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金融数学课后习题答案

第一章习题答案

1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。

解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:

a(t) =

A(t)

A(0)

t2 + 2t + 3

In = A(n) ? A(n ?1)

= (n2 + 2n + 3) ?((n ?1)2 + 2(n ?1) + 3))

= 2n + 1

2. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <

n); (2)Ir = 2r(0 < r < n).

解:

(1)

I = A(n) ? A(t)

= In + In?1 + ???+ It+1

n(n + 1)

? t(t + 1)

(2)

I = A(n) ? A(t)

Σn

k=t+1

Ik =

Σn

k=t+1

= 2n+1 ?2t+1

3. 已知累积函数的形式为: a(t) = at2 + b 。若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。

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解: 由题意得

a(0) = 1, a(3) =

A(3)

A(0)

= 1.72

? a = 0.08, b = 1

∴A(5) = 100

A(10) = A(0) ? a(10) = A(5) ? a(10)

a(5)

= 100 × 3 = 300.

4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :

(1) A(t) = 100 + 5t; (2) A(t) = 100(1 + 0.1)t. 解：

(1)

i5 =

A(5) ? A(4)

A(4)

120

≈4.17%

i10 =

A(10) ? A(9)

A(9)

145

≈3.45%

(2)

i5 =

A(5) ? A(4)

A(4)

100(1 + 0.1)5 ?100(1 + 0.1)4

100(1 + 0.1)4

= 10%

i10 =

A(10) ? A(9)

A(9)

100(1 + 0.1)10 ?100(1 + 0.1)9

100(1 + 0.1)9

= 10%

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5.设A(4) = 1000, in = 0.01n. 试计算A(7) 。

解:

A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)

= 1000 ×1.05 ×1.06 ×1.07

= 1190.91

6. 试计算500 元经过两年半的累积达到615 元的对应年单利率？另外，500 元以单利率

7.8% 累积多少时间可以达到630 元？

解: 设年单利率为i

500(1 + 2.5i) = 615

解得i = 9.2%

设500 元需要累积t 年

500(1 + t ×7.8%) = 630

解得t = 3 年4 个月

7. 已知单利率为4% ，问：经过多少时间它对应的实利率可以达到2.5% ？

解: 设经过t 年后，年利率达到2.5%

1 + 4% × t = (1 + 2.5%)t

t ≈36.367

8. 已知：(1 + i)5 = X, (1 + i)2 = Y. 求(1 + i)11.

解:

(1 + i)11 = (1 + i)5+2￡3 = XY 3

9. 已知600 元投资两年将产生利息264 元（复利方式），问：2000 元以同样的实利率投资3 年的终值。

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解: 设实利率为i

600[(1 + i)2 ?1] = 264

解得i = 20%

∴A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元

10. 已知：第n 年底的一个货币单位与第2 年底的一个货币单位的现值之和为一个货币单位。计算(1 + i)2n.

解: 设实利率为i

(1 + i)n +

(1 + i)2n = 1

解得(1 + i)?n =

√

5 ?1

所以(1 + i)2n = (

√

5 ?1

)?2

3 +

√

11. 已知：500元经过30年的投资将增为4000元，计算：分别在第20、40和60年底投资10,000元的现值之和。

解:

由500×(1 + i)30 = 4000 ?(1 + i)30 = 8

于是PV =

10000

(1 + i)20 +

10000

(1 + i)40 +

10000

(1 + i)60

= 1000 ×(8?2

3 + 8?4

3 + 8?2)

= 3281.25

12.以同样的实利率，1元经过a年增为2元，2元经过b 年增为3元，3元经过c年增为15元。若已知6元经过n年增为10元。试用a,b和c表示n。

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解:

(1 + i)a = 2 (1)

(1 + i)b =

(2)

(1 + i)c = 5 (3)

(1 + i)n =

(4)

(4) ? n ?ln (1 + i) = ln 5 ?ln 3

(3) ?ln 5 = c ×ln (1 + i)

(1) ×(2) ?ln 3 = (a + b) ?ln (1 + i)

故n = c ?(a + b)

13. 已知资本A在一年内产生的利息量为336，产生的贴现量为300。计算A。

解:

A ? i = 336

A ? d = 300

i ? d = i ? d

? A = 2800

14. 分别在单利率10%和单贴现率10%的条件下，计算d5。

解: (1)

d5 =

a(5) ? a(4)

a(5)

10%

1 + 5 ×10%

= 6.67%

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(2)

a?1(t) = 1 ?0.1t

? a(t) =

1 ?0.1t

? d5 =

a(5) ? a(4)

a(5)

0.5

0.6

0.5

= 16.67%

15. 试用i(3)表示d(4)，用d(12)表示i(6)。

解:

由(1 +

i(3)

)3 = (1 ? d(4)

)(?4)

? d(4) = 4 ?[1 ?(1 +

i(3)

)?3

4 ]

由(1 +

i(6)

)6 = (1 ? d(12)

)(?12)

? i(6) = 6 ?[(1 ? d(12)

)?2 ?1]

16. 在以下两种情况下计算100元在两年底的终值：季结算名利率6%；每四年结算一次的名贴现率为6%。

解: (1) 终值为100 ×(1 + i(4)

4 )4￡2 = 112.65元

(2) 终值为100 ×[(1 ?4d( 1

4 ))

4 ]?2 = 114.71元

17. 已知:i(m) = 0.1844144和d(m) = 0.1802608。计算m。

解: 利用1

d(m)

i(m) = 1

? m = 8

18. 基金A以单利率10%累积，基金B以单贴现率5%累积。计算两个基金的利息

力相等的时刻。

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解:

aA(t) = 1 + 0.1t ?δA(t) =

A(t)

aA(t)

0.1

1 + 0.1t

a?1

A (t) = 1 ?0.05t ?δB(t) = ?(a?1

B (t))0

a?1

B (t)

0.05

1 ?0.05t

由δA(t) = δB(t)得

t = 5

19. 一年期投资的累积函数为二次多项式，前半年的半年名利率为5%，全年的实利率为7%，计算δ0.5。

解: 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1

a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025

a(1) = a + b + 1 = 1.07

a = 0.04

b = 0.03

于是

δ0.5 =

a0(0.5)

a(0.5)

= 0.068

20. 已知：帐户A的累积函数为:1 + t2,帐户B的累积函数为:1 + 2t + t2。计算帐户A的利息力超过帐户B的利息力的时刻。

解: 依题意，δA(t) = 2t

1+t2 , δB(t) = 2

1+t

由δA(t) > δB(t)

?2t

1 + t

2 >

1 + t

? t > 1

21．已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现。

解：d(4) = 8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。

全部采用复利：

(1 ? d)3 = 1 ?8%

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PV = 5000(1 ? d)25 = 4225.25

前两年用复利：

1 ?3d0 = 1 ?8%

PV = 5000(1 ? d)24(1 ? d0) = 4225.46

22．为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。已知季结算名利率6%，计算第3年初投入的金额。(原来的答案有误)

解：i(4) = 6% ，则i = (1 + 6%

4 )4 ?1 = 6.14%

设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程

2000(1 + i)2 + 2000(1 + i) + X = 2000v2 + 5000v8

解得X = 504.67 元

23．在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1〕第5年底支付200元，第10年底支付500元；2〕第5年底一次性支付400.94元。另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为P。试计算P。

解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：

200 + 500v5 = 400.94

解得v5 = 0.40188

所以

P = 100(1 + i)10 + 120(1 + i)5 = 917.762

24．经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？

解：

1000(1 + 6%)t = 2 ×1000(1 + 4%)t

解得：t = 36 年

25．已知年利率为8%，且第n年底和2n年底投入100元的现值之和为100元，计

算n。

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解：列价值方程为

100vn + 100v2n = 100

解得n = 6.25

26．基金A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力δt = t

累积，初始时刻两基

金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻。

解：δt = 1

6 t，得基金B的积累函数为

aB(t) = exp(

∫t

δsds) = exp(

)

欲使aA(t) = aB(t) 则

(1 +

i(12))12t = exp(

)

解得t = 1.4

27.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率。

解： 1000(1 + i)15 = 3000

则i(2) = ((1 + i)

2 ?1) × 2 = 7.46%

28．已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在

第2年底的终值为700元。计算实利率。

解：列价值方程为

300(1 + i)2 + 200(1 + i) + 100 = 700

解得i = 11.96%

29．已知货币的价值以利息力δt = kt积累，在十年内增长了一倍，计算k。(原来的答案有误)

解：δt = kt 则积累函数为

a(t) = exp

∫t

ksds = exp(

t2)

由a(10) = 2 得e50k = 2

解得k = 0.0139

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30．已知一个货币单位的本金以实利率i累积到第三年底的终值再加上第3年底的一个货币单位的资本以实贴现率i 贴现的的现值之和为2.0096，计算i。

解：

(1 + i)3 + (1 ? i)3 = 2.0096

解得i = 0.04

31. 现有实利率为的投资项目。证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之差为。试给出这个结论的实际背景解释。解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息收

入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。

32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：

A）现在付款15元，6个月后付款13.65元

B〕现在一次性付款28元。

如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率。(将原题中的16元改成13.65元，这样结果更加符合实际)

解：设半年实利率为i

0，则有：

15(1 + i

) + 13.65 = 28(1 + i

)

解得: i

= 0.05 故：i = (1 + i

)2 ?1 = 0.1025

33.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年

和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元。在1998年元旦（正常还

款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙。如果甲乙合约的年利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。

解：价值方程：

正常: 1000 = 100(1 + j)?1 + 100(1 + j)?2 + 1000(1 + j)?3

转让: 960 = 100(1 + k)?1 + 1000(1 + k)?2

解得：j = 6.98%, k = 7.4%

从而:j < k

34.如果常数利息力增加一倍，计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数。

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解：和δ等价的年利率i = eδ?1,年利率变化：

e2δ? eδ

eδ?1

= eδ

和δ等价的年贴现率1 ? e?δ= d, 年贴现率变化：

e?δ? e?2δ

1 ? e?δ= e?δ

35．证明：

lim

d!0

δ? d

δ2 = lim

i!0

i ?δ

δ2 =

证：

lim

d!0

δ? d

δ2 = lim

δ!0

δ?1 + e?δ

δ2 = lim

δ!0

1 ? e?δ

2δ

= lim

δ!0

e?δ

lim

i!0

i ?δ

δ2 = lim

δ!0

eδ?δ?1

δ2 = lim

δ!0

eδ?1

2δ

= lim

δ!0

eδ

36.某厂家对零售商提供两种折扣：付现款可低于零售价格30％；6个月后付款，可低于零售价格25％。如果两种方式等价，计算对应的年利率。

解: 设货款为S,半年实利率为i

,则有：0.7S(1 + i

) = 0.75S

解得：1 + i

= 1.0714

故i = (1 + i

)2 ?1 = 14.80%

37．令0 < t < 1，用以下三种方法计算时刻1的1元在时刻的价值：

1)在(t, 1)内单利计算；

2）复利计算；

3）单利方式：先计算它在0时刻的价值然后累积到时刻t。

在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小。

解： 1)单利方式：X1(1 + (1 ? t)i) = 1

2)复利方式：X2(1 + i)1?t = 1

3)单利方式：X3 = (1+ti)

1+i

由Taylor展开易证：(1 + i)1?t > 1 + (1 ? t)i (1 + i)t < 1 + it

故X1 < X2 < X3

38．基金A以年利率6％累积；基金B以年利率8％累积。第10年底两个基金的终值之和为2000元，第10年底基金A为基金B的一半。计算第5年底两个基金的资本之和。(原来的答案有误)

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解：设基金A,B的本金为A,B:

A(1 + 0.06)10 + B(1 + 0.08)10 = 1000

A(1 + 0.0610) = 0.05B(1 + 0.08)10

解得：

A(1 + 0.06)5 = 498.17

B(1 + 0.08)5 = 907.44

从而5年底的累积值和=1405.61

39．已知第一年的实利率i1与第二年的实贴现率d2数值相同，第一年初的1000元在第二年底的终值为1200元。计算i1。

解: 设第二年的实利率i2,由题意：i1 = d2 = i2

1+i2

从而：

1000(1 + i1)(1 + i2) = 1000(

1 + 2i2

1 + i2

)(1 + i2) = 1200

解得：i2 = 0.1，进而i1 = 1

40.甲以名利率i(2) = 10购得1000份100元面额的26周国债。

1)计算价格P；

2)近似推导名利率i(2)的波动对价格P的影响( dP

di(2) )；

3)当名利率波动一个百分点时，近似计算价格P的波动范围。(待查)

解： 1)P = 1000 ×100 ×(1 + i(2)

2 )?1 = 95238.095

2)P = 105

1+i(2)

( dP

di(2) ) = ?2￡105

(2+i(2))2

di(2)

|)|

i(2)=10% = 4.5351 ×104 即波动范围：95238.095 ±453.51

41．对j > 0，证明：

1) f(m) = (1 + j

m)m是m的递增函数;

2) g(m) = m[(1 + j)

m ?1]是m的递减函数。

解： 1) f

(m) = 1

m(1 + j

m)mln(1 + j

m), j > 0,m > 0, f

(m) > 0

2) 令y = ln(1 + j)/m,则原式化为：

ey ?1

ln(1 + j) (j > 0)

由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证。

42.面额100元的26周国债名收益率11.07％。证明：售价在94.767到94.771之间时，均可保持这个收益率。(题意不理解，暂无修改意见)

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第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存

款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。

解：S = 1000s20p7% ￢+ Xs10p7% ￢

X =

50000 ?1000s20p7% ￢

s10p7% ￢= 651.72

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解：设首次付款为X ，则有

10000 = X + 250a48p1.5% ￢

解得X = 1489.36

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i = 1

。试计算该年金的现值。

解：

PV = nan p i ￢

= n

(n + 1)nn2 ? nn+2

(n + 1)n

4．已知：a￢n p = X，a2￢n p = Y。试用X和Y表示d 。

解：a2￢n p = a￢n p + a￢n p (1 ? d)n 则

d = 1 ?(

Y ? X

)

5．已知：a￢7p = 5.58238, a1￢1p = 7.88687, a1￢8p = 10.82760。计算i。解：

a1￢8p = a￢7p + a1￢1p v7

解得i = 6.0%

6.证明： 1

1?v10 = s1￢0p +a1￢p

s1￢0p 。

第1 页

证明：

s1￢0p + a∞￢p

s1￢0p =

(1+i)10?1

i + 1

(1+i)10?1

1 ? v10

7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半

年200元，然后减为每次100元。

解：

PV = 100a8p3% ￢+ 100a20p3% ￢= 2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日

1000¨s25p8% ￢= X¨a15p7% ￢

解得X = 8101.65

9．已知贴现率为10%，计算a¨￢8p 。

解：d = 10%，则i = 1

1?d

?1 = 1

a¨￢8p = (1 + i)

1 ? v8

= 5.6953

10.求证：

(1) a¨￢n p = a￢n p + 1 ? vn；

(2) s¨￢n p = s￢n p ?1 + (1 + i)n

并给出两等式的实际解释。

证明： (1)a¨￢n p = 1?vn

d = 1?vn

1+i

= 1?vn

i + 1 ? vn

所以a¨￢n p = a￢n p + 1 ? vn

(2)s¨￢n p = (1+i)n?1

d = (1+i)n?1

1+i

= (1+i)n?1

i + (1 + i)n ?1

所以a¨￢n p = s￢n p ?1 + (1 + i)n

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12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

PV = 100a49p1.5% ￢?100a2p1.5% ￢= 3256.88

AV = 100s49p1.5% ￢?100s2p1.5% ￢= 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y ，在第11－20年中没有。已知：v10 = 1

，计算Y 。

解：因两种年金价值相等，则有

a30p i ￢+ a10p i ￢ v10 = Y a30p i ￢? Y a10p i ￢ v10

所以Y = 3?v10?2v30

1+v10?2v30 = 1.8

14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。

解：由题意知，

2a2n p i ￢+ 3an p i ￢= 36

2an p i ￢ vn = 6

解得i = 8.33%

15.已知

a￢7p

a1￢1p =

a￢3p + sX￢p

aY￢p + sZ￢p

。求X，Y和Z。

解：由题意得

1 ? v7

1 ? v11 =

(1 + i)X ? v3

(1 + i)Z ? vY

解得

X = 4, Y = 7,Z = 4

16.化简a1￢5p (1 + v15 + v30)。

解：

a1￢5p (1 + v15 + v30) = a4￢5p

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17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

解：年金在4月1日的价值为P = 1+4.5%

4.5%

×2000 = 46444.44 ，则

PV =

(1 + i)2+2

= 41300.657

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。

解：设递延时间为t，有

P =

解得t = ?ln iP

ln(1+i)

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。

解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

1000¨a20p i ￢=

v29

解得X = 1000((1 + i)30 ?(1 + i)10)

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1 + i)n 。

解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值

为i

3an p i ￢，而D得到遗产的现值为vn。由题意得

1 ? vn

= vn

所以(1 + i)n = 4

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二

个n年，C接受第三个n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。

第4 页

解：由题意知

PVC

PVA

a￢n p v2n

a￢n p = 0.49

那么

PVB

PVD

a￢n p vn

i v3n

= 0.61

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

解：

100an p4.5% ￢ v4 < 1000

100an+1p4.5% ￢ v4 > 1000

解得n = 17

列价值方程

100a16p4.5% ￢+ Xv21 = 1000

解得X = 146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

解：两年金现值相等，则4 × a36p i ￢= 5 ×18，可知v18 = 0.25

由题意，(1 + i)n = 2 解得n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一

次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。

解：由题意可得方程

100a60p1% ￢= 6000(1 + i)?k

解得k = 29

25.已知a2p i ￢= 1.75，求i。

解：由题意得

1 ? v

2 = 1.75i

解得i = 9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。

解：

第5 页

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支

取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，

且第十年底的余额为一万元，计算K 。

解：由题意可得价值方程

10000 = 105Ka2p4% ￢ v3 + Ka2p4% ￢+ 10000v10

则K = 10000?10000v10

105a2p4%

￢ v3+a2p4%

￢ v5 = 979.94

28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，

前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。

解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程

P(1 + i)

2 = X + 2Xa4p i ￢+ 2Xa5p j ￢(1 + i)?4

所以

X =

P(1 + i)

1 + 2a4p i ￢+ 2a5p j ￢(1 + i)?4

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付

款2000元，共计8次。

解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知

年利率为12%。（缺命令）

解：

PV = 4 ×400 + 4 ×600v5 = 11466.14

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现

值表达式。

解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：

PV =

s4p i ￢ a24p i ￢ v3 =

(1 + i)24 ?1

(1 + i)27[(1 + i)4 ?1]

a2￢8p ? a￢4p

s￢3p + s￢1p

第___________6 页

33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解：设年实利率为i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得

750

s20p i ￢ i

= Ra30p i ￢

解得R = 1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

解：由题意知

is3p i ￢=

125

解得i = 20%

35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。

解：由题意得

20 =

a2p i ￢ i

解得R = 1.95

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。

解：设贴现率为d，则1 +

i(2)

北大版金融数学引论第二章答案

版权所有，翻版必究 ~ 第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解： S = 1000s 20 ?p 7%+Xs 10 ?p 7% X = 50000 ? 1000s 20 ?p 7% s 10 ?p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48 ?% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。解： P V = na?n pi 1 ? v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 ? n n +2 (n + 1)n 4．已知：a?n p = X ，a 2 ?n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。解： a 2 ?n p = a?n p + a?n p (1 ? d)n 则 Y ? X d = 1 ? ( X ) 5．已知：a?7 p = , a 11 ?p = , a 18 ?p = 。计算i 。解： a 18 ?p = a?7 p + a 11 ?p v 7 解得 6.证明： 1 1?v =

s i = % ?+a?。 s? 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

版权所有，翻版必究证明： s 10 ?p + a ∞?p (1+i)?1+1 1 s 10 ?p = i (1+i)?1 i i = 1 ? v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： P V = 100a?8p3% + 100a 20?p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25?p8%=X¨15?p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨?8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨?n p = a?n p + 1 ? v n ； 1?d ? 1 =1 9 ¨?= (1 + i) 1 ? v 8 i = (2) ¨?n p = s? ?n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。证明： (1)¨?n p =1?d v =1 ?v =1 ?v i + 1 ? v n 所以 (2)¨?n p = (1+ i)?1 ¨?n p = a?n p + 1 ? v n (1+i )?1=(1+i)?1 n ? 1

金融数学附答案

金融数学附答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。（2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系}

解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N （）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页）

北大版金融数学引论第二章答案,DOC

版权所有，翻版必究第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解： S=1000s20?p7%+Xs10?p7% X= 50000?1000s20?p 7% s10?p7% =651.72 4年。 6.证明：1 1?v10=10?p+a∞?p 。 s 10 ?p 北京大学数学科学学院金融数学系第1页

版权所有，翻版必究证明： s 10 ?p +a ∞?p (1+i)10 ?1+1 1 s 10?p = i (1+i)10 ?1 i i = 1?v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： PV =100a?8p3% +100a 20?p 3% =2189.716 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， ¨?n p =s??n p 1+(1+i) n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解： PV =100a49?p1.5% ?100a?2p1.5% =3256.88 AV =100s49?p1.5% ?100s?2p1.5% =6959.37 13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金 36；另

金融数学第一章练习试题详解

金融数学第一章练习题详解第 1 章利息度量 1.1 现在投资$600，以单利计息，2 年后可以获得$150 的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在 3 年后的累积值。 65.2847%)5.121(2000% 5.1215026003=+=?=?i i 1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和，等于在第 T 月末支付 1004 元的现值。年实际利率为 5% 。求 T 。 58 .1411205.1ln /562352.0ln 562352.0ln 05.1ln 12 562352.01004/)05.127105.1314(05.105.1%)51()1(271314100412/1812/112/12 /1812/112/=?-==-=?+?==+=+=+=------T T i v v v v T t t t t T 两边取对数，其中 1.3 在零时刻，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求 i 。 094588 .02)12(2)2 1(2 )21()21()21())2 1()21((2 12:))21()21((:215/11515151615161516=?-==+?+=+-+==+-+=??+-+i i i i i i i Xi i i X Xi i X B i i X A i A 两边取对数，的半年实际利率为 1.4 一项投资以 δ 的利息力累积，27.72 年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率 δ 累积 n 年，累积值将成为 7.04。求 n 。 () 80 2)05.1ln /04.7(ln 04 .7)21025 .072.27/2ln 2 )1()(1ln 2/5.072.27=?==+=====+=+=n i e e i t a i n t t δδ δδδδ（

金融数学试卷及答案

一、填空（每空4分，共20分） 1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品的价格_______________________________。（利用博弈论方法) 2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%，则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法） 3．对冲就是卖出________________，同时买进_______________。 4．Black-Scholes 公式_________________________________________________。 5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里.1,30.0,05.0,40,500=====T r X s σ 因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司的股票。（参考8643.0)100.1(,8554.0)060.1(==N N ） 1．（15分）假设股票价格模型参数是：.120,8.0,7.10===S d u 一个欧式看涨期权到期时间,3=t 执行价格,115=X 利率06.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10====p S d u 一个美式看跌期权到期时间,3=t 执行价格,105=X 利率05.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50=X 元，.06.0=r 求0=t 时刻看涨期权的价格。 4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值,4.0=σ指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？（参考

金融数学附答案定稿版

金融数学附答案精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 0.55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。（2）假设以公平市场价格+0.10美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少（3）答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 406005--=--= ?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元

2、假定 S0 = 100，u=1.1，d=0.9，执行价格X=105，利率r=0.05，p=0.85，期权到期时间t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为0.318. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N（0.506)=0.7123；N（0.731）=0.7673 】{提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系} 解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（-0.506），N（d2）=N（-0.731）。给出最后结果为0.608 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=0.4，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（ N（-0.071922）=0.4721，N(-0.2271922）=0.3936 e-0.07*0.25=0.98265 解：F=715，T-t=0.25,σ=0.4,X=740,r=0.07 F/X=715/740=0.9622，σ(T-t)=0.4*0.5=0.2 d1=ln(0.9662)/0.2+0.2/2=-0.071922 d2=d1-0.2=-0.071922

金融数学(利息理论)复习题练习题

1. 某人借款1000元，年复利率为9%，他准备利用该资金购买一张3年期，面值为1000元的国库券，每年末按息票率为8%支付利息，第三年末除支付80元利息外同时偿付1000元的债券面值，如果该债券发行价为900元，请问他做这项投资是否合适 2. 已知：1） 16 565111-++=+))(()()()(i i m i m 求?=m 2） 1 65 65111--- =- ))(()()()(d d m d m 求?=m 由于i n n i m m i n m +=+=+111)()() ()( 由于d n n d m m d n m -=-=- 111)()() ()( 3. 假设银行的年贷款利率12%，某人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款。银行对借款人的还款方式有两种方案：一、要求借款人在年末还本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末还本。试分析两种还款方式有何区别哪一种方案对借款人有利 4. 设1>m ，按从小到大的顺序排列δ,,,,)() (m m d d i i 解：由 d i d i ?=- ? d i > )()(m m d d >+1 ? )(m d d < )()(n m d i > ? )()(m m i d < )()(m m i i <+1 ? i i m <)( δδ+>=+11e i ， δ==∞ →∞ →)()(lim lim m m m m d i ? i i d d m m <<<<)()(δ 5. 两项基金X,Y 以相同的金额开始，且有：（1）基金X 以利息强度5%计息；（2）基金Y 以每半年计息一次的名义利率j 计算；（3）第8年末，基金X 中的金额是基金Y 中的金额的倍。求j.

金融数学附答案

1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。（2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间 t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系}

解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N（）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页）

金融数学附答案

金融数学附答案 Prepared on 24 November 2020

1、给定股票价格的二项模型，在下述情况下卖出看涨期权 S 0 S u S d X r τ 股数 50 60 40 55 1/2 1000 （1）求看涨期权的公平市场价格。（2）假设以公平市场价格+美元卖出1000股期权，需要买入多少股股票进行套期保值，无风险利润是多少答案：（1）d u d r S S S e S q --=τ0=56.040 6040505.005.0=--??e （2）83.2>73.2，τr e S V -?+?='00 83.2> τr e S -?+?'0 40 6005--=--=?d u S S D U =25.0股 104025.00'-=?-=?-=?d S D 753.9975.0105.005.0'-=?-=??-e 美元则投资者卖空1000份看涨期权，卖空250股股票，借入9753美元所以无风险利润为1.85835.005.0=?e 美元 2、假定 S 0 = 100，u=，d=，执行价格X=105，利率r=，p=，期权到期时间 t=3，请用连锁法则方法求出在t=0时该期权的价格。(答案见课本46页) 3、一只股票当前价格为30元，六个月期国债的年利率为3%，一投资者购买一份执行价格为35元的六个月后到期的美式看涨期权，假设六个月内股票不派发红利。波动率σ为. 问题：（1）、他要支付多少的期权费【参考N （=；N （）= 】 {提示：考虑判断在不派发红利情况下，利用美式看涨期权和欧式看涨期权的关系}

解析：在不派发红利情况下，美式看涨期权等同于欧式看涨期权！所以利用Ｂ—Ｓ公式，就可轻易解出来这个题！同学们注意啦，N（d1）=N（），N（d2）=N（）。给出最后结果为 4、若股票指数点位是702，其波动率估计值σ=，指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格计算，期货合约的价格是715美元。关于期货的看涨期权时间与期货相同，执行价是740美元，短期利率位7%，问这一期权的理论价格是多少（N（）=，N）= *= 解：F=715，T-t=,σ=,X=740,r= F/X=715/740=，σ(T-t)=*= d1=ln/+2= d2== G=**740) =美元 5、根据看涨期权bs定价公式证明德尔塔等于N（d1）（答案见课本122页）

北大版金融数学引论答案

北大版金融数学引论答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

解： S = 1000s 20p 7% + Xs 10p 7% X = 50000 1000s 20p 7% s 10 p7% = 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 10000 = X + 250a 48% 解得 X = 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i =1 。试计算该年金的现值。解： P V = na n pi 1 v n n = n 1 n = (n + 1)n n 2 n n +2 (n + 1)n 4．已知：a n p = X ，a 2n p = Y 。试用X 和Y 表示d 。解： a 2n p = a n p + a n p (1 d)n 则 Y X d = 1 ( X ) 5．已知：a 7 p = , a 11p = , a 18p = 。计算i 。解： a 18p = a 7 p + a 11p v 7 解得 6.证明： 1 1v = s +a 。 s i = %北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

版权所有，翻版必究证明： s 10p + a ∞p (1+i)1+1 1 s 10p = i (1+i)1 i i = 1 v 10 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： P V = 100a 8p3% + 100a 20p 3% = 8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日 1000¨25p8%= X¨15p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨8 p 。 X = 解： d = 10%，则 i =1 10.求证： (1) ¨n p = a n p + 1 v n ； 1d 1 =1 9 ¨8 p = (1 + i) 1 v 8 i = (2) ¨n p = s n p 1 + (1 + i)n 并给出两等式的实际解释。证明： (1)¨n p =1 d v =1 v =1 v i + 1 v n 所以 (2)¨n p =(1+ i)1 ¨n p = a n p + 1 v n (1+i )1=(1+i)1 n 1 d = i + (1 + i) 所以 ¨n p = s n p 1 + (1 + i) n

金融数学练习题详解

金融数学第一章练习题详解第1章利息度量 1.1 现在投资$600，以单利计息，2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在3年后的累积值。 1.2 在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和，等于在第T月末支付1004元的现值。年实际利率为5%。求T。 1.3 在零时刻，投资者A在其账户存入X，按每半年复利一次的年名义利率i计息。同时，投资者Ｂ在另一个账户存入2X，按利率i （单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月中将得到相等的利息，求i。 1.4 一项投资以δ的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n年，累积值将成为7.04。求n。 1.5 如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一次，试确定$100在两年末的累积值。 1.6 如果)(m i=0.1844144，)(m d=0.1802608，试确定m。 1.7 基金A以每月复利一次的名义利率12%累积。基金B以 =t/6 t 的利息力累积。在零时刻，分别存入1到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。

1.8 基金A 以t δ=a+bt 的利息力累积。基金B 以t δ=g+ht 的利息力累积。基金A 与基金B 在零时刻和n 时刻相等。已知a>g>0，h>b>0。求n 。 1.9 在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率?支付利息。从t=2开始，利息按照t t +=11δ的利息力支付。在t=5时，存款的累积值为260。求δ。 1.10在基金A 中，资金1的累积函数为t+1，t>0；在基金B 中，资金1的累积函数为1+t 2。请问在何时，两笔资金的利息力相等。 1.11已知利息力为t t +=12δ。第三年末支付300元的现值与在第六年末支付600元的现值之和，等于第二年末支付200元的现值与在第五年末支付X 元的现值。求X 。 82 .315))51/(())21(200-)61(600)31(300() 5()2(200)6(600)3(300)1()()1()(22-2211112 12)1ln(212 0=++?+?++?=??+?=?+?+=?+==?=---------++X a X a a a t t a t e e t a t dt t t 1.12已知利息力为1003t t =δ。请求)3(1-a 。 1.13资金A 以10%的单利累积，资金B 以5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的利息力相等。 1.14某基金的累积函数为二次多项式，如果向该基金投资1年，在上半年的名义利率为5%（每半年复利一次），全年的实际利率为7%，试确定5.0δ。

数学《金融数学》期末试卷A参考答案与评分标准

浙江外国语学院 2013～2014学年第一学期期末考试（参考答案及评分标准）课程名称金融数学课程编号3040702003试卷类型A 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C B D A A 二．填空题（本大题共10小题，每小题 3分，共30分.） 1. 已知总量函数为2 ()33A t t t =++，则利息4I = 10 。 2. 已知1000元存入银行，在两年后可以得到1100元，银行按季进行结算，则季挂牌名利率为 4.79% 。 3. 设有2年期2000元的贷款，月换算名利率为6%，如果按等额摊还方式在每月底还款，则每次的还款金额为 88.64 元。 4. 已知标准永久期初年金的现值是26，则利率i = 4% 。 5. 某投资者第1年初投资3000元，第2年初投资2000元，而第2年至第4年末均回收4000元。则利率为9%时的现金流现值为 4454.29 元。 6. 如果现在投资300元，第二年末投资100元，则在第四年末将积累到500元，则实际利率为 6.54% . 7. 设有1000元贷款，每季度还款100元，已知季挂牌名利率为16%，则第4 次还款中本金有 67.49 元。 8. 设有1000元贷款，月换算挂牌利率为12%，期限一年，按偿债基金方式还款，累积月实利率0.5%，则第4次还款中利息有 10 元。 9. 现有2年期面值为100元的债券，每半年付息一次，名息率8%，如果以名收益率10%认购，则认购价格为 96.45 元。 10. 现有3年期面值为1000元的无息票债券，如果认购价格为850元，则收益率为 5.57% 。三．计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.） 1. 现有某商品两种等价的付款方式：(1)按低于零售价10%的价格付现款;(2)在半年和一年后按零售价的48%分别付款两次，求隐含的年利率。

金融数学引论答案第二章北京大学出版[1]

第二章习题答案 1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。解：20|7%10|7% 50000100020|7%10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+== 2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X ，则有 48|1.5%1000250X a =+ 解得X = 1489.36 3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1 。试计算该年金的现值。解： 22 |1( 1)1( 1)n n n n i n v n n n PV na n n n +-+-===+ 4．解： ]]]2(1)n n n n a a a d =+-则1 1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。计算i 。解： ]]]718711a a a v =+解得i = 6.0% 6.证明：]]] 10101 110s a v s ∞+=- 证明： ]]]10101010 10(1)111(1)11i s a i i i s v i ∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解： 8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，

上传版--金融数学期末考试A卷(统计)

金融学院《金融数学》课程期末考试试卷（A）卷学院、专业、班级学号姓名一、填空题（每小题4分，共20分） 1.如果现在投资2，第二年末投资1，则在第四年末将积累5，则实际利率等于； 2.某年金每年初付款1000元，共8年，各付款利率为8%，各付款所得利息的再投资利率为6%。则第8年末的年金积累值为元； 3.甲在银行存入2万元，计划分4年支取完，每半年末支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，则每次支取的额度为元； 4.有一期末变化年金，其付款额从10开始，每年增加5，直到50，若利率为6%，求该变化年金的现值为； 5.某人的活期账户年初余额为1000元，其在4月底存入500元，又在6月底和8月底分别提取200元和100元，到年底账户余额为1236元．用资本加权法近似计算该账户的年利率为．二、选择题（每小题5分，共30分） 1. 某人于2002年1月1日向某企业投资20万元，希望从2007年至2011年中每年1月1日以相等的金额收回资金。若年复利率为8%，则其每年应收回的资金为（）元。 A.63100.59 B.68148.64 C.73600.53 D.79488.57 2.某人在第1年、第2年初各投资1000元到某基金，第1年末积累额为1200元，第2年末积累额为2200元。根据时间加权法计算年收益率为（） A.10.5% B.9.5% C.8.5% D.7.5% 3.某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定金额建立基金，用于从第10年末开始每年2000元的永久资励支出。假设存款年利率为12%，则每年需要存入的金额为（）元。 A.847.98 B.851.98 C.855.98 D.861.98 4.现有1000元贷款通过每季度还款100元偿还，且已知季换算挂牌利率为16%．计算第4次还款中的本金量为（）元。 A. 62.49 B.57.49 C.52.49 D.67.49 5.设每季度计算一次的年名义贴现率为12%，则5年后积累值为20000元的投资在开始时的本金为（）元。 A.10774.9 B.10875.9 C.10976.9 D.11077.9 6. 某人将收到一项年金支付，该年金一共有5次支付，每次支付100元，每3年支付一次，第一次支付发生在第7年末，假设年实际利率为5%，则该年金的现值为（）元。A．234 B.256 C. 268 D. 298 三、解答题（每小题10分，共50分） 1.李某每年年初存入银行1000元，前4年的年利率为6%，后6年由于通货膨胀率的提高，年利率升到10%。求第10年末时的存款积累值。 2. 某人继承了一笔遗产：从现在开始每年得到10000元．该继承人以年利率10%将每年的遗产收入存入银行．第5年底，在领取第6次遗产收入之前，他将剩余的遗产领取权益转卖给他人，然后，将所得的转卖收入与前5年的储蓄收入合并，全部用于年收益率为12%的某种投资．若每年底的投资回报是相同的，且总计30年，试计算每年底的回报金额。 3.年初建立一项投资基金，1月1日初始存款为10万元；5月1日基金账户价值为11.2万，再增加3万元的投资；11月1日账户价值为12.5万元，取出 4.2万；第二年1月1日投资基金价值变为10万元。分别用资本加权法和时间加权法计算基金投资收益率。 4. 某贷款的还贷方式为：前5年每半年还2000元，后5年每半年还1000元．如果半年换算的挂牌利率为10%，分别用预期法和追溯法计算第6次还贷后的贷款余额． 5. 某保险受益人以年金形式从保险公司分期领取10万元死亡保险金，每年末领取一次，共领取25年，年利率为3%，在领取10年后，考虑未来通货膨胀，保险公司决定通过调整利率至5%来增加后面15年的受益人的年领取额，求后15年里受益人每年可领取的金额。

金融数学试卷及答案

一、填空（每空4分，共20分） 1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。则t=0时的衍生产品的价格_______________________________。（利用博弈论方法) 2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%，则执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。（利用资产组合复制方法） 3．对冲就是卖出________________，同时买进_______________。 4．Black-Scholes 公式_________________________________________________。 5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里.1,30.0,05.0,40,500=====T r X s σ 因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购买___________股此公司的股票。（参考8643.0)100.1(,8554.0)060.1(==N N ）二、计算题 1．（15分）假设股票价格模型参数是：.120,8.0,7.10===S d u 一个欧式看涨期权到期时间,3=t 执行价格,115=X 利率06.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10====p S d u 一个美式看跌期权到期时间,3=t 执行价格,105=X 利率05.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50=X 元，.06.0=r 求0=t 时刻看涨期权的价格。

金融数学试卷及答案讲课稿

金融数学试卷及答案

2．（15分）假设股票价格模型参数是：85.0.100,9.0,1.10====p S d u 一个美式看跌期权到期时间,3=t 执行价格,105=X 利率05.0=r 。请用连锁法则方法求出在0=t 时刻期权的价格。 3.（10分）利用如下图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，50=X 元，.06.0=r 求0=t 时刻看涨期权的价格。 4.（15分）若股票指数点位是702，其波动率估计值,4.0=σ指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。若执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？（参考 ,5279.0)071922.0(,4721.0)071922.0(==-N N 3936.0)271922.0(=-N ，6064.0)271922.0(=N ） 5.（15分）根据已知条件1,05.0,1414.0,40,43=====T r X S σ年，求出期权的价格C （由 Black-Scholes 公式），?，Γ和Θ。3周后，若股票价格44=S ，则根据看涨期权的微分方程

教学大纲_金融数学

《金融数学》教学大纲课程编号：121333B 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 ?专业必修课□专业选修课 □学科基础课总学时：48讲课学时：32实验（上机）学时：16 学分：3 适用对象：金融数学先修课程：数学分析、概率论、数理统计、金融学一、课程的教学目标本课程为统计学院金融数学本科专业的专业选修课。设置本课程的目的是为了使学生掌握有关利息和利率的基本计算、年金终值和现值的计算、投资收益率分析、债务偿还方法等定量基础知识，能够运用上述理论知识进行固定收益证券定价、利率期限结构分析、利率风险分析和期权定价，并了解金融领域的随机分析原理。通过教学，使学生初步掌握金融领域的数量分析工具和应用方式，为后续的证券投资分析、风险理论分析等与金融分析相关的课程打下扎实的基础。二、教学基本要求（一）教学内容讲授要求本课程主要内容包括：（1）利息基本计算：利息基本函数、利息基本计算；（2）年金：标准年金、一般年金；（3）投资收益分析：基本投资分析、收益率计算、资本预算；（4）债务偿还：摊还法、偿债基金；（5）固定收益证券的定价；（6）实际应用：住房贷款分析、固定资产折旧分析、资本化成本分析；（7）

利率风险；（8）利率期限结构；（9）期权的二叉树定价；（10）随机利率模型。其中（1）（2）（3）（4）（5）五部分内容为本课程的基础知识部分，需要细讲精讲，这五部分内容涉及到较多概念，讲授过程中需通过大量的例题讲解练习，使学生充分理解并掌握各种概念的相关性和差异性，能够熟练地运用这些概念进行相关计算。（6）（7）（8）（9）（10）五部分内容为金融数学基础知识的相关应用，目的在于训练学生对所学知识的综合应用能力，其中固定收益证券定价、利率风险和期权的二叉树定价是重点，需要在精讲的基础上结合实际的金融产品进行应用训练，实际应用、利率期限结构和随机利率可根据教学进度和学生掌握情况进行选讲。（二）教学方法和教学手段本课程教学目标为通过本课程的学习，要求学生能够运用基本的数学方法和金融知识对金融产品进行综合定量分析、产品定价和风险的评估与管理。根据该目标的特征，主要采用演绎法进行知识讲解，用归纳法系统化知识点。首先根据金融经济背景引出需掌握的基本概念，通过例题讲解演示基本的计算方法，然后要求学生自行分析类似的问题，练习并掌握所学知识点，通过归纳法找出各个例题和习题中所蕴含的知识点，最后结合实际金融产品进行综合分析，以训练学生的应用能力，所用到的教学手段主要为课堂多媒体教学。（三）课后作业及学生自学要求教师可根据所授知识点的多少及相关性自行安排课后作业的布置，既可以从教材中选择相应的习题作为作业，也可以另外给出习题作为作业。对于课堂中未讲授的部分知识，分两种情况，一种是知识点比较简单，学生通过自学可以掌握的，教师为节约课时要求学生自学，学生需通过自学达到教学大纲对该知识点的要求。另一种是超过本课程教学大纲知识点要求范围的，学生可根据兴趣自行学习，对掌握程度不作要求。（四）课程考核方式本课程建议期末采用开卷方式考核，最终考核成绩=平时成绩×30%+期末考试成绩×70%，平时成绩综合作业、出勤和回答问题三种情况由教师酌情给

金融数学引论答案第一章--北京大学出版[1]

第一章习题答案 1?解：JEt = O 代入得A(O) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(O)= (t 2 + 2t + 3) /3 In = A(n) 一 A(n 一 1) = (n 2 + 2n + 3) - ((n - I)2 + 2(n - 1) + 3)) = 2n + l 2.解:(1)1 = A(n)-A(t) = I n +I nl + ? ? ÷I t+1 =n(n+ l)∕2-t(t+ 1)/2 (2)I = A(n)- A(t)= Y J l k = 2π+, -2,+, A-r÷l 3?解：由题意得 a(0) = I Z a(3) =A(3)/A(O)= => a = , b = 1 ∕? A(5) = 100 A(IO)=A(O) ? a(10) = A(5) ? a(10)/ a(5)= 100 X 3 = 300. 4.解：(l)i5 =(A(5) - A(4))∕A(4)=5120^ % ilθ =(A(IO) - A ⑼)∕A(9)=5145≈ % (2)i5 =(A(5) 一 A(4))∕A(4) IOO(I + 0.1)5-l∞(l + 0.1)4 IOo(I + o.ιy l 5?解:A(7) = A(4)(l + i5)(l + i6)(l + i7) =1000 XXX 6?解：设年单利率为i 500(1 + = 615 解得i = % 设500元需要累积t 年 500(1 + t × %) = 630 解得t = 3年4个月 } 7?解：设经过t 年后，年利率达到％ 1 + 4%×t= (1 + 2.5%)1 t Q 8. 解ι(l + i)11 = (l + i)5+2*3 = XY 3 9. 解：设实利辜为i 600[(l + i)2 一 1] = 264 解彳gi = 20% ：? A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元 10?解：设实利站为i 10% i K)=(A(10)-A(9))∕A(9) = 1∞(1 + 0.1)10-100(1 + 0.1)9 IOO(I + 0.1)9 10%

金融数学课后习题答案

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