2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是

[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是

（ ） A ．(

)f x =B ．()222f x x x =-+

C ．()1f x x x

=+

D ．()1f x x

=

【答案】ABD 【分析】

根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]

,m n ，则()f x 存在“和谐区

间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n

f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，再对各个选项进行运算求解

,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.

【详解】

解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]

,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]

,m n ，

可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n

f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，

A ：(

))0f x x =≥，若(

)(

)f m m

f n n

⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，

所以(

)f x =

“和谐区间”[]0,1；

B ：()()2

22f x x x x R =-+∈，若 ()()2

22222f m m m m

f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩

，解得：12m n =⎧⎨

=⎩， 所以()2

22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；

C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m

f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1

010

m n

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；

若()()11f m m n

m

f n n m

n

⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩

，即 21111m n m m m n n m n ⎧

+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩

，化简得：22

10(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1

f x x x

=+

不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，

单调递减，则 ()()11f m n m

f n m

n ⎧

==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩

， 不妨令122

m n ⎧

=⎪

⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =

存在“和谐区间”1,22⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】

关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.

2．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】AD

【分析】

根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x

x f x e e -=+为偶函数，

当1k =-时，()x

x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．

【详解】

由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e

e -=+为偶函数，

当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t

=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x

x f x e

e -=-为奇函数，

当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t

=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x

x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.

故选:AD ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.

3．已知函数()()23,0

3,0x x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩

，以下结论正确的是（ ）

A ．()f x 在区间[]

4,6上是增函数 B ．()()220204f f -+=

C ．若函数()y f x b =-在(),6-∞上有6个零点()1,2,3,4,5,6i x i =，则6

1

9i

i x

==∑

D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则{}11,13k ⎛

⎫∈-- ⎪⎝⎭

【答案】BCD 【分析】

根据()f x 在[2-，0]上的单调性判断A ，根据(2020)(2)f f =-判断B ，根据图象的对称性判断C ，根据直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点判断D ． 【详解】

解：由题意可知当3x -时，()f x 是以3为周期的函数， 故()f x 在[4，6]上的单调性与()f x 在[2-，0]上的单调性相同， 而当0x <时，239

()()24

f x x =-++，

()f x ∴在[2-，0]上不单调，故A 错误；

又(2020)(2)2f f =-=，故(2)(2020)4f f -+=，故B 正确； 作出()y f x =的函数图象如图所示：

由于()y f x b =-在(,6)-∞上有6个零点，故直线y b =与()y f x =在(,6)-∞上有6个交点，

不妨设1i i x x +<，1i =，2，3，4，5， 由图象可知1x ，2x 关于直线32x =-对称，3

x ，4x 关于直线3

2

x =对称，5x ，6x 关于直线9

2

x =

对称， ∴6

1

33922292

2

2

i i x ==-⨯+⨯+⨯=∑，故C 正确；

若直线1y kx =+经过点(3,0)，则13

k =-，

若直线1y kx =+与23(0)y x x x =--<相切，则消元可得：2(3)10x k x +++=， 令0∆=可得2(3)40k +-=，解得1k =-或5k =-， 当1k =-时，1x =-，当5k =-时，1x =（舍)，故1k =-．

若直线1y kx =+与()y f x =在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k =．

因为方程()1f x kx =+恰有3个实根，故直线1y kx =+与()y f x =的图象有3个交点， 1

13

k ∴-<<-或1k =，故D 正确．

故选：BCD ．

【点睛】

本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题．

4．已知函数1()x x f x e

+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2

()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个

C ．2个

D ．4个

【答案】ABC 【分析】

令()t f x =，画出1

()x x f x e

+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】

()x

x f x e '=-

， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；

当0x >时，0f

x

，故()f x 在0,

上为减函数，

而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：

考虑方程210t mt ++=的解的情况.

24m ∆=-，

当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，

由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2

()()10f x mf x ++=的根的个数是2.

当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==，

由图象可知方程1f x 的解的个数为1，

故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.

当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2

()()10f x mf x ++=的根的个数是0.

当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.

当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】

本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．

5．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x

f x e x =+，下列命题正确的是

（ ）

A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x

f x e x =+

B ．若()()33f x f x --=-，则()()3

2

g x f x e =+

在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]

23,3x ∈-，()()122f x f x -<

D ．若()()3f x f x +=，方程()()2

0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]

3,3x ∈-上有6个不同的根，则

k 的范围为2312

k e e

-

<<- 【答案】BC 【分析】

A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；

B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数

()f x 与直线3

2

y e =-

有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]

3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e

-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】

A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x

f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函

数，所以()()()1x

f x f x e

x -=-=-+，A 错误；

B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x

f x e

x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当

()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e

-=-

，()21

20f e

-=-

<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32

y e

=-有3个交点，即函数()()3

2

g x f x e =+

在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；

C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2

[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当

[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；

D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]

3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2

0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]

3,3x ∈-上有6个不同的根，

因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]

3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()

21

20f e -=-<，所以23

12k e e -<≤-，D 错误. 故选：BC

【点睛】

本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.

6．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数

B ．()f x 在定义域上单调递增

C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >

D ．

()()()()()()()()()()()

()

2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】

利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算

(2)

(21)

f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．

【详解】

令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；

对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则

0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，

∴对于任意x ∈R ，2

()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=

=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，

11111111121n

n n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪

⎝⎭

⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭

个

个，∴11f n ⎛⎫

> ⎪⎝⎭

， 同理()(111)(1)(1)

(1)21n f n f f f f =++

+==>，

对任意正有理数p ，显然有m p n

=

（,m n

是互质的正整数），则

1()1m

m f p f f

n n ⎡

⎤

⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,

p p p 的极限，而()1i f p >，

i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，

设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则

21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；

由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)

2(21)

f n f n =-，

∴

()()()()()()()()()()()

()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】

本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．

7．函数1()

()0()

x f x x ⎧=⎨

⎩为有理数为无理数， 则下列结论正确的是（ ）

A ．()f x 是偶函数

B ．()f x 的值域是{0,1}

C ．方程(())f f x x =的解为1x =

D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =

【答案】ABC 【分析】 逐项分析判断即可. 【详解】

当x -为有理数时，x 也为有理数

∴()1f x -=

当x -为无理数时，x 也为无理数

∴()0f x -= ∴1()

()0()x f x x ⎧-=⎨

⎩

为有理数为无理数

∴()()f x f x -=

()f x ∴是偶函数，A 对；

易知B 对；

1x =时，()((1))11f f f ==

∴C 对

(())()f f x f x =的解为全体有理数

∴D 错

故选：ABC. 【点睛】

本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，难度较大.

8．已知函数1(),f x x x =+

221

()g x x x

=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2

【答案】BC 【分析】

利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】

2211()()f x g x x x x x

+=+

++ ()

22

221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+

+-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；

221(1)()x x x

f x x

g x ⎛

⎫+

⋅+ ⎪⎝

⋅=⎭

()()22221

111()()f x x x x x

g x x x x x ⎛⎫⎛

⎫-+

⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝

⎭-⎝∴-⋅-=⎭

()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；

2211()()224f x g x x x x x +=+

++≥+=，当且仅当1

x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；

221

(1)()x x x

f x x

g x ⎛

⎫+

⋅+ ⎪⎝

⋅=⎭

令1

t x x

=+

()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅=

[]232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得t >

t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增

∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错

故选：BC. 【点睛】

本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.

9．已知函数()22,21

ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨-<≤⎩

，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解

()1212,x x x x <，则

()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-

C ．0

D ．2

【答案】BC 【分析】

利用函数的单调性以及已知条件得到1122

,e ,(1,0]2

m m x x m +-=

=∈-，代入()212)x x f x -（，令12

1(),(1,0]2

x g x xe x x x +=-

+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】

因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122

,e ,(1,0]2

m m x x m +-=

=∈-， 从而()()2

11

212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪

⎝⎭

． 令1

21

(),(1,0]2

x g x xe

x x x +=-+∈-， 则1

()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．

因为(1,0]x ∈-，

所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增．

又5(0)0,(1)2

g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤

∈-

⎥⎝⎦

， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤

- ⎥⎝⎦

， 故选：BC ． 【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数

121

(),(1,0]2

x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.

10．设[]

x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]

y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x =

B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-

C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡

⎤++=⎢⎥⎣

⎦ D ．不等式[][]2

230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥

【答案】BCD 【分析】

通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2

230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】

对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]

22x x ≠，故A 不成立.

对于B ，[][]

x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[

),0,1m Z r ∈∈，

则[]11222x x m r ⎡⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

，[][]222x m r =+， 若102r ≤<

，则102r ⎡⎤

+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣

⎦；

若112r <<，则112r ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣

⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2

230x x --≥可得[]

1x ≤-或[]3

2

x ≥

， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】

本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.

11．已知()()()52

log 1,1

22,1

x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

()1a <的实根

个数可能为（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

【答案】ABC 【分析】

画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令

1

2t x x =+

-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

，判断出实根个数

构成的集合. 【详解】

画出()f x 的图像如图所示，令1

2t x x

=+

-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5

t t =-=

，由()2

221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()2

2201t t --+=≥

，解得92t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或4

05

t <<

或32t <<+合12t x x =+

-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，4

05

t <<

或32t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛

⎫

+

-= ⎪⎝

⎭

有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =

或2t =+0t =有一个1x =与其对

应，22t =+有两个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫

+

-= ⎪⎝

⎭

有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1解，且22t >+，结合1

2t x x

=+

-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时1

2f x a x ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

有2个实数根.

综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-=

⎪⎝⎭

的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC

【点睛】

方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.

12．已知函数()

()2

2

14sin 2

x

x

e x

f x e -=

+，则下列说法正确的是（ ）

A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调

B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增

C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫

-

⎪⎝⎭

上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥

【答案】AD 【分析】

由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，

()

()2

22

11

4sin =2cos 2x

x x

x e x e f x x e e

-+=

+-，

定义域为R ，关于原点对称，

()2211

=2cos()2cos()()x x x x

e e

f x x x f x e e --++---=-=，

()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，

()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；

对B ，1

()2sin x

x f x e x e

'=-

+， 11()2sin()=(2sin )()x x

x x f x e x e x f x e e

--''-=-

+---+=-， ()f x '∴是奇函数，

令1

()2sin x

x

g x e x e =-+， 则1

()+

2cos 2+2cos 0x x

g x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；

对C ，1

()2sin x x f x e x e

'=-

+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又

(0)0f '=，

π,02x ⎛⎫

∴∈- ⎪⎝⎭

时，()0f x '<，

()y f x ∴=在π,02⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上单调递减，故C 错误；

对D ，

()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，

()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.

故选：AD. 【点睛】

用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

13．函数()()1x

f x x R x

=

∈+，以下四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是()1,1- B ．对任意x ∈R ，都有

()()1212

0f x f x x x ->-

C ．若规定()()()()()11,n n f x f x f x f f x +==，则对任意的(),1n x

n N f x n x

*

∈=

+ D ．对任意的[]1,1x ∈-，若函数()2

1

22

f x t at ≤-+

恒成立，则当[]1,1a ∈-时，2t ≤-或2t ≥

【答案】ABC 【分析】

由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C 中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】

由函数解析式可得11,01

()11,01x x f x x x

⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：

∴()f x 的值域是()1,1-，且单调递增即()()1212

0f x f x x x ->-(利用单调性定义结合奇偶性

也可说明)，即有AB 正确； 对于C ，有()11x f x x =

+，若()1

,1(1)n x n N f x n x

*

-∈=+-， ∴当2n ≥时，1

1(1)||

()(())1||1||1(1)||

n n x

x n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n x

n N f x n x

*∈=

+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2

f x f ==

，若函数()2

122f x t at ≤-+恒成立，即有

211

222

t at -+

≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；

0t =时，()0h a 故恒成立；

0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；

综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：

1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.

2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.

3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.

14．设x ∈R ，用[]

x 表示不超过x 的最大整数，则[]

y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ）

A ．()1.10.9f -=

B ．函数()f x 为奇函数

C ．()()11f x f x +=+

D ．函数()f x 的值域为[

)0,1

【答案】AD 【分析】

根据高斯函数的定义逐项检验可得正确的选项. 【详解】

对于A ，()[]

1.11 1.120..9.111f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.9f -=，而()[]1.1-1.1 1.110.11.1f =-==， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误.

对于C ，则()[][]()11111f x x x x x f x +=+-+=+--=，故C 错误.

对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为1， 当01x ≤≤时，则

当0x =时，则()[]

0000f =-=， 当01x <<时，()[]0f x x x x x =-=-=， 当1x =时，()[]11110f x =-=-=，

故当01x ≤≤时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 正确.

故选：AD ． 【点睛】

思路点睛：对于函数的新定义问题，注意根据定义展开讨论性质的讨论，并且注意性质讨论的次序，比如讨论函数值域，可以先讨论函数的奇偶性、周期性．

15．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2a

b +=

C ．223a b +>

D ．01ab <<

【答案】ABD 【分析】

在同一坐标系中分别作出函数2x

y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函

数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫

<

⎪⎝⎭

，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】

由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，

函数2x

y =与2log y x =互为反函数，

在同一坐标系中分别作出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，

则(

),2

a

A a ，()2

,log B b b .

由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，

则2a b +=，22log 2a

b +=.因为0a >，0b >，且a

b ，

所以2

012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭

，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫

=< ⎪⎝⎭

，(1)10f =>，

所以

1

12

a <<. 因为22222

1(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<

⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫

+∈ ⎪⎝⎭

，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】

方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.

16．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅ B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+ C ．

1212

()()

f x f x x x --＞0

D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<

⎪⎝⎭

【答案】BC 【分析】

由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ．

【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()

1212

0f x f x x x -∴->，故C 正确；

对于D ，

()1212,0x x x x >≠

，利用基本不等式知

1122lg 22x x x x f +⎛⎫

> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()

(

)221121lg lg lg 222

f x f x x x x x +=

==+()()12122

2f x f x x x f ++⎛⎫>

⎪⎝⎭

，故D 错误； 故选：BC 【点睛】

关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，

解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即

2

1lg lg 2

x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．

17．设函数2,0()1

2,0

2x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩

，对关于x 的方程2

()()20f x bf x b -+-=，下列说法正确的有（ ）．

A

．当2b =-+1个实根 B ．当3

2

b =

时，方程有5个不等实根 C ．若方程有2个不等实根，则

17

210

b <≤ D ．若方程有6

个不等实根，则322

b -+<< 【答案】BD 【分析】

先作出函数()f x 的图象，进行换元()f x t =，将方程转化成关于t 的二次方程，结合()f x 函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可. 【详解】

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是 [],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是 （ ） A ．( )f x =B ．()222f x x x =-+ C ．()1f x x x =+ D ．()1f x x = 【答案】ABD 【分析】 根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区 间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，再对各个选项进行运算求解 ,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”. 【详解】 解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[] ,m n ， 可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， A ：( ))0f x x =≥，若( )( )f m m f n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩， 所以( )f x = “和谐区间”[]0,1； B ：()()2 22f x x x x R =-+∈，若 ()()2 22222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，解得：12m n =⎧⎨ =⎩， 所以()2 22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2； C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1 010 m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题复习题附解析

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题复习题附解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数1(),f x x x =+2 21()g x x x =+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ?是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ?的最小值为2 【答案】BC 【分析】 利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】 2211()()f x g x x x x x +=+ ++ () 22 221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+ +-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错； 221(1)()x x x f x x g x ? ?+ ?+ ?? ?=? ()()22221 111()()f x x x x x g x x x x x ??? ?-+ ?-+=+?+ ? ? ?-? ?-?∴-?-=? ()()()()f x g x f x g x ∴-?-=? ()()f x g x ∴?是偶函数，B 对； 2211()()224f x g x x x x x +=+ ++≥+=，当且仅当1 x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对； 221 (1)()x x x f x x g x ? ?+ ?+ ?? ?=? 令1 t x x =+ ()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ?-=-?= []232()()f x g x t '∴=-?，令2320t -> ，得t > t <2t ∴≥时，()()f x g x ?单调递增 ∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错 故选：BC. 【点睛】

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题及答案

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题及答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”； 若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由 跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.

甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛ ⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】 去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确； 因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变 化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪ ⎩ ， 当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0, 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x x f x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢ ⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递 增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”； 若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由 跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及答案

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】 根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】 当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-； 当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 依次类推，作出函数() f x的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1 log (1)a a a a ++< D ．12 log (2)1 a a a a +++< + 【答案】ABD 【分析】 对于选项A ：原式等价于 ()() ln 1ln 212 a a a a ++> ++，对于选项C ：1 log (1)a a a a ++< ()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a +⇔< +，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121 a a a a ++< ++，构造函数()ln x f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断； 对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()() () ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔ >+， 等价于()()2 ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2 2a b ab +⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ ，再结合放缩法即可 判断；

2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选题分类精编附答案

2021年高考数学高考数学压轴题 函数的概念与基本初等函数多选 题分类精编附答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =的定义域为[] 1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数 ()1f x +的值域为[]2,3 C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是 ()0,3 D ．已知函数()2 3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数 根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】 根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数 ()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D. 【详解】 对于A, ()y f x =的定义域为[] 1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为 []0,1，故正确； 对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相 同，故错误； 对于C, 函数2 ()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需 (2)0 (1)0g g >⎧⎨ ->⎩ ，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2 3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，

由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或 9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点， 综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确. 故选：ACD 【点睛】 关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2 3f x x x =+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论. 2．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记 ()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --= C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+< 【答案】ABD 【分析】 根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】 由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称

函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案

函数的概念与基本初等函数多选题知识点及练习题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001 12 f x f x =+=- ，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ） A ．0112f x ⎛⎫ + =- ⎪⎝ ⎭ B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫ =- ⎪⎝ ⎭ C ．()f x 的最小正周期为3 D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为 1346个 【答案】AC 【分析】 根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得 052,6 x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6 x k k Z π ωϕπ++=- ∈，两式相减可求出ω，进而求得 周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】 解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫ + =- ⎪⎝⎭ ，所以A 正确； 因为()()001 12 f x f x =+=- ， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05 2,6 k k Z ωϕππ+=- ∈， ()012,6 x k k Z π ωϕπ++=-∈， 两式相减得，23 πω=， 所以23T π ω = =，即B 错误，C 正确； 因为3T =， 所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时， ()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误. 故选:AC . 【点睛】

函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)含答案

函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”； 若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确； 对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由 跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.

河南省信阳市第一高级中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

河南省信阳市第一高级中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当 12,(,0]x x ∈-∞时， ()()2121 0f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒 成立，则a 的可能取值为（ ） A ． B ．1- C ．1 D 【答案】BC 【分析】 由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2 |2||21|ax x <+对 任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】 因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线 0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数. 又12,(,0]x x ∈-∞时， ()()2121 0f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数. 且()() 2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2 |2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成 立， 当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11 |||||||||2|22x a x x x x x +< =+=+， 又因为1||| |2x x +=≥||2 x =时，等号成立， 所以||a <，因此a <<， 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或 ()max 0f x ≤恒成立. 2．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[] y x =称为高斯函数，也叫取整函数. 令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（ ） A ．()1.10.9f -= B ．函数()f x 为奇函数 C ．()()11f x f x +=+ D ．函数()f x 的值域为[)0,1

四川成都树德中学(光华校区)函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

四川成都树德中学（光华校区）函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数222 ,0 ()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若x 1

2021年高考新题型——数学多选题专项练习及解析

一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】 根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】 当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-； 当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f； 依次类推，作出函数() f x的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确； 对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误； 对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确； 对于D ， 取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误； 故选：AC 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．一般地，若函数()f x 的定义域为[] ,a b ，值域为[] ,ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正 确的是（ ） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数()f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】 根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】 对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增 函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确；

新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100及解析

新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100及解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函 数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x = B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->- C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤ ++ =⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2 230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】 通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2 230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】 对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][] 22x x ≠，故A 不成立. 对于B ，[][] x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[ ),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡ ⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，[][]222x m r =+， 若102r ≤< ，则102r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦； 若 112r <<，则112r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2 230x x --≥可得[] 1x ≤-或[]3 2 x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】 本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题. 2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

2021年高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案

2021年高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项 练习含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1 222 a b -<< B ．34a b ==a b ab += C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6- D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是 1 (,2)(2,)4 -+∞ 【答案】ACD 【分析】 由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求 a b ab +；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3 y x x =-有三个交点，即可知2 ()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】 A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1 222 a b -<<； B 选项，34a b ==log a =4log b =121211 2(log 3log 4)2a b ab a b +=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、 121 3 x x =-，即12,x x 为y 两个极值点， 所以22 12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-； D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2 ()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20 k h k ∆=+>⎧⎨ -=-≠⎩，解得1 (,2)(2,)4k ∈-+∞ 故选：ACD 【点睛】 本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100附解析

高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100附解析 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解 123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ） A ．1230x x x ++> B ．6425s t ⋅= C ． 45 t s = D ．144 25 s t += 【答案】CD 【分析】 设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程 ()=f x s 必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】 设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=， 所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=， ①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号； ②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， () f x s ==， 5 4454 x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒= ， 又 ()f x 在(),t +∞上递增，35 4 x t ∴=，即3564516=,4 2545 x s t t s t === ==， 6454144 , 2516525 t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】 本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题. 2．狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数 ()1,0,x Q f x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集）的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化， 从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质、结构”．关于()f x 的性质，下列说法正确的是（ ）

河南省函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

河南省函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案 一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数22 1,0 ()log ,0x kx x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的说 法中，正确的是（ ） A ．当1k >，有1个零点 B ．当2k =-时，有3个零点 C ．当10k >>，有4个零点 D ．当4k =-时，有7个零点 【答案】ABD 【分析】 令0y =得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为()f x t =和()1f t =-，作出函数 ()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】 令0y =，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设()f x t =，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为()1f t =-， 函数2 1y x kx =-+，开口向上，过点()0,1，对称轴为2 k x = 对于A ，当1k >时，作出函数()f x 的图象： ()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12 t = ，由()1 2f x =可知，此时x 只有一 解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有1个零点，故A 正确； 对于B ，当2k =-时，作出函数()f x 的图象：

()1f t =-，此时方程()1f t =-有一个根12 t = ，由()1 2f x =可知，此时x 有3个 解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有3个零点，故B 正确； 对于C ，当10k >>时，图像如A ，故只有1个零点，故C 错误； 对于D ，当4k =-时，作出函数()f x 的图象： ()1f t =-，此时方程()1f t =-有3个根，其中112 t =，2(1,0)t ∈-，3(4,3)t ∈--由 ()1 2 f x = 可知，此时x 有3个解，由()2(1,0)f x t =∈-，此时x 有3个解，由()3(4,3)f x t =∈--，此时x 有1个解，即函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦有7个零点，故D 正 确； 故选：ABD ． 【点睛】 方法点睛：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，属于难题．