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高考数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题

1．设s,t 0>，若满足关于x s 恰有三个不同的实数解

123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（）

A ．1230x x x ++>

B ．6425s t ⋅=

C ．

t s = D ．144

s t +=

【答案】CD 【分析】

设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程

()=f x s

必有一解为0，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】

设()f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，

所以()=f x s ，其中必有一解为0，则()0 f s s ==∴=，

①当0x t ≤≤时，()f x ≤当且仅当0x =时取等号；

②当x t >时，()f x =(),t +∞上递增， ()

f x s ==，

4454

x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=

，

又

()f x 在(),t +∞上递增，35 4

x t ∴=，即3564516=,4

2545

x s t t s t ===

==， 6454144

, 2516525

t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】

本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.

2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]

()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数

B ．对于任意实数a b ，

，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是

34434532⎛⎤⎡⎫

⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭

，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件【答案】BCD 【分析】

取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项．【详解】

解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；

对于B 选项，令[]

a a r =+，[]

(,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)，可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥，则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错

误；

对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]

f x x k ==，可得()f x 的图象，如图所示：

函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，

∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的

点，

由图可知，实数a 的取值范围是][34

43,,45

32⎛⎫⋃

⎪⎝⎭，故C 正确；

对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，

01q ≤<，

[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；

当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]

0y =，此时不满足

()()f x f y =，

故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】

本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；

3．已知21,1,()ln ,

1,x

x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2

[()]()210f x f x k -+-=，下列正

确的是（）

A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；

B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；

C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；

D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解；【答案】ACD 【分析】

令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】

令()0f x t =≥，则关于x 的方程2

[()]()210f x f x k -+-=，

可得2210t t k -+-=，当5

8k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12

t =；当5

k <

时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根；当5

k >

时，()14210k ∆=--<，此时方程无根；

作出()f x 的大致图象，如下：

当5

8k =时，此时12

t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确；当5

k <

时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根，当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确；当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0，此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；

当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，

当5

8k >

时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】

关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.

4．已知函数()2221,0

21,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩

,则下列判断正确的是（）

A ．()f x 为奇函数

B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦

C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=

D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()

()–,04,∞+∞

【答案】CD 【分析】

根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】

对于A 选项，当0x >时，0x -<，则

()

22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-

所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =

所以函数221y x x =

++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)

-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增

即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <

则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误；对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 22

()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+ 则2

()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=

当0x <时，0x ->，则2

()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则2

()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；

对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点当0x ≠时，()()0f x f x x

m x m -=⇔=

令函数()()g x f x x

，函数y m =

由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x

的图象有两个不同的交点

因为()0f x ≥时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <时，(,1x ∈-∞-

所以

2,0

2,12

(

x x

g x

⎧

++>

⎪

-++-≤<

⎨

⎪

--<-

⎩

⎪

当0

x>时，设

x x，()()

()()

1212

11x x x x

g x g x x x

x x x x

-=+--=

因为1212

0,10

x x x x

-<-<，所以()()

g x g x

->，即()()

g x g x

设12

1x x

<<，()()

()()

1212

x x x x

g x g x

x x

-=<，即()()

g x g x

所以函数()

g x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)

+∞上单调递增

同理可证，函数()

g x在区间)

12,0

⎡-

⎣上单调递减，在区间

()

,12

-∞-上单调递增

124

(g++=

函数()

g x图象如下图所示

由图可知，要使得函数y m

=与函数

()

g x

f x

=的图象有两个不同的交点

则实数m的取值范围是()()

–,04,

∞+∞，故D正确；

故选：CD

【点睛】

本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.

5．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，

()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取

值为( ) A ．1 B ．0

C ．1-

D ．2-

【答案】CD 【分析】

先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】

因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=, 所以()f x 为奇函数，

0x ≥时，()x f x e x b =+-，

显然()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，

由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立，可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立，即sin (2sin )x k x +，整理得：(1)sin 2k x k -

当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确；当2k =-时，4

sin 3

x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.

6．下列命题正确的是（）

A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-

B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．

C ．已知函数3

1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫

=++

⎪-⎝⎭

，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭

D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1

()x g x x

，且()f x 与()g x 的图像的交点

为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8

【答案】BD 【分析】

根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定

D 正确，即可求解. 【详解】

对于A 中，幂函数2

()(1)m f x m x

--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，

当0m =时，函数1

()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在

(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；

对于B 中，若函数2

()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，

则满足(0)30f m =<，解得0m <，

所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确；对于C 中，由函数31()sin ln(

)1x f x x x x +=++-，则满足101x

+>-，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<，即至少满足01a <<，所以C 不正确；

对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称，又由11

()x x g x x x

-+--=

=-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.

故选：BD. 【点睛】

本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

7．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=

B ．122x x e e e +>

C ．1221ln ln 0x x x x +<

D ．12x x >

【答案】ABC

【分析】

根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】

函数x

y e =与ln y x =互为反函数，则x

y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，

将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，

由直线2y x =-+分别与函数x

y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，

作出函数图像：

则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，对于A ，由

x x +=，解得122x x +=，故A 正确；对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==，因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；

对于C ，将2y x =-+与x

y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，

设()2x

f x e x =+-，且函数为单调递增函数，

()010210f =+-=-<，11

211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭

，

故函数的零点在10,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭上，即11

x <<

，由122x x +=，则212x <<， 12211221

1ln ln ln ln

x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；

对于D ，由12x x +≥，解得121x x ≤，由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误；故选：ABC 【点睛】

本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.

8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，

()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，

()()2f x x x =--，则（）

A ．()f x 是周期为2的函数

B ．()()201920201f f +=-

C ．()f x 的值域为[-1，1]

D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点【答案】BCD 【分析】

对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是

周期为4的周期函数，可判断A ；

对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，

()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．

对于C ，当(]

x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[

)10

x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．【详解】根据题意，

对于A ，()f x 为R 上的奇函数，

()1f x +为偶函数，

所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，

()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；

当(]

0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，

则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-；故B 正确．

对于C ，当(]

x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[

)10

x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．

故C 正确．对于D ，

(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，

[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，

[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，

()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，

[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，

设()()cos g x f x x =-，

当2

[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，

()22sin g x x x '=-++，

设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，

()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，

且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<，存在00(1,2),()0x g x ∈'=，

0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，

0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，

所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，

当[]24x ∈，

时，，()()2

cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，

则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，

上单调递增，且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，

所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，

，，使得()0g x '=，

所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，

()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，

又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<，又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，

所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，

上有唯一的零点，所以当[]24x ∈，

时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，当[]

46x ∈，

时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，

()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，

所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】

本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.

9．已知正数,,x y z ，满足3412x y z ==，则（） A ．634z x y << B ．

121

x y z

+= C ．4x y z +> D ．24xy z <

【答案】AC 【分析】

令34121x y z m ===>，根据指对互化和换底公式得：

111

log 3log 4log 12m m m x y z

===，，，再依次讨论各选项即可. 【详解】

由题意，可令34121x y z m ===>，由指对互化得：

111

,,log 3log 4log 12

m m m x y z ===，由换底公式得：111log 3,log 4,log 12m m m x y z ===，则有111

x y z

+=，故选项B 错误；对于选项A ，

124

log 12log 9log 03

m m m z x -=-=>，所以2x z >，又4381log 81log 64log 064

m m m x y -=-=>，所以43y x >，所以436y x z >>，故选项A 正确；

对于选项C ､D ，因为

111x y z +=，所以xy z x y

=+，所以()

()

2222

440x y xy x y xy x y z xy x y x y -+--=

<++，

所以24xy z >，则()2

4z x y z +>，则4x y z +>，所以选项C 正确，选项D 错误；

故选：AC. 【点睛】

本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令34121x y z m ===>，进而得111

,,log 3log 4log 12

m m m x y z ===，

再根据题意求解.

10．已知函数4

()n

n f x x x

(n 为正整数)，则下列判断正确的是（） A ．函数()f x 始终为奇函数

B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4

C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4

D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称【答案】BC 【分析】

由已知得()()

()n

f x x x -=-+

-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判

断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则

>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4

()g t t t

，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4

()f x x x

=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.

【详解】

因为函数4()n

n f x x x

=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-，当n 为偶数时，()()

()()n

n n

f x x x f x x x -=-+=+

=-，函数()f x 是偶函数；当n 为奇数时，()4

()n

f x x f x x

-=-+

=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；

当n 为偶数时，>0n x ，所以4()4

n n f x x x =+

≥=，当且仅当4n n x x =时，

即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；

当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t

=+，而4

()g t t t

在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，

上单调递递减，所以4()g t t t =+

在2t =时，取得极小值4

(2)242

g =+=，故C 正确；当1n =时，函数4

()f x x x

上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为

()000P x y ，，

则0000

51121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫

⎪⎝⎭，代入4

()f x x x

不满足，所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确，故选：BC ．【点睛】

本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.

11．已知函数ln ,0()1,0

x x f x x x ⎧>=⎨

+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（）

A ．0

B ．12

C ．1-

D ．13

【答案】BD 【分析】

分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】

画出函数,0,

()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩

的图象：

函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题．对于A ：当0a =时，(())0f f x =，

故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1

=x e

，x e =，故方程(())0f f x a +=有4个不等实根；对于B ：当12a =-时，1(())2

f f x =，故1

()2

f x =-，()f x e =()f x e =，

当1

()2

f x =-

时，由图象可知，有1个根，当()f x e =2个根，当()f x e

时，由图象可知，有3个根，

故方程(())0f f x a +=有6个不等实根；对于C ：当1a =-时，(())1f f x =，故()0f x =，()f x e =，1()f x e

，当()0f x =时，由图象可知，有2个根，当()f x e =时，由图象可知，有2个根，当1

()f x e

时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有7个不等实根；对于D ：当13

a =-时，1(())3

f f x =

，故2()3f x =-，3()f x e =3()f x e ，当2

()3

f x =-时，由图象可知，有1个根，

当3()f x e =时，由图象可知，有2个根，当3

()f x e

时，由图象可知，有3个根，

故方程(())0f f x a +=有6个不等实根；故选：BD ．【点睛】

关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.

12．已知函数22,0

()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩

，以下结论正确的是（）

A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数

B ．(2020)(2021)1f f +=

C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫

∈-- ⎪⎝⎭

D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点(

8,i x i i N ≤∈，则8

16i i x ==∑

【答案】BCD 【分析】

对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程

()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5

个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】

由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，

对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误；

对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则

(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；

对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线

1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知

AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫

∈-- ⎪⎝⎭

，故

C 正确；

对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则

4416i

i x

==⨯=∑，故D 正确.

故选：BCD. 【点睛】

关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利

用数形结合的思想可快捷解决问题.

13．下列结论正确的是（）

A ．函数()y f x =的定义域为[]

1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数

()1f x +的值域为[]2,3

C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是

()0,3

D ．已知函数()2

3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数

根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】

根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数

()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.

【详解】

对于A, ()y f x =的定义域为[]

1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为

[]0,1，故正确；

对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相

同，故错误；

对于C, 函数2

()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需

(2)0

(1)0g g >⎧⎨

->⎩

，解得0<<3a ，故正确；对于D, 作出函数()2

3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，

由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或

9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，

综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.

故选：ACD 【点睛】

关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2

3f x x x

=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.

14．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[]

,m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[]

,m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（） A ．(

)f x =B ．()222f x x x =-+

C ．()1f x x x

D ．()1f x x

【答案】ABD 【分析】

根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]

,m n ，则()f x 存在“和谐区

间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n

f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，再对各个选项进行运算求解

,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.

【详解】

解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[]

,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[]

,m n ，

可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n

f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，

A ：(

))0f x x =≥，若(

)(

)f m m

f n n

⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，

所以(

)f x =

“和谐区间”[]0,1；

B ：()()2

22f x x x x R =-+∈，若 ()()2

2222f m m m m

f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩

，解得：12m n =⎧⎨=⎩，

所以()2

22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；

C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m

f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1

010

m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；

若()()11f m m n

f n n m

⎧

=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩

，即 21111m n m m m n n m n ⎧

+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩

，化简得：22

10(1)m m m m ++=+，即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解；若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立所以()1

f x x x

不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n m

f n m

n ⎧

==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩

，不妨令122

m n ⎧

⎪⎨⎪=⎩，所以()1f x x =

存在“和谐区间”1,22⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

；综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】

关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.

15．已知函数()()

14sin 2

x x

e x

f x e -=

+，则下列说法正确的是（）

A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调

B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增

C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫

⎪⎝⎭

上单调递增

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案

2021年高考数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习附答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是 [],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（） A ．( )f x =B ．()222f x x x =-+ C ．()1f x x x =+ D ．()1f x x = 【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，再对各个选项进行运算求解 ,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”. 【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[] ,m n ，则()f x 存在“和谐区间”[] ,m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m n f n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， A ：( ))0f x x =≥，若( )( )f m m f n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以( )f x = “和谐区间”[]0,1； B ：()()2 22f x x x x R =-+∈，若 ()()2 22222f m m m m f n n n n ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，解得：12m n =⎧⎨ =⎩，所以()2 22f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2； C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m m f n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1 010 m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；

甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

甘肃省武威第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛ ⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪ ⎩ ，当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0, 2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos x x f x x e e -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢ ⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，

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高三数学函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[] ,a b 为()f x 的“跟随区间”.下列结论正确的是（） A ．若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间，则2b = B ．函数()1 1f x x =+ 存在跟随区间 C ．若函数( )f x m =1,04m ⎛⎤ ∈- ⎥⎝⎦ D ．二次函数()2 12 f x x x =-+存在“3倍跟随区间” 【答案】ABCD 【分析】根据“k 倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值范围逐个判断即可. 【详解】对A, 若[] 1,b 为()2 22f x x x =-+的跟随区间,因为()2 22f x x x =-+在区间[] 1,b 为增函数,故其值域为2 1,22b b ⎡⎤-+⎣⎦,根据题意有2 22b b b -+=,解得1b =或2b =,因为1 b >故2b =.故A 正确；对B,因为函数()11f x x =+ 在区间(),0-∞与()0,+∞上均为减函数,故若()1 1f x x =+存在跟随区间[],a b 则有11+11+a b b a ⎧=⎪⎪⎨ ⎪=⎪⎩, 解得：12 12a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ . 故存在, B 正确. 对C, 若函数( )f x m =[] ,a b ,因为( )f x m =,故由跟随区间的定义可知b m a b a m ⎧=-⎪⇒-=⎨ =⎪⎩a b < 即( )()()11a b a b a b -=+-+=-,因为a b <, 1=. 易得01≤ <. 所以(1a m m =-=--, 令t = 20t t m --=, 同理 t =20t t m --=,即20t t m --=在区间[]0,1上有两根不相等的实数根.

新高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习含答案

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2023年高考数学总复习：基本初等函数、函数的概念和性质(附答案解析)

2023年高考数学总复习：基本初等函数、函数的概念和性质一．选择题（共8小题） 1．（2022春•兴庆区校级期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+3）＝f（x），且当时，f（x）＝﹣2x2+1，则f（2021）＝（） A．7B．1C．0D．﹣1 2．（2022春•兴庆区校级期末）若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 3．（2022春•昌平区期末）已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（2﹣x）＝f（2+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝（）A．﹣2B．0C．2D．4 4．（2022•南京模拟）函数f（x ）＝+的最大值为M，最小值为N，则M+N＝（） A．3B．4C．6D．与m值有关5．（2022春•朝阳区期末）已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（） A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1} 6．（2022春•金华期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子” 的关兴，用其名字命名的“高斯函数“：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y ＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[﹣1.3]＝﹣2，[3.4]＝3，已知，则函数y＝[f（x）]的值域为（） A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 7．（2022春•天津期末）已知函数f（x ）满足，函数g （x）＝f（x）﹣f（﹣x）恰有5个零点，则实数a的取值范围为（）第1页（共25页）

新高考数学的函数的概念与基本初等函数多选题含解析

新高考数学的函数的概念与基本初等函数多选题含解析一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数1(),f x x x =+2 21()g x x x =+则下列结论中正确的是（） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2 【答案】BC 【分析】利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】 2211()()f x g x x x x x +=+ ++ () 22 221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+ +-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错； 221(1)()x x x f x x g x ⎛ ⎫+ ⋅+ ⎪⎝ ⋅=⎭ ()()22221 111()()f x x x x x g x x x x x ⎛⎫⎛ ⎫-+ ⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝ ⎭-⎝∴-⋅-=⎭ ()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅ ()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对； 2211()()224f x g x x x x x +=+ ++≥+=，当且仅当1 x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对； 221 (1)()x x x f x x g x ⎛ ⎫+ ⋅+ ⎪⎝ ⋅=⎭ 令1 t x x =+ ()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅= []232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t -> ，得t > t <2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增 ∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错故选：BC. 【点睛】

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函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()()2 2 14sin 2 x x e x f x e -= +，则下列说法正确的是（） A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调 B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增 C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥ 【答案】AD 【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】解：对A ， ()() 2 22 11 4sin =2cos 2x x x x e x e f x x e e -+= +-，定义域为R ，关于原点对称， ()2211 =2cos()2cos()()x x x x e e f x x x f x e e --++---=-=， ()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称， ()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；对B ，1 ()2sin x x f x e x e '=- +， 11()2sin()=(2sin )()x x x x f x e x e x f x e e --''-=- +---+=-， ()f x '∴是奇函数，令1 ()2sin x x g x e x e =-+，则1 ()+ 2cos 2+2cos 0x x g x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；对C ，1 ()2sin x x f x e x e '=- +，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增，又 (0)0f '=， π,02x ⎛⎫ ∴∈- ⎪⎝⎭ 时，()0f x '<，

高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及答案

高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（） A ．x R ∀∈，[][]22x x = B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->- C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤ ++ =⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2 230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2 230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][] 22x x ≠，故A 不成立. 对于B ，[][] x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[ ),0,1m Z r ∈∈，则[]11222x x m r ⎡ ⎤⎡⎤++ =++⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ ，[][]222x m r =+，若102r ≤< ，则102r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦；若 112r <<，则112r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2 230x x --≥可得[] 1x ≤-或[]3 2 x ≥，故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.

新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100及解析

新高中数学函数的概念与基本初等函数多选题100及解析一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（） A ．x R ∀∈，[][]22x x = B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->- C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤ ++ =⎢⎥⎣⎦ D ．不等式[][]2 230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2 230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][] 22x x ≠，故A 不成立. 对于B ，[][] x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+，故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[ ),0,1m Z r ∈∈，则[]11222x x m r ⎡ ⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，[][]222x m r =+，若102r ≤< ，则102r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦；若 112r <<，则112r ⎡⎤ +=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣ ⎦，故C 成立. 对于D ，由不等式[][]2 230x x --≥可得[] 1x ≤-或[]3 2 x ≥，故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题. 2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.

江苏常州市第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

江苏常州市第一中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数() 3 log,09 2sin,917 4 4 x x f x x x ππ ⎧<< ⎪ =⎨⎛⎫ +≤≤ ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，若()()()() f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（） A．1 ab= B．26 c dπ += C．abcd的取值范围是() 153,165 D．+++ a b c d的取值范围是 316 28, 9 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 【答案】ACD 【分析】作出函数() f x的图象，利用对数的运算性质可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】由 3 log2 x≤可得 3 2log2 x -≤≤，解得 1 9 9 x ≤≤. 作出函数() f x的图象如下图所示：由图象可得 1 19111517 9 a b c d <<<<<<<<<，由 33 log log a b =，可得 33 log log a b -=，即() 333 log log log0 a b ab +==，得1 ab=，A选项正确；令() 442 x k k Z πππ π +=+∈，解得() 41 x k k Z =+∈，当() 9,17 x∈时，令94117 k <+<，解得24 k <<，由于k Z ∈，3 k ∴=，

所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫ =+∈ ⎪⎝ ⎭的图象关于直线13x =对称，则点()( ),c f c 、()() ,d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误； ()()()2 2613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a +++=+ +，下面证明函数1 y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则 ()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()121221121212 1x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1 y x x =+ 在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛ ⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭ ，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．下列命题正确的有（） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1 222 a b -<< B ．34a b = =a b ab += C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6- D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是 1 (,2)(2,)4 -+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及答案

高三数学函数的概念与基本初等函数多选题知识点-+典型题及答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数 123,12 ()1 ,2 22 x x f x x f x ⎧--≤≤ ⎪ =⎨⎛⎫ > ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎩ ，则下列说法正确的是（） A．若函数() =- y f x kx有4个零点，则实数k的取值范围为 11 , 246 ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ B．关于x的方程* 1 ()0() 2n f x n N -=∈有24 n+个不同的解 C．对于实数[1,) x∈+∞，不等式2()30 xf x-≤恒成立 D．当1 [2,2](*) n n x n N - ∈∈时，函数() f x的图象与x轴围成的图形的面积为1 【答案】AC 【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断. 【详解】当 3 1 2 x ≤≤时，()22 f x x =-；当 3 2 2 x <≤时，()42 f x x =-；当23 x <≤，则 3 1 22 <≤ x ， 1 ()1 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当34 x <≤，则 3 2 22 <≤ x ， 1 ()2 222 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当46 x <≤，则23 2 <≤ x ， 11 () 2242 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；当68 x <≤，则34 2 <≤ x ， 1 ()1 224 ⎛⎫ ==- ⎪ ⎝⎭ x x f x f；依次类推，作出函数() f x的图像：

对于A ，函数()=-y f x kx 有4个零点，即()y f x =与y kx =有4个交点，如图，直线y kx =的斜率应该在直线m , n 之间，又16m k = ，124=n k ，11,246⎛⎫ ∴∈ ⎪⎝⎭ k ，故A 正确；对于B ，当1n =时，1 ()2 f x = 有3个交点，与246+=n 不符合，故B 错误；对于C ，对于实数[1,)x ∈+∞，不等式2()30xf x -≤恒成立，即3 ()2≤f x x 恒成立，由图知函数()f x 的每一个上顶点都在曲线3 2y x = 上，故3()2≤f x x 恒成立，故C 正确；对于D ，取1n =，[1,2]x ∈，此时函数()f x 的图像与x 轴围成的图形的面积为 11 1122⨯⨯=，故D 错误；故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 2．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1 log (1)a a a a ++< D ．12 log (2)1 a a a a +++< + 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于 ()() ln 1ln 212 a a a a ++> ++，对于选项C ：1 log (1)a a a a ++< ()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a +⇔< +，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121 a a a a ++< ++，构造函数()ln x f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()() () ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔ >+，等价于()()2 ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2 2a b ab +⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ ，再结合放缩法即可判断；

四川成都市第七中学高新校区函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

四川成都市第七中学高新校区函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中 0a c b >>>，下列四个结论中正确有（） A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解 D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解；对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解，所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确；对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确；对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，2 0t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解，所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；

高考数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题含答案

高考数学函数的概念与基本初等函数多选题测试试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．函数 ()() 1 x f x x R x =∈ +，以下四个结论正确的是（） A．() f x的值域是() 1,1 - B．对任意x∈R，都有 ()() 12 12 f x f x x x - > - C．若规定()()()() () 11 , n n f x f x f x f f x + ==，则对任意的() , 1 n x n N f x n x * ∈= + D．对任意的[]1,1 x∈-，若函数()21 2 2 f x t at ≤-+恒成立，则当[]1,1 a∈-时，2 t≤-或2 t≥ 【答案】ABC 【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围. 【详解】由函数解析式可得 1 1,0 1 () 1 1,0 1 x x f x x x ⎧ -≥ ⎪⎪+ =⎨ ⎪-< ⎪- ⎩ ，有如下函数图象： ∴() f x的值域是()1,1-，且单调递增即()() 12 12 f x f x x x - > - (利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB正确；对于C，有() 11 x f x x = +，若 () 1 , 1(1) n x n N f x n x * - ∈= +-，

∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)|| n n x x n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有 (),1n x n N f x n x *∈= +.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2 f x f == ，若函数()2 122f x t at ≤-+恒成立，即有 211 222 t at -+ ≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）； 0t =时，()0h a 故恒成立； 0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛： 1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性. 2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可. 3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围. 2．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记 ()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（） A ．()g x 为奇函数 B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --= C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+< 【答案】ABD 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称

高考数学中“多选题”的类型分析含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1 log (1)a a a a ++< D ．12 log (2)1 a a a a +++< + 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于 ()() ln 1ln 212 a a a a ++> ++，对于选项C ：1 log (1)a a a a ++< ()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a +⇔< +，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121 a a a a ++< ++，构造函数()ln x f x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()() () ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔ >+，等价于()()2 ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式2 2a b ab +⎛⎫≤ ⎪ ⎝⎭ ，再结合放缩法即可判断；【详解】令()ln x f x x = ，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数() ln x f x x =在(),x e ∈+∞上单调递减，对于选项A ：因为2a ≥，所以 21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于 ()() ln 1ln 212 a a a a ++> ++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++> ++，从而可得2 1(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确；对于选项C ：1 log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a +⇔< +，由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 3 43 <，因为 ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 3 23<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a +>+，故选项C 错

高中数学多选题100及答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．已知函数()sin sin x x f x e e =+，以下结论正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 最小值为2 C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫ -- ⎪⎝ ⎭ 上单调递减 D ．()()2 g x f x x π =- 的零点个数为5 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】 ∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01 ,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪ =⎨+<≤⎪⎩ ，当0x π≤≤，()sin 2cos x f x xe '=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()[] 2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()( )sin sin cos x x f x x e e -'=-，则() f x 在3,2x ππ⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递增，在 3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，此时()12,f x e e ⎡ ⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =， B 正确. 因()f x 在,2x ππ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝ ⎭上单调递增，故C 错误. 对于D ，转化为()2 f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3, 2 ππ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ 上单调递增，在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2 2x π <，()2 f x x π= 无实根.()3,x π∈+∞时， ()max 2 62x e f x π >>=，()2 f x x π = 无实根，3, 2x ππ⎡ ⎤ ∈⎢⎥⎣ ⎦ ，显然x π=为方程之根.()sin sin x x f x e e -=+，

天津市静海区2021年高考数学的多选题含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题 1．定义域和值域均为[] ,a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中 0a c b >>>，下列四个结论中正确有（） A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解 C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解 D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD 【分析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论. 【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解；当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解；对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解，所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确；对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确；对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，2 0t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解，所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；