当前位置：文档视界 › 2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷 -(含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二(上)期中数学试卷 -(含答案解析)

2019-2020学年浙江省杭州市西湖区学军中学西溪校区高二（上）期

中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.圆柱的轴截面是边长为10的正方形，则圆柱的侧面积为()

A. 50π

B. 100π

C. 125π

D. 100+25π

2.已知平面α，点A∈α，B?α，直线l?α，则直线AB与l的位置关系是()

A. 平行

B. 相交

C. 异面

D. 无法确定

3.设m，n表示不同直线，α，β，γ表示不同平面，下列叙述正确的是()

A. 若m//α，m//n，则n//α

B. 若m//n，m?α，n?β，则α//β

C. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

D. 若m⊥α，n⊥α，则m//n

4.如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1的体积为90，则四面体A1B1BC的体积为()

A. 20

B. 30

C. 45

D. 60

5.在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体

ABCD的外接球半径为()

A. √3

2B. √3 C. 3

D. 3

6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三

视图，则该几何体最长的棱长为()

A. 4√3

B. 4√2

C. 6

D. 2√5

7.正四面体ABCD中，M，N分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AM，CN所成角的余弦值为()

A. ?2

3B. 1

C. 2

D. ?1

8.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，C1D1的中点，G为棱CC1上靠近

C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为()

A. 13+2√2

3B. 10+2√2

C. 13+2√2

D. 14

9. 已知sinx +cosx =√2

，则sin 4x +cos 4x =( ) A. 7

B. ?7

C. 7

D. ?7

10. 已知A ={x|x 2?x ?6≤0}，B ={x|x ?a >0}，A ∩B =?，则a 的取值范围是( )

A. a =3

B. a ≥3

C. a <3

D. a ≤3 二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）

11. 在正四面体ABCD 中，

M ，N 分别是BC 和DA 的中点，则异面直线MN 和CD 所成角为______． 12. 如图，二面角C ?EF ?G 的大小是60°，线段AB 在平面EFGH 上，B 在EF 上，AB 与EF 所成

的角为30°，则AB 与平面CDEF 所成的角的正弦值是______．

13. 已知正三棱锥的底面边长为2√3，侧棱长为2√5，则该正三棱锥内切球的表面积为________． 14. 已知f(x)=m +2

3x ?1是奇函数，则m = ______ ．

15. 如图所示，在长方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，AD =2，AB =AE =1，M 为

矩形AEHD 内一点，若∠MGF =∠MGH ，MG 和平面EFGH 所成角的正切值为1

2，则点M 到平面EFGH 的距离为______ ．

16. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，

AM ?????? =1

2MC 1???????? ，点N 为B 1B 的中点，则|MN|=______． 17. 已知函数f(3x )=4xlog 23+233，则f(x)=______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）

18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量p

? =(2sinA,cos(A ?B))，q ? =(sinB,?1)，且p

? ?q ? =1

2． (1)求角C 的大小；

(2)若c =√3，求b ?a 的取值范围．

19.如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点．

求证：SA//平面MDB．

20.已知数列{a n}的前n项和为S n(n∈N?)，满足S n=2a n?1．

(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{a n}的前n项积为T n，求T n．

21.已知f(x)=(|x?1|?3)2．

(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)?ax?2有三个零点，求实数a的值；

(Ⅱ)若对任意x∈[?1,1]，均有f(2x)?2k?2x≤0恒成立，求实数k的取值范围．

22.如图四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD

中点．

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)求二面角A?BE?C的余弦值．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：【分析】

本题考查圆柱的侧面积及轴截面，属于基础题．

根据圆柱的轴截面是正方形，求出圆柱的底面圆的周长，代入侧面积公式计算即可．

【解答】

解：∵圆柱的轴截面是正方形，且边长为10，

∴圆柱的底面周长为：10π，

∴圆柱的侧面积S=10×10π=100π．

故选B．

2.答案：D

解析：【分析】

本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于基础题．

【解答】

解：已知平面α，点A∈α，B?α，直线l?α，则直线AB与l的位置关系是相交或异面．

故选D．

3.答案：D

解析：【分析】

本题考查命题的真假的判断，平面的基本性质及推论，本题解题的关键是在推导这种线面位置关系的问题时，注意容可能的情况，属于基础题．

选项A中还有直线n在平面α内的情况，选项B、选项C中还有两个平面相交的情况，D选项中忙着直线与平面垂直的性质定理．

【解答】

解：选项A中若m//α，m//n，则n//α，还有直线n在平面α内的情况，故A不正确，

选项B中若m//n，m?α，n?β，则α//β，有可能两个平面相交，故B不正确，

选项C中若α⊥γ，β⊥γ，则α//β，还有两个平面相交的可能，故C不正确．

选项D，若m⊥α，n⊥α，则m//n，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确；

故选：D．

4.答案：B

解析：【分析】

本题考查棱柱和棱锥的体积公式的运用；

首先由已知得到V C?ABB

1A1为三棱柱体积的2

，而则四面体A1B1BC的体积为四棱锥V C?ABB

1A1

体积的一

半，即得到所求．【解答】

解：由已知得到V C?ABB

1A1为三棱柱体积的2

，而则四面体A1B1BC的体积为四棱锥V C?ABB

1A1

体积的1

，

所以四面体A 1?B 1BC 的体积为三棱柱ABC ?A 1B 1C 1的体积的13，即为90×1

3=30；故选B ． 5.答案：B

解析：解：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．

由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．

设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，

OM ⊥CD ．因为∠CDA =∠CDB =∠ADB =60°，设CD 与平面ABD 所成角为θ， ∴cosθ=

√3

，sinθ=√2

√3．在△DMN 中，DM =1

2CD =1，DN =23

?DP =23

?√3

?3=√3．

由余弦定理得MN 2=12+(√3)2?2?1?√3?1

√3=2，故MN =√2．

∴四边形DMON 的外接圆的直径OD =MN

sinθ=

√2

√2√3

=√3．

故球O 的半径R =√3．故选：B ．

设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上，且点N 为△ABD 的中心．设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，OM ⊥CD ，从而可求DM ，MN ，进而可求四边形DMON 的外接圆的直径，即可求得球O 的半径．

本题考查四面体ABCD 的外接球，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD 的外接球球心位置是关键．

6.答案：C

解析：【分析】

本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．【解答】

解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体是三棱锥P ?ABC ，如图所示，其中，正方体棱长为4，点P 是正方体其中一条棱的中点，

则：AB =AC =4,PC =√42+22=2√5,BC =4√2，AP =BP =√42+42+22=6，所以最长棱为6．故选：C ．

7.答案：C

解析：解：取MD中点O，连结NO，CO，

∵N是AD中点，∴NO//AM，

∴∠CNO是异面直线AM，CN所成角，

设正四面体ABCD中棱长为2，

则AM=DM=CN=√4?1=√3，

ON=1

2AM=√3

，CO=√(√3

)2+12=√7

，

∴cos∠CNO=

+3?7

2×√3

×√3

．

故选：C．

取MD中点O，连结NO，CO，则NO//AM，从而∠CNO是异面直线AM，CN所成角，由此能求出异面直线AM，CN所成角的余弦值．

本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8.答案：B

解析：【分析】

本题考查正方体中的截面问题，考查学生空间想象能力和计算能力，属中档题．

根据已知条件画出过点E，F，G的截面，求周长即可．

【详解】

解：连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM，

取A1D1靠近点A1的三等分点N，连接FN并延长交B1A1的延长线于点Q，连接QE交A1A于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点E，F，G的截面，

由G 为棱CC 1靠近C 点的三等分点，可得CH FC 1

=12，即CH =1

4，

由CH BE =12，知点M 为靠近点C 的三等分点，即CM =1

3，由勾股定理得GM =√2

=NP ，FG =PE =

√49

+14

，

同理得EM =FN =5

6，则截面图形的周长为2√23+5

×4=

10+2√2

，故选B ． 9.答案：A

解析：解：sinx +cosx =√2

2，

∴sin 2x +cos 2x +2sinxcosx =1

2，

∴1+2sinxcosx =1

2， ∴sinxcosx =?1

4；

∴sin 4x +cos 4x =(sin 2x +cos 2x)2?2sin 2xcos 2x =1?2×(?1

4)2=7

8．故选：A ．

根据平方关系求出sin x cosx 的值，再利用平方关系求sin 4x +cos 4x 的值．本题考查了三角函数求值的应用问题，是基础题． 10.答案：B

解析：解：A ={x|?2≤x ≤3}，B ={x|x >a}； ∵A ∩B =?； ∴a ≥3．故选：B ．

解出集合A ，B ，根据A ∩B =?即可得出a 的取值范围．

考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．

11.答案：π

解析：【分析】

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题．

取AC 中点O ，连结AM 、DM 、OM 、ON ，则∠MNO 是异面直线MN 和CD 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线MN 和CD 所成角．【解答】

解：如图，取AC 中点O ，连结AM 、DM 、OM 、ON ，设正四面体ABCD 的棱长为2，

∵M，N分别是BC和DA的中点，

∴AM=DM=√4?1=√3，MN=√3?1=√2，

MO=//1

2AB=1，NO=//1

DC=1，

∴∠MNO是异面直线MN和CD所成角(或所成角的补角)，

∵cos∠MNO=MN2+NO2?OM2

2?MN?NO =

2×√2×1

=√2

，

∴∠MNO=π

，

∴异面直线MN和CD所成角为π

．

故答案为：π

．

12.答案：√3

解析：解：过点A作平面CDEF的垂线，垂足为C，在平面CDEF内过C作EF的垂线，垂足为D，连接AD，则由三垂线定理可知AD⊥EF，

故∠ADC为二面角C?EF?G的平面角，为60°，

又由已知，∠ABD=30°，连接CB，则∠ABC为AB与平面CDEF所成的角，

设AD=2，则AC=√3，CD=1，所以AB=4，

所以sin∠ABC=AC

AB =√3

．

故答案为：√3

．

过点A作平面CDEF的垂线，垂足为C，在平面CDEF内过C作EF的垂线，垂足为D，连接AD，可得∠ADC为二面角C?EF?G的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面CDEF所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．

13.答案：9?√17

解析：【分析】

本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的表面积．

【解答】

解：如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，

连结并延长AD交BC于E，连结PE，

P?ABC是正三棱锥，△ABC是正三角形，

∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心，∵AB=2√3，则AE=3，

∴S△ABC=3√3，

所以PE=√PB2?BE2=√17，

S△PAB=S△PBC=S△PCA=1

×2√3×√17=√51，

∴棱锥的全面积S=3√3+3√51．

设球的半径为r，以球心O为顶点，

棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，∵AD=2，则PD=√PA2?AE2=4，

∴V P?ABC=1

×3√3×4=4√3，

则由等体积可得r=√3

√51+√3=√17?1

．

∴S

球=4π(√17?1

)

=9?√17

π．

故答案为9?√17

π．

14.答案：1

解析：解：f(x)=m+2

3x?1

是奇函数，可得f(1)=?f(?1)，

即m2

31?1=?(m+2

3?1?1

)，解得m=1，

此时f(x)=1+2

3x?1

，满足f(x)=?f(?x)．

故答案为：1．

利用函数是奇函数，推出结果即可．

本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．

15.答案：√2

解析：解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，

在长方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，AD =2，AB =AE =1，M 为矩形AEHD 内一点，若∠MGF =∠MGH ，

可得△MNG≌△MGH ，则△ONG≌△OGH ， MG 和平面EFGH 所成角的正切值为1

，可得

MO OG

，OG =√2，则MO =√22

．则点M 到平面EFGH 的距离为：√22

．故答案为：√2

2．

取FG 的中点N ，作MO ⊥EH 于O ，连接MN ，ON ，MH ，OG ，通过MG 和平面EFGH 所成角的正切值为1

2，推出MO

OG =1

2，然后求解即可．

本题考查直线与平面的所成角的求法，点到平面的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．

16.答案：√21

解析：解：正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，

AM ?????? =12MC 1???????? ，点N 为B 1B 的中点，

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，

则A(a,0，0)，C 1(0,a ，a)，M(2a 3,a 3,a

3)， N(a,a ，a

2)， ∴|MN|=√(a ?

2a 3

)2+(a ?a 3)2+(a 2?a

3)2=

√21

a ．故答案为：√21

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出|MN|．本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 17.答案：f(x)=4log 2x +233

解析：解：∵函数f(3x )=4xlog 23+233，设t =3x ，则x =log 3t ，

∴f(t)=4log 3tlog 23+233

=4×lgt lg3×lg3lg2

+233

=4×

lgt

lg2

+233 =4log 2t +233，

即f(t)=4log 2t +233；

故答案为：f(x)=4log 2x +233．

设t =3x ，用t 表示x ，求出f(t)，即是f(x)的解析式．本题考查了用换元法求函数的解析式问题，是基础题． 18.答案：解：(1)由p ? ?q ? =12，得2sinAsinB ?cos(A ?B)=1

2， ∴2sinAsinB ?cosAcosB ?sinAsinB =12，∴?cos(A +B)=1