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二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。

J、适时用分类，讨论破定势

分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。

例1 已知f(x)=x2+bx+c (b,c e R),

(1)当bv—2时，求证：f(x)在(一1, 1)内单调递减。

(2)* bv—2时，求证：在(一1, 1)内至少存在一个xO,使W|f(xO)|>-.

分析(1)当b<-2时，f(x)的对称轴在(一1, 1)的右侧，那么f(x)在(-1, 1)内单调递减。

(2)这是一?个存在性命题，怎么理解“至少存在-?个X。”呢？其实质是能找到一个这样的xo，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。

当x=0时，|f(O)|=|c|,|c|与上的大小关系如何呢？对|c|进行讨论：

(i)若|c|>-,BP|f(O)|>-,命题成立。

(ii)若|c|<-,取x()=—L,则 |/(一上)|=|1一上方 + 曰2|1 — 1仞一|曰〉9一上二2〉上.

2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2

故不论形上还是|c|vL,总存在x()=0或x0=—-使得|f(x0)|>-成立。

本题除了取X=—L外，X还可取那些值呢？留给读者思考。2

二、合理用公式，灵活换视角

公式|aHb|<|a±b|<|a|+|b|4处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于

不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法闩然、迅捷。

例2已知f(x)=x2+ax+b的图象与x轴两交点的横坐标为X|, X2若|a|+|b|

证：|X]|vl 且|x2|

解由韦达定理，得[羽+、2 =一。

-b

.1 x I + x2 1=1 a I,

, ? JXjX2\=\b\.

代入|a|+|b|vl,得|xi+x2|+|xix2|

X|xi|—|x2|<|xi+x2|.

?,?I 石|-|x2 | + |^%2 |<| Xj +x2 | + |%!%2 I<1

即|X1|(1+|X2〔)V1+|X2|。

又V l+|x2|>0, A|xl|

同理可得|x2|

例3函数f(x)=ax2+bx+c(a#)),若函数f(x)的图象与直线y=x和广-x均无公共点, 求证：(1) 4ac—b2>l.

(2)对一切实数x,恒有|似2+版+曰〉-1—.

4|们

分析(1)略。

(2) cix^ + bx + C |=| Q(X H - )2 H ----------- |

2a 4a

由(1)可知6Z(X + —)1 2与~~ 同号。

2a 4a

:]ax2 + bx + c\

i , b x2 . . 4ac-b2 .

=|6/(X + —)- |+ ——

2a 4a

.4ac-b2 . 1

> -------- > ------ .

4a 4|f/|

三、机智赋特值，巧妙求系数

变量在某一区域有某种结论成立时?，可通过对题目结构特征的观察，由H标导向, 赋予一系列特殊的函数值来构建对应的系数关系，使抽象问题具体化，从血独辟蹊径, 出奇制胜。

例4 函数f(x)=ax?+bx+c(a我)),对一切xe [—1,1],都有|f(x)|

(1)XE[― 1,1]时，|2ax+bg4.

(2)xc[—l,l]时，|g(x)0.

f ⑴= a+b + c,

证明(1)由题设条件，可得f(-1) = “-。+仁

/(0) = c.

o=：L/(l) + /(-1)-2/(0)],

= ⑴一f(—1)],

C = /(0)

1 /⑴卜1,

又由题意可知^|/(-1)|< 1,

1/(0) |<0.

第J1| +闩1

1 2 X + 1

=1 - X + 2

=-X 2 + 2 < 2

要证明XG [-1,1]时，|2ax+b|<4,只要证明|±2a+b|<4.

|26/ + /;|=||/(1) + |/(-1)-2/(0)|

<- + - + 2 = 4. 2 2

同理可证|—2a+b 切4.

(2) |g(x)|=|cx 2+bx+a|

=1 /(0)x 2 +，⑴了(T)X + /(1)7(~1) - /(0) I

=|(X 2 -1)/(0) + 亨八1) + ；/(-I) |

1 — X \-x + -----

2 请读者仿照例4的方法解决下面一题:

例 5 函数 f(x)=ax 2+bx+c(a#)),已知邮犯1, |f(-l)|

对一切 E [-1,1],都

W|/(x)|<2.

分析借助恒等式“呼 5

得 |g(x)|=|ax+b|

(x + l)2 (x-l)2 x + 1 x-1

=a[- ------ - - ----- ] + b( --------------- ) + c-c 4 4 2 2

l 「z X + L ,/工 + 1、 1 r ,工―. X — 1 71

=1 [^(―7-)2 + ^(——) + 曰 - [。(一^-)2 + b —— + c] \

="号)-/?(号)1

W (写)1+顷号)

注意到 x E [-1,1],有史 E [0,1],」e [-1.0],故有|g(x)|

五、联想反证法，类比创条件

对于一些数学问题，如果从正面思考较难，不妨尝试从反面入手，巧用逆向思维, 比如借反证法来找到解决问题的途径。

例7 函数f(x)=x2+ax+b (a,beR), xe [― 1,1],求证：

|f(x)|的最大值M>-.

2

证明假设M<-,则|f(x)|<-,.\/(%)<-,

B|J - — < x2 +ax + b <—.

2 2

令x=O,l,—1,分别代入上式，得

2 2

2 2

--- < 6Z + Z? + 1 < —, (§)

2 2

由②+③，得-与①矛盾。

点评通过假设结论不成立，创设了工日-1,1]时，|f(X)|<|恒成立这一常规而打开局面的有利条件，可谓“高招”！

六、鸡尾酒疗法，相是益彰好

每一种解法都不是万能的，如果把各种解题方法灵活地相互结合、渗透，那么不但能解决实际问题，而且思路开阔，有利于培养创造能力、提升数学品质。

例8 函数f(x)=ax2+bx+c(a#)),对一切XG[-1,1],都有f(x)

X G [-2,2],都有f(x)<7.

分析函数y=|ax2+bx+c| (a六))在区间[p,q]上的最大值，由图象易知只能在x=p或x=q或x = ~—处取得，于是由题意只需证明|f(-2)|<7且|f(2)|W7且| /*(-—) |< 7.

2a 2a 由已知|f(—l)|=|a+b—c|, |f(l)|=|a+b+c|,|RO)|=|c|, |R—2)|=|4a—2b+c|

=|3f(-l)+f(l)—3f(0)|

<3|f(-l)|+|f(l)+3|f(0)|

=3xl+l+3xl=7

同理|f(2)|<7.

若—_L任[—2,2],则由以上可知命题已证。

2a

若-妇[-2,2],贝U 2(7

2a 4a

b2 c

4a

1

.?.|/(-排l + ：xlx2 = 2.

2a 2

因此,对一切券[-2,2],都有|f(x)|W7.

例9 (1998年“希望杯''高三赛题)若函数f(x)=ax2+bx+c(a#)),对一切XE [0,1],

恒有|f(x)|

(1)对所有这样的f(x),求|a|+|b|+|c|可能的最大值;

(2)试给出一个这样的f(x),使|a|+|b|+|c|确实取到上述最大值。

/?(1) =。+ 力 + &

解(1)由 = + +

2 4 2

/(°) 二0 ■

a = 2f⑴- 4/(|)+ 2/(0),

解得。=4/(!)-f(l)-3f(0),

c = /(0)

所以\a\^\b\ + \c\=\ 2f (1)-4处)+ 2f(0)| +14/(|)-/(l)-3/(0) + /(0)|

^3|/(1) + 8|/(|)|+6|/(O)|

<3+8+6=17

故|a|+|b|+|c|可能最大值为17.

(2)取a=8,b=—8, c=l,则

f(x)=8x2-8x+l = 8(x——)2-1

./w在[0,1]上确实有照)0,且|a|+|b|+|c|=17.

解题思维训练是巩固所学知识的重要环节，也是培养优良教学素养的有效手段，在学习中应当有意识地培养思维的“方向感”和思路的“归属感”，促进数学思维空间的拓展，也有助于思维品质的提升。

例谈二次函数区间最值的求解策略

如何求解二次函数在区间上的最值，是一?个综合性较强的问题，影响二次函数在某区间上最值的是区间和对称的位置。本文就区间和对称轴动与静的变化进行分类，探索求最值的方法。

一、定区间与定轴

区间和对称轴都确定时，则将函数式配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求最值。

例1 已知f(x) = x2—— x-1, x G[1,V3],求f(x)最值。

分析这2002年上海高考题的一个变式题，对f(x)配方，得

/⑴二仃-日顼_1擂],

其图象开口向上，对称轴x =

故f (X)max =f(T)= ^^；f(X)min =/(季)=-\?

二、定区间与动轴

区间确定而对称轴变化时，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论，再利用二次函数的示意图，结合单调性求解。

例2 己知/(A) = -x2 + 2mx +[0,1]时，f(x)最大值为1,求m 值。

分析f(x)的图象开口向下，对称轴为x=m。

(1)当mvO 时,f(x)在[0, 1]±递减，/(x)max=/(O) = zn-l.

由m— 1 = 1,得m=2这与m<0矛盾。

(2) 0

由m2+m—1=1,得m=l,这与m>l矛盾。或m=?2 ,m=2与0WmW 1矛盾。

综上可知m=l o

三、动区间和定轴

对称轴确定而区间在变化时，只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论。

例3 已知函数/(%) = -3x2 -3x + 4/?2［-/?,/?］且b>0,若/(x)inax =7,求bo 分析这是1990年全国高考题的-?道压轴题中半部分的代数求值问题。

将表达式配方,得/(X)=-3(X +|)2+4Z?2+3.

由于XG［—b,b］,对称轴x = -~,所以应对」冬［-"］及--e［-b,b］分类讨论。

2

(1)若—-<-/?,即OvbvL肘，f(x)在［一b,b］上递减，*x=—b 时，

/(L=-3(-/J +!)2+4/J+3=7.

由/Wmax=7,得：=一2土山,与0v/,

2 2

3 若—b<-~,即b>-,则对称穿过区间［—b, b］,那么当x = --nt,

2 2 2

/(X)max =4屏+3.由f(x)max=7,得b2=l,X>0, Ab=lo

综上可知b=l.

四、动区间与动轴

当区间和对称轴均在变化时，亦可根据对?称轴在区间的左、右两侧及穿过区间

三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。

例4 己知f(x)=—x2+(a — 1 )x+a,xe [ 1 ,a]的最大值为100,求a 值。分析由xe [l,a],可知a>l, f(x)图象开U向下，对称轴为工=竺「?

(1)当^-*-<1,即1

由2a-2= 100,得a=51 这与l

<2)当1〈导 <。，即a>3 时，f(x)max =/?(§)=后+了 + 七2由"+ 2" +1 = I。。,得a=i9,或a=—21,又a>3, a=19.

4

// — 1 __

(3)尚——&时，a<—1,与a>l矛盾，故对称轴不可能在x=a的右侧。2

抽象函数常见题型例析

这里所谓抽象函数，是指只给出函数的一?些性质，而未给出函数解析式的一?类函数，抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景背景，且构思新颖，条件隐蔽、技巧性强，解法灵活。因此，抽象函数在近几年的各种考试中，成为考查的重点。

一、求函数解析式

例1是否存在这样的函数f(x),使下列3个条件：

(1) f(n)>0, ncN*； (2) f(ni+n2)=f(ni)f(n2),ni> acN*；

(3)f(2)=4

同时成立？若存在,求出f(x)的解析式，若不成立，说明理由。

分析题设给出了函数f(x)满足的3个条件，探索结论是否成立。我们可以用不完全归纳法寻找f(x)的解析式，再用数学归纳法证明其正确性。

解若存在这样的函数f(x),由条件得f(2)=f(l + l)=[f(l)]2=4,

???f(l)=2.X f(2)=22,

??? H3)=H2+l)=f(2)H 1)=23,

R4)=R3+l)=f(3)f(l)=24.

由此猜想f(x)=2x(xeN*).

下面用数学归纳法证明上述猜想。

(1)半n=l时，显然成立。

(2 )假设当n=k(k G N*)时猜想成立，即f(k)=2k,那么当n=k+l时，则f(k+l)=f(k)?f(l)=2k?2=2k+l 仍然成立。

综上所述，存在函数f(x)=2x,对xcN*成立。

利用所给条件，通过数据实验，用不完全归纳法问题出猜想，再用数学归纳法

给出证明，是处理抽象函数递推型综合题的常用方法。

二、判断函数的单调性

例2设f(x)是定义在[一1, 1〕上的函数，且满足f(—x)=—f(x),对任意a、be [—

1, 1],当a+b*O时，都有/(-) + /(/；)>0o试判断f(x)的单调性。

a +b

分析由函数单调性的定义，首先问题着f(X2)—f(xi),这里xi，x2e[—1?1],旦

X,

解设X I,X2E[—1,1]，且Xi〈X2，

川2)- m)=fg)+r(F=/(顼+,/_(三).[x2+(-%,)].

X2 + (-X)

由条件，得/(皇)+ /(-以〉0,又X2—X|>0,

心+ (r I)

f(x2)—f(xi)>o,f(x2)>f(xi),

???f(x)在[―1,1]上是增函数。

三、求函数值或值域

例3己知定义在N*上，且在N*上取值的增函数y=f(n)o对任意m, IIG N*,

当m、n 互质时，f(mn)=f(m)f(n).又f( 180)= 180,求f(2004)值。

分析由f( 180)= 180及题设可推出f(l)=l,再利用f(n)eN+寻找f(n)及n关系，然后求值。

解V f(l 80)=f( 1 x 180)=f(l)-f(l80)=180,即f(l)H180)=180,..?Rl)=l.由Rn)是增

函数及函数值是IH 然数可得，1 =f( 1 )

??? f(n)=n(l

???H2004)=H12xl67)

=R12)?f(167)

=12x167=2004.

注一般地，抽象函数求值，要先找自变量与函数值之间的关系，根据找到的

关系再注值。

例4 f(x)是定义在R上的函数，且满足：

(1)f(—X)=—f(x)； (2)对任意x,yeR,有f(x+y)=f(x)+f(y)；

(3)当x>0时，f(x)<0,且f(l)=-2o求函数f(x)在［一3, 3］上的最值。

分析抽象函数求最值问题，一?般是先根据条件确定函数的单调性，然后再确定其最值。

解设0

f(x2)=fl(x2—X ］ )+x 1 ］=f(x2—X1 )+f(x I)

即f(x2—Xi)=f(x2)—f(Xi).

X2 — X1 >0, /. f(X2 — X l)<0.

f(X2)— f(x 1 )<0,即f(x ］ )>f(X2).

???f(x)在［0,3］上是减函数。

又由f(-x)=-f(x)，得f(x)在［-3,0］上也是减函数，从而f(x)在［一3, 3］上是减函数。

所以，当X=—3时，f(x)取最大值，其值为

H—3)=—H3)=—fU+2)=—Hl)—Hl+1)=—3f(l)=6.

当x=3时，f(x)取最小值，其值为f(3)=—f(3)=—6.

注函数单调性是函数的局部性质，在确定函数.单调性时，要根据条件，把定义域分割成若干个区间，分别讨论其单调性。

四、判断函数的周期

例5设f(x)是定义在R上的函数，且f(—x)=f(x),其图象关于直线x=l对称，

对任意X]X2《[0,L ],都有HXi+X2)=f(Xi)?f(X2).

(1)设f(l)=2,求/(-) /(-); (2)证明f(x)是周期函数。

2 4

分析(1)把f(i)用/(：)表示，再求/‘(!),而/‘(!)=舟(：)，注意开方时的符号。

(2)由图象关于x=l对称，可得f(x)=f(2—x),再利用f(—x)=f(x)就可确定其周期。

解(1)由函数y=f(x)的性质知，

X X X X

/(x) = /(- + -) = /(-)/(-).O,xe[O,l].

又??./⑴=/(! + ：)=广(：)=2.

」 J I

.?./(：)=产(：)二次，

顼!)二帼.

4

将上式中一x以x代替得，f(x)=f(x+2),x《R.故f(x)是以2为一个周期的周期函数。

注判断函数f(x)的周期性，就是寻找满足等式f(x+T)=f(x)中的非零常数To在解题时，注意利用题设中函数的奇偶性、对称性等性质，把这些性质转化成相应的等式，再证明f(x+T)=f(x)o

五、不等式问题

例6定义在(一1, 1)上的函数f(x)满足：

(1)对任意x、ye ( — 1, 1)都H /(x) + f(y) =

A + xy

(2)当xc(—1,0)时，有f(x)>0；求证：/(￡) + /(*) + ..? + /( ― ) > /(I).

5 11 ir +3/1 + 1 2

分析因为XE(—1,0)时,有f(x)>0,而结论中要求x>0时f(x)的值,故要先判断f(x)的奇偶性。因为不等式证明时需放缩，还要判断f(x)的单调性。

解在等式/O) +f(y) =，(土与中,令x=y=0,得f(0)=0,再令y= — x,得. 1 + xy

Hx)+R—x)=0,艮[]f(—x)=—f(x),

???f(x)在(-1, 1)上是奇函数。

设一1

/Ul) ) = f (易)+ ?/(一尤2)= f( ~~ )

1-”2

— l

「? Xi — X2<0』一X]X2>0.

Af(Xi)>f(X2).

故f(x)在XE(—l,0)±是减函数。

又由奇函数的性质知f(x)在XE(0,l)上仍然是减函数，旦f(x)<0.

'七2 + 3”1)T[(n + r)(n + 2)-l]

= /」) + /.(-一〃 +1 〃 + 2

〃 + 1 n + 2

z 1 /1 ■ — /(-)-/(-) + 3 4 + ??? +

MU)

n+2 〃+2 『AU

故所证不等式成立。

注 本题先确定函数的奇偶性和单调性，利用裂项求和进行化简，再根据条件

用放缩法证明不等式；在解题过程中，利用题设充分挖掘隐含条件，开拓解题思路， 使问题得到解决。

六、 图象的对称性

例7设a 是常数，函数f(x)对一切XE R 都满足f(a —x)=—f(a+x)o

求证：函数f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称图形。

证明 v f (a -x) = -f(a + x) X'j 任意 XG R 都成立，

f 3) = f" - (。一尤)]=+ = -/(2a -A ).

..?在f(x)的图象上任取一点(x (),yo ),则其关于(a,0)的对称点(2a —x 0,—yo)也 在其图象

上。

?.?f(x)图象关于点(a,0)成中心对称图形。

注证明一个函数图象的对称性问题，只需在此函数图明上任取一点P1,证明 它的对称点P2也

在其图象上。

七、 方程根的问题

例8已知函数f(x)对于一切实数x 满足f(x)=f(12—x),若方程f(x)=0有n 个不

.,./ (—) + /(一) -- 1- / ( ----------- )

5 11 〃2 + 3〃 + l

同的实数根，这个n人实根的和是48,求n的值。

分析由方程根的意义及等式f(x)=f(12—x)的意义知，方程的根是成对出现的, 且成对两根之和是12.

解由方程f(x)=f(12—X)知，如果x()是方程f(x)的根，那么12-xo也是方程的根，且

x(#12—xo,xo+(12—x())=12.由48=12x4可知方程f(x)=O有四对不同的实数根，即方程

f(x)=O有8个不同的实根，.??n=8.

注解此题的关键是，理解f(x)=f(12—x)的意义，判断出方程根的性质。

抽象函数问题，往往综合运用函数的性质及数学思想方法，挖掘隐含条件，探索抽象函数的有关性质，寻找解题思路。

高三数学复习方法

高三数学复习，大体可分三个阶段，每一?个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也逐步提高。

一、基础复习阶段——系统整理，构建数学知识网络

将高中阶段所学的数学基础知识进行系统整理，进行有机的中联，构建成知识网络，使学生对整个高中数学体系有一个全面的认识和把握，以便于知识的存储、提取和应用，也有利于学生思维品质培养和提高，这是数学复习的重要环节。从近几年来高考试题中我们可以看到：基础知识，基本技能，基本思想和方法始终是高考数学试题考查的重点。《考试说明》明确指出：易、中、难题的占分比例控制在3：5：2 左右，即中、低档题占总分的80%左右，这就决定了我们在高考复习中必须抓基础, 常抓不懈，只有基础打好了，做中、低档题才会概念清楚，得心应手，做难题和综合题才能思路清晰，运算准确。在高考第一轮复习中应以夯实双基为主，对构建的知识网络上每个知识点要弄清要领，了解数学知识和理论的形成过程以及解决数学问题的思维过程，注重基础知识的复习和基本技能的训练，不求高难，应为后继阶段的综合能力提高打下坚实基础。要贴紧课本，对课本中的例题、知识点加以概括和延伸，使之起到举一反三，触类旁通的效果。如课本中数列一章有详细推导等差数列和等比数列前n项和公式的过程，通过复习要掌握“倒序相加法”和“错位相加法”两种不同的方法，为我们在数列求和的解题中提供思路和方法。因此在复习时特别要注意课本中例题和习题所启示的解题方法，要关于总结，丰富解题思路。

二、综合复习阶段——综合深化，掌握数学思想方法

第二轮复习是在第一轮复习的基础上进行巩固、完善、综合、提高的重要阶段,

是关系到学生的数学素质能否迅速提高进而适应高考中、难度试题的关键。第二物理

学复习要加强对思维品质和综合能力的培养，主要着眼于知识重组，建立完整的知识能力结构，包括学科的方法能力、思维能力、表达能力，但这都必须建立在知识的识记能力基础之上，理解知识的来源及其所蕴含的数学思想、数学方法，把握知识的纵横联系，培养探索研究问题的能力。常用的数学思想方法有化归，函数与方程的思想, 分类讨论思想，数形结合思想以及配方法、换元法、待定系数法等等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材中，在高一、高二的学习过程中，主要精力集中于数学知识学习中，缺乏对基本的数学思想和方法的归纳和总结，在高考前的复习过程中，要在复习基础知识的同时，有意识地掌握基本数学思想和方法，只有这样，在高考中才册灵活运用和综合运用所学的知识。

第二轮复习要培养数学应用意识，学会从材料的情景、问题中去理论，册根据题n所给的材料，找到主干和知识的结合点。要学会形成体系和方法，即解题思路，包括对?有效信息的提取、解题所需的方法和技巧、对?事实材料的分析和判断及结论的评价和反思等。

三、强化复习阶段——强化训练，提高应试实战能力

从某种意义上说，成绩是练出来的，考前强化训练尤其重要。练近年来的高考试题和各地的模拟试题，掌握高考信息和命题动向，提高正克率，练出速度，在练中升华到纯熟生巧的境界。在练习时要注意以下几点。解题要规范，俗话说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以务必将解题过程写得层次分明，结构完整。重要的是解题质量而非数量，要针对自己的问题有选择地精练，发现错误及时纠正，把做错的题做上标记，在旁边写上评析，然后把试卷保存好，过一段时间，再做一遍。不应满足于会做，应注意解题后的反思常悟，悟出解题策略、思想方法的精华，尤其对

?些高考题，新题和难度稍大的题，这种反思更为重要，多思出悟性，常悟获精华。

考试是一门学问，高考要想取得好成绩，不仅取决于扎实的基础知识、熟练的

基本技能和过硬的解题能力，而且取决一于临场的发挥，我们要把平常的考试看成是积累考试经验的重要途径，把平时的考试当做高考，从心理调节、时间分配、节奏的掌握以及整个考试的运筹诸方面不断进行调试，逐步适应。每次考完后，自己都应认真总结对做过题的题要分析，错误要怎样造成的？解题及思考过程有什么不合理的地方？做错是属于知识上、心理上、能力上还是策略上的原因？即使对解对了的题也要分析，解题过程是否完美，有无更好的解法？对综合题和难题要分析，考查了哪些知识点？怎样审题？怎样打开解题思路？主要运用了哪些方法和技巧？关键步骤在哪里？

高考要考出好成绩，考试时要有自信心，保持平和心态，把握全局，从易到难, 沉着应试，注意审题，计算细心，避免无谓差错，发挥应有的水平。

含参二次函数中绝对值问题

2016浙江高考数学含参二次函数中绝对值问题 1设函数R b a b a x x x f ∈+-=,,)(. （1）当0>a 时，讨论函数)(x f 的零点个数； （2）若对于给定的实数)01(<<-a a ，存在实数b ，使不等式2 1)(21+≤≤-x x f x 对于任意的[]12,12+-∈a a x 恒成立试将最大实数b 表示为关于a 的函数)(a m ，并求)(a m 的取值范围。 2已知函数.)(2b x x ax x f -+= （1）当1-=b 时，若不等式12)(--≥x x f 恒成立，求实数a 的最小值； （2）若0

（1）若方程x x f 2)(=恰有三个不同的实数根，求实数a 的值； （2）当0>a 时，若对任意的],0[+∞∈x ，不等式)(2)1(x f x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围. 4已知0≥a ，函数a a x x x f 25)(2+--=. (1)若函数)(x f 在]3,0[上单调，求实数a 的取值范围； (2)若存在实数2,1x x ，满足)()(0))((2121x f x f a x a x =<--且，求当a 变化时 21x x +的取值范围.

（1）若函数)]([)(x f f x F =与)(x f 在R x ∈时有相同值域，求实数b 的取值范围； （2）若方程21)(2=-+x x f 在)2,0(上有两个不同实数根2,1x x ， ①求实数b 的取值范围； ②求证： 41121<+x x 6已知函数),()(2R b R a b ax x x f ∈∈--=+. (1) 若,2,2≥=b a 且函数)(x f 的定义域，值域均为],1[b ，求b 的值； (2) 若函数)(x f 的图像与直线1=y 在)2,0(∈x 上有2个不同的交点，试求a b 的范围.

二次函数结合定值及等面积问题

二次函数结合定值及等面积问题 2 2 8 1.已知二次函数y =3x-3x+2的图像与x 轴交于A B 两点，A 在B 点的左边，与y 交 于点C ,点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边, S A PAC = 4，求点P 的坐标。 2.抛物线 y=-x 2 +bx+c 经过点 A B 、C,已知 A(- 1,0), C (0， 3). (1)求抛物线的解析式; (2)若P 为抛物线上一点，且S PBC =3,请求出此时点P 的坐标。 3.如图，已知直线 AB ： y = kx+ 2k + 4与抛物线y= ^x 2 -^-A (1)直线AB 总经过一个定点 C,请直接写出点 C 的坐标 1 (2)当k 二时，在直线AB 下方的抛物线上求点 P ,使S A ABP = 5 2 4. 如图，抛物线y x 2 2x 3与x 轴交A B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交 于A C 两点，其中C 点的横坐标为2。 (1 )求A B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式； (2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求△ EAC 面积的 最大值。 5. 如图，抛物线的顶点为 A (-3，-3 )，此抛物线交X 轴于O, B 两点 (1) 求此抛物线的解析式 (2) 求厶AOB 的面积 P C x O

(3) 若抛物线上另有一点P满足S B阳创，请求出P点的坐标 6.已知二次函数y x2 bx c，其图像抛物线交x轴的于点A (1, 0)、B (3, 0),交y 轴于点C. (1) 求此二次函数关系式； ⑵试问抛物线上是否存在点P(不与点B重合)，使得S BCP 2S ABC ?若存在，求出P点 坐标；若不存在，请通过计算说明理由．

二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2 +bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢？其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢？对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f .

故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢？留给读者思考。 二、合理用公式，灵活换视角 公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|在处理含绝对值问题时的作用有时是不可替代的，常用于不等式放缩、求最值等，思路简洁、明快，解法自然、迅捷。 例2 已知f(x)=x 2+ax+b 的图象与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2若|a|+|b|<1，求证：|x 1|<1且|x 2|<1. 解 由韦达定理，得???=-=+b x x a x x 2121 ???==+∴.|||||,|||2 121 b x x a x x 代入|a|+|b|<1，得|x 1+x 2|+|x 1x 2|<1， 又|x 1|－|x 2|≤|x 1+x 2|. 1||||||||||21212121<++≤+-∴x x x x x x x x 即|x 1|(1+|x 2|)<1+|x 2|。 又∵1+|x 2|>0，∴|x1|<1. 同理可得|x 2|<1。 例3 函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0),若函数f(x)的图象与直线y=x 和y=-x 均无公共点，求证：（1）4ac －b 2>1. （2）对一切实数x ，恒有| |41 ||2a c bx ax >++. 分析（1）略。

【中考数学压轴题专题突破01】二次函数中的定值问题

【中考压轴题专题突破】 二次函数中的定值问题 1．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q． （1）求该二次函数的表达式； （2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向下运动，其纵坐标y1随时间t（t ≤0）的变化规律为y1＝﹣2t．设点C是线段OP的中点，作DC⊥l于点D． ①点P运动的过程中，是否为定值，请说明理由； ②若在点P开始运动的同时，直线l也向下平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的 变化规律为y2＝1﹣3t，以OP为直径作⊙C，l与⊙C的交点为E、F，若EF＝，求t 的值．

2．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A、点B （3，0）．点D（n，y1）、E（n+t，y2）、F（n+4，y3）都在这个二次函数的图象上，其中0＜t＜4，连接DE、DF、EF，记△DEF的面积为S． （1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）若n＝0，求S的最大值，并求此时t的值； （3）若t＝2，当n不同数值时，S的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n的代数式表示S．

3．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组” （1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由． （2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式； （3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

绝对值问题的求解方法

绝对值问题的求解方法 一、定义法 例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。 分析与解因为方程只有负数解，故，原方程可化为： ， ∴， 即 说明绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。 二、利用非负性 例2 方程的图象是（） （A）三条直线： （B）两条直线： （C）一点和一条直线：（0，0）， （D）两个点：（0，1），（－1，0）

分析与解由已知，根据非负数的性质，得 即或 解之得：或 故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。 说明利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。 三、公式法 例3 已知，求的值。 分析与解， ∴原式 说明本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。 四、分类讨论法 例4 实数a满足且，那么

分析与解由可得 且。 当时， ； 当时， 说明有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。 五、平方法 例5 设实数a、b满足不等式，则 （A）且 （B）且 （C）且 （D）且 分析与解由于a、b满足题设的不等式，则有 ，

整理得 ， 由此可知，从而 上式仅当时成立， ∴，即且， 选B。 说明运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。 六、图示法 例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 分析与解问题可变化为：在数轴上有四点A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。 由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。 说明由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。

二次函数——定值问题

专题九：二次函数之定值问题 坐标为定值 例题 1 ：抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y 轴交于点C． （1）如图1，若OB＝2OA＝2OC ①求抛物线的解析式； ②若M 是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M 点坐标． （2）如图2，直线 E F∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为 E F下方抛物线上一点，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则 E F所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．

练习1 ．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于 B 点，S△OAB＝1． 1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P 是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P 的直线L与抛物线有且只有一个公共点，L交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于 D 点，若∠ BAO＝∠ PCD，求证：AC＝2AD； （3）如图3，以 A 为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N 两点，当直角∠ MAN绕A点旋转时，求证：MN 始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．

线段之和为定值 例题 1 ：如图，抛物线 y = x 2 + bx + c 交 x 轴于 A 、 B 两点，其中点 A 坐 在抛物线上且满足 ∠PAB= 2∠ACO.求点 P 的 坐标； 3）如图②，点 Q 为 x 轴下方抛物线上任意一点，点 D 是抛物线对称轴与 x 轴的交点，直线 AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点 M 、N .请问 DM+ DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由 . 2）如图①，连接 AC ，点 P 1）求抛物线的函数表达 式； C(0,-3) .

二次函数的几何最值问题

二次函数与几何图形结合 ---探究面积最值问题 〖方法总结〗： 在解答面积最值存在性问题时，具体方法如下： ①根据题意，结合函数关系式设出所求点的坐标，用其表示出所求图形的线段长； ②观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点的坐标或线段长关于面积的二次函数关系式，若所求图形的面积不能直接利用面积公式求出时，则需将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，进行求解； ③结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或字母范围。 （2014?达州）如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）． （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式． （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标． （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．

（2014自贡）如图，已知抛物线c x ax y +- =232与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线221-=x y 交于B 、C 两点，其中点C 是直线22 1-=x y 与y 轴的交点，连接AC ． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△ABC 为直角三角形； （3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

（2014黔西南州）（16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

二次函数绝对值问题

常见绝对值类问题汇总 ——辽宁数学小丸子编辑 【题1】已知32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当1x ≤时，'()f x M ≤恒成立，求a 的最大值 【题2】设1()4 2(,)x x f x a b a b R +=+?+∈，若对于1[0,1],()2x f x ?∈≤都成立，求b 【题3】2()f x x bx c =++在定区间[,]m n 上的最大值为M ，则M 有一个最小值2 ()8 m n -，当且仅【题4】设,,a b c R ∈,对任意满足1x ≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题5】设函数(),,f x x ax b a b R =--∈，若对任意实数,a b ，总存在实数0[0,4]x ∈使得不等式0()f x m ≥成立，求实数m 的取值范围 【题6】设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()1f x ≤，求证：当2x ≤时，()7 f x ≤【推广】设2()(0)f x ax bx c a =++≠，当1x ≤时，总有()f x k ≤，求证：当x n ≤时，2()(21)f x n k ≤-【题7】已知二次函数22(),(),(1)1,(0)1,(1)1f x ax bx c g x cx bx a f f f =++=++-≤≤≤求证：当11x -≤≤时， （1）5 ()4f x ≤（2）()2 g x ≤【题8】设函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有 24 ax b +≤【推广】设函数2 ()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-都有()1f x ≤，求证对一切[1,1]x ∈-都有2(*) nax b n n N +≤∈【题9】设,,a b c R ∈,对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有21ax bx c ++≤，则a b c ++的最大可能值为___ 【题10】设函数1()(1,)f x x c b c R x b =++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[1,1]-上的最大值为M ，若M k ≥对任意的,b c 成立，求k 最大

(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)

二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

二次函数结合定值及等面积问题

二次函数结合定值及等 面积问题 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

二次函数结合定值及等面积问题 1. 已知二次函数23 8-322+=x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 交于点C ，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边， 4=ΔPAC S ，求点P 的坐标。 2．抛物线y=－x 2+bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （－1， 0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若P 为抛物线上一点，且PBC S ?=3，请求出此时点P 的坐标。 3.如图，已知直线AB ：42++=k kx y 与抛物线22 1x y =交于A 、B 两点 （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标 （2）当2 1-=k 时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使5=ΔABP S 4．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线线交 于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。 （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求△EAC 面积的最大值。 5.如图，抛物线的顶点为A （-3，-3），此抛物线交X 轴于O ，B 两点 （1） 求此抛物线的解析式 （2） 求△AOB 的面积 （3） 若抛物线上另有一点P 满足S ?POB =S ?AOB ，请求出P 点的坐标 O x y A B C B C O A y x P

二次函数结合定值及等面积问题

二次函数结合定值及等面积问题 1. 已知二次函数23 8 -322+= x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 交于点C ，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边，4=ΔPAC S ，求点P 的坐标。 y x

2．抛物线y=－x 2 +bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （－1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若P 为抛物线上一点，且PBC S =3，请求出此时点P 的坐标。

3.如图，已知直线AB ：42++=k kx y 与抛物线2 2 1x y = 交于A 、B 两点. （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标 （2）当2 1 -=k 时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使5=ΔABP S

4．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。 （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求△EAC 面积的最大值。

5.如图，抛物线的顶点为A（-3，-3），此抛物线交X轴于O，B两点 （1）求此抛物线的解析式 （2）求△AOB的面积 （3）若抛物线上另有一点P满足S?POB=S?AOB，请求出P点的坐标

6.已知二次函数c bx x y ++=2，其图像抛物线交x 轴的于点A （1，0）、B （3，0），交y 轴于点C. (1)求此二次函数关系式； (2)试问抛物线上是否存在点P(不与点B 重合)，使得2BCP ABC S S ??=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请通过计算说明理由． (第26题图)

二次函数中绝对值问题的求解策略

二次函数中绝对值问题的 求解策略 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

二次函数中绝对值问题的求解策略 二次函数是高中函数知识中一颗璀璨的“明珠”，而它与绝对值知识的综合，往往能够演绎出一曲优美的“交响乐”，故成为高考“新宠”。二次函数和绝对值所构成的综合题，由于知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵活性、思维方式的抽象性，学习解题时往往不得要领，现从求解策略出发，对近年来各类考试中的部分相关考题，进行分类剖析，归纳出一般解题思考方法。 一、适时用分类，讨论破定势 分类讨论是中学数学中的重要思想。它往往能把问题化整为零，各个击破，使复杂问题简单化，收到化难为易，化繁为简的功效。 例1 已知f(x)=x 2+bx+c (b,c ∈R), （1）当b<－2时，求证：f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）当b<－2时，求证：在（－1，1）内至少存在一个x0，使得|f(x0)|≥ 2 1. 分析 （1）当b<－2时，f(x)的对称轴在（－1，1）的右侧，那么f(x)在（－1，1）内单调递减。 （2）这是一个存在性命题，怎么理解“至少存在一个x 0”呢其实质是能找到一个这样的x 0，问题就解决了，不妨用最特殊的值去试一试。 当x=0时，|f(0)|=|c|,|c|与 2 1 的大小关系如何呢对|c|进行讨论： （i ）若|c|≥ 21,即|f(0)|≥2 1 ，命题成立。 （ii ）若|c|< 21，取x 0=－21,则2 1432145|||2141||2141||)21(|>=->--≥+-=-c b c b f . 故不论|c|≥ 21还是|c|<21,总存在x 0=0或x 0=－21使得|f(x 0)|≥2 1 成立。 本题除了取x=－ 2 1 外，x 还可取那些值呢留给读者思考。

二次函数距离与定值

定值与距离问题探究 主讲——周文春 【知识点拨】 1、 点与点距离 2、 点与直线距离 3、 讲线段与图形问题转化为距离问题 4、 熟记各种演化公式 【例1 二次函数与直线、距离、面积问题】 如图，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）求线段的垂直平分线的解析式； （3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时 12y x =- 21 64 y x =-+A B ，A B ，AB AB A B ，P AB P A B ，P 图2 图1

【变式练习.成都】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长； （3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2二次函数中的线段面积最值问题】 如图，抛物线与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。交Y 轴于C (1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。 (2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由 (3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂 直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，求L 关于X 的函数关系式？关写 出X 的取值范围？当E 运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？ (4)在（3）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？ (5)在（4）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？ c bx x y ++-= 2

二次函数经典难题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数经典难题（含精解） 一．选择题（共1小题） 1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（）A．1B．2C．3D．6 二．填空题（共12小题） 2．作抛物线C 1关于x轴对称的抛物线C 2 ，将抛物线C 2 向左平 移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C 1 所对应的函数解析式是 _________ ． 3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为 _________ ． 4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是_________ ． 5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD 边长为10，则正方形EFGH的边长为_________ ． 6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛

物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________ ． 7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B （4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是_________ ． 8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= _________ ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是_________ ．9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a= _________ ． 10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是_________ ． 11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是 _________ ． 12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a?c 的值是_________ ． 13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为_________ ．

二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.

练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．

二次函数最值知识点总结典型例题及习题

必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-

二次函数绝对值的问题练习及答案

二次函数绝对值的问题练习及答案 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明 例1 设a 为实数，函数 2 ()||1f x x x a =+-+，x R ∈ （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求()f x 的最小值 解；（1）0a =时， () f x 为偶函数 0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数 （2）2 222 2131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ?? ?+-+=++-≥? ??? ?=+-+=??? ?-++=-++< ????? 当()min 13 ,24a f x a ≤-=- 当()2min 11 ,1 22a f x a -<<=+ 当()min 13 ,24a f x a ≥=+ 例2 已知函数 1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . (1)若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，求实数a 的取值范围； (3)求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）. 解：（1）方程|()|()f x g x =，即 2 |1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的

二次函数中考压轴题(定值问题)解析精选

二次函数中考压轴题（定值问题）解析精选 【例1】（2013?南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2） 两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0． （1）求b的值； （2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上； （3）求证：x1?OB+y2?OA=0． 考点：二次函数综合题 专题：压轴题． 分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值； （2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1?y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上； （3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2） 得y1?y2=64，又易得x1?x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明 △AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1?OB+y2?OA=0． 解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣， ∴△OCD的面积S=（﹣）?b=﹣． ∵kS+32=0， ∴k（﹣）+32=0，

二次函数结合定值及等面积问题

二次函数结合定值及等面积问题 1. 已知二次函数238-322+=x x y 的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 在B 点的左边，与y 交于点C ，点P 在第一象限的抛物线上，且在对称轴右边， 4=ΔPAC S ，求点P 的坐标。 2．抛物线y=－x 2+bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （－1，0）， C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若P 为抛物线上一点，且PBC S ?=3，请求出此时点P 的坐标。 3.如图，已知直线AB ：42++=k kx y 与抛物线221x y =交于A 、B 两点. （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 的坐标 （2）当2 1-=k 时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使ΔABP 4．如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交 于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。 （1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求△EAC 面积的最大值。 5.如图，抛物线的顶点为A （-3，-3），此抛物线交X 轴于O ，B 两点 （1） 求此抛物线的解析式 （2） 求△AOB 的面积 （3） 若抛物线上另有一点P 满足，请求出P 点的坐标 O x y A B C B C O A y x P

6.已知二次函数c bx x y ++=2，其图像抛物线交x 轴的于点A （1，0）、B （3，0），交y 轴于点C. (1)求此二次函数关系式； (2)试问抛物线上是否存在点P(不与点B 重合)，使得2BCP ABC S S ??=？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请通过计算说明理由．

二次函数定值

1.如图'抛物线2188 y x =-+交x 轴负半轴于点A ，交y 轴于点C ，四边形OABC 为正方形，点P 是抛物线 上点A 、C 间的一个动点(含端点)．过P 作PF ⊥BC 于F ，点D (0，6)，对于任一点P ，则PD －PF 的值是 否为定值？证明你的判断． 2．如图，已知抛物线21y x a = (a ＞0)与直线y ＝a 相交于A ，B 两点． (1)若AB ＝4，求a 的值； (2)点P 是直线AB 上的动点(不在y 轴上)，PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点N ，求2 OM MN MP ?的值． 3．如图，过G (0，14 )作GH ∥x 轴，交抛物线y =ax 2于H ，且GH =2OG ． (1)求抛物线的解析式； (2)过G 作直线GA 交抛物线于A ，直线AB 交y 轴于点B ，且与抛物线只有一个公共点，求 AG BG 的值．

4．如图，抛物线y = ax 2－2ax ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，点B (在A 点的右侧)，与y 轴正半轴交于点C ，已知△ABC 的面积为6． (1)求抛物线的解析式； (2)点P 是抛物线上第一象限上的一动点，连接AP ，BP ，分别交y 轴于D ， E ， PQ ⊥y 轴子点Q ，求OE OD PQ -的值． 5．如图，抛物线y ＝x 2－(2m ＋1)x +m 2＋m －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．过P 作PQ ⊥AB 于点Q ． (1)求AQ BQ PQ ?的值； (2)连接AP ，BP ，若∠APB ＝90°，求证：无论m 为何值PQ 总为定值.

5含绝对值的二次函数(教案及练习)

含绝对值的二次函数 含绝对值的二次函数其本质是分段函数，研究含绝对值的二次函数就是分段研究二次函数的局部性态．设定分类讨论的标准是问题解决的前提条件，数形结合则是问题能否正确解决的关键 所在． 例1．解下列各题： （1）（2010全国）直线1=y 与曲线a x x y +-=2有4个交点，则实数a 的取值范围是 ． （2）（2008浙江）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间]3,0[上的最大值为2，则=t ． （3）设集合{} {}2,,022<=∈<++-=x x B R a a a x x x A ，若Φ≠A 且B A ?，则实数a 的取值范 围是 ． 例2．设函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2 （1）判断函数)(x f 的奇偶性； （2）求函数)(x f 的最小值．

例3．已知函数1)(,1)(2-=-=x a x g x x f ． （1）若关于x 的方程)()(x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若R x ∈时，)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求函数)()()(x g x f x h +=在区间]2,2[-上的最大值． 例4．设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求实数a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值．

5.含绝对值的二次函数 班级 姓名 一、综合练习 1．设b a <<0，且x x x f ++= 11)(，则下列大小关系式成立的是（ ） （A ）)()2()(ab f b a f a f <+< （B ）)()()2(ab f b f b a f <<+ （C ）)()2()(a f b a f ab f <+< （D ）)()2 ()(ab f b a f b f <+< 2．已知{}n a 为等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和,若9843=++a a a ，则9S = ． 3．直线750x y +-=截圆221x y +=所得的两段弧长之差的绝对值是 ． 4．函数y k x a b =--+与y k x c d =-+的图象1(k 0k )3 >≠且交于两点)3,8(),5,2(，则c a + 的值是_______________. 5．任意满足305030x y x y x -+≤??+-≥??-≤? 的实数,x y ，若不等式222()()a x y x y +<+恒成立，则实数a 的取值 范围是 . 6．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，N M ,是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，且直线PN PM ,的斜率分别为12,k k ，021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则双曲线的离心率为 ． 二、本讲练习 1．设函数c bx x x x f ++=)(给出下列四个命题： ① 0=c 时，)(x f y =是奇函数； ② 0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实根； ③ )(x f y =的图象关于),0(c 对称； ④ 方程0)(=x f 至多有两个实根． 其中正确的命题是 （ ） （A ）①④ （B ）①③ （C ）①②③ （D ）①②④ 2．若不等式2 1x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的范围为 . 3．设a 为实数，函数a x x x f -=)(，求函数)(x f 在]2,2[-上的最大值．