高考数学复习要会利用函数图像解题

2019高考数学复习要会利用函数图像解题一句语文是联的皇后，数学是朕的嬛嬛，红遍了朋友圈，如果这样比喻的话，那函数一定是数学身边的槿汐，没有槿汐哪来的甄嬛，没有函数，数学还算完整吗?想让数学称霸全科，恐怕没有函数的助力也是不行的。那么本期超级学团的学霸老师的主题就是：利用函数图像解题。

函数问题是贯穿高考核心的难点问题，许多同学对于函数问题完全处于百牛一毛都没沾到的地步，哀叹，唾弃这些都是没用哒，想学好还是要方法对，下工夫!如果你想绝杀它!没问题，今天我就与大家一起简单的来探讨一下处理函数图像三步行!

众所周知，函数在高考中占有至关重要的作用，不论是大题还是小题，无函数而不欢!因此，解决函数问题成为大家平时解题的一个重点，本文以绝对干货的形式向大家介绍函数图像解题的简明及便捷性(数形结合)。

解题第一步：熟悉几大基本函数图像。包括一次、二次、指数、幂函数、对数、对勾、带绝对值、分段函数等，只有将这些熟记于心才能够解题!比如说下面是那一类函数的基本图像!

解题第二步：掌握函数解析式基本性质。单调性、对称性，周期等的结论，比如说

f(x+a)=f(x-b)，则f(x)是以a+b为周期的周期函数

f(x+a)=f(-x-b)，则f(x)是以(a+b)为对称轴的轴对称函数

等等的这些公式啊规律你们还记得否呢?

解题第三步：数形结合思想放在第一位!以一道例题为例

已知

，则函数g(x)=f(x-1)的单调增区间

分析：

1、确定是绝对值函数，适当选择区绝对值，接着分类

2、求f(x-1)增区间，先求其解析式

3、画图

其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。

要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼

儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。

当然，利用函数图像解题并不仅仅表现在单调性，还有根的个数问题、参数问题、恒成立、不等式等等问题!因为篇幅关系，希望下次有机会跟大家分享啦。

死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

由三角函数图象求解析式

已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（ ） （A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2π 3，于是【解析】选B.由图象可得最小正周期为f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对 称，所以 f(2π3)＝－f(π2)＝2 3. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。

【解析】由图象知最小正周期T ＝32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故 （2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )

利用函数图像的对称性解题

利用函数图像的对称性解题 【摘要】函数是数学的重要基础,函数性质的考察和应用重点和热点,而函数图像是函数性质的一种直观表现。函数图像的对称性,充分体现了数学的对称美,具有很好的数学价值。 【关键词】函数；图像；对称性；辅助函数； 二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。 分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此我们

可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。 由二次函数的对称性可知，x1+x2在第一个图中为点D的横坐标，

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210

7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象

巧用二次函数图象的对称性解题解析

巧用二次函数图象的对称性解题解析 新盈中学王永升 2010-6-29 二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。 分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式 来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。 另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题 目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此 我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一 个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的

交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。 本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。 例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。 相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。 我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。 下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。

求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2122ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π+x 点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π??=- ?? ? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π??=- ?? ? 解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6 π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6 π个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解

广州艺术生高考数学复习资料3三角函数性质与图像

三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π

4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21

函数图象解题方法与技巧

对于二次函数y=a(x-h)2 +k(a≠0)，一次函数y=kx+b(k≠0)，反比例函数y=x k (k≠0)，若将它们的函数图象向上(或下)平移m 个单位，平移后的解析式分别为y=a(x-h)2 +k±m ，y=kx+b±m ，y=x k ±m ；若将它们的函数图象向左(或右)平移n 个单位，平移后的解析式分析为y=a(x-h±n) 2+k ，y=( x±n)+b ，y=n x ±1。简言之：上加下减，左加右减(注意在上、下，左、右不同的平移中，加减的位置不同)。根据这一法则，可以顺利解答各类平移问题。 一、求平移后的解析式 例1把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，再向右平稳3个单位，所得抛物线是( )。 (A) y=3(x+3) 2-2 (B) y=3(x+3) 2+2 (C) y=3(x-3) 2-2 (D) y=3(x-3) 2+2 提示：根据法则，选 (D) 例2 在平面直角坐标系中，直线y=kx+b(k 、b 为常数，k≠0,b>0)可以看成将直线y=kx 沿y 轴向上平行移动b 个单位面得到，那么将直线y=kx 沿x 轴向右平行移动m 个单位(m>0)得到的直线方程是 。 提示：根据法则，平移后的直线方程为y=kx-km 二、求平移前的解析式 例3，把抛手线y=x2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2-3x+5，则有( )。 (A) b=3,c=7 (B) b= -9, c= -15 (C) b=3, c=3 (D) b= -9, c=21 分析：本题若先将y=x 2+bx+c 化为顶点式，按平移规律解答，较为繁琐，若采用逆推法，即将y=x 2-3x+5［顶点式为y=(x-23)2+411 ］向左平移3个单位，再向上平移2个单位反推回去，即可得原二次函数图象，较为简单，因此，y=(x-23+3)2+411+2，化简得y=x 2+3x+7。选(A) 三、求满足某些条件的平移 例4 把抛物线y= -3(x-1)2向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴交于A(x 1,0)、(x 2,0)两点，已知x12+x22=926，则平移后的抛物线解析式为 。 分析：根据法则，平移后的解析式为：y= -3(x - 1)2+k ，即y= -3x 2+6x+k-3。 由x12+x22=(x1+x2)2- 2x1x2=926，得(36)2 -2×3)3(--k =926，∴k=34。 ∴y= -3(x -1) 2 +34， 即y= -3x 2 +6x -35。 四、求过定点的平移 例5函数y=3x+1的图象沿x 轴正方向平行移动 年单位，使它过点(1，-1)。 分析：将函数y=3x+1的图象沿x 轴正方向平移m 个单位，可以看作向右平移m 个单位，根据法则， 平移后的解析式为y=3(x-m)+1，由平移后的图象过点(1，-1)可得m=35。 五、求平移后的函数图象 例6 (2001，宿迁)函数图象y=11-x +1的图象是( ) 。

三角函数图像求解析式

： 已知sin()cos()y A x B y A x B ω?ω?=++=++或图像求解析式 1. 利用最值求A ，B . 当 A>0时 =最大值=A+B 最小值-A+B 当 A<0时 =最大值=-A+B 最小值A+B 2. 利用最高点、最低点、零点中的两个点的横坐标之差求出周期，再利用2|| T π ω= 求ω。 3. 利用五个特殊点求?,或代入y 轴上的点求?. 例1、如图，直线 2230x y +-=经过函数 si ()()n f x x ω?=+（0ω>，||?π<）图象的最高点 M 和最低点 N ，则（ ） A 、2 π ω= ，4 π ω= B 、ωπ=， 0?= C 、2 π ω=，4 π ?=- D 、ωπ=， 2 π ?= 例2、 1.【2015新课标1】8、函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图 所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ- +∈ （B ）13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13 (2,2),44 k k k Z -+∈ 2.(2016·全国卷2文)3函数y=Asin (ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( ) A.y=2sin π2x 6? ?- ??? B.y=2sin π2x 3?? - ?? ? C.y=2sin πx+6?? ?? ? D.y=2sin πx+3 ?? ?? ? 3．（2013 年高考大纲卷（文））若函数 ()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 4. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 5.已知函数 ()()() 2sin 0,f x x ω?ω?π=+><的部分图象如图所示， 已知点 ( A ， ,06B π?? ? ??，若将它的图象向右平移6 π个单位长度，得到函数 () g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为 ( )

高中数学教案三角函数的图象与性质

高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草

图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究

人教版高中数学高二-根据函数图象求解析式

根据函数图象求解析式 给出函数sin()y A x k ω?=++在一个周期内的图象，求它的解析式，关键在于观察给出的图象，从图象给出的信息中确定A k ω?，，，．求解的一般步骤如下： 1．观察图象的最高点与最低点，设其纵坐标分别为M m ，，则22 M m M m A k -+= =，； 2．由始点到终点的横坐标01x x ，求周期，即10T x x =-（也可由中间点确定）； 3．由公式2π T ω=，求出ω； 4．通过图象的平移或“五点法”求?． 下面通过例题加以说明． 例1 如图1是函数sin()y A x ω?=+的图象的一段，试确定其解析式． 解：由图象可知，5ππ3π66A T ??==--= ???，，所以2π2T ω==． 又因为点π06??- ??? ，是五点中的第一个点， 所以π206????-+= ??? ，即π3?=． 故所求函数的解析式是π3sin 23y x ??=+ ?? ?． 例2 如图2是函数π2sin()2y x ω????=+< ???的图象，那么（ ） Ａ．10π116ω?==， Ｂ．10π116 ω?==-， Ｃ．π26ω?==， Ｄ．π23 ω?==， 解：观察图象可知(01)，点在图象上，把点(01)，代入函数关系式，得12sin ?=， 即 1sin 2 ?=， 又π2?< ，所以π6 ?=． 又由图象知，11π012?? ???，是第五个关键点， 所以11ππ2π126 ω+=·． 所以2ω=．故选（Ｃ）． 例3已知函数sin()(00)y A x k A ω?ω=++>>，在同一个周期内，当5π3x = 时，y 有最大值为73；当11π3x =时，y 有最小值为23 -．求此函数的解析式． 解：由题意，7233 M m ==-，，

高中数学函数解题技巧与方法

专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．

二次函数经典解题技巧

龙文教育学科教师辅导讲义

解：（1）根据题意，得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于262 2= +=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解，解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值. A D

高中数学教师备课必备系列(三角函数(一)专题9 三角函数图像与性质

专题九三角函数图像与性质．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 ．三角函数的单调区间： 的递增区间是，递减区间是 ； 的递增区间是，递减区间是， 的递增区间是， ．函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 ．由＝的图象变换出＝(ω＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进

行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将＝的图象向左(＞)或向右(＜＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞)，便得＝(ω＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞)，再沿轴向左(＞)或向右(＜＝平移 个单位，便得＝(ω＋)的图象。 ．由＝(ω＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式（ω）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，）作为突破口， 要从图象的升降情况找准 ．．第一个零点的位置。 ．对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 ．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ．求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 ．五点法作（ω）的简图： 五点取法是设ω，由取、、π、、π来求相应的值及对应的值，再描点作图。 四．典例解析

由函数图像求解析式

由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 的 图象求解析式 一、知识回顾 1、五点作图：y ＝Asin(ωx ＋φ) 2、图像变换: y=sinx 到 y=Asin(ωx+?) 方法1:(按φ、ω、A 顺序变换) 方法1:(按ω、φ、A 顺序变换) 3. 巩固练习： 【练习1】已知函数 2sin(2x )3y π =+ (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3) 3 2sin(2x )y π=+的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得？ 要得到y=cos2x 的图象,只需把函数y=sin(2x -π/3 ) 的图象向______平移______个单位得到. 二、探究新知： 例1、函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0， 0<φ<π)的部分图象如图所示，则函数的解析式？ 小结：知图求式的方法 （1)由最值确定A; (2)由T 确定ω； (3)由图象上的对应点确定φ. 变式训练 1、如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一段，求其解析式． 例2 sin()(0,0,)2y A x B A πωφωφ=++>>< 如图是函数的部分图像，求它的解析式

例3 已知函数()sin(),0,0 2 f x A x x R π ω?ω? ?? =+∈><< ? ?? 的部分图象如图所示.求函 数的解析式； 三、课堂小结：谈谈你的收获！ 四、课后思考： sin()(0,0,)2, 212 y A x A P Q PQ ππ ωφωφ =+>>< 设函数图像上一最高点的坐标为（，），且与它相邻的最低点又

拓展---函数图像解题技巧

《函数及其图象》解题技巧 【考点聚焦】 函数的本质特征是变化与对应，它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具．作为刻画变量变化规律的工具，函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一．“函数”除了包括函数的概念、正比例函数、一次函数、反比例函数及二次函数等具体知识外，其自身还蕴含着方程与不等式的知识． 函数是初中数学的核心内容、重要的基础知识．它与数学其它知识有着更为广泛的联系，不仅有着极为广泛的应用，而且也是发展同学们符号感的有效载体． 在历年的学业考试中，函数一直是命题的“重头戏”，所考题型无所不包，同时不断与其它数学知识相互渗透，题量不一定是最多的，但综合程度一定是最高的． 【热点透视】 热点1:通过设计确定函数关系型问题考查函数三种表达形式及其之间的关系 【例1】(1)点(24)，在一次函数2y kx =+的图象上，则k =_________． (2)若反比例函数k y x =的图象经过点(12)-，，则该函数的解析式为_____． 【分析】(1)将点(24)，代入2y kx =+．(2)将点的坐标直接代入可以求出k 值． 【解】(1)1k =；(2)2y x =-． 【小结】直接考查同学们利用函数图象确定函数解析式技能的掌握情况．题目叙述简明、要求简单明了，较好地落实了对这个知识点的考查． 热点2:重视对函数图象及性质的考查 【例2】(1)均匀地向一个如图1所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h 随时间t 变化的函数图象大致是( ) (2)星期天，小王去朋友家借书，图2是他离家的距离y (千米)与时间x (分钟)的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是( ) (A)小王去时的速度大于回家的速度 (B)小王在朋友家停留了10分钟 (C)小王去时所花的时间少于回家所花的时间 (D)小王去时走上坡路，回家时走下坡路

二次函数图像和性质习题精选(含答案)

二次函数图像和性质习题精选 一．选择题（共30小题） 1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（） A．B．> D． C． 2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A．B．| D． C． 3．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．# D． C． 4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（） C．D． A．B．% 5．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： X﹣101" 3 y﹣1353 下列结论：（1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． （3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根； （4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． / 其中正确的个数为（） A．4个B．3个C．2个D．1个

6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（） A．函数有最小值B． 对称轴是直线x= ` C．当x ＜，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 7．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（） A．0或2B．: 0或1 C．1或2D．0，1或2 8．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（） A．6B．# 5 C．4D．3 9．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表： x…﹣3﹣2$ ﹣1 01… y…﹣3﹣2﹣3﹣6& ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（） A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）/ D． （0，﹣6） 10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）

高考数学重点难点讲解之三角函数的图像和性质

难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2π)＞0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立. ●案例探究 ［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ，已知z1=2z2，求λ的取值范围. 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2， ∴m+(2－m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89 . 当sin θ=41时λ取最小值－89 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m

∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴－89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89 ，2］. ［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB=L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：

2020中考数学 解题技巧专题：二次函数图像信息题归类

解题技巧专题：二次函数图像信息题归类 ◆类型一 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值 1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图像如图所示，a ，b ，c 的取值范围分别是( ) A ．a<0，b<0，c<0 B ．a<0，b>0，c<0 C ．a>0，b>0，c<0 D ．a>0，b<0，c<0 第1题图 第2题图 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则点??? ?b ，c a 在第________象限( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 3．(保定高阳县期末)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像如图所示，顶点坐标为(－1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 第3题图 第4题图 4．已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则a ＋b ＋c________0，a －b ＋c________0，2a ＋b________0. ◆类型二 利用二次函数的图像解方程或不等式 5．已知函数y ＝x 2－2x －2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．－3≤x ≤1 C ．x ≥－3 D ．x ≤－1或x ≥3 第5题图 第6题图 第7题图 6．已知 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为________________．【方法13】 7．★如图是函数y ＝x 2＋bx －1的图像，根据图像提供的信息，确定使－1≤y ≤2的自变量x 的取值范围是________________. ◆类型三 根据抛物线的特征确定其他函数的图像 8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是( )