x)无限地趋于一个常 f(x)=A 数A,则称A为函数f(x)当x→x0时的极限,记作lim x→x0 (2)左极限、右极限;在某点极限存在,左右极限存在且唯一。 f(x)=A lim x→x0? f(x)=A lim x→x0+ 2、无穷小量与无穷大量 无穷小量定义:对于函数y=f(x),如果当x在某个变化过程中,函数f(x)的极限为0,则称在该 f(x)=0 变化过程中, f(x)为无穷小量,记作lim x→x0 无穷大量定义:对于函数y=f(x),如果当x在某个变化过程中,函数f(x)的极限值越来越大,则 f(x)=∞ 称在该变化过程中, f(x)为无穷大量,记作lim x→x0 3、无穷小量与无穷大量的关系 为无穷小量; 在同一变化过程中,如果f(x)为无穷大量,且f(x)≠0,则1 f(x) 为无穷大量; 在同一变化过程中,如果f(x)为无穷小量,且f(x)≠0,则1 f(x) 4、无穷小量的性质 性质1:有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量 ★性质2:无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量 5、无穷小量的比较与替换 定义:设α,β是同一变化过程中的无穷小量,即limα=0,limβ=0 =0,则称β是α比较高阶的无穷小量 (1)如果limβ α =∞,则称β是α比较低阶的无穷小量 (2)如果limβ α

成人高考高升专数学常用知识点及公式(打印版)

成人高考高升专数学常用知识点及公式 第1章 集合和简易逻辑 知识点1:交集、并集、补集 1、交集:集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ,取A 、B 两集合的公共元素 2、并集:集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ,取A 、B 两集合的全部元素 3、补集:已知全集U ,集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素 解析:集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现 知识点2:简易逻辑 概念:在一个数学命题中,往往由条件甲和结论乙两部分构成,写成“如果甲成立,那么乙成立”。若为真命题,则甲可推出乙,记作“甲=乙”;若为假命题,则甲推不出乙,记作“甲≠乙”。 题型:判断命题甲是命题乙的什么条件,从两方面出发: ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、 若甲=乙 但 乙=甲,则甲是乙的充分必要条件(充要条件) B 、若甲=乙 但 乙≠甲,则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙 但 乙=甲,则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙 但 乙≠甲,则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 技巧:可先判断甲、乙命题的范围大小,再通过“大范围≠小范围,小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况 第2章 不等式和不等式组 知识点1:不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数,不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数,不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数,不等号方向改变(“>”变“<”) 解析:不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面 知识点2:一元一次不等式 1. 定义:只有一个未知数,并且未知数的最好次数是一次的不等式,叫一元一次不等式。 2. 解法:移项、合并同类项(把含有未知数的移到左边,把常数项移到右边,移了之后符号要发生 改变)。

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精品文档 第一讲 函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质,奇偶性、有界性 奇函数: f ( x) f ( x) ,图像关于原点对称。 偶函数: f ( x) f ( x) ,图像关于 y 轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 设 α,β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量,则 ( 1)若 lim α 0 ,则 α是比 β高阶的无穷小量。 β ( 2)若 lim α c (不为 α β 0),则 与 β是同阶无穷小量 特别地,若 lim α 1 α β ,则 与 是等价无穷小量 β ( 3)若 lim α α β β ,则 与 是低阶无穷小量 记忆方法:看谁趋向于 0 的速度快,谁就趋向于 0 的本领高。 4、两个重要极限 ( 1) lim sin x lim x 1 x 0 x x sin x 使用方法:拼凑 lim sin lim sin 0 ,一定保证拼凑 sin 后面和分母保持一致 1 x 1 ( 2) lim 1 lim (1 x) x e x x x 1 lim (1 ) e 使用方法 1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。 a , n m 5、 lim P n x b 0 0, n m x Q m X , n m

精品文档 P n x 的最高次幂是n,Q m x 的最高次幂是m.,只比较最高次幂,谁的次幂高,谁的头大,趋向于无穷大的速度快。 n m ,以相同的比例趋向于无穷大;n m ,分母以更快的速度趋向于无穷大;n m ,分子以更快的速度趋向于无穷大。 7、左右极限 左极限:lim f ( x)A x x0 右极限:lim f ( x)A x x0 lim f ( x)A充分必要条件是lim f ( x) lim f ( x) A x x0x x0x x0 注:此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 连续的定义: lim y lim f (x0x) f ( x0 ) 0 x0x 0 或 lim f (x) f ( x0 ) x x0 无法成立的三种情况 间断:使得连续定义lim f ( x) f ( x0 ) x x0 f (x0 )不存在, f ( x0 )无意义 lim f ( x)不存在 x x0 lim f ( x) f ( x0 ) x x0 记忆方法: 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在,但不相等 9、间断点类型 ( 1)、第二类间断点:lim f ( x) 、 lim f ( x) 至少有一个不存在 x x0x x0 ( 2)、第一类间断点:lim f ( x) 、 lim f ( x) 都存在 x x0x x0 可去间断点:lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 跳跃间断点:lim f ( x)lim f (x) x x0x x0 注:在应用时,先判断是不是“第二类间断点”,左右只要有一个不存在,就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点;左右相等是“可去” ,左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 ( 1)最值定理:如果 f ( x) 在 a,b 上连续,则f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。 ( 2)零点定理:如果 f (x) 在 a,b 上连续,且 f ( a) f (b) 0 ,则 f (x) 在 a,b内至少存在一点,使得 f ( )0

初中数学知识点及公式总结大全人教版

初中数学知识点总结 九年级数学(上)知识点 第二十一章 二次根式 一.知识框架 二.知识概念 1、二次根式的定义:式子 叫做二次根式,其中a叫做被开方数。 2、最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。 3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。 4、二次根式的性质: (1) (2) =|a|= a (a>0) -a (a<0) 0 (a=0) (3)积的算数平方根性质: (a≥0,b≥0) (4)商的算数平方根性质: b a b a (a≥0,b>0) 5、二次根式的乘法: = (a≥0,b≥0)即两个二次根式相乘,根指数不变,被开方数

相乘。 注意:法则是由积的算数平方根的性质(a≥0,b≥0)反过来即得。 6、二次根式的除法: b a b a = (a≥0,b>0) 注意:法则是由商的算数平方根的性质 b a b a =(a≥0,b>0)反过来得到的。 7、二次根式的加减:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,在合并同类二次根式,合并同类二次根式与合并同类项类似,将同类二次根式的“系数”相加减,被开方数和根指数不变。 注意:二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式,不是同类二次根式不能合并。 8、二次根式的混合运算: 二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先乘方,后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的。在运算过程中,有理数(式)中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。 9、比较两数大小的常用方法: (1)平方法:若a>0,b>0,且a2>b2,则a>b; (2)把跟号外的非负因式移到根号内,然后比较被开方数的大小。 第二十二章 一元二次根式 一.知识框 二.知识概念

天一专升本高数知识点

第一讲函数、极限、连续 1、 基本初等函数的定义域、值域、图像,尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、 函数的性质,奇偶性、有界性 设 a, 3是自变量同一变化过程中的两 个无穷小量,则 a (1)若lim 一 = 0,则a 是比 3 a (2)若 lim — = C (不为 0), 3 a (3)若 lim — = 3 记忆方法:看谁趋向于 4、两个重要极限 ,贝y a 与3是低阶无穷小 量 sinx X , =lim ----- =1 X T 。si nx 拼凑 lfm*] Tm 。*] =0,一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致 ⑵ lim1」「lim (1+xle X X 丿 X T 。 1 时〔卩Le 使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数,不满足条件得拼凑。 奇函数: f(-x)=-f(x), 图像关于原点对称。 偶函数: f (-X)= f(x), 图像关于y 轴对称 3、无穷小量、 无穷大量、阶的比较 特别地,若 lim — =1,则 3 a 与3是等价无穷小量 (3高阶的无穷小量。 则 a 与3是同阶无穷小量 0的速度快,谁就趋向于 0的本领高。 (1)lim T X 使用方法: Pn(X) 5、lim — --- = X *Qm (X ) ,n = m b o 0,n V m

V- 巳(X )的最高次幕是n,Q m(x )的最高次幕是m.,只比较最高次幕,谁的次幕高,谁的头大,趋向于无 穷大的速度 n A m,分子以更快的速快。n = m,以相同的比例趋向于无穷大;n < m,分母以更快的速度趋向于无穷大; 度趋向于无穷大。

专升本数学一知识点(记住)

常用知识点: 一、常见函数的定义域总结如下: (1) c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域:x ∈R (2)x k y = 分式形式的定义域:x ≠0 (3)x y = 根式的形式定义域:x ≥0 (4)x y a log = 对数形式的定义域:x >0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时,恒有)()(21x f x f <,)(x f 在21x x ,所在的区间上是增加的。 当21x x <时,恒有)()(21x f x f >,)(x f 在21x x ,所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义:设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称(即若D x ∈,则有D x ∈-) (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?,恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数:c y =,定义域是),(+∞-∞,图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数:u x y =, (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(, (a 是常数且0>a ,1≠a ).图形过(0,1)点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==, (a 是常数且0>a ,1≠a )。图形过(1,0)点。

5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T , },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π , ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T , },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =,]1,1[)(-=f D ,]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =,]1,1[)(-=f D ,],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =,),()(+∞-∞=f D ,)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =,),()(+∞-∞=f D ,),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 (1)利用极限的四则运算法则求极限。 (2)利用等价无穷小量代换求极限。 (3)利用两个重要极限求极限。 (4)利用罗比达法则就极限。 二、函数极限的四则运算法则 设A u x =→λ lim , B v x =→λ lim ,则

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