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基本初等函数专项训练(含答案)经典题

一、简答题

1、设．

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求函数的定义域和值域．

2、设函数

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．

3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．

(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；

(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|；

(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．

4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|.

(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．

5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：

P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)

(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；

(2)若第x月的销售量g(x)＝

(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)

6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；

(2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝

＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；

(2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,);

(Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求

证:.

9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．

二、选择题

10、已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，

，，则（）

A． B． C． D．

11、函数是（）

A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数

12、曲线在点处的切线方程为( )

A. B. C. D.

13、函数的单调增区间为

A、R

B、

C、

D、

14、已知，若恒成立，则的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

15、已知函数其中表示不超过的最大整数，

（如,,）.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

16、已知，，，则

A. B. C. D.

17、已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）

A．（）B．（）C．（，12）D．（6，l2）

18、下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数是

A. B.

C. D.

19、已知，，，则

（A ）（B ）（C ）（D）

20、函数的部分图象为（）

21、

A B

C D

21、已知函数的两个极值点分别为，且，，点

表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

22、已知．我们把使乘积为整数的数n叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( )

A．1024 B．2003 C．2026 D．2048

23、若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A,B）是函数的一个“姊妹点对”。点对（A,B）与（B,A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数

，则的“姊妹点对”有（）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

24、函数的图象大致是（）

25、已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

26、已知集合，则( )

27、函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

28、设，则（）

A． B．2 C．3 D．4

29、函数与在同一坐标系中的图像大致是（）

30、设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那么P－Q等于( )

A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1}

C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}

三、填空题

31、设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则

的值为 .

32、已知直线y=kx是y=1n x－3的切线，则k的值为____ ．

33、设函数的图象关于点（1，0）中心对称，则a的值为_______

34、已知函数f(x)＝f(x)＝x的根从小到大构成数列{a n}，则a2 012＝________.

35、已知函数f(x)＝－x ln x＋ax在(0，e)上是增函数，函数g(x)＝|e x－a|＋，当x∈[0，ln 3]时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a＝________.

36、设a＝2 0110.1，b＝，则a，b，c的大小关系是________．

37、函数，则_______________.

38、y＝x2e x的单调递增区间是____ ____ ．

39、已知，，，则集合中元素有个。

40、函数f(x)＝ln x＋的定义域为．

参考答案

一、简答题

1、（1）奇函数；（2）定义域，Z}，值域R．

2、解析：的定义域为．

（Ⅰ）．

当时，；当时，；当时，．从而，

分别在区间，单调增加，在区间单调减少．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．

又．

所以在区间的最大值为．……12分

3、解(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，

又因为－2≤x≤－1，

所以a≥max在x∈[－2，－1]时恒成立，因为≤，

所以a≥.(4分)

(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，

所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)

①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；

②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，

所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；

③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)

(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝

①若a≥－，则x∈[2,4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，

从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；(12分)

②若a＜－，则x∈[2,4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，

当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，

当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.(14分)

③若－≤a＜－，则x∈[2,4]时，

g(x)＝

当x∈[2,1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5；

当x∈[1－2a,4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.

因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，

所以g(x)最小值为4a＋5，

综上所述，

[g(x)]min＝

4、可证w(t)在t∈[15,30]上单调递减，所以当t＝30时，w(t)取最小值为403.(13分)

由于403＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为403万元．(14分)

5、解(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.

当x≥2时，

f(x)＝P(x)－P(x－1)

＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)

＝3x(14－x)．

∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(5分)

(2)设月利润为h(x)，

h(x)＝q(x)·g(x)

∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，

当6＜x＜7时，h′(x)＜0，

∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12 090，(11分)

∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，

∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2 987.

综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．(14分) 6、解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x－ln x，则f′(x)＝2x＋1－，(2分)

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，

即：y＝2x.(6分)

(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝(x＞0)，由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a，(8分)

①当0＜a＜时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1

由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，

所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，(10分) ②当a＝时，f′(x)＝≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0，

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．(11分)

③当＜a＜1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，

所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，(13分) ④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，

所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(16分)

7、解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：当x∈[10,1 000]时，

①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数；

②f(x)≤9恒成立；

③f(x)≤恒成立．(2分)

对于函数模型f(x)＝＋2.

当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，(3分)

f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2＜9.

所以f(x)≤9恒成立．

但x＝10时，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，

故该函数模型不符合公司要求．(6分)

(2)对于函数模型f(x)＝，即f(x)＝10－，

当3a＋20＞0，即a＞－时递增；(8分)

要使f(x)≤9对x∈[10,1 000]恒成立，

即f(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，a≥；(10分)

要使f(x)≤对x∈[10,1 000]恒成立，

即，x2－48x＋15a≥0恒成立，

所以a≥.(12分)

综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328.(14分) 8、解(Ⅰ),,.

∴,且.

解得a=2,b=1.

(Ⅱ),令,

则,令,得x=1(x=-1舍去).

在内,当x∈时,,∴h(x)是增函数;

当x∈时,,∴h(x)是减函数.

则方程在内有两个不等实根的充要条件是

即.

9、解：∵命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增，∴0

∴a＝2或即－2

∵p∨q是真命题，

∴a的取值范围是－2

二、选择题

10、A

11、A

12、B

13、C

14、D

15、B

16、D

17、B

18、C

19、A

20、A

21、B

22、C

23、C

24、D

25、B

26、A

27、D

28、C

29、C

30、B

三、填空题

31、-2

32、

33、14/5

34、2 011

35、

36、a＞b＞c

37、

38、 (－∞，－2)，(0，＋∞)

39、 5

40、

高一数学章节测试题

基本初等函数

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列计算中正确的是

A ．6

33x x x =+ B ．942329)3(b a b a = C ． lg(a+b)=lga·lgb D ．lne=1

2. 已知71=+a a ，则=+-2121a a A. 3 B. 9 C. –3 D. 3± 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. 3x y -=

B. x y 21log =

C. x y =

D. x y )2

1(=

4. 世界人口已超过56亿，若年增长率按千分之一计算，则两年增长的人口就可相当于一个

A ．新加坡（270万）

B ．香港（560万）

C ．瑞士（700万）

D ．上海（1200万）

5. 把函数y=a x (0

（A ）（B ）（C ）（D ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则

A ．22b a >

B ．02<-b a

C ．0)lg(>-b a

D ．b

a ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121 7．（山东）设⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 A ．1，3 B ．1-，1 C ．1-，3 D ．1-，1，3

8．(全国Ⅰ) 设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12

，则a = A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 9. 已知f(x)=|lgx |，则f(41)、f(3

1)、f(2) 大小关系为 A. f(2)> f(31)>f(41) B. f(41)>f(31)>f(2) C. f(2)> f(41)>f(31) D. f(3

1)>f(41)>f(2) 10．(湖南) 函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨

-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

基本初等函数、函数与方程专项练习-2023届高三数学二轮专题复习(含解析)

冲刺2023年高考二轮基本初等函数、函数与方程（原卷+答案） 1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫ 32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨ ⎧ax 2－x －14，x ≤1 log a x －1，x >1 ，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 B ．⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，1 3．若不等式x 2 －log a x <0在⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．116 ≤a <1 B ．1 16

的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的1 5 ，则信息传递速度C 大约增加了( ) (参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213% 6．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．(4，8) C ．(0，8) D ．(0，＋∞) 7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8.