几何01

1. 大学数学主要学习三维解析几何，其精髓是二次曲面的不变量。

本质上说，这里所学的解析几何和高等代数是同一样东西得不通标书而已。不过教师和教材很少会向初学者揭示两者的具体关系。

2. 如果是基础数学专业的话，还要进一步学习古典微分几何。就是用局部分析的方法研究曲线和曲面的几何性质--特别是曲率。

其精华之处可归结为高斯博奈特公式---“三角形三角之和为180度”只是一个简单特例。

3. 射影几何现在很少开设了。以前是比较热的。射影几何的表演舞台与传统几何背景舞台相比，只是多添了一个无穷远点。

它不关系与度量有关的性质，主要关心共点共线的问题。本质上说，射影几何可以归入代数几何范畴。它所研究的性质本性上都是向量丛的性质（注：向量丛粗略的说，就是一族参考系。）

4. 作为大学选修课，会介绍拓扑学这门课。拓扑基本上是独立学科，但是他和几何之关系实在是太密切了。比如上面说的高斯博奈特公式就是两者关系的一例。

拓扑学分为两类： 1. 点集拓扑2.代数拓扑。

点集拓扑比较容易上手，但最有意义的是代数拓扑。

拓扑学可以说是所有数学之基础，它的思想实在太重要了，有兴趣的人可以看一本科普小册子《拓扑学奇趣》，写的超级精彩！

?2009-8-4 09:12

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?ramanuja

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?11楼

写错字了，第三行“不通标书”改为

“不

同表

述”

?2009-8-4 09:13

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?ramanuja

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12楼

如果大家以为大学几何已经是几何的全部，那就大错特错咯。

其实这只是万里长征第一步，后面的路还远着呢。

进入硕士阶段，研究生首先要学习微分流形这门课。微分流形这门课就是古典微分几何的进一步推广，他考虑更加一般的几何对象。基本上物理中涉及的几何结构都包括在里面了。

其主要精髓，就是内蕴的思想，其代表人物就是天才数学家黎曼。物理中所谓的“物理学定律表达应该和坐标选取无关”这一原理正是反映了这种内蕴的思想。--------------

对物理系的小朋友来说，学习微分流形的基础是必须的。否则就无法真正理解相对论。

现在大家就可以明白，为啥相对论吧总是乌烟瘴

气，因为大多数人连这些基本的几何知识都没学懂，怎么可能深刻理解相对论呢。

?2009-8-4 09:24 ?回复

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?ramanuja

13楼

上面的几何学基础才是微分几何的真正基础。后面还要学很多东西。在此框架下，微分几何又有很多细分。

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?比如进一步深入下去，就要学习黎曼几何--也就是带有度量的几何。（注：度量，粗略说就是你平时理解的长度）。

为了研究物理，你还需要学习辛几何等等。此外还有芬斯勒几何等等。

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如果你有足够兴趣，你还会更往前走一步，开始学习复几何。复几何主要研究复流形。换句话说，就是把我们遇到的实数坐标全部换成复数坐标等等。

你会发现里面充满了奇妙的东西，很多优美的结论都蕴含其中。

复几何中最美妙的大概就是复代数几何了。复代数几何了说白了就是研究系数是复数的多项式方程组的“根”--也叫做零点集。

?2009-8-4 09:32 ?回复

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?ramanuja

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14楼

走到这一步是不是到头了呢？错啦，其实这还是我们走出的很小一步。下面还有许许多多其他的方向供你探索。

为了研究复几何，我们还需要学习所谓的“Hodge理论”。他把分析的东西和几何、拓扑等东西紧密联系起来。与此相关的就是世界七大猜想中最难得一个所谓的“霍奇猜想”。

再接下去，我们就要学到形变等等更为深奥的东西了--都是和物理密切相关，绝对不是数学家自己闹着玩的。

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