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线性规划模型的三要素

决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。

线性规划（Linear programming，简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

运筹学

运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。运筹学不仅在军事上，而且在生产、决策、运输、存储等经济管理领域有着广泛的应用。决策：决策是人们在政治、经济、技术和日常生活中普遍存在的一种选择方案的行为，是管理中经常发生的一种活动。 “管理就是决策”,决策是一种选择行为，最简单的选择是回答是与否，较为复杂的决策是从多种方案中选一。线性规划模型的三要素决策变量目标函数约束条件图解法是用画图的方式求解线性规划的一种方法。线性规划的约束集（即可行域）是一个凸多面体。凸多面体:把多面体的任何一个面伸展成平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体就叫做凸多面体。凸多面体的任何截面都是凸多边形。线性规划的最优解（若存在的话）必能在可行域的角点（顶点）获得。如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；无穷多个最优解。无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；无可行解。则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了

LP是在有限资源的条件下，合理分配和利用资源，以期取得最佳的经济效益的优化方法。可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化；约束为等式；决策变量均非负；右端项非负。不等式为“小于等于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时称为“剩余变量”。对偶价格表示其对应的资源每增加一个单位，将增加多少个单位的最优值。——资源增加一个单位对最优值改进量的影响目标函数系数范围表示最优解不变的情况下，目标函数的决策变量系数的变化范围。当前值是指当前的最优解中的系数取值。常数项范围是指约束条件的右端常量。上限值和下限值是指当约束条件的右端常量在此范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。当前值是指现在的取值。定义：在约束条件右边常量增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之为这个约束条件的对偶价格。总结，当约束条件右边常数增加一个单位时; 1)如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，变得更大；求最小值时，变得更小。 2)如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，变得小了；求最小值时变大。

线性规划问题及其数学模型

第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。表1-1 该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3 元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为： x1+2x2≤8 同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式 4x1≤16 4x2≤12 该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：

目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤8 4x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0 例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧++++++33 23134322124211 4144 x x x x x x x x x x 。，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有

线性规划模型

线性规划模型线性规划的英文全称为：Linear Programming ，可简称为LP ．一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支． 0-1⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ 线性规划非线性规划静态规划整数规划规划论规划多目标规划动态规划运筹学对策论决策论排队论图论存储论模型论二、线性规划发展简史早在19世纪法国数学家傅里叶关于线性不等式的研究表明，他对线性规划已有所了解，还提出了单纯形法求解线性逼近中的线性规划 20世纪三是年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题，并写出了线性规划应用于工业生产问题的经典著作《生产组织与计划中的数学方法》．1947年美国数学家丹奇格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础．五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具．随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域．三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点 1、全局性——从全局出发，将全局目标作为追求目标； 2、定量性——通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析．数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型．四、线性规划方法解决的两类问题 1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省； 2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多．五、线性规划可解决以下几方面的问题１、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省； 2、生产组织问题：⎩ ⎨⎧产，使成本最低产值一定，如何安排生最高或利润产，使产值资源一定，如何安排生)(

运筹学概念整理

运筹学概念整理名解5、简答4、建模与模型转换2、计算5~6 第1章线性规划与单纯形法(计算、建模:图解法) 线性规划涉及的两个方面：使利润最大化或成本最小化线性规划问题的数学模型包含的三要素：一组决策变量：是模型中需要首确定的未知量。一个目标函数：是关于决策变量的最优函数，max或min。一组约束条件：是模型中决策变量受到的约束限制，包括两个部分：不等式或等式；非负取值（实际问题）。线性规划问题(数学模型)的特点：目标函数和约束条件都是线性的。 1.解决的问题是规划问题； 2解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； 3解决问题的约束条件是多个决策变量的线性不等式或等式。图解法利用几何图形求解两个变量线性规划问题的方法。求解步骤：第一步：建立平面直角坐标系；第二步：根据约束条件画出可行域；第三步：在可行域内平移目标函数等值线，确定最优解及最优目标函数值。 LP问题的解：（原因）唯一最优解、无穷多最优解（有2个最优解，则一定是有无穷多最优解）无界解（缺少必要的约束条件）、无可行解（约束条件互相矛盾，可行域为空集）标准形式的LP模型特点：目标函数为求最大值、约束条件全部为等式、约束条件右端常数项bi全部为非负值，决策变量xj的取值为非负 ●线性规划模型标准化（模型转化） (1) “决策变量非负”。若某决策变量x k为“取值无约束”(无符号限制)，令：x k= x’k–x”k，(x’k≥0, x”k≥0) 。 (2) “目标函数求最大值”。如果极小化原问题minZ = CX，则令Z’ = – Z，转为求maxZ’ = –CX 。注意：求解后还原。 (3) “约束条件为等式”。对于“≤”型约束，则在“≤”左端加上一个非负松弛变量，使其为等式。对于“≥”型约束，则在“≥”左端减去一个非负剩余变量，使其为等式。(4) “资源限量非负”。若某个bi < 0，则将该约束两端同乘“–1” ，以满足非负性的要求。基假设线性规划问题模型系数矩阵为m行、n列，则系数矩阵中秩为m的m行m列子矩阵，称为基矩阵，简称为基可行解：满足约束条件AX=b和X≥0的解。基(本)解：在某一确定的基中，令所有非基变量等于零，解得的唯一解。基(本)可行解：满足X≥0的基解。可行基：基可行解对应的基矩阵。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于零，且B-1b均为非负，则线性规划问题具有唯一最优解。无穷多最优解判别定理：在单纯形表中，若所有非基变量的检验数小于等于零，且B-1b均为非负，其中某个检验数等于零，则线性规划问题具有无穷多最优解(多重最优解)。无界解判定定理：在单纯形表中，若某个检验数σk 大于零，且xk对应列向量的元素均为非正，导致出基变量无法确定，则线性规划问题具有无界解

线性规划与目标规划的异同

信息与计算科学课程设计课程名称：线性规划与目标规划的异同姓名：周流林专业：信息与计算科学学号： 2008101189 指导老师：陈玉英 2011年6月2日

线性规划与目标规划的异同摘要线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 目标规划(Goal programming)是在线性规划基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支。目前研究较多的有线性目标规划、非线性目标规划、线性整数目标规划和0-1目标规划等。关键字：线性规划，目标规划，约束条件，决策变量，目标函数，可行解，运筹学线性规划与目标规划的相同点是:他们都有自己的目标函数，决策变量，约束条件。线性规划：目标函数：n n x c x c x c Z +++= 2211max

约束条件：（s.t.）()⎪⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎪ ⎨⎧=≥=+++=+++=+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,2,1,0221 12222212111212111 其中x1,x2….xn 为线性规划问题中的决策变量。目标规划：目标函数：n n x c x c x c Z +++= 2211min 约束条件：约束条件为不等式如果约束条件为不等式，则可增加一个或减去一个非负变量，使约束条件变为等式，增加或减去的这个非负变量称为松弛变量。例如： i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211 加一个非负变量1+n x ，使不等式变为等式： i n n in i i b x x a x a x a =+++++12211 如果约束为： i n in i i b x a x a x a ≥+++ 2211 则减去一个非负变量1+n x ，使不等式变为等式： i n n in i i b x x a x a x a =-++++12211 线性规划与目标规划的不同点在于：目标规划是以线性规划为基础而发展起来的，但在运用中，由于要求不同，有不同于线性规划之处： ①目标规划中的目标不是单一目标而是多目标，既有总目标又有分目标。根据总目标建立部门分目标，构成目标网，形成整个目标体系。制定目标时应注意协调各个分目标，消除分目标间的矛盾，以利总目标的实现；各分目标必须服从总目标的实现，不能脱离总目标。 ②线性规划只寻求目标函数的最优值，即最大值或最小值。而目标规划，由于是多目标，其目标函数不是寻求最大值或最小值，而是寻求这些目标与预计成果的最小差距，差距越小，目标实现的可能性越大。目标规划中有超出目标和未达目标两种差距。一般以Y+代表超出目标的差距，Y -代表未达目标的差距。Y+和Y -两者之一必为零，或两者均为零。当目标与预计成果一致时，两者均为零，即没有差距。人们求差距，有时求超过目标的差距，有时求未达目标的差距。目标规划的核心问题是确定目标，然后据以建立模型，求解目标与预计成果的最小差距。目标规划可用一般线性规划求解，也可用备解法求解，还可用单体法求解，或者先用线性规划或备解法求解后，再用单体法验证有无错误。目标规划有时还要用对偶原理进行运算，依一般规则，将原始问题转换为对偶问题，以减少单体法运算步骤。

运筹学复习题

运筹学复习题 1.X 是线性规划的基本可行解则有 B.X 中的基变量非负，非基变量为零 2.互为对偶的两个问题存在关系B.原问题无界解，对偶问题无可行解 3.当线性规划的可行解集合非空时一定D ．是凸集 4.线性规划的退化基可行解是指A.基可行解中存在为零的基变量 5.有5个产地6个销地的平衡运输问题模型具有特征D.有10个基变量 6.1212212max 5,4324,4,0,Z x x x x x x x =++≤≤≥、则B.有唯一最优解 7.单纯形法的最小比值规则是为了保证A ．使原问题保持可行 8．线性规划的约束条件为 ≥=++=++0 ,,422341 421321x x x x x x x x 则基本可行解为A ．(0, 0, 3, 4) 9.要求恰好完成第一目标值、不超过第二目标值，目标函数是 A ． 11122min ()Z p d d p d -++ =++ 10.下例错误的说法是 C.标准型就是规范形式 11.使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题D.无可行解 12.对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中 D.检验数都不大于零 13.如果要使目标规划实际实现值不超过目标值,则相应的偏离变量应B.d +=0 14.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目C.小于m+n-1 15.关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是C.若原问题存在可行解，其对偶问题必存在可行解 16.下列说法正确的是

D.单纯形法解标准的线性规划问题时，按最小比值原则确定换出基变量是为了保证迭代计算后的解仍为基本可行解 17.对于线性规划问题，下列说法正确的是A.线性规划问题可能没有可行解 18.下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的 C.添加新变量时，可以不考虑变量的正负性 19.在求解运输问题的过程中运用到下列哪些方法（D ） A.西北角法 B.位势法 C.闭回路法 D.以上都是 20.在用单纯形法求解线性规划问题时，下列说法错误的是（C ） A.如果在单纯形表中，所有检验数都非正，则对应的基本可行解就是最优解 B.如果在单纯形表中，某一检验数大于零，而且对应变量所在列中没有正数，则线性规划问题没有最优解 C.利用单纯形表进行迭代，我们一定可以求出线性规划问题的最优解或是判断线性规划问题无最优解 D.如果在单纯形表中，某一检验数大于零，则线性规划问题没有最优解二、断题 1.线性规划无界解，则可行域无界(√) 2.变量取0或1的规划是整数规划(√) 3.若原问题具有n个变量，则它的对偶问题也有n个变量(×) 4.可行解可能是基本解(√) 5.原问题求最大值，第i个约束是“≤”约束，则第i个对偶变量y i ≤0(×) 6.运输问题一定存在最优解(√) 7.任何线性规划总可用两阶段单纯形法求解(×)

线性规划方法在企业管理中的应用 (2)

线性规划方法在企业管理中的应用摘要：企业管理科学是企业可持续发展的一个重要组成部分在当今全球经济一体化,企业应该由庸俗的集约发展的发展战略,实现资源,充分利用公司的生产过程是一个连续的过程,为了确保生产的连续性,企业管理者必须合理利用流动性,及时有效地补充资源的不足，在实现利润最大化的同时由于供求关系，企业所面临的外部环境等因素的影响也在不断变化，因此企业也要及时调整生产。线性规划是求解约束条件下的优化问题的一种方法。资源约束下的目标函数和目标函数都是线性的。从理论上讲，线性规划问题可以用代数和图形方法来解决。代数法是求出一组可行解的角和这些角所决定的决策变量的值，然后对每组决策变量的目标函数求值，选择最大值或最小值。关键词：线性规划；企业管理；应用

1线性规划理论概述 1.1线性规划概念线性规划是运筹学的一个重要分支，研究较早，应用较广，发展较快，方法较为成熟。它是在第二次世界大战中发展起来的。它是帮助人们进行科学管理的一种重要的定量方法和数学工具。它研究的主要内容，是在一定条件下，如何合理安排人力、物力等资源，以使经济效益达到最佳。一般来说,在线性目标函数在线性约束条件下的最小或最大的问题,统称为线性规划问题,解线性约束称为可行解,由所有可行解集称为可行域[1],因此,我们给的一般线性规划定义如下:一组变量X1,X2,…Xn、价值观,使其满足在这组多变量线性方程或不等式约束,这组变量的一个线性函数的一个小(或大),其中,这些变量被称为决策变量,优化函数称为目标函数,其中,决策变量、约束条件和目标函数是线性规划的三要素。在工业生产、经济管理等经济活动的过程中，人们一直在追求经济效益的提高[2]。一般来说，提高经济效益可以通过以下两种方式:一是通过生产技术的创新和改进，如优化和改进生产工艺，引进和使用新的生产设备;原材料的替代与配比、优化等。第二种方法是改进生产组织，优化生产计划，提高生产效率，提高生产效率。即如何通过合理配置人力、物力资源，使生产效益最大化。而线性规划可以从第二方面帮助企业提高经济效益，即在一定条件下，合理安排人力资源和物质资源，使经济效益达到最佳[3]。 1.2线性规划的目标研究线性规划的目标是对未来做出各种假设，在这些假设下测试各种方法可能的结果，然后通过对结果的深入分析来指导最终的决策。在实际问题中，常出现决策变量较多的线性规划问题。这样复杂的决策变量只有计算机才能解决。常用的方法叫做单纯形法[4]。Excel“规划求解”功能非常强大,可以很容易地解决多个决策变量的线性规划问题,降低了困难解决线性规划问题的增加线性规划的使用,而且克服了手工计算的缺点,简单,操作方便,大大提高计算效率和精度。1.3线性规划的作用线性规划是帮助经理做出决定,和一个方法来解决这个问题,用数学语言来表达一些总体规划的问题,首先要完全理解问题并描述约束条件,然后定义适当的决策变量,根据问题决策变量的目的写目标,同时约束条件的相关问题写关于

河南城建运筹学模拟试卷详解

、填空题 1 •线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加的方法来产生初始可行基。 2、线性规划数学模型三要素： _________ 、 ______ 、 ________ 3、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为 4、在线性规划问题中，图解法适合用于处理为两个的线性规划问题。 5、求解不平衡的运输问题的基思想是 6运输问题中求初始基可行解的方法通常有、两种方法。 7. 原问题的某个约束条件是“二”型，则对偶问题相应的变量是 _______ 8. 求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 _破圈法。二、单项选择题 1. 设P 是线性规划问题，D 是其对偶问题，则（）不正确。 A. P 有最优解，D 不一定有最优解 B. 若P 和D 都有最优解，则二者最优值肯定相等 C •若P 无可行解，则D 无有界最优解 D.D 的对偶问题为P 2. 在求minz 的线性规划问题中，贝U （）不正确。 A. 最优解只能在可行基解中才有 B. 最优解只能在基解中才有 C. 基变量的检验数只能为零 D. 有可行解必有最优解 3 .用图解法求解下列问题：max S=2x-3y s.t.-x+2y<=2 x+2y<=6 x-y<=3 运筹学变量。

x+3y>=3 x,y>=0 其最优解为（） A. （2，2） B . （4，1） C . （3，0） D . （2，5） 4•若运输问题在总供应量大于总需要量时，（）。 A. 必须用线性规划单纯形法求最优解 B. 不存在可行解 C. 虚设一个需求点 D. 虚设一个供应点 5、对于线性规划问题，下列说法正确的是（） A线性规划问题可能没有可行解 B在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域 C线性规划问题如果有最优解，则最优解可以在可行解区域的顶点上到达 D上述说法都正确 6下面哪些不是线性规划问题的标准形式所具备的（） A所有的变量必须是非负的 B所有的约束条件（变量的非负约束除外）必须是等式 C添加新变量时，可以不考虑变量的正负性 D求目标函数的最大值 7. 在用单纯形法求解线性规划问题时，下列说法错误的是（） A如果在单纯形表中，所有检验数都非正，则对应的基可行解就是最优解 B如果在单纯形表中，某一检验数大于零，而且对应变量所在列中没有正数，则线性规划问题没有最优解 C利用单纯形表进行迭代，我们一定可以求出线性规划问题的最优解或是判断线性规划问题无最优解 D如果在单纯形表中，某一检验数大于零，则线性规划问题没有最优解 8. 使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数'在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【】

运筹练习

1、线性规划问题数学模型的三要素包括（） ①最优解 ②决策变量 ③目标函数 ④约束条件 2、线性规划数学模型的特征包括（） ①变量必须是连续的。 ②目标函数是对变量的线性函数。 ③约束条件是对变量的线性等式或不等式。 ④二维线性规划问题的可行域（如果存在）一定是凸多边形。 3、线性规划问题解的情况包括（） ①唯一最优解 ②无穷多最优解 ③无可行解 ④无界解 4、对于产地数为m 、销地数为n 的平衡运输问题，下列说法正确的是（） ①所有约束条件都是等式约束 ②基变量个数为m+n-1 ③总产量等于总销量 ④一定有有限最优解 5、关于对偶规划，下列说法正确的是（） ①任何线性规划具有唯一的对偶问题。 ②若原问题有可行解，则其对偶问题也有可行解。 ③若原问题和对偶问题都有可行解，则两者一定都有最优解。 ④对偶问题的最优解可以通过原问题的最优解得出。 6、下列0—1型整数规划的最优解是（） ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧=≤+≤++≥++++=10,,3 432225333 2121321321321或x x x x x x x x x x x x x x MaxZ ①)00,0(，=X ②)11,0(，=X ③)11,1(，=X ④)1,01(，=X

7、下列数学模型属于线性规划模型的是（） ①⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+++≥++++++=0,,,12236152633434 321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x MinZ ② ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≥+≤++=0,16103103652 121212 11x x x x x x x x x MinZ ③⎪⎩⎪⎨⎧ =≥=≤= ∑∏==) ,2,1(0) ,2,1(1 1 n j x m i b x a x c MinZ j i j n j ij j n j j ④ ⎩⎨ ⎧≥=++++=0 ,,10 25633213213 21x x x x x x x x x MaxZ 8、某产品有三种销售状态，即销路好，销路一般，销路差。下列状态概率中（依次按顺序）表示销路差最经常发生的是（） ①（0.5，0.8，0.9） ②（0.2，0.5，0.1） ③（0.2，0.3，0.5） ④（0.1，0.4，0.5） 9、关于运筹学，下列说法正确的是（） ①运筹学是一门应用科学 ②运筹学是解决优化问题的定量学科 ③运筹学可以解决生产管理过程中的具体问题 ④运筹学不能解决军事问题 10、下列性质属于LP 问题基本解的必要条件的是（） A 、非0分量个数不大于约束条件个数 B 、所有分量不为0 C 、满足所有约束条件 D 、基变量所对应的系数矩阵为非奇异的对偶模型 1、 ⎪⎪⎩⎪⎪ ⎨ ⎧≥≤≥+≤++=0,41501052 1221212 1x x x x x x x x x MaxZ 2、 ⎪⎩⎪ ⎨⎧≥≥+≥++=0,2535.25.12 1212121x x x x x x x x MinZ

线性规划问题在经济生活中的应用

线性规划问题在经济生活中的应用线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料；二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。线性规划所研究的是在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最优。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。文章根据线性规划问题在现实生活中的意义进行相关讨论与探究，介绍了线性规划问题产生的背景、特点和实际运用情况，以及线性规划问题在经济生活中运用的意义。关键词：线性规划问题数学模型运筹学线性规划问题是数学的一个重要分支，它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的、以及怎么找出这些最优方案。在现实的生产活动中这类问题普遍存在，例如在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高产值、利润；在原料配给问题中，怎样确定各种成分的比例，才能使提高质量、降低成本的目标得以实现；在资源的分配问题中，怎样分配有限的资源，使得分配方案既能满足于各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；在农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产、稳定，以发挥地区优势；在经济管理中如何使产出率最大，即单位成本的产值最大，或者赢利率最大。诸如此类问题不胜枚举，线性规划就是为了求解这类问题并为求解这些问题提供理论基础与方法而应运而生的、实用性强的学科。线性规划问题的发展 1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。同年美国数学家J.von 诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。 20世纪50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，

线性规划多目标线性规划读书笔记

《多目标线性规划模型》的读书笔记一、线性规划（一）线性规划的概述线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. （二）线性规划问题的数学模型的一般形式：（1）列出约束条件及目标函数（2）画出约束条件所表示的可行域（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值一般地，假设线性规划数学模型中，有m 个约束，有n 个决策变量xj, j=1,2…,n ，目标函数的变量系数用cj 表示, cj 称为价值系数。约束条件的变量系数用aij 表示，aij 称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi 表示，bi 称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成为了书写方便，上式也可写成：在实际中一般xj ≥0,但有时xj ≤0或xj 无符号限制。关于上述模型有两点需要加以说明。第一任何一个实际问题，严格的说都是非线性的。那么，是问题的什么特性能容许我们做出线性性质的假定。这一点是建立模型时应当明确的。第二，在有些模型中还要求决策变量取整数值，在线性规划的范围内来处理这一问题，通常是将连续最优解通过四舍五入取整。当变量的最优值都比较大时，这种做法可行。要想得到精确的112211112211211222221122 max(min)(,)(,)(,)0,1,2,,n n n n n n m m mn n m j Z c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x j n =++++++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪≥=⎪⎩或或或11max(min)(,)1,2,,0,1,2,,n j j j n ij j i j j Z c x a x b i n x j n ===⎧≤=≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 或

线性规划在企业决策中的应用

线性规划在企业决策中的应用第一章线性规划理论 1.线性规划简介线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题[1]。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域[2]。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。 2.线性规划的发展历程法国数学家J.- B.- J.傅里叶和C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。 1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。 1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。 1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。 50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954

年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题[3]。 1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。 1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。建立线性规划模型的方法。 3.线性规划的数学模型及其标准形式 3.1线性规划问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。线性规划主要解决两类问题：（1）资源有限，要求生产的产品（或利润）最多。（2）任务（或产品）一定，要求消耗的资源（或成本）最少。 3.2线性规划问题的特征 (x,x...x)表示某一方案；这组决策变量的值（1）每一个问题都用一组决策变量12n? 就有代表一过具体方案。（2）一般这些变量取值是非负的。（3）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。（4）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。满足以上四个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。 3.3从实际问题中建立数学模型的步骤；