（1）若方程x x f 2)(=恰有三个不同的实数根，求实数a 的值； （2）当0>a 时，若对任意的],0[+∞∈x ，不等式)(2)1(x f x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. 4已知0≥a ，函数a a x x x f 25)(2+--=. (1)若函数)(x f 在]3,0[上单调，求实数a 的取值范围； (2)若存在实数2,1x x ，满足)()(0))((2121x f x f a x a x =<--且，求当a 变化时 21x x +的取值范围.
（1）若函数)]([)(x f f x F =与)(x f 在R x ∈时有相同值域，求实数b 的取值范围； （2）若方程21)(2=-+x x f 在)2,0(上有两个不同实数根2,1x x ， ①求实数b 的取值范围； ②求证： 41121<+x x 6已知函数),()(2R b R a b ax x x f ∈∈--=+. (1) 若,2,2≥=b a 且函数)(x f 的定义域，值域均为],1[b ，求b 的值； (2) 若函数)(x f 的图像与直线1=y 在)2,0(∈x 上有2个不同的交点，试求a b 的范围.
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2 +bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .
故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。 二、合理用公式，灵活换视角 公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。 例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1. 解 由韦达定理，得???=-=+b x x a x x 2121 ???==+∴.|||||,|||2 121 b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1， 又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|. 1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x 即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。 又∵1+|x 2|>0，∴|x1|<1. 同理可得|x 2|<1。 例3 函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),若函数f(x)的图象与直线y=x 和y=-x 均无公共点，求证：（1）4ac －b 2>1. （2）对一切实数x ，恒有| |41 ||2a c bx ax >++. 分析（1）略。
绝对值问题的求解方法
绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0）
分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么
分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ，
整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。
二次函数绝对值问题
常见绝对值类问题汇总 ——辽宁数学小丸子编辑 【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值 【题2】设1()4 2(,)x x f x a b a b R +=+?+∈，若对于1[0,1],()2x f x ?∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2 ()8 m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围 【题6】设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7 f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k ≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时， （1）5 ()4f x ≤（2）()2 g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有 24 ax b +≤【推广】设函数2 ()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*) nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b =++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的 求解策略 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f . 故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢留给读者思考。
二次函数经典难题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数经典难题（含精解） 一．选择题（共1小题） 1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6 二．填空题（共12小题） 2．作抛物线C 1关于x轴对称的抛物线C 2 ，将抛物线C 2 向左平 移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C 1 所对应的函数解析式是 _________ ． 3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为 _________ ． 4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_________ ． 5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD 边长为10，则正方形EFGH的边长为_________ ． 6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛
物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________ ． 7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B （4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是_________ ． 8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= _________ ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是_________ ．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a= _________ ． 10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是_________ ． 11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是 _________ ． 12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a?c 的值是_________ ． 13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为_________ ．
二次函数绝对值的问题练习及答案
二次函数绝对值的问题练习及答案 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明 例1 设a 为实数，函数 2 ()||1f x x x a =+-+，x R ∈ （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值 解；（1）0a =时， () f x 为偶函数 0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数 （2）2 222 2131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ?? ?+-+=++-≥? ??? ?=+-+=??? ?-++=-++< ????? 当()min 13 ,24a f x a ≤-=- 当()2min 11 ,1 22a f x a -<<=+ 当()min 13 ,24a f x a ≥=+ 例2 已知函数 1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围； (3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）. 解：（1）方程|()|()f x g x =，即 2 |1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的
5含绝对值的二次函数(教案及练习)
含绝对值的二次函数 含绝对值的二次函数其本质是分段函数，研究含绝对值的二次函数就是分段研究二次函数的局部性态．设定分类讨论的标准是问题解决的前提条件，数形结合则是问题能否正确解决的关键 所在． 例1．解下列各题： （1）（2010全国）直线1=y 与曲线a x x y +-=2有4个交点，则实数a 的取值范围是 ． （2）（2008浙江）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间]3,0[上的最大值为2，则=t ． （3）设集合{} {}2,,022<=∈<++-=x x B R a a a x x x A ，若Φ≠A 且B A ?，则实数a 的取值范 围是 ． 例2．设函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2 （1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）求函数)(x f 的最小值．
例3．已知函数1)(,1)(2-=-=x a x g x x f ． （1）若关于x 的方程)()(x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若R x ∈时，)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求函数)()()(x g x f x h +=在区间]2,2[-上的最大值． 例4．设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值．
5.含绝对值的二次函数 班级 姓名 一、综合练习 1．设b a <<0，且x x x f ++= 11)(，则下列大小关系式成立的是（ ） （A ）)()2()(ab f b a f a f <+< （B ）)()()2(ab f b f b a f <<+ （C ）)()2()(a f b a f ab f <+< （D ）)()2 ()(ab f b a f b f <+< 2．已知{}n a 为等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和,若9843=++a a a ，则9S = ． 3．直线750x y +-=截圆221x y +=所得的两段弧长之差的绝对值是 ． 4．函数y k x a b =--+与y k x c d =-+的图象1(k 0k )3 >≠且交于两点)3,8(),5,2(，则c a + 的值是_______________. 5．任意满足305030x y x y x -+≤??+-≥??-≤? 的实数,x y ，若不等式222()()a x y x y +<+恒成立，则实数a 的取值 范围是 . 6．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，N M ,是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PN PM ,的斜率分别为12,k k ，021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则双曲线的离心率为 ． 二、本讲练习 1．设函数c bx x x x f ++=)(给出下列四个命题： ① 0=c 时，)(x f y =是奇函数； ② 0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实根； ③ )(x f y =的图象关于),0(c 对称； ④ 方程0)(=x f 至多有两个实根． 其中正确的命题是 （ ） （A ）①④ （B ）①③ （C ）①②③ （D ）①②④ 2．若不等式2 1x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的范围为 . 3．设a 为实数，函数a x x x f -=)(，求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值．
二次函数常用公式、结论及训练
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练 一、 常用公式或结论 （1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。 纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。 （2）点轴距离： 点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。 （3）两点间的距离公式： 若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 （4）点到直线的距离： 点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为： d （5）中点坐标公式: 若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212 ,22 x x y y ++） （6）直线的斜率公式： 若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：12 12 =AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论： 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ① 若 l 12 12 1x x k -?+2 122124)(1x x x x k -+?+2 21221)()(y y x x -+-2 212221)()(x x k x x -+- 2 212))(1(x x k -+2 121x x k -?+2122124)(1x x x x k -+?+?K=030K=1±0 45 K=060-x x 大小-y y 大小(x y 标标，）y 标x 标223t t +-243t t ++x 标 标（或y ）1212,2 2 x x y y ++1-32，11 32 ， （1）某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。
(最新整理)二次函数绝对值的问题练习及答案
(完整)二次函数绝对值的问题练习及答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)二次函数绝对值的问题练习及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)二次函数绝对值的问题练习及答案的全部内容。
二次函数绝对值的问题练习及答案 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰,以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值,充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系,往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想,以下举例说明 例1 设a 为实数，函数 2()||1f x x x a =+-+,x R ∈ (1)讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值 解；(1)0a =时， ()f x 为偶函数 0a ≠时,()f x 为非奇非偶函数 （2）22222131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ???+-+=++-≥? ????=+-+=????-++=-++< ????? 当()min 13,24a f x a ≤-=- 当()2min 11,122a f x a -<<=+ 当()min 13,24a f x a ≥=+ 例2 已知函数 1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g 。 (1）若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2）若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围； (3）求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）。 解：（1)方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然,1x =已是该方程
二次函数中绝对值问题的求解策略
二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f . 故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢留给读者思考。
二次函数线段最值问题
二次函数线段最值问题 ———几何类 “最短距离”经典问题汇总 一、“两点之间线段最短”． 【基本问题】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点． 【变式1】直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得 PAB ?的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求． 【变式2】直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一点P ，再从 P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作 A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B 、′′，连接A B ′′ 分别交12l l 、于P Q 、，即为所求． 【变式3】从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点． 【变式4】下面这个题与对称无关，但涉及到了平移的内容，与【变式4】的作法有点类似，因此放在这里，共享一下． A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求． 【变式5】在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A B 、的距离之差的绝对值最大，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，其延长线与l 的交点即为P 点． 二、“垂线段最短”． 例题探究： 【探究1】 如图，抛物线42 1 2+--=x x y 与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． 在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； 【探究2】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点 （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。若一个动点P 自点C 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ）， 最后运动到点C ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长． 【探究3】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于 A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，在线段BC 上是否存在一点P ，使得B 、C 两点到直线AP 的距离之和最大？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 【探究4】 已知在平面直角坐标xOy 系抛物线223y x x =--与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。若一个动点P 自OC 的中点M 出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点C ．求使点P 运动的总路径最 O B A P 2 P 1P l 2 l 1 C E D G A x y O B F
绝对值函数系列习题(二次函数)
含有绝对值符号的函数的性质 1、已知不等式| |2 2x x a +≤对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是_______. 2、若关于x 的不等式||22 a x x --<至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是_______. 3、函数2 |1|y x =-和函数y x k =+的图像恰有三个交点，则k 的值是_______. 4、设常数R ∈a ，以方程20112||=?+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A _______. 5、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为_______. 6、对任意的120x x <<，若函数1 ()f x a x x b x =-+折线（两侧的射线均平行于x 轴）， 试写出a 、b 应满足的条件 . 7、已知函数()2log f x x =，正实数,m n 满足m n <， 且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ????上的最大值为则m =________,n =_________. 8、设,,a b R ∈且1b ≠.若函数1y a x b =-+的图象与直线y x =恒有公共点，则,a b 应满足的条件是_______. 9、关于x 的方程092 2=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a _______. 10、若函数1log 2 )(| 3|+-=-x x f a x 无零点，则a 的取值范围为_______. 11、定义在R 上的函数()f x 的图像过点(6,2)M -和(2,6)N -，且对任意正实数k ，有 ()()f x k f x +<成立，则当不等式|()2|4f x t -+<的解集为(4,4)-时，则实数t 的值 为_______. 12、已知函数21(0)()log (0) x a x f x x x ?++≤=?>?有三个不同零点，则实数a 的取值范围为_______. 13、设关于x 的不等式4|4|2 +≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ?∈2,0，则实数m 的取值范围是_______.
类型一 二次函数与线段问题(解析版)
类型一 二次函数与线段问题 例1、 如图1-1，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点，如果△P AC 的周长最小，求点P 的坐标． 图1-1 【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A 与点B 对称，连结BC ，那么在△PBC 中，PB ＋PC 总是大于BC 的．如图1-3，当点P 落在BC 上时，PB ＋PC 最小，因此P A ＋PC 最小，△P AC 的周长也最小． 由y ＝x 2－2x －3，可知OB ＝OC ＝3，OD ＝1．所以DB ＝DP ＝2，因此P (1,－2)． 图1-2 图1-3 例2、如图，抛物线21442 y x x =-+与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点．一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过抛物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ．如果动点G 走过的路程最短，请找出点M 、N 的位置，并求最短路程． 图2-1 【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛物线的对称轴对称的点A ′，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结A ′B ′与x 轴交于点M ，与抛物线的对称轴交于点N ． 在Rt △AA ′B ′中，AA ′＝8，AB ′＝6，所以A ′B ′＝10，即点G 走过的最短路程为10．根据
相似比可以计算得到OM ＝83，MH ＝43，NH ＝1．所以M (83 , 0)，N (4, 1)． 图2-2 例3、如图3-1，抛物线248293 y x x =-++与y 轴交于点A ，顶点为B ．点P 是x 轴上的一个动点，求线段P A 与PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P 的坐标． 图3-1 【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|P A －PB |的最小值与最大值． 由抛物线的解析式可以得到A (0, 2)，B (3, 6)．设P (x , 0)． 绝对值|P A －PB |的最小值当然是0了，此时P A ＝PB ，点P 在AB 的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x 2＋22＝(x －3)2＋62，得416x =．此时P 41(,0)6 ． 在△P AB 中，根据两边之差小于第三边，那么|P A －PB |总是小于AB 了．如图3-3，当 点P 在BA 的延长线上时，|P A －PB |取得最大值，最大值AB ＝5．此时P 3(,0)2 -． 图3-2 图3-3 例4、如图4-1，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，点P 、Q 、K 分别为线段BC 、CD 、BD 上的任意一点，求PK ＋QK 的最小值．
初三二次函数最值问题和给定范围最值
二次函数中的最值问题重难点复习 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2 ()y a x h k =-+的形式 ()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. a b ac a b x a c bx ax y 44222 2-+??? ? ?+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的x 即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 自变量x 取任意实数时的最值情况 （1）当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值； （2）当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a -，无最小值． （3）二次函数最大值或最小值的求法． 第一步：确定a 的符号，0a >有最小值，0a <有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 2.自变量x 在某一范围内的最值． 如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：02b x x a ==- ； 第二步：讨论： [1]若0a >时求最小值（或0a <时求最大值），需分三种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧，在x m =处取最小值2min y am bm c =++； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部，在0x x =处取最小值2min 00y ax bx c =++； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧，在x n =处取最小值2min y an bn c =++. [2] 若0a >时求最大值（或0a <时求最小值），需分两种情况讨论：(以0a >时求最小值为例) ①对称轴02 m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧，在x n =处取最大值2max y an bn c =++；
