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生生不息的莫比乌斯带―拓扑学奇趣

生生不息的莫比烏斯帶

―拓撲學奇趣

一、什麼是拓撲學

拓撲學（Topology）是在19世紀末興起並在20世紀中迅速蓬勃發展的一門數學分支，其中拓撲變換在許多領域均有其用途。直至今日，從拓撲學所衍生出來的知識已和近世代數、分析共同成為數學理論的三大支柱。

拓撲學的最簡單觀念產生於對周圍世界的直接觀察。直觀的說，關於圖形的幾何性質探討，不限於它們的“度量”性質（長度、角度等等）方面的知識。拓撲學探討各種幾何形體的性質，但是其內容卻與幾何學的範疇不盡相同，多數的討論都是圍繞在那些與大小、位置、形狀無關的性質上。

例如，曲線（繩子、電線、分子鏈…）不論有多長，它可以是閉合或不是閉合的。如果曲線是閉合的，則它可以是“纏繞”得很複雜的。兩條以上的閉曲線可以互相套起來，而且有很多型式。立體及它們的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破壞孔洞下，它們允許做任意的伸縮及變形。這種變形不會減少或增加孔動數量，就叫做它的“拓撲性質”。一個橡皮圈，在它的彈性限度內，任憑我們把它拉長、扭轉，只要不把它弄斷，那麼它永遠是一個圈圈。拉長使它的長度改變了，扭轉使它的形狀改變了，然而在拓撲學上不會理會這些，只是專注在“它永遠有一個圈圈”上。

A. 拓撲同胚與等價性質

拓撲學只探討各種幾何形體的內稟特質。一個幾何圖形的性質，經由一拓撲變換作用後維持不變，該性質稱為圖形的拓撲性質。下面兩組圖形從拓撲變換角度來看，它們分別是“等價”的。

等價等價

任何三角形、方形、圓形及橢圓的內稟特質，從拓撲學的立場看來，它們都沒有任何區別。然而，在初等幾何學中，這些圖形的形狀、面積、周長等都是不相同的。

如果我們把一個橡皮製的物體X 任意的扭轉、拉長，但不可把它撕開或弄斷，而得到另一形狀的物體Y ，我們稱這兩個物體X 和Y 在拓撲上是一種“同胚”或“等價”的結構。廣義的來說，在一個物體到另一個物體的對應關係，如果它是不間斷，又不重複，則在拓撲上稱這個關係在兩物體間建立一個“同胚”變換。兩個物體間如果存在有這種關係，則稱它們為“拓撲同胚”。

例如，任意一個三角形在任意延伸、伸縮的變形變換中，可以疊合住一個圓形。所以這個延伸、伸縮變換是一種同胚變換，因而三角形和圓形在拓撲上被視為是同胚或等價的。

拓撲學就是探討同胚的拓撲空間所共有的性質之一門學科。網路、歐拉定理、曲面、向量場、四色問題、結、覆蓋等，都是拓撲學研究的重要課題。

B. 不可思議的拓撲變換

法國著名數學家龐加萊（Poincar é, 1854?1912）以他豐富的想像力及抽象的思維能力，提出下圖中的兩個物體是等價（同胚）的，也就是說，您可以從其中一個開始，經由拓撲變換得出另一個，您認為可能嗎？

龐加萊的變換魔術：請注意下面的變換！在拓撲上，只要不破壞原有結構，任意伸縮變形是被允許的，因為總能找到一個同胚的對應來描述這個動作。

龐加萊的奇怪想法：

在車輪內胎上有一個小洞，能否在不撕壞車胎的前提下，通過小洞將車內胎翻面過來（裡面翻到外面）？如果可以，該如何操作？

？

二、莫比烏斯（M?bius）帶

在1862?1865年，德國數學家莫比烏斯（M?bius）和利斯廷的著作中出現了一種有邊緣的曲面。它可以這樣得到：把長方形紙條扭轉一次，然後把兩端接起來。這樣得到的曲面叫做M?bius帶。

關於M?bius帶是怎樣發現的﹐有這樣一個故事：有一次﹐莫比烏斯在海濱度假。到了晚上﹐蒼蠅太多﹐使他難以入睡。於是他把黏蠅紙扭轉半圈﹐然後把兩端粘到一起﹐形成一個紙環。再把這樣的紙環掛在假期別墅的椽頭上。他臨時製作的捕捉蒼蠅的紙帶很管用﹐他睡覺沒有再受蒼蠅的干擾。早晨醒來﹐他的目光落在那個紙環上﹐驚訝地發現這條紙只有一個面﹐並且只有一條稜。著名的M?bius帶於是誕生。

A. 單側的曲面

這個扭轉一次紙帶所得到的M?bius帶有何特別的幾何性質呢？我們看下面這個一般的紙環，在紙環內，垂直於紙面的一個法向量，總是由紙面指向圓形紙環的環心處，在紙環外，垂直於紙面的一個法向量，總是指向外面；但是對M?bius帶而言，就沒有這種情形。

對M?bius帶而言，它是一種單側的曲面。譬如說，在九章的標誌中，沿著帶子上移動的人，路途中會經過他移動的起始點，但是卻在另一側。如果他繼續移動，則會把整個M?bius帶都走遍。所以可以確定它沒有第二側！

B. 從M?bius帶中間剪一刀

取一隻筆，在製作好的M?bius帶上畫上下圖中昆蟲所走的軌跡，然後取一把剪刀，將M?bius帶沿軌跡剪開。您有什麼發現呢？

從上面操作中發現，剪一刀後的M?bius帶並不會被分成兩個紙環，而是形成一個更大的紙環。您知道為什麼嗎？

如果我們將M?bius帶的紙面寬畫上三等份，沿兩條等分線剪開，及結果會如何？又剪三刀成為四等份呢？

C. M?bius帶與紙環的拓撲同胚結構

從一條紙帶扭轉一次接合後得到M?bius帶，經過剪刀剪一刀後，得到一個瘦長的紙環，它是一個紙帶扭轉三次接合後的圖形。可以發現它們都是單側的圖形。

從上述拓撲觀點來看，在它們之間存在一個變換，維持了它們都是單側的性質，稱它們是同胚的。想一想，一個未經扭轉的紙環和一個經由兩次扭轉所得的紙環，是否是同胚？

三、雙人脫困遊戲

在下圖中，如果不解開手腕上的繩結，不破壞、剪斷繩子下，怎樣幫助他們脫困？將這一對男女分開呢？找一個周遭的同伴一起動手操作試試看！

四、Puzzle !!!

在下圖中，最初在位置A的金屬環能否被移往位置B的地方呢？如果可以，該怎麼移動？用塊厚紙板鑽幾個洞，作個玩具試試。

五、繩圈

人類自從會使用繩子，就會打繩結，結繩圈。各種的繩結的功用可能都一樣，為了穩固物體而做，但是打繩結的方法卻是千奇百怪。為了研究它們在幾何形狀上本質的差異性，我們把繩的兩端黏合起來，成為沒有端點的繩圈。這個想法就像上述討論M?bius帶一樣。對許許多多的繩圈而言，能不能經過一連串的連續變換，變成一種相同的繩圈呢？如果可以，那麼在拓撲觀點上這些繩圈也就沒有分別了。

下面是兩個繩結，做兩個實物模型把玩一番，您就會發現它們是不同的！

如果把繩的兩端黏合起來，成為具有繩結又沒有端點的繩圈，那麼就更容易用數學來描述它們。如下圖所示，我們分別稱它們為“右手三葉結”及“8字形結”。

A. 什麼是紐結、鏈環

為了在數學上更貼切的描述繩圈，我們定義什麼是“紐結”。簡單地說，

紐結就是三維空間中簡單的閉曲線，而簡單的閉曲線，意思是連通的（連成一體的）、封閉的（沒有端點的）、不自交的（自己跟自己不相交，即沒有黏合處的）曲線。所以，一個平面上的圓圈是一個紐結，它是一個未打結的紐結，我們稱它為一個“平凡紐結”。

除了繩圈可以打結外，繩圈與繩圈之間還可以互相鈎連、套扣，這也是日常生活中常見的現象，諸如鐵鏈、鑰匙圈等等。因此，我們再定義“鏈環”的概念：由許多條互不相交的簡單閉曲線所構成的空間圖形稱為鏈環，並稱每一條閉曲線為其“分支”。下面是具有兩個分支的鏈環。

如果一個紐結（或鏈環）可以經過繩圈的移位變形變成另一個，我們就說這兩個紐結（或鏈環）是等價的，或同痕的，有時乾脆把兩個等價的紐結（或鏈環）視為相同的。

B. 紐結的投影圖

在現實生活中，描述空間的圖形通常是用照片，而照片就是一種取適當方位投影的圖像。對於紐結與鏈環，我們也選取它的一個投影圖來描述它。但是，這種投影圖要能很適切地表示紐結與鏈環，所以選什麼樣的投影圖是有一定標準的，不能隨意給出一張重疊處圖意不清，無法辨別有幾個重疊點的投影圖來描述一個紐結或鏈環，因為這無助於進一步的判別與分析。

準確地說，我們要求投影圖要滿足：只有有限多個重疊點；每個重疊點都是二重點；在每個二重點處，上下兩線的投影都是互相穿越交叉的。也就是說要避免下面的圖像：

當我們說到投影圖時，總是指已經用虛實線標示出交叉情況的圖。在左下圖這樣一個由自身相交的閉曲線所構成的平面圖形，在每個分岔點處都是四個岔的，我們稱之為“四岔地圖”。所以每張投影圖都可以確定一張四岔地圖，但是反過來說，從四岔地圖卻無法確定該投影圖，因為每個分岔點有兩種可能

交叉的情況。

因此，從有n個分岔點的四岔地圖一共可以得到2n張不同的投影圖，它們所代表的紐結或鏈環卻不一定互不相同。下圖是從最左邊那張四岔地圖所得到的幾張投影圖。

C. 用實驗的方法來判斷以下各對鏈環是否等價？

(a) 右手三葉結(b) 8字形結

(e) 右手三葉結與左手三葉結(f) 方結與懶散結

右手三葉結左手三葉結方結懶散結

(g) 反懷特海德鏈環與正懷特海德鏈環

反懷特海德鏈環正懷特海德鏈環

R3 D. 投影圖的三種基本變換

紐結與鏈環可以用投影圖來確定，然而等價的鏈環可以有不同的投影圖。因此，要利用投影圖來研究紐結理論，就必須弄清楚繩圈在空間中的移動變形是如何在投影圖上反映出來的。

德國數學家瑞德邁斯特（Reidemeister ）在20年代指出，紐結與鏈環的同痕本質上是由投影圖的三種基本初等變換（R1、R2、R3）來刻劃的。

R1 : 消除或添加一個卷

R2 : 消除或添加一個疊置的二邊形

R3 : 三角形變換

這三種初等變換是在投影圖的局部進行的，在變換的那部份除了所畫出的線以外不能有別的線介入。例如

不是一個合法的R1變換，它與正確的作法所得到的結果不一樣：

R2 R1

R1 R1

R2 R3

R3 R3

瑞德邁斯特指出，如果空間中的一個鏈環可以經過繩圈的移位變形變成另一個鏈環，那麼第一個鏈環的投影圖一定可以通過一連串的初等變換變成第二個鏈環的投影圖。

此外，我們還允許投影圖作“平面變形”，也就是說當把平面看成一個薄膜時，刻畫在平面上的圖可能隨平面的伸縮、拉長，產生形變。從下圖來看便可以了解到什麼是平面變形了！

E. 用初等變換鑑別鏈環

要證實兩個鏈環的等價性，只須用繩子各做一個模型，然後把一個變成另一個。如果要用投影圖來證明它們等價，則應該找出一串由R1，R2，R3變換及平面變形所組成的變換，把一個投影圖變成另一個。原則很簡單，實際卻不一定容易。

簡單的例子：

不輕鬆的任務：8字形結與其鏡像等價！

如果我們不拘泥於初等變換，那麼下面的圖將更容易使人相信！圖中用粗實線與粗虛線表明把那條線挪到那個位置。線條只挪動了一次，其餘都是平面變形。

向勇敢的讀者挑戰：下圖兩個紐結投影圖各有13交叉點，在1985年時就已經知道它們是等價的。您能利用初等變換及平面變形給出證明嗎？

問題：請利用初等變換及平面變形證明下面三個投影圖代表同一個紐結。

六、85種打領結的方法

日常在正式的場合裡，男士的穿著通常須要打領帶。但是幾乎沒有人問「為什麼我們每天打領帶的方式都是一成不變？有沒有別的方法？」這個問題及其解答被英國劍橋大學聲名顯赫的卡文迪斯實驗室（Cavendish

Laboratory）裡的兩位數學物理學家Thomas Fink與Yong Mao提出。由於其解答使眾人甚感興趣，所以他們的論文被刊登在全世界著名的科學雜誌Nature上。

Fink和Mao分析領結的方法的確是體現數學家如何將實際生活中的問題加以組織、抽象而克服之的好例子。

第一、領帶有兩端，但是在打領結時通常只移動較寬的那端來纏繞而成。Fink和Mao稱此端為操作端。第二、領帶及其結將人的前胸分割為三個區域：右側、左側和在領結上方、喉嚨下方，稱之為中央的區域。打領結的動作就是把領帶的操作端在這三個區域內變動。第三、每一個動作是把領帶的操作端在朝向襯衫和背向襯衫二種情況交互變換，朝向襯衫的下一步恆為背向襯衫。打領帶動作的最後一步是非常特別的，Fink和Mao稱此活動端穿過結的中間而下拉的動作為穿透(用記號T表示)。

領帶結本質上是一種拓撲結構：實際去構造它們可使它們更易於被理解。藉由觀察打領帶結的方法與在三角化格點上持續移動的對應圖，隱含在領帶結中的拓撲結構可透過適當地操作其投影像來探討。我們由此導出領帶結的對應規則，並根據領帶結的大小、形狀及結的數量加以分類。美觀的結具有對稱性及平衡性的特質。

在這85種領帶結中，有些是常見的結法。我們重現4種傳統的結法及介紹9種新式、優美的結法。對於一些須要耗費較多步數（雖然不切實際）的結法，我們只陳列一些漸近的結果。

A. 最常用的領結

大部份的男士都會兩種領結。最簡單、最常用的領結是四手式（Four-in-hand）的領結，它起源於19世紀的英格蘭：車伕用這種結栓住牲畜的脖子，以免使他的駟馬車失控，這個領結至今仍甚為流行。溫莎公爵曾創造一個結，現稱為溫莎結，它是一種較大的領結，於1930年代末期因溫莎公爵（愛德華八世的前任）而流行。溫莎領結後來它衍生出一個較小的結，稱之為半溫莎領結。第四種領結叫做柏蒂（Pratt）領結，它發明於1989年，在此年Pratt結被印成許多大張海報而風靡全世界，而這個結是近50年內首次出現的新領結。

據歷史所述，領結通常不是偶然發現的。與其等待半個世紀期待另一種領結的出現，Fink和Mao撰寫論文認真地探究它。

B. 領結是一種活動的結

領帶圍在頸子上，操作較寬（活動）的一端環繞較窄（被動）的一端，使

得完成後的結，後者仍能自由活動。一個領結出初始時是活動端由朝向左側，從上方或下方包住被動端，形成一個三角形的基底。這時將空間分割成右、中和左（R 、C 、L ）三個區域，如下圖。

從右方開始的結與從左方開始相對應的結互為鏡射全等，我們可以省略討論這一類的結。一個結是利用操作活動端連續在上述三角基底纏繞，這個步驟可以想成是一系列的，從某個區域到另一個區域旋轉半圈的動作，活動端的位置及方向可以用R ?、R U 、C ?、C U 、L ?、L U 等6種記號來表示，其中R ，C ，L 是指活動端朝向的方向，另以符號?、U 分別表示從前方看去（或說從紙面（襯衫）上方望下）活動端是遠離紙面（襯衫）向外移動或朝向紙面（襯衫）向內移動，可以把它們（?、U ）看成是一支箭的箭頭與箭尾。前述R ?、R U 、C ?…等等的記號，也可以看成是將活動端作任意次數旋轉半圈到對應位置上的動作記號（如下圖）。因此，類似記號R ?L ?等等所表示的一連串動作是不可能做到的。同理，R U 的下一步也不可能是R ?。據此，記錄這一連串動作的過程必在?與U 間交錯變動，並且任兩個連續的動作不可能在相同的區域內產生。

…L ?… …C ?… …R ?…

…C U …

…R U …

…L U … L ?…L U …

想完成一個結，最後活動端必須繞到前方位置，也就是說，無論從R ?L U 或L ?R U ，接這必須從正中間穿出（即C ?），最後穿過在上一系列步驟中於前方所圍繞的圈（結尾符號記作T ，但不算作一個步驟）而完成領結。

現在我們可以將一個領結用一系列的移動記號(稱為結列)來表述，這些移動記號從集合{R ?，R U ，C ?，C U ，L ?，L U }中選取，它從L ?或L U 開始，而最後以R ?L U C ?T 或L ?R U C ?T 作結尾。這一系列動作是受約制的，任兩個連續的步驟不可以指向相同的區域或方向。例如：四手式的完整結列如下圖所示。

C. 視領結為隨機的移動

之前所介紹領結的記錄，允許我們把這些結列看成是在三角格子點上的移動。我們以r ，c 及l 三個軸代表移動至R ，C 及L 三個區域，並且以單位向量 r ?，c

? 及 l ? 表示相對應的動作。因為連續的動作其方向必在?與U 間交錯變動，且最後的方向必是?。若從U 開始必移動偶數步，而從?開始必移動奇數步，若省略領結移動的文字表述中的方向記號?及U 也不致於會造成混淆。

…(R ?L U C ?)T

…(R ?R U C ?)T

L U R ?L U C ?T

由於只在三叉式的區域內移動，我們可規定每一步驟都是沿著軸的正的方向移動，並且任二個連續的移動不會相同。雖然如此，格點上的任何位置均可

達到。我們可得到關係式l r c

???+=?，c r c l c c ??????2++++=. D. 結的大小

我們將結的大小定義為一個結列中移動的步數，並將結依大小分類。在結移動的文字標記中，結的大小就等於記號的個數。我們將結的大小（即旋轉半圈的次數）記作h 。聯繫第一步及最後一步的條件可知，最小的結是L ?R U C ?T ，其大小 3=h 。基於美學的考量，領結的大小必須是有個上限的，不然打出的領結又短又胖。經實際估算，我們建議 9≤h 。

依結的大小我們定義函數)(h K ，它的值等於在限制第一步及最後一步的條

件下，大小為h 的結的個數。我們規定)(h K 是第一步為 l ?，大小為h 的結。令

函數)(?n F r

為從 l ?開始、r

?結束，大小為n 的結的個數；函數)(?n F c

為從 l ?開始、c

?結束，大小為n 的結的個數。由於任何一次的移動都可以有二個其他的區域可選擇，因此我們可得

??2)()()(?=++n l c r n F n F n F . (1) 因為在最後幾個步驟的排列只能是 c l r

???或 c r l ???二種，所以我們只須討論2?=h n 次移動的情況即可，這些移動由 l ?開始，以 r

?或 l ?結束，而剩下的最後二步的移動方式則無自由選擇的餘地。

我們由考慮)(?n F l 開始，因為 l ?的前一步可能是 r

?或 c ?。因此， )1()1()2(???+++=+n F n F n F c r l (2)

同理可得

)

()()(2)

()()()()2(????????n F n F n F n F n F n F n F n F r c l r l c l l ++=+++=+ (3)

結合(1)及(3)可得

1??2)()2(?+=+n l l n F n F (4)

由初始條件1)1(?=l F ，0)2(?=l F 解遞迴關係式(4)可得

()

?)1(23

2)(???+=

n n l n F 註 (5)

)(?n F r 的遞迴式與(4)類似，只是初始條件為0)1(?=r F ，1)2(?=r F 。據此可得

()

n n r n F )1(23

1)(1

??+=

? (6)

大小為h 的結的數量等於由 l ?開始移動2?h 步，而以 r

?或 l ?結束的結的數量。此即

()

??)1(23

1)2()2()(????=?+?=h h l r h F h F h K

其中，0)1(=K .

所以，我們所關注的結之全部數量為

85432111531100)9()8()3()2()1(=++++++++=+++++K K K K K ΛΛ

E. 結的形狀

我們以旋轉半圈的次數來刻劃結的大小，但是這樣仍無法描述結的形狀。

從實際操作中可以發現，結的形狀與 l ?、r

?、c ?等移動有關。由於對稱的考量，通常 l ?與 r

?的移動數量相同，所以我們以c ?的數量γ來刻劃結的形狀。具有相同h 與γ的結，我們把它們歸為同類。比值h γ愈小的結，其寬度愈細小。例如：四手式的領結41=h γ；比值h γ愈大的結，其寬度愈寬厚。例如：溫莎結83=h γ。

一般而言，210<

{),(h γ} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 5), (1, 6), (2, 6), (2, 7), (3, 7), (2, 8), (3, 8), (2, 9), (3, 9), (4, 9)} 等13種。

這13種合乎此條件的結列表如下：

F. 對稱

結的對稱是基於美觀的考量。我們定義以 r

?及 l ?數量的差來估算它，即 ∑==

i i

x s 1

其中，若第i 步是 r

?，則1=i x ；若第i 步是 l ?，則1?=i x ；其它情形則規定0=i x 。s 值愈小代表這個結愈對稱。因此，若γ?h 是偶數，s = 0的結看起來是對稱的。若γ?h 是奇數，s = 1的結看起來是對稱的。

G . 平衡

前述γ和s 的值表述一個結的成份，而平衡則與移動的分佈情況有關。它考量的是這些移動方向混合的程度。

一個平衡的結是綁的緊緻且能保持其外形的，這是美學上的第二個要求。以i σ表示第i 步的移動，若從i σ到1+i σ的變換是順時鐘方向的變換，則定義其移動的方向1),(1=+i i i σσω；否則令它等於1?。這裡順時鐘方向的變換規定為 c

?r ?，r ?l ?，l ?c ?等移動。所以結的平衡值b 可表示為 ∑?=??=

h i i i b ωω.

b 的值即為移動時轉向的次數。從美學的觀點來看，b 的值愈小愈好。

附註：

註1.由初始條件1)1(?=l F ，0)2(?=l F 解遞迴關係式1??2)()2(?+=+n l l n F n F .

(a). 當k n 2=時，

)22(),12(3

)12(32

)

(12]1)2[(22222)2(22)22(2)2()22(2222123214121232?1

2??+=?=?=??=+++++==++?=+=+????????k m F k F k F k F m k k k k k k l k l l 等比級數求和ΛΛ

Λ 即()123

2)(2

??=

?m l m F . (b). 當12+=k n 時，

)122(),12(3

)12(32

2222)1(22)12(2)12()32(21222220222?2??+=?+=+=+++++==++?=++=+?+??k m F k F k F k F m k k k k k l k

l l ΛΛ

Λ 即()123

2)(2

?+=

?m l m F . 綜合(a)與(b)，得到()12?)1(23

)(???+=n n l n F .

註2. 85種領帶結的標記表示列表

l r

神奇的莫比乌斯带教案

神奇的莫比乌斯带教学目标 1、让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。 2、培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。 3、在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，进一步激发学生学习数学的兴趣。教学重点让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。教学难点培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。教具准备剪刀，双面胶、彩笔、长方形纸条教学过程一、听一听古代故事：师：给同学们讲一个故事想听吗？师讲。同学们想知道他用了一个什么巧妙的办法吗？学完这节课之后，我们就能知道了。出示课题。这节课我们就一起来学习、探究《神奇的莫比乌斯带》。（课件显示）那么看了这个课题你们有什么想法吗？师：同学们想知道的还真不少，要想知道这些问题还得从这张小小的纸条说起．二、做一做，认识莫比乌斯带

1．每个同学拿出一根长方形纸条。看，这是根普通的纸条，但也是一根神奇的纸条呢。（做纸圈）师：莫比乌斯带是怎么做出来的呢？你们能做吗？大家看看老师怎么做？师：好请看，先把它做成一个普通的纸圈，然后将一段翻转180度，再把它粘好．（学生跟着一起做）师：老师再来一遍。（重复做）师：你们知道这样的一个纸圈叫什么名字吗？（板书显示课题：神奇的莫比乌斯带）它是德国数学家莫比乌斯在1858年在偶然间发现的，所以就以他的名字命名叫“莫比乌斯带”，也有人叫它“莫比乌斯圈”，还有人管他叫“怪圈”。师:同学们会做了吗?请拿出2号、3号、4号纸条,把他们也做成莫比乌斯带。三、研究莫比乌斯带莫比乌斯带到底有多神奇呢？下面我们就用“剪”的办法来研究。（一）1/2剪莫比乌斯带现在，老师拿出2号莫比乌斯带，我们用剪刀沿中线剪开这个莫比乌斯纸带，同学们猜一猜会变成什么样子？同学们，让我们来猜一猜（启发学生想象力）生１：它会变成两个圈。生２：........... 师：要想知道它到底会变成什么样子的，我们该怎样做？生：剪剪看。师：为了不把它剪断，先看老师是怎样开始剪的？（强调怎样剪）

六,新书单

图书馆四楼的原版外语书。-1层的老书；按Fields和Wolf奖得主来找书或用数据库搜文章。不光整理书单，还有收藏的电子书。数学分析部分：教材： 2.Apostol "Mathematical Analysis 3.W.Rudin "Principles of Mathematical Analysis" 4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等 5.克莱鲍尔"数学分析" 6.张筑生"数学分析新讲"(共三册) 7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)" 7b."数学分析" 苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉到观点非常的"高". 12.何琛,史济怀,徐森林"数学分析"； 21.《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 22.《数学分析》徐森林 23《数学分析》卓立奇 24《数学分析简明教程》辛钦 25《数学分析讲义》阿黑波夫等著 26《数学分析八讲》辛钦； 16. Courant的微积分与分析引论； 14.数学分析教程（上，下）许绍溥，姜东平等深层次教材： 8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)" 9.法国人写的数学书.高等数学(J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷) "普通数学", 11.华罗庚先生的"高等数学引论" 13.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理" 19. Hoomis的高等微积分, 习题集： 28.《吉米多维奇数学分析习题集》 29.《数学分析习题课教材》第一版或《数学分析解题指南》第二版，林源渠，方企勤等；方企勤,沈燮昌"数学分析习题集", 30.《数学分析习题精解》科学出版社版，几何部分：解析:

小学人教四年级数学神奇的莫比乌斯带

神奇的莫比乌斯带一、教学目标： 1、让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。 2、引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。 3、在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。二、教学重点：重点:让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。教学难点：引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。三、学具准备：剪刀，双面胶或棒棒胶、一只彩笔、2张白纸条，1张黄纸条，红纸条四、教学方法：自主探究，大胆猜想，小心求证五、教学设计：一、变魔术师：（出示一张白纸条）请拿出这样的白纸条，这张纸条有几条边？几个面？生：（齐）四条边、两个面。师：一个正面、一个反面。（边比画边说，学生也随着说）现在我会变魔术，把这个四条边、两个面的纸条变成只有两条边、两个面，你会吗？（学生尝试，师再演示）师：是不是两条边、两个面? 生：是! 师：你会吗？（学生都做成了纸圈）师：这有什么神奇的，太简单了，奇妙的是我还能把它变成一条边、一个面，你想试试吗？ (生瞪大眼睛，兴趣一下子被激发起来了。有同学在想，有同学在试。)

(师把纸条放在背后操作，做成莫比乌斯圈。) 师：不想让你们看到!(师出示莫比乌斯圈)想想吧，是怎么做的? 二、做纸圈师：(看到大多数同学都做成了)同学们可以互相帮助。看到同学们快乐的笑脸，我真高兴！我们刚才这样做： (师演示)先做成一个普通的纸圈，然后将一端翻转180°，再用胶水粘牢。师：是一条边、一个面呢？用什么方法来确认它呢？(生用手指沿着纸条的边和面各画了一圈。) 生：是一条边、一个面! 师：我们一起动手，都来检验一下吧。拿出一支水彩笔，在纸圈的中间画一条线，看看它是不是一个面？生：真是一个面，怎么回事? 师：像这样没有里面和外面之分，只有一个面的，数学上叫单侧曲面。那么普通的纸圈有里外之分就叫双侧曲面。师：这样一个怪怪的纸圈叫什么名字呢?有人知道吗? 师：为什么叫莫比乌斯带呢? 我来告诉同学们，德国有一位数学家叫莫比乌斯，1858年，一次偶然的机会，他发现了这样一个奇妙的，只有一个面，一条边的纸圈。所以，人们就把这样的纸圈叫莫比乌斯带。三、沿1/2线剪（成一个扭着的大圈） 1、师：我们的魔术还可以往下做，怎么做呢?刚才你不是在这个纸圈中间画了一条线吗?想一想，如果我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开（示范剪一小段，个别学生就要动手剪），注意，别忙着动剪子。先想一想，我们沿着中间这条线把这个纸圈剪开的话，会怎样呢？生：我觉得这个圈会变成两个圈。生：我觉得会变成两个莫比乌斯圈。会不会变成三个圈? 师：我们应该大胆猜想（生猜想）要知道究竟，怎样办呢? 生：剪剪看。师：是啊，实践出真知! （学生动手剪）生：在我剪完之后，不像刚才同学们说的那样是两个圈，是连在一起的。生：我这个也是连在一起的。

《神奇的莫比乌斯带》教学设计和反思--游丽华

《神奇的“莫比乌斯带”》教学设计和反思葛洲坝实验小学游丽华【教材分析】公元1858年，德国数学家莫比乌斯发现：把一个扭转180°后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。因为普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“莫比乌斯带”。这节课是北师大版数学教材六年级下册“数学好玩”中的一节课，旨在通过了解神奇的莫比乌斯带，让学生感受到数学的好玩，数学也是可以玩中去学习的。【活动目标】 1、方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯圈，在动手操作中了解莫比乌斯带的特征。 2、经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，探索莫比乌斯带的神奇特征。 3、敢于大胆猜想，能够提出自己的见解；通过猜测到验证这种数学活动，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学习数学的热情。活动重点：目标2 活动难点：利用所学数学知识解决问题的能力。教法：启发式教学法、探究式教学法、问题教学法。

学法：经历动手操作，主动思考的“做数学”的过程，并从中发现“莫比乌斯带”的神奇特征。【活动准备】 (1)课件 (2)长纸条三条(长20-30厘米，宽约4厘米，事先画好二等分线和三等分线)； (3)剪刀 (4)双面胶（胶水） (5)水彩笔【活动过程】一、创设情境（课件出示故事《聪明的执事官》），这位聪明的执事官是用什么方法让小偷得到惩罚呢？这张小小的纸条里到底隐藏着什么奥秘大家想知道吗？这节课我们就研究这张小小的纸条，学完这节课大家就会明白了。设计意图：课前以儿童喜爱的故事情境导入，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起了学生的学习兴趣。学生对故事中的问题很感兴趣，能够积极主动地参与学习，课堂气氛活跃。二、认识莫比乌斯带 1、出示一张纸条请同学们拿出准备好的1号长方形纸条，看看这张纸条它有几个

作为生物的社会(老师)

《作为生物的社会》教案学习目标1、明确相关的生物学知识，把握作者观点。 2、体会本文幽默风趣的语言风格，品味优秀科普作家的文字魅力。激发学生对大自然、对生物学的热爱之情。学习重点把握作者的主要观点以及作者幽默的语言风格，激发学生了解生命、了解自然的兴趣与激情，培养一种人文关怀的精神。学习难点学习本文幽默风趣的语言,引导学生通过对一些重点问题的讨论提高探究能力学习课时2课时学习方法自主、合作、探究知识链接——文体分类科普作品按照其所介绍学科知识可以分为很多类别。比如物理学科普（如《时间简史》）、医学科普、生物学科普、数学科普（如《拓扑学奇趣》）等等。按照阅读对象的受教育程度，也可分为：儿童科普、中学生科普、成人科普等等。按照科普作品的内容深浅可分为：常识性科普、通俗性科普（《花儿为什么这样红》）、专业性科普（如克莱因《数学：确定性的丧失》）。按照科普作品的叙述风格可分为：传记型科普（如《我的大脑敞开了》）、故事性科普（如《物理学奇遇记》）、探索型科普、纪实型科普、历史型科普（《古今数学思想》）、学习型科普，百科型科普（如《十万个为什么》）等等。知人论世——作家作品刘易斯?托马斯，1943年生于美国纽约，就读于普林斯顿大学和哈佛医学院，历任明尼苏达大学儿科研究所教授、纽约大学贝尔维尤医疗中心病理学系和内科学系主任、耶鲁医学院病理学系主任、纽约市癌症纪念中心斯隆·凯特林癌症研究所所长，并任美国科学院院士。预习检测

１、注音霎．时( shà ) 阈．限(yù ) 毗．邻 ( pí ) 畜．牧(xù ) 筹．划( chóu ) 蜂窠．(kē ) 拱券．． ( gǒng )(xuàn ) 鳟．鱼（zūn）蚁冢．（zhǒng）苜蓿．．（mù xu）鲱．鱼（fēi）蹩．脚（béi）２、分辨词义 ①振动震动（1）这个振奋人心的消息，像一声春雷______ 着这个宁静的山庄。（2）每当拖拉机那硕大的身躯从门前经过，我感觉到路面在跟着一起 _________。 ②违反违犯（1）任何单位和个人都不能________国家的有关规定。（2）一旦________了法律，就要受到制裁。 ③激奋激愤（1）看到这么好的形势，人们精神_________，干劲更大了。（2）面对这令人发指的行为，人们_________的感情溢于言表，纷纷站到了正义的一边。 3、本文语言形象生动，请举出一二例并加以体会。第一课时一、自主探究——把握文本，理清线索：第一部分（1~3段）：从一个事例切入，即医学家举行年会，把其与生物界联系起来，从而得出自己的论点，人类社会与生物社会有共通之处。第二部分（4~10段）：指出动物过着两种生活，不仅是个体的存在，还是集体的存在，也就是说，动物过着个体的和群体的两种生活。第三部分（11~13段）：指出人类与生物界的相通之处即人类也要有社会的生活。二、合作探究

神奇的莫比乌斯圈教学设计

神奇的莫比乌斯圈教学设计教学目标： 1、知识与能力：学生认识莫比乌斯圈，并且会制作莫比乌斯圈，了解莫比乌斯圈的特点。 2、过程与方法：通过莫比乌斯圈的二分之一剪，三分之一剪，引导学生学会“猜想，验证，探究”的数学方法，逐步在思想认识上建立数学的逻辑性和严谨性，并且从中感受莫比乌斯圈的神奇变化。 3、情感态度与价值观：让学生在猜想与现实差距中，培养探究精神，激发学生学习数学的兴趣，感受数学的神奇魅力。并且通过莫比乌斯圈的在实际生活中的应有，建立“数学来源于生活，服务于生活”的思想。教学重点：莫比乌斯圈的制作教学难点：理解莫比乌斯圈的特征教法选择：教师示范与学生实验操作相结合学法指导：学生动手操作验证自己的想法学生独立思考和合作探究教学准备：长方形纸条，剪刀，胶水，水彩笔教学过程：一、导入师：同学们都喜欢观看魔术吗？那么今天老师在这里给大家表演一个魔术，同学们可要睁大眼睛，仔细观察，不要错过每一个细节。师：拿出事先准备好的纸圈，沿着三分之一线剪一圈，一个完整的

纸圈变成了两个纸圈相套的形式。(学生很惊讶，都在小声的议论) 师：同学们，想学习这个魔术吗？那么我们从最简单的形式开始。二、探究新知：教学一：认识“莫比乌斯圈” （一）循序渐进，引出问题 1、观察：请大家拿出课前准备好的长方形纸条，摸一摸，看一看，它有几条边？几个面？（四条边，两个面） 2、思考：你能把它变成两条边，两个面吗？（问题难不倒学生，脸上得意洋洋的表情，学生很快就得到了答案） 3、操作：学生动手操作，将长方形纸条，首尾相接，做成了圆形纸圈 4、验证：动手摸一摸，感受一下两条边和两个面 5、再思考：你能把它的边和面变得更少一些吗?把它变成一条边和一个面吗？（大部分学生开始困惑，觉得难以完成，教师在这里让学生先自行思考，然后同桌之间相互讨论，交流想法）（二）制作莫比乌斯圈 1、介绍做法：将纸条，一端不变，另一端拧180°，然后将两端粘贴。 2、操作：思考，讨论结束，同学们开始动手尝试制作“一条边，一个面”的纸圈吧。

人教版四年级上册《神奇的莫比乌斯带》优质课教案

《神奇的莫比乌斯带》教学设计教学目标： 1.在操作活动中自主发现莫比乌斯带的特征。 2.培养学生大胆猜测，小心求证的研究精神。 3.了解莫比乌斯带神奇的变化和广泛的应用，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野。教学准备：多媒体课件，学生研究用纸带、剪刀、固体胶棒教学过程: 一、激趣引入由观看过山车的视频引入，感受莫比乌斯带在生活中的应用。二、主题活动（一）学习制作莫比乌斯带 1.初识纸带。出示长方形的纸条，引导学生观察它有几条边，几个面？规定，为了把这两个面区分开来，把其中一个面做上了记号，做记号的面叫正面，另一面叫反面。 2.初创莫比乌斯带（1）制作双侧曲面（2）由双侧曲面变成单侧曲面（二）认识莫比乌斯带的特点 1.认识莫比乌斯带边的特点。

问题导向：看出这个纸圈是一条边，谁来检验一下？学生自主选择方法，尝试检验，汇报展示。 2.认识莫比乌斯带面的特点。问题导向：用什么方法检验它只有一个面呢？学生自主选择方法，尝试检验，汇报展示。（三）了解莫比乌斯带的来历播放微视频，了解莫比乌斯带的来历。（四）了解莫比乌斯带的应用价值 1.问题导向：莫比乌斯带在生活中有什么作用呢？ 2.学生先举例，老师再多媒体出示，配解说。（五）拓展延伸 1.沿莫比乌斯带二分之一处剪开。 2.先质疑，再验证。（学生验证前，先示范） 3.沿三分之一处剪开，先质疑，再验证。 4.汇报发现。 5.小结：莫比乌斯带还藏着很多的秘密，等着孩子们去发现。例如沿着四分之一、五分之一、八分之一剪又会出现什么样的结果呢？孩子们在课外可以动手剪一剪。（六）、课外拓展 1.介绍克莱因瓶。 2.介绍拓扑学。三、回顾总结

作为生物的社会

科目：语文内容：主编人：朱成倬叶迎飞审核人：审批人：班组别：学生姓名：名言警句除了人格以外，人生最大的损失，莫过于失掉自信心了。——培尔辛我的名言：作为生物的社会导学案学习目标： 1、了解相关的生物学知识，把握作者的主要观点。 2、通过对本文一些重点问题的讨论提高探究能力。 3、体会本文幽默风趣的语言风格，品味优秀科普作家的文字魅力。 4、通过本文的学习，激发对大自然、对生物学的热爱之情学习重点：通过对本文一些重点问题的讨论提高探究能力学习难点：体会本文幽默风趣的语言风格，品味优秀科普作家的文字魅力。学法指导：通读课文，理清思路，画出关键语句，做简单的旁批。预习案一、课本助读 1、文体分类科普作品按照其所介绍学科知识可以分为很多类别。比如物理学科普（如《时间简史》）、医学科普、生物学科普、数学科普（如《拓扑学奇趣》）等等。按照阅读对象的受教育程度，也可分为：儿童科普、中学生科普、成人科普等等。按照科普作品的内容深浅可分为：常识性科普、通俗性科普（《花儿为什么这样红》）、专业性科普（如克莱因《数学：确定性的丧失》）。按照科普作品的叙述风格可分为：传记型科普（如《我的大脑敞开了》）、故事性科普（如《物理学奇遇记》）、探索型科普、纪实型科普、历史型科普（《古今数学思想》）、学习型科普，百科型科普（如《十万个为什么》）等等。 2、作家作品刘易斯·托马斯博士（1913—1991），生于美国纽约，就读于普林斯顿大学和哈佛医学院，历任明尼苏达大学儿科研究所教授、纽约大学——贝尔维尤医疗中心病理学系和内科学系主任、耶鲁医学院病理学系主任、纽约市斯隆－凯特林癌症纪念中心（研究院）院长，并荣任美国科学院院士。《这个世界的音乐》选自《细胞生命的礼赞》。这本书是一个医学家、生物学家关于生命、人生、社会乃至宇宙的思考。思想博大而深邃，信息庞杂而新奇，批评文明，嘲弄愚见，开阔眼界、激发思索。而其文笔又少见的优美、清新、幽默、含蓄，无愧当今科学散文中的大家手笔。无怪乎自1974年出版后，立即引起美国读书界和评论界的巨大反响和热烈欢呼，获得当年美国国家图书奖，此后十八年来由好几家出版社印了二十多版，至今畅行不衰！年过花甲的刘易斯·托马斯的名字因这一本小书而家喻户晓，有口皆碑，以至于在他接连抛出后两本书时，书商都不用再作广告，只喊声“《细胞生命的礼赞》一书作者刘易斯.托马斯的新著”就够了。《水母与蜗牛》是刘易斯·托马斯的第二本文集。读过并仰慕刘易斯·托马斯《细胞生命的礼赞》的人们，不由得会牵挂那种水母和蜗牛的命运。托马斯就是有这种魅力，能通过这种不可思议，然而又富有洞见的观察，来说明生和死这些永恒的课题。因为，刘易斯·托马斯一直关注着自然界和人类社会中的共生、依存和合作的现象。共生与合作是他第一本书的主题之一，也是这第二本书的主题之一。在这二十九篇文章里，托马斯谈生谈死，谈人间，谈地狱，谈民主和自由的社会设计，谈水獭、金鱼和疣子，谈疾病，谈思维，谈诗，谈语言学和标点符号。用他特有的托马斯方式。他讴歌生命，保卫生命，捍卫生命固有的谐调，捍卫不容干犯的人性，干预社会机体和公众心理上的疾患——这时，他是超越了科学家的。但是，正因为他不止是一个科学家，他才是这样好的一个科学家。他关于科学发现的过程、关于科研的规划与管理、关于国家的科研政策、关于美国保健制度的困窘、关于生物－医学科研中的社会和伦理含义等一系列问题的论述，值得每一个关注科学哲学、科学社会学的人认真研究。 3、背景链接托马斯对人类的将来怀着一种自信的乐观。在他的观点中，人类作为一个整体是一个思考着的、行动着的生命。虽然作为个体我们无法明了整体的思维，就像一只蚂蚁无法理解蚁群的思想一样。但我们都在为某个更大的目标努力地劳动着，我们劳动、学习、生活，这一切都让我们觉得美好，因为我们同时也是人类作为一个整体的生命的需要。个体生存的意义也正在于此。二、预习问题设置感知课文，明确本文的写作思路。第一部分：第二部分: 第三部分：三、预习自测为下列字注音霎．时阈．限毗．邻畜．牧筹．划蜂窠．拱券．．蚁冢．苜蓿．．蹩．脚四、我的疑惑探究案一、探究问题问题1本文所描述的一些生物的社会组织与人类相比有哪些相似之处？你怎样看待这些相似之处？

数学好玩神奇的莫比乌斯带

数学好玩《神奇的莫比乌斯带》教学设计教学内容：北师大版六年级下册数学好玩《神奇的莫比乌斯带》教学目标： 1、知识与技能：在动手操作、对比探索中认识莫比乌斯带，学会将长方形纸条制作成莫比乌斯带，初步体会莫比乌斯带的特征。 2、过程与活动：动手操作，验证交流，经历探索和认识莫比乌斯带的过程，积累数学活动经验。 3、情感与态度：在数学活动中经历猜想与探索的过程，感受莫比乌斯带魔术般的神奇变化，感受数学的无穷魅力，进一步激发学生学习数学的兴趣和好奇心。教学重点：自主探索并制作莫比乌斯带，发现它的奇异性质。教学难点：培养学生勇于猜测，操作求证的精神。教学准备：每位学生若干张长方形纸条并把它二等分、三等分、四等分，剪刀，固体胶（或双面胶）、笔（或彩笔）学情分析：学生对莫比乌斯带并不熟悉,本节课让学生了解它.教材内容新鲜，有趣很吸引学生的注意力。所以学生的强烈的好奇心会驱使孩子们去主动的操作，尝试与探索。学生会被有趣的知识所吸引。学生的预期学习效果会很好。课堂上更多的让学生动手操作，去发现问题，发现规律，真正感受到莫比乌斯带的神奇。

活动过程：一、创设情境，导入新课 1.故事导入：从前，有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。 2、同学们你们想知道其中的奥秘吗？这节课老师将与大家一起去揭开这其中的奥秘。设计意图：新课以儿童喜爱的故事情境导入，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起了学生的学习兴趣。学生对故事中的问题很感兴趣，能够让学生积极主动地参与学习，活跃课堂气氛。二、动手实践，探究新知（一）、认识莫比乌斯带 1、首先请同学们一起看老师做个小魔术。老师手里拿的是什么？几条边几个面？（四条边两个面）老师给大家变个小魔术（教师微笑着把纸条变成圈）这回几条边，几个面？两条边两个面（板书：双侧曲面） 2、学生动手操作：围成一个圈数学上把这种有内外之分的纸圈称为双侧面纸圈。 3、现在你还能将它变成一条边一个面吗？学生动手试做，当生遇到困难时老师拿出事先做好的纸圈，让学生用手感觉它是一条边一个面。并请一名学生用笔画出手指走过的路线。当多数学生想要亲自感受的时候，师趁机指导每一个学生做一个单侧面的纸圈。（一条边一个面，叫单侧曲面）强调：一头不变，另一头拧180度，两头粘贴。

拓扑学奇趣

扑学奇趣
拓扑学奇趣
一、什么是拓扑学拓扑学(Topology)是在19世纪末兴起并在20世纪中迅速蓬勃发展的一门数学分支，其中拓扑变换在许多领域均有其用途。直至今日，从拓扑学所衍生出来的知识已和近世代数、分析共同成为数学理论的三大支柱。拓扑学的最简单观念产生于对周围世界的直接观察。直观的说，关于图形的几何性质探讨，不限于它们的“度量”性质(长度、角度等等)方面的知识。拓扑学探讨各种几何形体的性质，但是其内容却与几何学的范畴不尽相同，多数的讨论都是围绕在那些与大小、位置、形状无关的性质上。例如，曲线(绳子、电线、分子链?)不论有多长，它可以是闭合或不是闭合的。如果曲线是闭合的，则它可以是“缠绕”得很复杂的。两条以上的闭曲线可以互相套起来，而且有很多型式。立体及它们的表面可以是有“孔洞”的，在不割裂、破坏孔洞下，它们允许做任意的伸缩及变形。这种变形不会减少或增加孔动数量，就叫做它的“拓扑性质”。一个橡皮圈，在它的弹性限度内，任凭我们把它拉长、扭转，只要不把它弄断，那么它永远是一个圈圈。拉长使它的长度改变了，扭转使它的形状改变了，然而在拓扑学上不会理会这些，只是专注在“它永远有一个圈圈”上。 A. 拓扑同胚与等价性质拓扑学只探讨各种几何形体的内禀特质。一个几何图形的性质，经由一拓扑变换作用后维持不变，该性质称为图形的拓扑性质。下面两组图形从拓扑变换角度来看，它们分别是“等价”的。任何三角形、方形、圆形及椭圆的内禀特质，从拓扑学的立场看来，它们都没有任何区别。然而，在初等几何学中，这些图形的形状、面积、周长等都是不相同的。如果我们把一个橡皮制的物体 X 任意的扭转、拉长，但不可把它撕开或断，而得到另一形状的物体 Y，我们称这两个物体 X 和 Y 在拓扑上是一种“同胚”或“等价”的结构。广义的来说，在一个物体到另一个物体的对应关系，如果它是不间断，又不重复，则在拓扑上称这个关系在两物体间建立一个“同胚”变换。两个物体间如果存在有这种关系，则称它们为“拓扑同胚”。例如，任意一个三角形在任意延伸、伸缩的变形变换中，可以迭合住一个圆形。所以这个延伸、伸缩变换是一种同胚变换，因而三角形和圆形在拓扑上被视为是同胚或等价的。拓扑学就是探讨同胚的拓扑空间所共有的性质之一门学科。网络、欧拉定理、曲面、向量场、四色问题、结、覆盖等，都是拓扑学研究的重要课题。 B. 不可思议的拓扑变换法国著名数学家庞加莱(Poincaré, 1854～1912)以他丰富的想象力及抽象的思维能力，提出图1中的两个物体是等价(同胚)的，也就是说，您可以从其中一个开始，经由拓扑变换得出另一个，您认为可能吗？
庞加莱的变换魔术：请注意图2的变换!在拓扑上，只要不破坏原有结构，任意伸缩变形是被允许的，因为总能找到一个同胚的对应来描述这个动作。
庞加莱的奇怪想

小学人教四年级数学神奇的“莫比乌斯带”

神奇的“莫比乌斯带” 教学目标: 1、让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。 2、引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。 3、在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。重点: 让学生认识“莫比乌斯带”，学会将长方形纸条制成莫比乌斯带。难点: 引导学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。教具:准备剪刀，双面胶、彩笔三条长方形纸条教学过程: 活动一：蚂蚁能顺利吃到面包屑吗？如果蚂蚁爬在这样的一条纸带上，它不翻越纸条边缘也可以吃到粘在纸条另一面的面包屑，太神奇了。今天我们就一起来认识这神奇的莫比乌斯带。（课件显示）那么看了这个课题你们有什么想法吗？师问１：为什么叫莫比乌斯带？师问２：莫比乌斯带有什么神奇的地方？师问３：莫比乌斯带在生活中有哪些应用？

师：同学们想知道的还真不少，要想知道这些问题还得从这张小小的纸条说起．活动二：做一做，认识莫比乌斯带 1．每个同学拿出一根长方形纸条。看，这是根普通的纸条，但也是一根神奇的纸条呢。先说说它有几条边，几个面？（说：四条边两个面） 2．同学们能将它两头对接起来吗？ 3．小组活动。同学们拿出①号纸条试着做一做。 4．小组同学上台汇报。师：说说你是怎样对接的？这样接起来纸条就成了一个环（圈）。是这样接的同学把作品举起来。摸一摸看一看，现在它有几条边，几个面？师投影：两条边两个面像这样有两条边两个面的纸环我们把它叫（双侧曲面）师：说到这，同学们可能会觉得，这也没什么神奇的呀！是呀，这点小把戏，地球人都知道．奇妙的是我还能把它变成一个面，一条边．（停顿，环视学生）．看，我变出来了是这样的．（学生看师做纸圈）师：这是怎么做出来的？你们能做吗？师：好请看，先把它做成一个普通的纸圈，然后将一端翻转180度，再把它粘好．（学生跟着一起做）现在同学们请拿出2号纸条出来开始做，同学之间可以互相帮助．这位同学做出来了，说说你是怎么做出来的？

《神奇的莫比乌斯带》课例分析

《神奇的莫比乌斯带》课例分析设计理念数学课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本课是小学数学人教版四年级上册的一节数学活动课，教学中，遵循学生的认知特点，为学生提供大量的观察、猜测、思考、操作、合作、验证、交流、质疑、探索等时间与空间，使学生在自主探索和合作交流中，感受“莫比乌斯带”的神奇，体会数学的思想方法并获得广泛的数学活动经验。教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》（沪科版）八年级上册第101-102页。学情与教材分析莫比乌斯带属于拓扑学内容,它是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的，如果把一张纸条扭转180°后再两头粘接起来，便具有魔术般的性质。因为普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面）。这个年龄段的学生对身边的事物有强烈的好奇心和求知欲，喜欢大胆猜想，有一定的动手能力。因此在这一节课上动手实验，使猜想和实验结果之间产生强烈的对比，感受到数学的神奇，激发学生的兴趣。教学目标：一、知识与技能 1、初步了解通过实验认识事物之间的关系； 2、亲身体验数学发现的过程，增强动手能力；二、过程与方法经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，并从中发现“莫比乌斯带”的奇异性质。三、情感、态度与价值观 1、敢于大胆猜想，能够提出自己的见解； 2、将莫比乌斯圈的奇特作用联系到实际生活中，培养应用意识； 3、在和他人的合作过程中互相学习，取长补短，培养合作精神。教学重点、难点： 1、在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。 2、学生通过思考操作发现并验证“莫比乌斯带”的特征，培养学生大胆猜测、勇于

3论文研究的理论基础

图3.1场所界面的不同演化图示Fig3.1the evolvement of the site interface 图片来源：自绘 3论文研究的理论基础按照论文“提取元素－精炼原型－形态研究－拓扑变化－总结成果”的研究思路，在研究中将会应用如下相关的学科知识和研究方法。 3.1形态学基础从形态学研究的内容来看，形态学包括两个方面的：元素的形式和组合元素的结构。 “形态学（morphology ）产生于古希腊morphology 一词由希腊语morphe （形式）和logos （科学）构成。最初是一门研究人体、动植物的形式和结构的科学，在以后出现的生物学中得到广泛的应用。对于形式和结构的综合研究使形态学同时涉及到艺术与科学两个方面的内容，在漫长的历史发展过程中，通过对其他科学技术的借鉴和自我完善更新，形态学已经成为一门独立的，集数学（几何）、生物、力学、材料和艺术造型的交叉学科，它的研究对象是事物的形式和结构的构成规律……与此同时，在其他科学领域中所出现的新成果又不断使形态学更加完善。比如数学领域中的拓扑几何，射影几何的出现为形态学提供了揭示和描述形式规律的新手段，而新揭示出来的形式及其结构原理在加以物质化之后，又可被应用于其它领域（如建筑创作）中。所以说，形态学是一门既古老又富有强大生命力的应用科学。” ①因此，山地建筑接地形态的研究，也应该包括这两方面的内容。但是，接地形态多种多样，其构成并不是由单一的形式元素与单一的结构规律组成。按照前面章节的观点，接地形态的形成来源于地形改造与建筑应变两个方面。场所界面和建筑界面就是形式，它们之间的复杂组合规律就是结构。场所界面的形成来源于对地形的改造，对地形的改造有三种模式，分别对应于不同的界面元素，如图3.1所示。本文并不是想从已有的地形改造实①摘自刘先觉主编《现代建筑理论》377页。

神奇的莫比乌斯带

神奇的莫比乌斯带一．教学目标 1. 引导学生在对比探究中认识“莫比乌斯带”，并会制作“莫比乌斯带”。 2. 组织学生动手操作，验证交流，体验“猜想—验证—探究”的数学思想方法。 3. 让学生经历猜想与现实的冲突，感受“莫比乌斯带”的神奇变化，培养探究精神。二．教学准备剪刀，水彩笔，长方形纸条三．教学过程 1.魔术引入出示图片——刘谦——用纸条将两个环形针连到一起。活动一：认识“莫比乌斯带”。一、制作圆形纸带。 1.观察：一张普通长方形纸片，它有几条边？几个面？ 2.思考：你能把它变成两条边，两个面吗？ 3.操作：学生动手，取长方形纸条，制作成圆形纸圈。 4.验证：用手摸一摸，感受两条边，两个面。 5.再思考：你能把它的边和面变更少一些，把它变成一条边，一个面吗？二、制作“莫比乌斯带”。 1.操作：学生动手，尝试制作“一条边，一个面”的纸圈。 2.介绍做法，强调：一头不变，另一头扭转180度，两头粘贴。 3.验证： ⑴质疑：这个纸圈真的只有一条边，一个面吗？怎么验证“一条边，一个面”？ ⑵教师指导验证方法，学生动手验证。 ⑶交流验证结果：真的只有一条边，一个面。 ⑷动态展示，加深认识。 ⑸感受：用手摸一摸它的面，感受一下，只有一条边，一个面。 4.小结： ⑴介绍：这个“怪圈”是德国数学家莫比乌斯在1858年研究时发现的，所以人们把它叫做“莫比乌斯带”。 ⑵出示课题：“莫比乌斯带”。

活动二：研究“莫比乌斯带”。一、剪“莫比乌斯带”（二分之一） 1.猜一猜：如果沿着“莫比乌斯带”的中间剪下去，剪的结果会怎样？ ①一分为二成两个圈。②断开成两段。 2.剪一剪：学生动手，沿着“莫比乌斯带”中间剪。验证猜测。 3.交流：沿着纸带中间剪下去，会变成一个两倍长的圈。 4.揭密：为什么没有一分为二变成两个圈？而是变成一个两倍长的圈？ 5.质疑：这个大圈还是“莫比乌斯带”吗？学生动手验证。二、剪“莫比乌斯带”（三分之一） 1.猜一猜：如果我们沿着三等分线剪，剪的结果又会是怎样呢？ ①变成一个大圈。②两个套在一起的圈。 2.剪一剪：取长方形纸片,再做一个“莫比乌斯带”,学生动手，验证猜测。 3.交流：发现变成一个大圈套着一个小圈。 4.揭密：和你的猜测一样吗？为什么会变成一个大圈套着一个小圈？活动三：介绍“莫比乌斯带”在生活中的应用。 1.交流“莫比乌斯带”的理念在生活中的应用。 2.延伸：后来科学家们通过对莫比乌斯带的深入研究，就慢慢形成了一门新的学说——拓扑几何学。活动四：自由剪“莫比乌斯带”。如果不是旋转180度，而是更多的度数，或者沿四分之一，五分之一的宽度剪开“莫比乌斯带”，又会有什么新的发现呢？大家不妨同桌先猜猜，再动手试试，最后验证你们的猜测！活动五：课堂小结。这节课你学到了什么？有什么感受？上了这节课对你今后的学习有什么帮助？四．板书设计神奇的莫比乌斯带 4条边，2个面二分之一一个大圈 2条边，2个面三分之一一个大圈，一个小圈 1条边，1个面四分之一…

小学六年级数学下神奇的莫比乌斯带

北师大版小学数学六年级下神奇的莫比乌斯带教学目标 1、知识技能：让学生认识“神奇的纸环”，会将长方形纸条制成莫比乌斯带。 2、数学思考与问题解决：引导学生通过思考、操作发现并验证“神奇的纸环”的特征，培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。 3、情感态度在魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学精神。重点：“神奇的纸环”的做法及特点。难点：探究“神奇的纸环”的神奇之处。教具准备：剪刀，双面胶，彩笔，长方形纸条。教学设计一、听一听，古代的智慧故事师：今天，我先给同学们讲一个故事！从前有一个小偷，偷了一位很老实的农民的东西，并被当场抓获。人们将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是他在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，在纸条的反面写上农民应当关押。县官将纸条交给执行官，由他去办。师：他这样做合理吗? 执行官想要秉公办事，但又不能更改县太爷的命令。聪明的执行

官想了一个巧妙的办法，救下了农民，关押了小偷。同学们，想知道他用了一个什么巧妙的方法吗？学完这节课之后你们就能知道了。（出示课题）师：这节课我们一起来学习、探讨“神奇的纸环”。师：那么，看了这个课题你又什么想法呢？生1：它是什么样子的？生2:：它有什么神奇的地方？生3：它在生活中有哪些应用啊？师：同学们想知道的还真不少。要知道这些问题，还得从这张小小的纸条开始说起。二、做一做，认识神奇的带子 1、每个同学拿出一根长方形的纸条。汗，这是根普通的纸条，但也是一根神奇的纸条。先说说它有几条边、几个面？（四条边、两个面） 2、同学们能讲它的两头对接起来吗？ 3、小组活动。同学们拿出①好纸条试着做一做。 4、小组同学上台汇报。师：说说你是怎样对接的？生演示。师：这样对接起来的纸条就成了一个圆柱。是这样接的同学把作品举起来。摸一摸看一看，现在它有几条边，几个面？（老师投

神奇的莫比乌斯圈说课稿

《神奇的莫比乌斯圈》说课稿一、说教材【设计理念及意图】新一轮课程改革的一个重要特征是以学生的学习方式作为一个突破口。在灵活多样的学习方式中，新课程提倡和凸显“自主、合作、探究”学习，使学生在玩中学、做中学、思中学、合作中学，亲身经历将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与应用的过程。使学生更好地理解数学、运用数学，获得学习中的乐趣与全面和谐的发展，从而使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维课程目标得以实现。【教学内容及分析】我执教一、说教材【设计理念及意图】新一轮课程改革的一个重要特征是以学生的学习方式作为一个突破口。在灵活多样的学习方式中，新课程提倡和凸显“自主、合作、探究”学习，使学生在玩中学、做中学、思中学、合作中学，亲身经历将实际问题抽象为数学模型，并进行解释与应用的过程。使学生更

好地理解数学、运用数学，获得学习中的乐趣与全面和谐的发展，从而使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维课程目标得以实现。【教学内容及分析】我执教的内容是人教版小学数学四年级上册第四单元数学游戏《神奇的莫比乌斯带》。《莫比乌斯圈》属于《拓扑学》的内容，这个内容对教师来说，不是个好组织的内容，却是一个激发兴趣、激励学生学数学用数学、拓宽数学视野的好题材，也是数学活动课中的典型题材。然而教参中对于这部分知识的教学要求却只有一句话“要求学生理解并学会自己制作莫比乌斯带，体会它的神奇。”因此，我制定了如下教学目标：二、说教学目标及重难点（一）教学目标 1．在动手做中学会将长方形纸条制成一个神奇的莫比乌斯纸圈； 2．在其“魔术般的变化”中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野，进一步激发学习数学的热情； 3．初步领会“观察、猜测、想象、验证”的学习方法。教学重点：学生经历动手操作，主动思考，合作交流的“做数学”的过程，并从中发现“莫比乌斯带”的奇异性质。

《神奇的莫比乌斯带》的说课稿

《神奇的莫比乌斯带》说课稿莫比乌斯带，很多学生没有听说过，甚至也有部分教师也未曾听说过。是的，这是新教材上出现的新内容，我把这课作为校教研活动的公开课，主要是在培养学生勇于猜想、大胆求证的精神，感受数学的无穷魅力，拓展数学视野。进一步激发学生学习数学的兴趣，让学生获得学习成功的体验。上此课之前我知道这种游戏课不好调控，所以事先让孩子学会了做这个圈，但并没有告诉他们这个圈的名字以及有多少个面，有多少条边等知识。我的这堂课的主要教学目标是： 1、引导学生在动手操作中了解认识莫比乌斯带，发现其神奇性。 2、在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，拓展数学视野。 3、进一步激发学生学习数学的浓厚兴趣，让学生获得学习成功的体验。为了完成这个教学目标，我首先采用了同学们喜欢的魔术入手，让学生产生浓厚的学习兴趣，然后再安排了做莫比乌斯带，剪变化无比的莫比乌斯带，然后再进入生活中的莫比乌斯带。剪莫比乌斯带我只安排了沿中线剪和三等分线剪。其实生活中的莫比乌斯带的应用我还准备了一个小故事，就是“莫比乌斯带还会救人” 从前，有一个小偷偷了一位很老实的农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。执事官不想误判此案，但是又不敢得罪县官，你们猜他怎么做？聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起，做成莫比乌斯带。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。在纸条的两面分别写上小偷应当放掉，农民应当关押。我去亲自做了但是与这个有点不怎么像，所以我舍弃了这个小故事的教学。后来时间就显得有点充足了，于是我就让学生自己去发挥想象剪四等分的莫比乌斯带。上完此课之后，我觉得这节课如果作为随堂课是一堂成功的课，但作为公开课还有很多细节做得不好，望在座的各位提出宝贵的意见，让我在教学之路上继续成长。谢谢你们！

神奇的莫比乌斯圈(活动设计)

《神奇的纸环》活动方案活动目标： 1、经历探索莫比乌斯圈神奇特征的过程，了解莫比乌斯圈的特征，学会制作简单的莫比乌斯圈。 2、初步体验和感知“认真观察——大胆猜想——动手实践”的综合实践活动的探究方法，并学会运用方法进一步开展探究活动。活动准备：每位学生4张长方形纸条，剪刀，固体胶（胶带纸）、水彩笔（蜡笔）、直尺。发给学生一个普通纸环，一个莫比乌斯纸环。活动过程：一、创设情境，导入主题智力大挑战请注意，现在是挑战大家智力的时候，老师这里有一道智力难题。同学们的桌面上都放着一个纸环，假如：这纸环的里面和外面都涂上了一圈蜂蜜，一只饥饿的蚂蚁发现了，它想吃到两面所有的蜜，谁能帮助它走出一条路线，前提条件是不能越过纸环的边缘爬到另一面，也不能打洞穿过。大家动手试一试，可以用彩笔代替蚂蚁爬行的轨迹。二、观察发现，激发兴趣你们想知道老师是怎么做到大家没做到的事吗？其实老师对这个环动了一个小小的手脚。观察认识莫比乌斯环大家现在手上都有两个环，一个白色，一个粉色。请大家仔细观察一下，看看这两个环有什么不同。简介莫比乌斯环刚才帮助老师让蚂蚁完成心愿的环就是这个粉色环，它有一个好听的名字叫——莫比乌斯环，因为是由德国数学家莫比乌斯发现而得名。（出示视频）师解说：这种环最大的一个特点就是它只有一个面一条边，从起点出发，经过所有面，最后又回到原点。这也就是蚂蚁在这个环里能吃到所有蜜的原因。我发现大部分同学眼睛都看直了，说明它的神奇确实吸引了你，不要着急，今天我们就一起走进这《神奇的纸环》世界。（出示课题《神奇的纸环》）三、动手实践，探究奥秘 1、制作环。那个莫比乌斯环看起来神奇，其实它做起来很简单。（出示制作过程图片）师解说，两手捏住纸环，一端不动，将另一端扭转180度，反面朝上，再上下对接，用固体胶粘帖起来（提示：粘贴处胶水要涂抹均匀）。会做了吗？有同学点头了，有的还皱着眉头，没关系，你跟着老师再来尝试一下。全体同学学着做一做。 2：探究一条线的莫比乌斯环同学们真是心灵手巧，纸环做得又快又好。但光会做还不够，我们还要进一步来探究，如果再让你拿出一条绿色纸条，沿着纸条在中间画上一条横线，做成莫比乌斯环，然后沿着这条画好的线，把纸环剪开来？会有什么结果发生呢？谁敢来猜一猜？